Mathematical Misconceptions international roject
Documento di lavoro n. 5
Finanziato della British Academy
Selezione di Carlo Marchini
Dipartimento di Matematica – Università di Parma.
Il ‘Rallye Mathématique Transalpin’ (RMT), è una competizione Matematica per classi. Nel corso
degli anni ha presentato problemi sul valore posizionale, sulla differenza tra cifra e numero. E’
interessante osservare che alcuni dei problemi su questi argomenti sono stati pensati per i gradi da 6
a 10 (cioè per le scuole secondarie di primo grado e per i primi due anni delle scuole secondarie di
secondo grado). In questo modo è possibile confrontare i risultati di tali problemi ‘superiori’
ottenendo una conferma che le misconcezioni relative al valore posizionale rimangono attive, anche
se nascoste, per un lungo tempo.
Ringrazio la collega Daniela Medici che mi ha indicato alcuni problemi, come un valido aiuto alla
attività di ricerca del sottogruppo italiano del progetto internazionale sulle misconcezioni. Ringrazio
inoltre Lucia Grugnetti, una dei due coordinatori internazionali del RMT, che mi ha trasmesso la
traduzione in Inglese di alcuni problemi.
Qui sono presentati, con alcune eccezioni problemi proposti fino alla categoria 5 (scuola primaria).
Ciascun problema è identificato con tre numeri: n°.X.m. Il primo, seguito dal circoletto ‘°’ indica il
numero ordinale dell’edizione del Rally, la cui prima edizione fu nell’anno scolastico 1992 – 93. Il
secondo numero (in numerale romano) si riferisce alla prova del rally. Ciascun anno vi sono tre
prove: la I e la II sono le batterie preliminari ed eliminatorie e la terza la prova finale. Il terzo
numero indica il numero del problema.
Il Titolo del problema è seguito dall’indicazione della classe (o delle classi) in cui assegnare il
problema.
La ARMT (Association du Rallye Mathématique Transalpin) ha il copyright per i problemi qui
riportati (e per tutti quelli usati durante la gara).
12°.I.1. I TRENI DI MARIA (Cat. 3) ARMT©
Maria ha molti vagoni; su ogni vagone è indicato un numero da 1 a 9.
9
3
1
4
8
2
5
6
7
Maria si diverte a formare treni di 2 vagoni, 3 vagoni, 4 vagoni, ...
Il numero scritto su un vagone deve essere sempre la metà di quello sul vagone che gli sta davanti.
Ecco un treno corretto che ha tre vagoni (2 è la metà di 4 che gli è davanti e 4 è la metà di 8 che gli
è davanti):
8
2
4
Questi altri due treni, invece, non vanno bene perché:
5 non è la metà di 8, 3 è la metà di 6, ma 6 non è la metà di 9
5
8
3
6
9
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Documento di lavoro n. 5
Finanziato della British Academy
Quanti treni può formare Maria in tutto?
Indicate chiaramente tutti i treni per essere sicuri che non ce ne siano altri.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Aritmetica: relazione tra due numeri, doppio e metà
- Ragionamento logico: elaborazione di un inventario completo
Analisi del compito
- Impadronirsi della regola di costruzione delle successioni: ci sono successioni di 2, 3, 4... numeri, ma una
successione di un solo numero non ha senso; in ciascuna successione tutti i numeri hanno una sola cifra (numeri
naturali inferiori a 10), ognuno vale la metà di quello che lo precede, ...
- Constatare che:
partendo da 1 si possono avere tre successioni: 1 - 2, 1 - 2 - 4, 1 - 2 - 4 - 8
partendo da 2 si possono avere due successioni: 2 - 4, 2 - 4 - 8
partendo da 3 si può avere solo: 3 - 6
partendo da 4 si può avere solo: 4 - 8
non si trovano numeri con questa proprietà nelle successioni che iniziano con 5, 6, 7, ...
