Il campo elettrico
La struttura dell’atomo
L'atomo è così chiamato perché inizialmente dai filosofi greci era considerato l'unita più piccola ed
indivisibile della materia.
In realtà sappiamo che non è così. Cercando su un dizionario possiamo trovare la seguente
definizione.
Definizione: minima porzione di elemento chimico, che ne contiene tutte le caratteristiche chimiche
e fisiche, costituito da un nucleo centrale formato da neutroni e da protoni con carica
positiva, attorno a cui sono disposti, in numero uguale ai protoni, elettroni con carica
negativa.
Come si può notare vi sono elettroni più vicino al nucleo ed elettroni più lontani. Nel caso in cui
due atomi interagiscano sono proprio gli elettroni più esterni a subire le sollecitazioni(attrattive o
repulsive). Tali interazioni sono in grado di far passare alcuni elettroni da un atomo all’altro
provocando in essi un difetto o un eccesso di elettroni.
Nelle reazioni naturali che possiamo osservare sulla terra il nucleo rimane intatto e non cede
particelle.
Inoltre poiché gli elettroni hanno carica negativa con la loro quantità determinano
dell’atomo considerato, vedremo in seguito di approfondire questa affermazione.
la carica
Le prime osservazioni sui fenomeni elettrici sono semplici esperienze che consistono nello sfregare
una bacchetta con un tessuto, va bene anche una penna sfregata sulla manica di un maglione, per
mettere in evidenza che dopo tale operazione la bacchetta è in grado attirare piccoli pezzetti di
carta.
Cosa è successo durante l’operazione precedente? Lo sfregamento tra bacchetta e tessuto ha
provocato un trasferimento di elettroni tra i due corpi, pertanto la bacchetta al termine
dell’operazione ha accumulato un eccesso o un difetto di carica negativa (ciò dipende dal tipo di
tessuto utilizzato).
I corpi inizialmente neutri, cioè con lo stesso numero di cariche positive e negative, hanno
modificato il loro stato di equilibrio.
Sperimentalmente si può verificare che corpi identici che vengono sfregati con lo stesso materiale si
respingono, mentre in alcuni casi corpi identici che vengono sfregati con tessuti differenti si
attraggono. Non vengono poi evidenziate altre interazioni.
Quindi possiamo dedurre da tale fenomeno l’esistenza di due possibilità per l’elettrizzazione:
due corpi aventi la stessa carica si respingono
due corpi aventi carica opposta si attraggono
Per quanto appena osservato, poiché le alternative possibili nel fenomeno di elettrizzazione sono
due, possiamo affermare che:
esistono corpi carichi positivamente (presentano un difetto di elettroni rispetto ai protoni);
esistono corpi carichi negativamente (presentano un eccesso di elettroni rispetto ai protoni);
Legge di Coulomb
Ora che abbiamo osservato tali fenomeni attrattivi o repulsivi, vediamo di quantificare l’intensità di
tale forza che si stabilisce tra due carice.
Sperimentalmente il valore dell’azione che si stabilisce tra due cariche è stabilito dalla legge
(sperimentale) di Coulomb.
F=
1
q1q2
4πε 0 d 2
La forza che si stabilisce tra due cariche allora è:
direttamente proporzionale alle cariche ;
è inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
L’unità di misura della carica è il Coulomb, che verrà definito in seguito in quanto la sua
formulazione si ottiene come conseguenza della definizione dell’Amperè, unità di misura
dell’intensità della corrente elettrica.
La forza inoltre dipende da una costante, il termine
1
4πε 0
, dove ε 0 rappresenta la costante
dielettrica del vuoto. Definiremo ε 0 quando avremo introdotto il concetto di campo elettrico.
Per ora diamo il valore ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12
C2
.
Nm 2
Nella risoluzione di esercizi può essere più utile utilizzare al seguente formulazione
F =k
q1q2
d2
dove k = 9 ⋅ 109
C2
Nm 2
Nel caso in cui la forza di Coulomb si sviluppi in un mezzo materiale, la formula diventa
F=
1
q1q2
4πε 0ε r d 2
Dove ε r rappresenta la costante dielettrica relativa del mezzo rispetto al vuoto.
Definizione: si definisce ε costante dielettrica assoluta di un mezzo il valore ε = ε 0ε r .
