Il sistema di rappresentazione posizionale
permette di rappresentare tutti i numeri,
comunque grandi, mediante un insieme di
pochi simboli, chiamati CIFRE che
assumono significato diverso secondo la
posizione che essi occupano.
Questo sistema di rappresentazione venne
inventato dagli Indù e venne poi
introdotto in Europa dagli arabi.
Nel sistema posizionale a base dieci si
hanno DIECI CIFRE che rappresentano
i numeri:
0 (zero)
1 (uno)
4 (quattro) 5 (cinque)
8 (otto)
9 (nove)
2 ( due )
6 (sei)
3 (tre)
7 (sette)
Al numero che , nella successione
ordinata dei numeri interi assoluti,viene
dopo il nove (il dieci ), non si attribuisce
un simbolo nuovo .
Esso viene rappresentato mediante due
dei dieci simboli già prefissati, scrivendo:
10
Così mentre la cifra 1, scritta da sola,
rappresenta l’unità, seguita dalla cifra 0
viene a rappresentare la somma di dieci
unità, cioè una decina .
I numeri successivi al dieci, si rappresentano
sommando via via una unità al numero
rappresentato dalla cifra di destra:
11 , 12 , 13 ,14 ,……..,19
Aggiungendo ancora un’unità alla cifra di
destra, si ottiene una decina che sommata
alla decina rappresentata dalla cifra 1 alla
sinistra di 9 dà due decine , che indicheremo
con la scrittura :
20
Si procede così fino al novantanove (99).
Aggiungendo ancora un’unità si
ottengono dieci decine (un centinaio ) che
si rappresenta con la cifra 1 seguita da
due zeri.
100
In questo modo si procede per
rappresentare numeri sempre più grandi.
E ‘ chiaro così il significato del nome
POSIZIONALE per questo tipo di
rappresentazione numerica:
le cifre che si usano per scrivere un
numero non hanno un significato
intrinseco, ma assumono diversi
significati secondo la posizione che
occupano.
Il sistema posizionale descritto, si dice a
BASE DIECI poiché ogni cifra posta in
una certa posizione, rappresenta il
numero di gruppi di dieci unità
dell’ordine immediatamente inferiore
(cioè di quelle che si scrivono alla sua
destra).
ESEMPIO
3
2
1
0
1249  1 10  2 10  4 10  9 10 
 1000  200  40  9
L’aver scelto proprio DIECI CIFRE per
rappresentare i numeri in forma
posizionale non ha nessuna necessità
logica. Qualsiasi numero di cifre, purché
maggiori di uno , andrebbe benissimo dal
punto di vista teorico.
Su tutti i tipi di base è prevalsa
sicuramente la base DIECI perché dieci
sono le dita delle mani dell’uomo, e
contare le dita è sempre stato d’aiuto.
Supponiamo di scegliere la base OTTO .
Poiché ci occorrono otto cifre distinte,
scegliamo le prime otto cifre del sistema a
base dieci e cioè:
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,7
Il numero successivo al sette nella
successione dei numeri interi assoluti, cioè,
l’otto, dovrà essere scritto come il successivo
al nove in base DIECI, scriveremo quindi :
10
Nel numero scritto in BASE OTTO
ogni cifra rappresenta il numero di
gruppi di otto unità di ordine
immediatamente inferiore.
10
otto si scrive
(cioè un gruppo di otto unità)
sedici si scrive
20
(cioè due gruppi di otto unità)
ventiquattro si scrive
30
(cioè tre gruppi di otto unità)
Il numero 64 si deve pensare
formato da otto gruppi di otto unità
quindi si scriverà :
100
Consideriamo il numero che in base otto si
scrive : 2435 in base dieci si scriverà :
2435otto  2  83  4  82  3  81  5  80 
 2  512  4  64  3  8  5 
 1024  256  24  5 
 1309dieci
Trasformiamo il numero 183 dalla base DIECI
alla base OTTO .
0
2
22
2
6
7
183
183dieci  267 otto
La rappresentazione in base DUE è quella
avente la minor base possibile .
Le sole cifre di questo sistema di
rappresentazione, detto BINARIO, sono
0,1
Dal punto di vista operativo la
rappresentazione in base due è la più
semplice e comoda.
Le tavole di addizione e moltiplicazione sono:
0
1
0 0
1
1 1 10
0 1
0
1
0 0
0 1
SOTTRAZIONI NEL SISTEMA
BINARIO
Quando bisogna sottrarre la cifra 1 dalla
cifra 0, occorre come si suol dire,
chiedere in prestito un’ unità alla cifra
che rappresenta unità dell’ordine
immediatamente superiore, cioè di quella
posta alla sinistra della cifra considerata
e tenere presente che tale unità avuta in
prestito vale due unità dell’ordine
immediatamente inferiore.
DIVISIONI NEL SISTEMA BINARIO
La divisione nel sistema binario di
esegue con un procedimento analogo a
quello seguito nel sistema decimale
L’inconveniente del
SISTEMA BINARIO è ovviamente la
necessità di molte cifre per rappresentare
numeri
anche non molto grandi.