Oppure:
- Trovare le successioni giuste di due numeri: 1 - 2, 2 - 4, 3 - 6, 4 - 8;
- a partire da queste individuare quelle di tre numeri e constatare che sono solo 1 - 2 - 4 e 2 - 4 - 8
- a partire da queste ultime dedurre che l’unica successione possibile di quattro numeri è 1 - 2 - 4 - 8
Attribuzione dei punteggi
4 Risposta giusta (le 7 successioni: 1 - 2, 2 - 4, 3 - 6, 4 - 8, 1 - 2 - 4, 2 - 4 - 8, 1 - 2 - 4 - 8 o tutte le precedenti esclusa 2
- 4 - 8) con spiegazione o procedimento organizzato che fa capire che non se ne possono trovare altre
3 Risposta giusta con spiegazione insufficiente
2 Da 4 a 5 successioni trovate, diverse da 2 - 4 - 8
1 Da 2 a 3 successioni trovate, diverse da 2 - 4 - 8
0 Incomprensione del problema oppure trovata solo 1 successione, diversa da 2 - 4 - 8
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Documento di lavoro n. 5
Finanziato della British Academy
12°.I.4. NUMERI CHE…NON BASTANO (Cat. 3, 4, 5) ARMT©
Il signor Attak deve incollare delle cifre sui 116 attaccapanni della palestra della scuola in modo da
numerarli da 1 a 116.
Prende con sé venticinque cartellini per ciascuna cifra da “0” a “9” e comincia con l’attaccare una
cifra “1” sul primo attaccapanni, poi una cifra “2” sul secondo, una cifra “3” sul terzo e così via.
Sul decimo attaccapanni il signor Attak incolla le cifre “1” e “0”, sull’undicesimo, incolla due cifre
“1”, ecc.
A un certo punto si rende conto che deve andare a prendere altre cifre “1” perché non ne ha più.
Quanti “1” dovrà ancora prendere il signor Attak per terminare il suo lavoro e numerare così
tutti gli attaccapanni fino al 116?
Scrivete la vostra soluzione e spiegate il vostro ragionamento.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Aritmetica: operazioni; numerazione (analisi delle scritture dei numeri da 1 a 116)
- Logica: capacità di organizzare una ricerca precisa su più di 100 numeri
Analisi del compito
- Comprendere che bisogna contare tutte le cifre “1” che compaiono nei numeri da 1 a 116
- Organizzare il conteggio:
scrivere tutti i numeri tra 1 e 116 e poi eliminare quelli che non contengono la cifra “1”
o scrivere solo i numeri che hanno la cifra “1” senza dimenticare che “1” può essere sia nelle unità che nelle decine
che nelle centinaia
o lavorare per raggruppamenti: 12 cifre “1” nelle unità (10 nei numeri da 1 a 91 e poi in 101 e 111); 17 cifre “1”
nelle decine (10 cifre “1” da 10 a 19 e 7 da 110 a 116); 17 cifre “1” nelle centinaia (da 100 a 116)
- Dedurre che servono in tutto 46 cifre “1” e che quindi il signor Attak ne deve prendere altre 21
Attribuzione dei punteggi
4 Risposta corretta (21 cifre “1”) con spiegazione dettagliata
3 Risposta corretta con spiegazione incompleta
o risposta 46 con spiegazione dettagliata
oppure ragionamento corretto che mostri chiaramente che tutte le cifre “1” sono state individuate, ma errore finale
nel loro conteggio (es.: 20 o 22)
2 Risposta corretta senza alcuna spiegazione o risposta errata dovuta chiaramente alla dimenticanza di qualche “1” (ad
esempio nelle centinaia, quindi risposta 4)
1 Inizio di ragionamento corretto
0 Incomprensione del problema o risposta errata senza alcun tipo di giustificazione
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Documento di lavoro n. 5
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12°.III.10. LA VALIGIA (Cat. 5, 6, 7, 8) ARMT©
Il papà di Andrea è sempre in viaggio per lavoro. La valigia che usa per i suoi spostamenti si può
aprire solo se egli compone sul meccanismo che regola la serratura, una sequenza di quattro cifre
che solo lui conosce.
Andrea è molto curioso e desidera scoprire questa combinazione misteriosa.
Il papà gli dà allora le seguenti indicazioni:
- la terza cifra a partire da sinistra è la somma delle altre tre cifre,
- la seconda e la quarta sono le sole cifre uguali.
- la somma di tutte le cifre è 12.
Le indicazioni del papà gli permettono sicuramente di aprire la valigia al primo tentativo?
Giustificate la risposta spiegando il ragionamento.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Aritmetica: numerazione e addizione
- Combinatoria
- Algebra: equazioni
Analisi del compito
- Capire dalla prima e dalla terza indicazione del papà che la terza cifra è la metà di 12 e quindi basta prendere in
esame le combinazioni ordinate tali che la somma della prima, seconda e quarta cifra sia 6: 0363, 2262, 4161 e 6060
Eliminare la terna 2262 e 6060 che non rispondono alla seconda indicazione del papà e conservare 0363, 4161 e
come combinazioni possibili.