Mezzo
Costante dielettrica relativa
Aria
1.00059
Idrogeno
1.00026
Acqua
ca. 80
Etanolo
25
Etere etilico
Petrolio
1.352
2.1
Vetro comune
5 - 10
Plexiglas
3.40
Mica
8
Ebanite
2
Paraffina
2.1
Glicerolo
42.6
εr
La legge di Coulomb stabilisce una relazione di tipo vettoriale, vediamo di determinare allora
direzione e verso della forza elettrica che si instaura tra due cariche q1 e q2 poste tra loro ad una
certa distanza r .
Direzione
Date due cariche la forza elettrica ha la direzione della retta che passante per q1 e q2 .
q2
q1
Verso
Il verso della forza che si stabilisce tra due cariche è attrattivo se le cariche sono dello stesso segno
(cioè le cariche si avvicinano muovendosi lungo la retta della direzione ) o repulsivo se le cariche
hanno segno opposto (cioè le cariche si allontanano muovendosi lungo la retta della direzione ).
a) verso attrattivo
q2
q1
b) verso repulsivo
q2
q1
Nel caso vi fossero più cariche la loro azione andrebbe calcolata tenendo conto della direzione
considerando poi tutte le componenti orizzontali e verticali delle forze che si stabiliscono tra le
cariche.
Elettrizzazione
Per elettrizzare un corpo vi sono tre possibilità.
a) elettrizzazione per strofinio
Come già osservato in precedenza, s strofiniamo una bacchetta di un certo materiale su di un
tessuto, la bacchetta acquisisce la capacità di attirare a sé piccoli pezzetti di carta. Quello che è
avvenuto durante lo sfregamento è stato un passaggio di elettroni da un corpo all’altro, lasciano sula
bacchetta un difetto o un eccesso di elettroni che determinano in questo modo la carica (positiva se
vi è un difetto, negativa se sono in eccesso).
b) elettrizzazione per contatto
Supponiamo di avere un corpo carico positivamente ed un corpo neutro in cui gli elettroni di
conduzione siano in grado di muoversi liberamente (un conduttore, come vedremo più avanti, cioè
un corpo in grado di lasciarsi attraversare dalle cariche). Se tocchiamo il corpo neutro con il corpo
carico positivamente, cioè che contiene un difetto di elettroni, parte degli elettroni del primo corpo
si trasferiranno sul secondo corpo. Tale movimento di carica si arresta quando i due corpi
raggiungeranno un equilibrio. Poiché gli elettroni dei due corpi sono in numero inferiore rispetto al
numero globale dei protoni, essi si distribuiranno sui due corpi che avranno al termine del moto di
carica entrambi un difetto di elettroni, cioè saranno carichi positivamente (il difetto di elettroni
iniziale si ridistribuisce tra i due corpi).
Corpo neutro con cariche distribuite equamente
+
+
+
+
-
-
+
+ +
+
-
Corpo carico
+ +
+ +
+ +
Corpo neutro con cariche distribuite equamente
+
+
-
-
+ +
Corpo carico
Notare come le cariche del corpo
neutro sentano l’azione delle cariche
+
+
+
+
-
-
-
+ +
del
+ +
omologhe vengono respinte nella
corpo
carico:
le
cariche
parte più lontana mentre le cariche
+ +
opposte vengono attratte.
Contatto
+
+
Quando avviene il contatto parte
+
della carica positiva del corpo
+
+
+
+
+
+
elettrizzato annulla cariche negative
+
sul corpo in equilibrio lasciandolo
una prevalenza di cariche positive.
+
Corpo carico
+
Corpo carico
+
+
Ora i corpi sono entrambi carichi
positivamente.
+
+
+
+
+
+
+
+
c) elettrizzazione per induzione
L’elettrizzazione per induzione sfrutta il fatto che la Terra sia carica negativamente e quindi ha la
capacità di assorbire cariche positive. Come nella situazione precedente si ha un corpo in equilibrio
e un corpo carico positivamente. Avvicinando i due corpi senza farli venire a contatto si ha un
orientamento delle cariche del corpo neutro: le cariche positive si disporranno lontano dal corpo
carico, mentre le cariche negative saranno vicine alla bacchetta. A questo punto per “scaricare le
cariche positive a terra” basterà collegare con un filo di rame la parte positiva del corpo neutro con
la terra. In questo modo la carica positiva del corpo verrà annullata dalle cariche negative presenti
al suolo. Il corpo neutro sarà quindi carico negativamente.
