IL NUMERO
…qualche idea…
Michele Picotti
Liceo Pedagogico e delle Scienze Sociali
Carlo Montanari
Verona
Da dove partire?
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•
•
•
Storia
Etologia
Forme
Contare
Numerazioni
Idea intuitiva
Definizione formale
Un po’ di storia
• Gli animali sanno «contare»?
• I numeri delle popolazioni primitive
N = {1; 2; MOLTI}
+
1
2
M
1
2
M
M
2
M
M
M
M
M
M
M
E se provassimo a sottrarre?
L’aritmetica dei Greci
• Manca un segno che indichi zero
• Sviluppo modesto dell’aritmetica:
mancano simboli appositi per le cifre.
= 1
 = 30
=2
=3
 = 200
=30+2=32
=4
I Romani
Sistema di numerazione additivo sottrattivo:
quando una cifra “piccola” precede una cifra
“grande” occorre sottrarre anziché sommare.
Lo zero
Arriva dal lontano oriente
sunga: termine indiano che letteralmente
significa «vuoto»
tradotto con
as sifr dagli arabi
cifra in Italia: la cifra per eccellenza
Nirvana
L’annullamento, uno dei capisaldi della
dottrina Buddhista
vuoto

mancanza di oggetti

mancanza di grandezze
Il bisogno di andare oltre N

|

0
0,5
1
N
• Egiziani
• Sumeri
• Arabi
|
1,25
Qa
|

7/4 2
|
19/11

3
rQrNa

-2

-1
N
• Arabi
Z



0
1
2
rZ
Analisi delle operazioni nei
diversi insiemi numerici
• In N
+,x
–, :
sempre lecite
no!
• In Z
+ , x, – sempre lecite
:
no!
Z amplia N
• In Qa
+ , x , : sempre lecite
–
no!
Qa amplia N
• In Q
+ , x , : , – sempre lecite
Q amplia N
Q amplia Qa
• Che operazione resta fuori?
La densità in Q


2
5
?
2 3

5 4  23
2
40

3
4
rQ


2
5
|
23
?
40
23 3

40 4  63
2
8

3
4
rQ
• Ma allora TUTTI i numeri trovano posto
sulla retta dei numeri razionali?
• Ciò è quanto credevano i pitagorici….
Per il Teorema di Pitagora
1 1  2
2
2
• Dal punto di vista geometrico quella
intersezione tra arco di circonferenza e rQ
esiste.
• Dal punto di vista aritmetico un punto
su rQ non c’è.
Non esiste un numero razionale:
m
 2
n
2
Oltre Q verso R
• La continuità:
cosa significa intuitivamente che una linea è
continua?
Numeri con la virgola (Qa)
• Numeri con una quantità finita di cifre
dopo la virgola
• Numeri con una quantità infinita di cifre
dopo la virgola che si ripetono con
regolarità (periodici)
1,034  1,03434343434343...
• Numeri che hanno infinite cifre dopo la
virgola ma che non si ripetono con
regolarità:
non si ottengono dividendo tra loro due
naturali o due razionali.
Si indicano con simboli:
,
2,
5
3, 1,34 , 23,945
Senza questi la semiretta r dei numeri
“non si riempie”!
E’ densa ma non continua
La numerazione posizionale
• Esiste una cifra per indicare l’assenza di
elementi
• Una cifra cambia di valore a seconda della
posizione che occupa
• Il numero delle cifre usate indica la BASE
Nome
Zero
Uno
Due
Tre
Quattro
Cinque
Sei
Sette
Otto
Base Base Base Base
dieci due
cinque dodici
0
0
0
0
1
1
1
1
2
10
2
2
3
11
3
3
4
100
4
4
5
101
10
5
6
110
11
6
7
111
12
7
8 1000
13
8
Nome
Nove
Dieci
Undici
Dodici
Tredici
Quattordici
Quindici
Sedici
Cento
Base Base
Base Base
dieci due
cinque dodici
9
1001
14
9
10
1010
20
A
11
1011
21
B
12
1100
22
10
13
1101
23
11
14
1110
24
12
15
1111
30
13
16 10000
31
14
100 110100
400
84
Le «forme» dei numeri
(Pitagora)
25 = 1+3+5+7+9
36 =……………
• Un numero n al quadrato è uguale alla
somma dei primi n dispari consecutivi
• Ogni numero dispari nasce dalla differenza
dei quadrati di numeri consecutivi
Numeri triangolari
Ogni numero triangolare è della forma
n( n  1)
2
n(n  1)
2
I numeri primi
• Sono i numeri divisibili esattamente per due
numeri
• Sono infiniti?
• Non è ancora stata formulata una legge
che descriva tutti i numeri primi
• 1 è numero primo?
Il crivello di Eratostene (III sec. A.C.)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
La congettura di Goldbach
Ogni numero pari maggiore di 2 è uguale alla
somma di due numeri primi
4 = 2+2
12 = 7+5
6 = 3+3
8 = 5+3 10 = 7+3
14 = 11+3 16 = 11+5
……