- Oppure: procedere in modo sistematico, per esempio scrivendo tutte le combinazioni di quattro cifre che abbiano la
seconda e la quarta cifra uguali e che soddisfino alla prima indicazione.
Eliminare le combinazioni che hanno tre cifre uguali o due coppie di cifre uguali perché non soddisfano alla seconda
indicazione.
Effettuare la somma delle cifre per ciascuna delle combinazioni rimaste e rendersi conto che quelle che soddisfano
tutte le indicazioni sono: 0363 e 4161 (si osserva che le combinazioni 2262-6060 hanno 12 come somma delle cifre,
ma non soddisfano alla seconda condizione)
- Oppure: Procedere per tentativi organizzati, per esempio osservando che la terza cifra non può essere 0 né un
numero minore della seconda e della prima,…oppure ipotizzare che la seconda e la quarta cifra siano 0, 1,… e, di
conseguenza la somma delle altre due rispettivamente 12, 10, … .
- Oppure: Capire che, indicando con x ed y rispettivamente la prima e la seconda cifra, il numero cercato si presenta
sotto la forma x y (x+2y) y; per l’ultima indicazione deve essere 2x + 4y = 12 da cui x + 2y = 6; questa equazione ha
4 soluzioni nell’insieme dei numeri naturali: (0,3), (2,2); (4,1) e (6,0). Le soluzioni accettabili sono (0,3) e (4, 1),
quindi le due combinazioni possibili sono 0363 e 4161
- Rispondere No alla domanda, poiché ci sono due soluzioni.
Attribuzione dei punteggi
4 Risposta corretta (No), con l’indicazione delle due possibili combinazioni (0363 e 4161) e spiegazione chiara del
procedimento
3 Risposta corretta con l’indicazione delle due possibili combinazioni (0363 e 4161), ma procedimento poco chiaro o
incompleto, oppure le due combinazioni possibili con spiegazione chiara ma assenza della risposta esplicita No
2 Risposta errata (Sì) con l’indicazione di una sola combinazione corretta, ma con spiegazione
oppure risposta 2262 o 6060 che tiene conto solo parzialmente della seconda indicazione con spiegazione
1 Inizio di ricerca oppure determinazione di una combinazione corretta ma senza spiegazione oppure la sola risposta
“No” senza alcuna spiegazione
0 Incomprensione del problema
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12°.I.3. NUMERO SCONOSCIUTO (Cat. 3, 4) ARMT©
Tommaso ha due numeri, di una sola cifra, scritti ciascuno su un gettone:
?
?
Tommaso si accorge che:
- quando addiziona questi due numeri, ottiene 11;
- se mette i due gettoni uno vicino all’altro, legge un numero di due cifre;
- quando scambia di posto i due gettoni, legge un secondo numero di due cifre che è più piccolo
del primo;
- la differenza tra il primo numero di due cifre e il secondo numero di due cifre (ottenuto
scambiando di posto le cifre) è 45.
Qual è il primo numero di due cifre che ha letto Tommaso?
Spiegate come avete fatto a trovarlo.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Aritmetica: operazioni (addizioni e sottrazioni); numerazione (significato dei termini “cifra” e “numero”, valore
posizionale delle cifre)
- Logica: organizzazione della ricerca di tutte le coppie
Analisi del compito
- Comprendere che i due numeri di una cifra la cui somma è 11 possono essere 2 e 9, 3 e 8, 4 e 7, 5 e 6 (a+b=11)
- Comprendere che, se si mettono accanto i due gettoni, si possono leggere di volta in volta i numeri 29 o 92, 65 o 56,
83 o 38, 47 o 74
- Poiché la prima disposizione dà un numero più grande (a>b), le coppie sono, nell’ordine prima - seconda: 92 e 29;
83 e 38; 74 e 47; 65 e 56
- Cercare tra queste le coppie in cui la differenza tra il primo e il secondo numero è 45 (ab - ba = 45) e verificare che
c’è un’unica soluzione: 83 - 38
- Concludere che 83 è il numero cercato
Oppure:
Aggiungere 45 ai numeri di due cifre del tipo ba con a+b=11 e a>b e dedurne che il numero cercato, di forma ab, è
83.
Oppure:
Procedere per tentativi successivi, scegliendo una coppia e andando a vedere se sono soddisfatte le richieste;
continuare fino a trovare la coppia giusta senza verificare se ci sono altre soluzioni.