Corpo neutro con cariche distribuite equamente
+
-
+
+
+
-
-
+ +
+
+
Corpo carico
+ +
-
+ +
+ +
Corpo neutro con cariche distribuite equamente
+
+
-
-
+ +
Corpo carico
Come prima le cariche del corpo
neutro sentono l’azione delle cariche
+
+
+
+
-
-
+ +
del corpo carico.
+ +
+ +
Corpo neutro con cariche distribuite equamente
+
+
-
-
+ +
Corpo carico
Il filo di rame permette di scaricare
a terra la carica positiva del
+
+
+
+
-
-
+ +
+ +
+ +
- - - - - - - -
conduttore.
Corpo carico
-
Corpo carico
-
+
Ora i corpi sono entrambi carichi
uno
-
-
-
+
positivamente
e
uno
negativamente.
+
+
Osservazione
In tutti gli esempi illustrati avvengono delle interazioni tra cariche. Se facciamo un bilancio tra
cariche positive prima della reazione e dopo la reazione troviamo che:
il numero di cariche positive prima e dopo l’evento è sempre lo stesso;
il numero di cariche negative prima e dopo l’evento è sempre lo stesso.
Durante l’evento non si è creata nessuna nuova carica e nessuna carica è sparita.
Durante l’evento vi è stata una ridistribuzione delle cariche.
Principio di conservazione della carica
In un sistema isolato, la somma algebrica delle cariche elettriche si mantiene costante.
Cioè la quantità di carica positiva [negativa] prima di un evento è uguale alla quantità di carica
positiva [negativa] dopo l’evento.
Osservazione
La carica è una grandezza scalare.
Il campo elettrico
Il concetto di campo è un concetto che richiama un’azione a distanza, cioè alcuni corpi risentono
dell’influenza di alcuni corpi pur non venendo a contatto con essi. Cosa significa ciò? Possiamo
rispondere che:
alcuni corpi modificano le caratteristiche dello spazio loro circostante.
Tale perturbazione interagisce con altri corpi in grado di generare modifiche dello spazio loro
circostante.
Due cariche modificano lo spazio che e circonda, le due perturbazioni entrano in contatto e quindi
le cariche interagiscono tra loro.
Ricordiamo che più in generale un campo vettoriale è una schematizzazione dello spazio che
associa a ogni punto un vettore dello spazio stesso.
Definizione: si definisce campo elettrico un campo vettoriale generato da una quantità di carica
elettrica.
Quindi una carica elettrica che genera un campo elettrico modifica lo spazio ad essa circostante in
maniera tale che ad ogni punto è possibile associare un vettore che rappresenta la direzione, il verso
e l’intensità del campo elettrico in quel punto.
Se in una certa zona dello spazio vi è un campo elettrico in essa si stabiliscono azioni meccaniche di
attrazione o repulsione tra le varie cariche elettriche presenti nella zona stessa.
Per evidenziare l’esistenza di un campo elettrico è necessario porre una carica in una certa zona
dello spazio e osservare se essa subisce una forza.
Se la carica di prova subisce una forza attrattiva è presente un campo elettrico di segno opposto, se
l’azione è repulsiva il campo elettrico ha segno uguale alla carica di prova, se non subisce alcuna
azione non è presente alcun campo elettrico (a meno che la carica venga posizionata in un punto in
cui su di essa la somma algebrica delle interazioni sia nulla e rimanga in quiete).
Quindi il campo elettrico deve essere messo in evidenza da una carica di prova q .
Definizione: si definisce campo elettrico generato dalla carica Q in un punto P sulla carica di
r
prova q il vettore E definito dalla relazione:
r
r F
E=
q
[E ] =  F  =  N 
q
C 
r
dove F è la forza elettrica che si stabilisce tra la carica Q che genera il campo e la carica
esploratrice q .
r
Analiticamente l’espressione di F è data dalla legge di Coulomb, possiamo scrivere allora
1 Qq
F 4πε 0 d 2
1 Q
=
E= =
q
q
4πε 0 d 2
che possiamo scrivere anche
E=k
Q
d2
r
Riguardo il vettore E possiamo affermare:
direzione: è la retta che congiunge le due cariche Q e q .
verso: q si avvicina a Q se hanno cariche opposte (verso centrifugo) mentre q si allontana
da Q se hanno cariche uguali (verso centripeto).
Diamo ora la definizione di ε 0 .