Attribuzione dei punteggi:
4 Risposta giusta 83, con procedimento esplicito e completo (con tentativi organizzati che portano alla scoperta della
prima copia che soddisfa alle condizioni, senza esigere il controllo di tutte le altre copie)
3 Risposta 38 con procedimento esplicito e completo
oppure 83 con spiegazione ma senza controllo
oppure risposta “3 e 8” o “8 e 3” con procedimento esplicito e completo riferito a 38 o a 83 ma pensando che si
chieda le cifre scritte sui gettoni
2 Risposta 83 con spiegazione assente o non esplicita o molto incompleta o con solo verifica
1 Risposta 38 (o “3 e 8” o “8 e 3”) con spiegazione assente o non esplicita o incompleta
0 Ogni altra risposta o incomprensione del problema
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6°.I.3. NUMERI SCONOSCIUTI (Cat. 3,4) ARMT©
0
7
9
3
5
8
3 6
Utilizzando tutte le carte, una sola volta ciascuna, dovete formare dei numeri in modo che:
- siano compresi tra 25 e 62
- due di loro non siano mai consecutivi (cioè la loro differenza sia sempre maggiore di 1).
Quali sono questi numeri?
Spiegate come li avete trovati.
ANALISI A PRIORI
Campo concettuale:
- Numerazione
- valore posizionale delle cifre
- relazione d'
ordine
Analisi del compito :
- Pensare alle possibili combinazioni (ai possibili abbinamenti) delle otto cifre,
- Fare una tabella o una lista di decine e unità,
- Eliminare le coppie impossibili.
Attribuzione dei punteggi:
4 I quattro numeri giusti (37, 39, 58, 60) con spiegazione sulla maniera di trovare le unità e le decine. Per esempio, 7,
8 e 9 non possono essere cifre delle decine perché i numeri sono minori di 63. Se oltre a tutto ciò è data anche la
soluzione con il sei o il nove capovolti dare il BONUS.
3 I quattro numeri giusti senza spiegazione
2 quattro numeri che non rispettano uno dei criteri (ad esempio quello di non essere consecutivi
1 solo due o tre numeri
0 incomprensione del problema
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8°.III.8. DATE PARI (cat. 5, 6) ARMT©
Pietro, nel ricevere il 2 febbraio del 2000 i problemi della prima prova dell’8° RMT, osserva:
“ La busta è datata 02.02.2000. Tre numeri pari! Formati da sole cifre pari. Questa è veramente
una data pari! Mi sembra che sia molto tempo che non abbiamo avuto una data di questo genere. ”
E voi, che pensate delle affermazioni di Pietro?
Qual è l’ultima data, prima del 02.02.2000, composta da tre numeri pari (giorno, mese, anno
intero), formati essi stessi solamente da cifre "pari"?
Indicate come avete trovato questa data.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale:
-
Numerazione
-
Combinatoria
Analisi del compito:
-
Comprendere che la data deve essere espressa solo con cifre pari e che bisogna dunque eliminare le cifre dispari
-
Verificare che nell’anno 2000, non si può scegliere una data di gennaio (01) e che 02.02.2000 è la prima di
quest’anno
-
Constatare che nessun’altra data precedente del secondo millennio (da 1901 a 2000) è accettabile a causa della
presenza dell’1 nelle migliaia dell’anno.
-
Risalire al primo millennio per trovare che il 10° secolo non va bene (per la presenza del 9 nelle centinaia dell'
anno)
e che si deve cercare nel nono secolo (anni da 801 a 900)
-
Accorgersi che il 28.08.888 è l’ultima “data pari " prima del 02.02.2000.
Attribuzione dei punteggi:
4
Risposta corretta (28.08.888) con giustificazione
5
Rsposta corretta, senza giustificazione o la data 08.08.888 con giustificazione
6
Una data vicina a 28.08.888 (ma diversa da 08.08.888) con spiegazione
7
Una data che non tiene conto di tutte le condizioni (per esempio 08.08.88, con "88" per 1988)
8
incomprensione del problema
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11°.III.7. LE CANDELINE (Cat. 5, 6) ARMT©
Silvia ha preparato una torta di frutta per celebrare il compleanno di
suo padre, che proprio oggi compie 85 anni.
«To’» dice Silvia «potrei utilizzare le stesse due candeline numerate,
per la torta che preparerò per festeggiare il mio compleanno alla fine
del mese!».
Era già successo che per la torta di Silvia e per quella di suo
padre potessero essere utilizzate le stesse due candeline
numerate? Potrebbe succedere di nuovo?
Spiegate il vostro ragionamento e indicate le età di Silvia e di suo
padre per le quali le due torte di compleanno possono avere le
stesse candeline numerate.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale:
- Aritmetica: sottrazione, valore posizionale delle cifre
- Ragionamento: organizzazione di una strategia per trovare tutte le possibilità
Analisi del compito:
- Osservare e capire che Silvia ha 58 anni e che manterrà sempre la differenza di 27 anni dal padre;
- Mettere in evidenza (in grassetto nella tabella seguente) la corrispondenza delle età di Silvia e di suo padre e
identificare le età nelle quali le cifre sono le medesime, scambiare (a partire da 0 e 27 o a partire da 58 e 85):
Silvia
0
3
14
25
36
47
...
56
57
58
59
...
69
80
padre
27
30
41
52
63
74
...
83
84
85
86
...
96
107
oppure constatare che il fenomeno si riproduce con un intervallo di 11 anni; (14 ;41), (25 ;52), (36 ;63), (47 ;74),
(58 ;85), (69 ;96).
Escludere (3 ;30) che utilizzerebbe una sola candelina su una delle due torte.
Attribuzione dei punteggi
4 Risposta corretta con le 5 combinazioni (o 6 se si considera anche la combinazione data), accompagnata da una
spiegazione dettagliata (per esempio con una tabella)
3 Risposta corretta con le 5 combinazioni (o 6) senza spiegazione
oppure 4 combinazioni (o 5 con la vecchia) corrette o tutte le combinazioni con anche (3 ; 30), con spiegazioni
dettagliate
2 3 o 4 combinazioni (o rispettivamente 4 o 5 con la vecchia) corrette senza spiegazioni; oppure 2 combinazioni con
spiegazione
1 Inizio di ricerca organizzata con una combinazione trovata
0 Incomprensione del problema
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11°.I.2. IL VECCHIO CONTACHILOMETRI (Cat. 3, 4) ARMT©
Alfonso ha sulla sua automobile un vecchio contachilometri che fa degli strani rumori a ogni
chilometro, ogni volta che compare una nuova cifra. Il contachilometri
- fa “cric” ogni volta che cambia la cifra di destra,
- fa “crac” ogni volta che cambia la cifra di mezzo,
- fa “rrmt” ogni volta che cambia la cifra di sinistra.
Oggi Alfonso va a fare una gita in automobile.
Egli mette a zero il suo contachilometri:
0
0
0
Ecco il contachilometri dopo 13 chilometri.
Ha già fatto 14 rumori: 13 “cric” e 1 “crac”:
0
1
3
Al suo ritorno, il contachilometri segna 127 chilometri:
1
2
7
Quanti rumori ha sentito in tutto Alfonso durante la sua gita in automobile?
Spiegate come li avete trovati e dite quanti “cric” quanti “crac”e quanti “rrmt” ha sentito
Alfonso.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale:
- Aritmetica: numerazione, differenza tra numero e cifra, regolarità
Analisi del compito:
- Comprendere il funzionamento dell’oggetto “contachilometri”, nel senso di passare dall’oggetto meccanico alla
successione dei numeri naturali scritti con tre cifre.
-
Scrivere i primi numeri 001, 002, 003, 004, .… e contare i cambiamenti, poi constatare che da 009 a 010 ci sono due
cambiamenti, un “cric” e un “crac”.
-
Andando avanti verificare i rumori dello 013 dell’esempio, poi continuare, evidenziando la regola <<ogni decina, 11
rumori>>.
- Passare il centinaio aggiungendo un rumore, “rrmt”, alla regola precedente.
- Effettuare il conto finale: 127 “cric”, 12 “crac” e 1 “rrmt”, cioè 140 rumori;
oppure: comprendere che i “cric” sono 127, tanti quante le unità; i “crac” sono 12, quante le decine, gli “rrmt” sono
1, come le centinaia e quindi trovare 140 rumori in tutto
Attribuzione dei punteggi:
4 Risposta corretta e completa con l’indicazione di tutti i rumori (140, 127, 12 e 1) e qualche spiegazione (disegno di
tutti i numeri, successione 11, 22, 33, 44, …, 99, 110, …)
3 Risposta corretta e completa senza spiegazione o risposta 140 con spiegazione ma senza distinzione dei differenti
rumori
2 Risposta con un solo errore di calcolo o di conteggio
1 Risposta 127 o 139 o 128 per aver dimenticato le decine e/o le centinaia oppure inizio di ragionamento corretto
0 Incomprensione del problema
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11°.I.9. IL VECCHIO CONTACHILOMETRI (Cat. 5, 6) ARMT©
Alfonso ha sulla sua automobile un vecchio contachilometri che fa degli strani rumori a ogni
chilometro, ogni volta che compare una nuova cifra. Il contachilometri
- fa “cric” ogni volta che cambia la cifra di destra,
- fa “crac” ogni volta che cambia la cifra di mezzo,
- fa “rrmt” ogni volta che cambia la cifra di sinistra.