Definizione: si definisce costante dielettrica quella grandezza fisica che descrive la capacità di un
mezzo materiale (detto anche
dielettrico) di lasciarsi attraversare da un campo
elettrico e quindi ridurre l’intensità del campo elettrico totale.
Essa rappresenta la “predisposizione” di un materiale a trasmettere un campo elettrico.
Vediamo ora di rappresentare graficamente il campo elettrico tenendo conto della natura delle
cariche.
Linee di campo
Osservazione importante (linee di campo)
Per qualsiasi grandezza vettoriale, quindi anche per un campo vettoriale è possibile rappresentare
con una curva l’andamento del vettore o del campo vettore vale:
in ogni punto della linea di campo il campo vettoriale ha direzione della tangente alla linea
stessa;
il verso si determinata sulla retta tangente (quella della direzione) proseguendo dal punto di
tangenza sulla retta tangente nel senso di percorrenza della linea di campo.
Illustriamo con un esempio quanto detto.
1. Sia dato un campo vettoriale descritto dalla curva rappresentata di seguito. La freccia indica
il verso in cui viene percorsa la linea di campo.
2. Consideriamo sulla linea un punto qualsiasi.
3. Tracciamo la tangente alla traiettoria per il punto considerato.
4. Dal punto considerato prolunghiamo il moto del punto lungo la tangente seguendo il verso
della linea di campo.
Questo vettore rappresenta il campo
vettoriale nel punto considerato.
Possiamo ripetere il procedimento sopra descritto per ogni punto della linea di campo. I vettori che
si trovano rappresentano il campo vettoriale nei punti.
Definizione: si definisce linea di campo per un campo vettoriale una curva per cui in ogni punto le
tangenti hanno la direzione del campo vettoriale e verso del campo nel punto di
tangenza.
Linee di campo per cariche positive e negativa
Data una carica puntiforme positiva adotteremo la convenzione che le linee di campo siano uscenti
nella carica assegnata in direzione radiale.
Data una carica puntiforme negativa adotteremo la convenzione che le linee di campo siano entranti
nella carica assegnata in direzione radiale.
L’interazione tra cariche avviene tramite la sovrapposizione dei rispettivi campi vettoriali, che sono
rappresentabili da linee di campo. Queste ultime, con la convenzione appena stabilita, permettono di
rappresentare l’interazione tra cariche elettriche.
2 cariche positive
2 cariche negative
1 carica positiva e 1 carica negativa
Osservare come nel caso di cariche uguali le linee di campo non si uniscono né si sovrappongono
per rappresentare la repulsione mentre nel caso di cariche opposte le linee di campo si uniscono per
rappresentare l’attrazione.
Le linee di campo elettrico inoltre sono proporzionali all’intensità della carica che genera il campo
elettrico. Date due cariche distinte dalla carica maggiore uscirà (o entrerà) un numero maggiore di
linee di campo, cioè la densità delle linee di campo è proporzionale all’intensità del campo elettrico.
Nei primi due esempi precedenti al centro, tra le due cariche, il campo elettrico è nullo (non vi è
alcuna linea di campo).
Nell’ultimo esempio invece al centro il campo elettrico è massimo (la densità delle linee di campo è
massima).
Osservazione: si faccia attenzione a non confondere la forza che si stabilisce tra due cariche e il
campo elettrico generato da una carica.
Definizione: data una superficie S sulla quale si distribuisce uniformemente una quantità di carica
Q si definisce densità superficiale σ di carica il rapporto
σ=
Q
S
[σ ] =  Q  =  C2 
S 
m 
Un campo elettrico si definisce uniforme in una certa regione del spazio se in ogni punto esso ha
sempre gli stessi:
direzione
verso
modulo
Definizione: si definisce condensatore piano la struttura costituita da due lastre piane, uguali e
parallele sulle quali è distribuita una carica uguale ma di segno opposto.
+Q
−Q
All’interno di un condensatore piano il campo elettrico è uniforme, infatti la densità delle linee di
campo è costante.
Notare come in corrispondenza dei bordi vi sia dispersione e le linee di campo presentino una
curva. Questo è un fatto caratteristico in corrispondenza di irregolarità delle superfici.
Flusso del campo elettrico
Come in precedenza introduciamo il concetto di flusso in generale.
Definizione: data una superficie piana S si definisce normale alla superficie la direzione
perpendicolare a tutte le rette appartenenti al piano assegnato.