Oggi Alfonso va a fare una gita in automobile.
Egli mette a zero il suo contachilometri:
0
0
0
Ecco il contachilometri dopo 13 chilometri.
Ha già fatto 14 rumori: 13 “cric” e 1 “crac”:
0
1
3
Alla fine della gita, Alfonso ha sentito in tutto 140 rumori.
Quanti chilometri ha percorso Alfonso?
Spiegate come li avete trovati.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale:
- Aritmetica: numerazione, differenza tra numero e cifra
Analisi del compito:
- Comprendere il funzionamento dell’oggetto “contachilometri”, nel senso di passare dall’oggetto meccanico alla
successione dei numeri naturali scritti con tre cifre.
-
Scrivere i primi numeri 001, 002, 003, 004, .… e contare i cambiamenti, poi constatare che da 009 a 010 ci sono due
cambiamenti, un “cric” e un “crac”.
-
Andando avanti verificare i rumori dello 013 dell’esempio, poi continuare, evidenziando la regola <<ogni decina, 11
rumori>>
-
Osservare che ogni chilometro corrisponde ad un “cric” e costruire eventualmente una tabella del tipo:
« cric » o km
1
... 10
11
...
13
...
20
...
30 100 110 120
« crac »
0
...
1
1
...
1
...
2
...
3
10
11
12
« rrmt »
0
...
0
0
...
0
...
0
...
0
1
1
1
totale
1
11
12
...
14
...
22
...
33 111 122 133
e notare che a questo punto i rumori sono 120 + 12+ 1 = 133 e che quindi mancano ancora 7 “cric” per ottenere 140.
In definitiva si hanno 127 “cric”, cioè 127 km.
Oppure procedere con altri tentativi organizzati (per decine, per centinaia, per gruppi di 11 rumori, ...)
-
Attribuzione dei punteggi:
4 Risposta corretta (127) con spiegazione (tabella o tentativi effettuati)
3 Risposta corretta con solo verifica
2 Risposta vicina a 127, con un errore di conto oppure risposta corretta senza spiegazione
1 Inizio di ricerca organizzata
0 Incomprensione del problema
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13°.I.7. LA TARGA DELL’AUTO (Cat. 4, 5, 6) ARMT©
La polizia cerca l’auto di un ladro.
- un primo testimone ha osservato che il numero della targa è formato da cinque cifre, tutte
differenti.
- un secondo testimone ricorda che la prima cifra è 9,
- un terzo testimone ha notato che l’ultima cifra è 8,
- un quarto testimone, che ha 22 anni, ricorda che la somma delle cinque cifre della targa è uguale
alla sua età.
Quale può essere il numero della targa dell’auto che la polizia cerca?
Scrivete tutte le possibilità e spiegate come le avete trovate.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale:
- Aritmetica: addizione
- Logica: combinatoria
Analisi del compito:
- Comprendere che la somma delle tre cifre deve essere 5 = 22 _ (9 + 8). Cercare le possibili scomposizioni di 5 come
somma di 3 termini diversi e trovare le 12 combinazioni realizzabili con queste scomposizioni.
- Scrivere i 12 numeri della targa possibili:
9 014 8, 9 041 8 , 9 104 8 , 9 140 8 , 9 401 8 , 9 410 8 , 9 023 8 , 9 032 8 , 9 203 8 , 9 230 8 , 9 302 8 , 9 320 8.
Attribuzione dei punteggi:
4 I 12 numeri possibili (90148, 90418, 91048, 91408, 94018, 94108, 90238, 90328, 92038, 92308, 93028, 93208), con
spiegazione o tabelle
3 I dodici numeri possibili, senza spiegazioni,
oppure le 12 combinazioni possibili con le tre cifre centrali (014, 041, 104, 140, 401, 410, 023, 032, 203, 302, 230,
320) ma dimenticanza del 9 all’inizio e dell’8 alla fine di ciascun numero, con spiegazione,
o dimenticanza di 1 o 2 numeri o 12-13 risposte con 1o 2 numeri ripetuti con spiegazioni
o non rispetto della consegna delle cifre tutte diverse, con le nuove 9 soluzioni che vengono di conseguenza: 005,
050, 500, 311, 131, 113, 221, 212, 122, con spiegazione
2 Dimenticanza da 3 a 5 numeri o 12 e più risposte dove da 3 a 5 numeri sono sbagliati o ripetuti
o non rispetto della consegna di cifre tutte differenti, con le 9 nuove soluzioni che vengono di conseguenza: 005,
050, 500, 311, 131, 113, 221, 212, 122, con o senza spiegazioni
1 Meno di 7 numeri trovati, con o senza spiegazione
0 Incomprensione del problema
Mathematical Misconceptions international roject
Documento di lavoro n. 5
Finanziato della British Academy
10°.I.3. CACCIA AL TRE (Cat 3, 4, 5) ARMT©
Isidoro sta scrivendo la successione dei numeri a partire da 1:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...
Ad un certo punto Isidoro scrive la cifra 3 per la venticinquesima volta.
Quale numero sta scrivendo Isidoro a quel punto?
Mostrate come lo avete trovato.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale:
- Numerazione: distinzione fra cifra e numero
Analisi del compito:
- Capire che si deve contare quante volte compare la cifra 3 nella successione dei numeri.
- Organizzare le ricerca: scrivere la successione dei numeri oppure scrivere solo i numeri contenenti la cifra 3 oppure
procedere esaminando successivamente le diverse decine.
Fermarsi al numero che contiene la venticinquesima cifra 3.
Attribuzione dei punteggi:
4 Risposta corretta (131) con la presentazione chiara della ricerca effettuata
3 Risposta corretta con presentazione poco chiara della ricerca
2 Risposta 131 senza alcun’altra indicazione oppure risposta con un errore nel conteggio (130, 132) con
presentazione della ricerca oppure inizio organizzato della ricerca con almeno 20 volte la cifra 3, ma la successione
non è completa
1 Ricerca incompleta e non organizzata oppure risposta 130 o 132 senza alcun’altra indicazione
0 incomprensione del problema
Mathematical Misconceptions international roject
Documento di lavoro n. 5
Finanziato della British Academy
10°.I.6. IL PRODOTTO PIÙ GRANDE (Cat. 4, 5) ARMT©
Clara ha questi sei cartoncini:
x
1
4
2
5
3
Utilizzando i cartoncini con le cifre, Clara forma due numeri.
Tra questi numeri sistema il cartoncino con il segno di moltiplicazione.
Come deve disporre i cartoncini Clara per ottenere il prodotto più grande possibile?
Scrivete tutti i vostri calcoli.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale:
- Aritmetica : confronto di numeri, ordine di grandezza
Analisi del compito:
- Osservare che si ottengono i prodotti più grandi se uno dei fattori comincia con la cifra 5 e l’altro con la cifra 4.
- Capire che sono possibili due tipi di prodotti:
i prodotti nei quali uno dei fattori è un numero con tre cifre e l’altro un numero con due cifre, e ancora i prodotti nei
quali uno dei fattori è un numero con quattro cifre e l’altro un numero ad una cifra.
- Calcolare i prodotti suscettibili di fornire la soluzione :
532 x 41 ; 531 x 42 ; 521 x 43 ; 432 x 51 ; 431 x 52 ; 421 x 53 poi 5 x 4321 e 4 x 5321;
dedurre che 431 x 52 = 22412 è la soluzione richiesta.
Attribuzione dei punteggi:
4 Risposta corretta (431 x 52 = 22412) con presentazione e confronto degli otto prodotti suscettibili di fornire la
soluzione
3 Risposta corretta con presentazione e confronto di almeno quattro tra i prodotti suscettibili di fornire la soluzione
2 Risposta corretta senza alcuna presentazione di calcoli oppure risposta errata dovuta ad un errore di calcolo ma con
presentazione degli altri calcoli
1 Inizio di ricerca ma i prodotti interessanti non sono stati trovati e la risposta è minore di 20000
0 Incomprensione del problema
Mathematical Misconceptions international roject
Documento di lavoro n. 5
Finanziato della British Academy
5°.I.8. IL TELEFONO (Cat. 5, 6, 7) ARMT©
Il mio numero di telefono si compone di cinque cifre.
Quando si considerano le cifre del numero di telefono come numeri, la loro somma è 27.
Il primo numero è uguale al quinto.
Il quarto è uguale al triplo del primo.
Il terzo è uguale al quadruplo del primo.
Qual è il mio numero di telefono?