Poiché lo stesso ragionamento può essere effettuato anche per al superficie inferiore del piano si
dovrà stabilire quale sia il verso per una normale alla superficie nel caso di un’area piana.
Per una solido o una superficie tridimensionale la normale alla superficie ha verso rivolto sempre
verso l’esterno della curvatura del corpo assegnato.
Nel caso di superficie che presentino curvatura la definizione precedente di perpendicolare alla
superficie si ottiene come segue:
consideriamo un elemento molto piccolo della superficie sferica tale
da poterlo approssimare con una sezione piana, su di essa si traccino
gli assi di un riferimento cartesiano
La freccia indica nel disegno la normale alla superficie
per l’elemento si area considerato.
Il disegno precedente illustra ancora il significato di normale alla superficie.
r
r
Definizione: dato un campo vettoriale V e una superficie S la cui normale sia n , si definisce
r
flusso del campo V attraverso al superficie S lo scalare
r
r r
Φ S V = V • n S = VS cos α
()
r
r
dove α è l’angolo formato dal campo vettoriale V con la normale alla superficie n .
Esempi
r
Sia data la seguente superficie S con la relativa normale n :
S
r
n
r r
Caso 1: V // n e concorde
S
r
n
r
r
Il flusso del campo vettoriale V è massimo attraverso la superficie S quando la direzione di V con
r
r
n forma un angolo nullo, cioè V è perpendicolare alla superficie S.
r r r
Φ S V = V • n S = VS cos(0) = VS
()
r r
Caso 2: V , n in posizione generica
S
r
n
r
r
Il campo vettoriale V forma con n un angolo α , il flusso è dato allora dalla formula:
r r r
Φ S V = V • n S = VS cos(0) = VS
()
r r
Caso 3: V ⊥ n
S
r
n
r
r
r
Il flusso del campo vettoriale V è nullo attraverso la superficie S quando la direzione di V con n
r
forma un angolo retto, cioè V è parallelo alla superficie S.
r
r r
π 
Φ S V = V • n S = VS cos  = 0
2
()
r r
Caso 4: V // n e disconcorde
S
r
n
r
r
r
r
La direzione di V è la stessa di n ma i versi son opposti, cioè V forma un angolo di 180°con n .
Allora:
r
r r
Φ S V = V • nS = VS cos(π ) = −VS
()
Il flusso del campo elettrico
Quanto detto in precedenza si applica ad un campo elettrico che attraversi una superficie. Vediamo
di determinare la dipendenza del flusso in relazione alle cariche presenti.
Situazione 1
Analizziamo il caso di un superficie cubica (area di ogni faccia del cubo S) immersa i un campo
elettrico uniforme E (ad esempio quello di un condensatore).
Consideriamo un campo elettrico uniforme tra le armature di un condensatore.
La normale alla superficie è diretta verso l’esterno della superficie cubica, quindi:
A
B
Consideriamo una vista dall’alto del condensatore con il cubo all’interno:
n2
2
n1
1
3 n3
4
n4
Consideriamo i singoli contributi delle superfici del cubo al flusso totale:
superfici superiore e inferiore (A e B del primo disegno), la basi del cubo hanno normale che
forma un angolo retto con la direzione del campo, cioè le basi sono parallele al campo
elettrico, quindi il flusso attraverso esse è nullo;
superfici laterali 2 e 4 (secondo disegno), anche per loro le rispettive normali n2 e n4 sono
perpendicolari con la direzione del campo (le superfici sono parallele al campo elettrico)
quindi il flusso attraverso esse è nullo;
superfici laterali 1 e 3 (secondo disegno), le rispettive normali n1 e n3 sono parallele alla
direzione del campo elettrico (le superfici sono parallele al campo elettrico) quindi il flusso
attraverso ognuna di esse da un contributo al flusso.
La normale n1 forma con il campo elettrico un angolo di 180° (infatti sono parallele e discordi)
mentre la normale n3 forma con il campo elettrico un angolo di 0° (infatti sono parallele e
concordi).
Quindi il flusso totale del campo elettrico attraverso la superficie del cubo vale:
Φ(E ) = Φ( A) + Φ (B ) + Φ(1) + Φ(2) + Φ(3) + Φ(4) = Φ(1) + Φ (3) = SE cos(180) + SE cos(0) =
= − SE + SE = 0
Quindi il flusso è nullo.