C’è più di una soluzione?
Spiegate il vostro ragionamento
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale:
- Numerazione, Aritmetica elementare, Combinatoria
Analisi del compito:
- Trovare alcune scomposizioni possibili di 27 come somma di 5 termini.
- Fare un inventario sistematico delle possibilità, tenendo conto delle condizioni fornite dai dati.
- Eliminare la cifra 1 al primo posto perché comporta che la seconda cifra maggiore di 10.
- Eliminare le soluzioni aventi la prima cifra maggiore o uguale a 3, perché comportano la quarta cifra maggiore di
10.
- Considerare la sola soluzione possibile: 29682
Attribuzione dei punteggi:
4 Risposta corretta con giustificazione
3 Risposta corretta senza giustificazione
2 Risposta che rispetta la consegna ma che fa intervenire ‘cifre’ di due cifre (ad esempio 309123)
1 Risposta errata ma con cifre la cui somma sia 27
0 Incomprensione del problema.
Mathematical Misconceptions international roject
Documento di lavoro n. 5
Finanziato della British Academy
Aggiungo un problema pensato per una categoria più alta, ma che è, a mio parere opportunamente
modificabile classi di scuola elementare ed è in sintonia con altre attività proposte dal progetto
internazionale.
Il problema lo riporto nella versione originale. Potrebbe essere interessante confrontarsi sulle
modifiche da apportare per renderlo adatto alla scuola elementare.
11°.II.14. IL NUMERO AMPUTATO (Cat.7, 8) ARMT©
In una gara matematica, viene presentato ai partecipanti il numero seguente:
123456789101112131415161718192021…394041424344454647484950
Si domanda loro di cancellare 70 cifre di questo numero in modo da ottenere il numero, amputato,
più grande possibile con le cifre che restano, senza modificare il loro ordine.
Tra i partecipanti, solo la piccola Genia ha trovato questo numero.
Scrivete tutte le cifre di questo numero amputato e spiegate come ha fatto Genia per trovarlo.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale:
- Aritmetica: numerazione e confronto
Analisi del compito:
- Osservare il numero dato e capire che ci sono 9 + (41 x 2) = 91 cifre oppure scrivere tutte le cifre. Capire poi che il
problema consiste nello scegliere le 70 cifre da cancellare, per conservarne solo 21.
- rendersi conto che, tra i numeri di 21 cifre, il più grande è composto solo da cifre 9, ma che, nel caso di questo
problema, bisogna accontentarsi di quello che ha il maggior numero possibile di cifre 9, all’inizio del numero.
- Capire allora che bisogna cancellare successivamente le prime 8 cifre, lasciare la cifra 9, cancellare la successione di
cifre « 10111213...1617181 » (ce ne sono 19) e conservare la cifra 9 (di « 19 ») risparmiare il 9, cancellare la
successione delle cifre « 2021222324...27282 » (ce ne sono di nuovo 19) e conservare il « 9 » (di « 29 »), etc.
- Calcolare che, arrivando alla cifra 9 di « 39 », sono già stati cancellate 8 + (3 x 19) = 65 cifre e che ne rimangono da
cancellare solo 5, cosa che non consente di arrivare alla cifra 9 di « 49 ». Resta ora il numero 9999404142434445...
- Capire che Genia ha trovato la sua soluzione cancellando ancora le quattro cifre « 0 », « 1 », « 2 », « 3 » - il cui
“valore” è inferiore a 4 – che appaiono dopo la sequenza « 9999 » e una delle cifre « 4 » che si trova dopo tale
sequenza.
- Indicare il numero amputato più grande possibile: 999944444454647484950.
Attribuzione dei punteggi:
4 Risposta corretta (999944444454647484950) con spiegazione del ragionamento (ad esempio le diverse tappe della
ricerca)
3 Risposta corretta senza spiegazione
oppure risposta di 21 cifre che comincia con le quattro cifre « 9 », ma che presenta poi 1 o 2 cifre cancellate mal
scelte, ma con spiegazione coerente
2 Risposta di 21 cifre che comincia con le quattro cifre « 9 », ma che presenta poi 1 o 2 cifre cancellate mal scelte, ma
senza spiegazione
oppure risposta “ottimale” di 20 o 22 cifre con spiegazione (errore di una cifra nel conteggio)
1 Risposta che tiene conto solo delle quattro cifre « 9 » all’inizio, senza poi la ricerca del numero amputato più grande
oppure solo 3 cifre 9 e qualche altra cifra
0 Incomprensione del problema