È possibile ripetere tale ragionamento per una superficie S qualunque.
S
Possiamo approssimare la superficie in tanti piccoli elementi piani di superficie e sommare tutti i
contributi al flusso portati dai singoli elementi superficiali.
Il risultato che si ottiene è sempre
Φ (E ) = 0
Possiamo generalizzare allora il risultato ottenuto.
Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualunque che non contiene
cariche è nullo
Consideriamo ora il caso di una superficie che contiene cariche al suo interno.
Analizziamo il caso di una sfera contenente una carica al centro.
+
Il campo elettrico sul bordo è costante, in quanto tutti i punti della superficie hanno distanza R dal
centro.
Se approssimiamo/suddividiamo la sfera in tanti elementi infinitesimi di superficie piana, la linea di
campo che consideriamo attraverserà il corrispondente elemento superficiale in maniera tale da
essere parallela e concorde alla normale alla superficie per la sezione superficiale considerata.
Quindi per ogni elemento di superficie si ha α = 0 .
Il flusso del campo elettrico è quindi la somma di tutti i flussi attraverso gli elementi superficiali
∆S1 , ∆S 2 , ∆S 3 ,..., ∆S n in cui è stata suddivisa la sfera.
Possiamo scrivere allora
Φ (E ) = E ⋅ ∆S1 + E ⋅ ∆S 2 + E ⋅ ∆S3 + ... + E ⋅ ∆S n = E ⋅ (∆S1 + ∆S 2 + ∆S 3 + ... + ∆S n ) =
= E⋅S =
1
Q
Q
4πR 2 =
2
4πε 0 R
ε0
La somma di tutti gli elementi superficiali
Il campo elettrico per punti
della sfera ∆S1 + ∆S 2 + ∆S 3 + ... + ∆S n da
equidistanti
come risultato la superficie stessa della
dalla
carica
posta centro è dato dalla
formula
sfera, cioè 4πR 2
1
Q
4πε 0 R 2
Tale risultato si può generalizzare al caso di:
superfici sferiche contenenti una o più cariche in posizione generica (cioè non al centro);
superfici generiche contenenti una o più cariche.
Possiamo ora enunciare il risultato generale.
Teorema di Gauss per il flusso del campo elettrico (nel vuoto).
r
Il flusso di un campo elettrico E attraverso una superficie chiusa S è dato dalla relazione
Φ S (E ) =
Dove
∑Q
∑Q
ε0
indica la somma algebrica delle cariche contenute nella superficie chiusa.
Osservazione
Se il campo elettrico non si trovasse nel vuoto per il teorema di Gauss si deve utilizzare la costante
dielettrica assoluta del mezzo al posto della costante dielettrica del vuoto:
Φ S (E ) =
∑Q
ε
Osservazione
Applichiamo il teorema di Gauss per calcolare il campo elettrico tra le lastre si un condensatore.
Consideriamo una superficie ideale avente una faccia immersa nel campo elettrico uniforme tra le
armature di un condensatore mentre l’altra sia esterna al condensatore.
Per quanto osservato in precedenza il flusso è nullo sulle superfici parallele alla direzione del
campo elettrico. La superficie A in grigio è perpendicolare al campo elettrico E (normale alla
superficie // direzione campo), mentre la superficie esterna non è immersa in un campo elettrico,
quindi il flusso del campo elettrico per essa è nullo.
L’unica superficie che da un contributo è A, allora per la superficie S possiamo scrivere:
Φ S (E ) = A ⋅ E
Per il teorema di Gauss il flusso attraverso S vale:
Φ S (E ) =
∑Q
ε0
Uguagliando tra loro i secondi membri abbiamo:
E⋅A=
∑Q
ε0
La superficie A intercetta una quantità di carica distribuita sulla lastra del condensatore che è data
dal termine
∑Q .
Ricordando la densità di carica superficiale σ =
Q
dove Q si riferisce alla quantità totale di carica
A
considerata.
Allora possiamo scrivere che
σ=
Q
Q = σA
A
Sostituendo la relazione appena trovata nella formula E ⋅ A =
E⋅A=
E=
∑Q
ε0
si ottiene
σA
ε0
σ
ε0
Campo elettrico all’interno
di un condensatore.
Moto di cariche in un campo elettrico uniforme
Consideriamo una particella q carica positivamente che si muova orizzontalmente di moto rettilineo
uniforme. Se ad un certo punto essa incontra (perpendicolarmente) nel suo cammino un campo
elettrico uniforme di un condensatore subirà:
una repulsione dalla lastra positiva
una attrazione dalla lastra negativa
+Q
+q
h = distanza verticale tra la
particella all’istante in cui
entra nel campo elettrico e
h
la lastra che la attira
−Q
Poiché sarà sottoposta all’azione della forza elettrica il moto lungo l’asse verticale sarà
uniformemente accelerato.
La forza verticale si ricava data dall’intensità del campo elettrico dalla relazione E =
F
, infatti:
q
(1).
F = qE
Dal punto di vista meccanico del moto poiché lungo l’asse verticale vi è una forza per il moto della
particella vale la seconda legge della dinamica.
(2)
F = ma
Poiché la (1) e la (2) esprimono la stessa forza possiamo uguagliare tra loro i secondi membri:
ma = qE
Da cui si ottiene
Accelerazione di una particella di
a=
qE
m
massa m che entra perpendicolarmente
in un campo elettrico E.
Poiché il moto è composto da:
1) moto rettilineo uniforme lungo l’asse delle x;
2) moto uniformemente accelerato lungo l’asse delle y.
Il moto risultante della particella all’interno del campo elettrico è un moto parabolico.
Detta vx la componente (costante) orizzontale della velocità, si ha
v y = − at = −
qE
t
m
Per lo spazio percorso possiamo scrivere:
s x = v x t


1 qE 2
s y = h − 2 m t
Osservazioni
Se la particelle non riesce ad uscire dal campo elettrico prima di giungere alla lastra negativa, essa
si deposita sull’armatura.
Per uscire dalla struttura il tempo del moto traslatorio per percorrere tutta la lunghezza del
condensatore deve essere inferiore al tempo necessario affinché la particela giunga sulla lastra che
la attira.
Se la particella esce dal campo elettrico avrà una velocità con direzione data dalla tangente alla
traiettoria parabolica nell’ultimo punto prima di uscire dal condensatore e intensità pari alla somma
delle componenti vx e v y nell’ultimo istante in cui è sottoposta all’azione del campo elettrico.
+Q
−Q
Il tempo di caduta della particella sulla lastra
La particella esce con velocità
avente direzione tangente all’ultimo
punto della traiettoria parabolica e
che la attira da un’altezza h è dato dalla formula
velocità v = v x2 + v 2y (i valori delle
2mh
t=
qE
componenti sono riferiti sempre
all’ultimo
istante
di
moto
parabolico).
(simile alla formula per al caduta di un grave, soltanto che qui si usa un’accelerazione diversa da
quella di gravità).
Osservazione
Analogie e differenza tra le forze associate al campo elettrico e al campo gravitazionale.
Forza elettrica
Formula
Analogie
F=
1
q1q2
4πε 0 d 2
F =G
m1m2
d2
La forza è direttamente proporzionale La forza è direttamente proporzionale
al prodotto delle cariche.
Analogie
Forza gravitazionale
al prodotto delle masse.
La forza è inversamente proporzionale La forza è inversamente proporzionale
al quadrato della distanza tra le cariche al quadrato della distanza tra le masse.
Analogie
La forza dipende da una costante di La forza dipende da una costante di
proporzionalità
Differenze
proporzionalità
La forza può essere attrattiva (cariche La forza tra masse è sempre attrattiva.
opposte) o repulsiva (cariche uguali).
Osservazione
La costante di proporzionalità nei due casi ha valori diversi, infatti:
1
4πε 0
è un valore molto grande, quindi permette di avere facilmente forze di intensità
notevole anche tra cariche non troppo grandi;
G è un valore vicino allo zero, quindi per avere forze di intensità notevole servono masse
molto grandi.
Esempio
Date due cariche di 1 C poste ad un metro di distanza, al forza elettrica vale
F =k
q1q2
= 9 ⋅ 109 N
d2
Per avere una forza della stessa intensità tra due masse uguali poste ad un metro di distanza
possiamo scrivere
F =G
m1m2
d2
9 ⋅ 109 = 6,67 ⋅ 10 −11 m 2
m 2 = 1,35 ⋅ 10 20
m = 1,35 ⋅ 10 20 = 1,16 ⋅ 1010 kg
Quindi ogni massa dovrebbe essere dell’ordine di grandezza di 1010 kg .