Capitolo 2
Successioni
2.1
Definizione
Una prima descrizione, più intuitiva che rigorosa, di quel che intendiamo per successione consiste
in:
”Una successione è una lista ordinata di oggetti, avente un primo ma non un ultimo elemento”.
Gli oggetti elencati nella successione vengono anche detti termini della successione.
I termini di una successione possono, in generale, avere varia natura; questa viene solitamente
chiarita aggiungendo al sostantivo ”successione” uno o più aggettivi. Così, si può parlare di
successioni (numeriche) reali, di successioni complesse, di successioni a valori vettoriali, ... Nel
seguito ci occupiamo di successioni i cui termini sono numeri reali (anche se molti, ma non tutti,
i risultati ottenuti sono validi anche per i numeri complessi).
Avendo a che fare con una lista ordinata di numeri, è conveniente elencarli utilizzando gli interi
naturali n = 1, 2, .., e scrivere i termini della successione come
{an }n≥1 = {a1 , a2 , a3 , ....} .
(Per comodità, decidiamo di usare la scrittura {an } al posto della più completa {an }n≥1 .)
Questa premessa chiarisce allora la
Definizione 2.1 Una successione (numerica reale) è una legge
n 7−→ an
che ad ogni intero naturale n ∈ N associa un unico numero reale an .
Per evitare noiose precisazioni, conveniamo anche di ammettere alcuni casi in cui la legge assegnata non ha senso per alcuni valori di n, purchè in numero finito.
Esempio 1 Sono successioni le:
2
{n } = {1, 4, 9, 16, ...}
½
1
n−3
¾
½
¾
1
1 1
= − , −1, 1, , , ...
2
2 3
√ √ o
©√
ª n
n − 5 = 0, 1, 2, 3
benchè la seconda non sia definita per n = 3, e la terza lo sia solo per n ≥ 5.
29
N
30
CAPITOLO 2. SUCCESSIONI
Non tutte le successioni sono definibili come sopra, per mezzo di una legge esplicita. Ve ne sono
alcune in cui il termine an è calcolabile per mezzo dei termini precedenti a1 , ..., an−1 ; queste sono
dette successioni definite per ricorrenza.
√
Esempio 2 i) Sia a1 = 3, e an+1 = 2 + an . In questo caso
r
(
)
q
q
√
√
√
{an } = 1, 3, 2 + 3, 2 + 2 + 3, ...
ii) Sia a1 = a2 = 1, e an = an−1 + an−2 per n ≥ 3. La successione ottenuta
{an } = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...}
è nota come successione di Fibonacci.
2.2
N
Alcune proprietà
Poichè una successione è una caso particolare di funzione reale di variabile reale, molte delle
proprietà definite per le funzioni sono estendibili alle successioni. Ne ricordiamo alcune.
Definizione 2.2 La successione {an } è non-negativa se an ≥ 0 ∀n ∈ N, ed è positiva se
an > 0 ∀n ∈ N. Analogamente per la non-positività e la negatività.
Definizione 2.3 La successione {an } è inferiormente limitata se esiste un numero reale α
per cui an ≥ α ∀n ∈ N, ed è superiormente limitata se esiste un numero reale β per cui
an ≤ β ∀n ∈ N. Se queste due proprietà sono contemporaneamente vere, la successione è
limitata, e ciò equivale ad avere |an | ≤ M per ogni n ∈ N e per qualche M ≥ 0.
Definizione 2.4 La successione {an } è (monotòna) crescente se per ogni n ∈ N si ha an+1 >
an , (monotòna) non-decrescente se an+1 ≥ an ∀n ∈ N, (monotòna) non-crescente se
an+1 ≤ an ∀n ∈ N, (monotòna) decrescente se an+1 < an ∀n ∈ N.
Può accadere che una proprietà di {an } (la positività, la monotonìa, ...) non sia vera per ogni
valore di n, ma valga da un certo valore intero n in poi; in questo caso diciamo che la proprietà
in questione è valida definitivamente.
¾
¾ ½
½
1 1
1
1
= − , −1, 1, , , ... è limitata, definitivamente posEsempio 3 i) La successione
n−3
2
2 3
itiva, e definitivamente
decrescente.
©
ª
ii) La successione (2n − 5)2 = {9, 1, 1, 9, 25, 49, ...} è positiva, limitata inferiormente ma non
superiormente, definitivamente crescente.
iii) La successione {(−1)n n} = {−1, 2, −3, 4, −5, ...} non possiede alcuna delle proprietà descritte
sopra.
N
¾
½
n
è definitivamente decrescente. Per verificarlo, basta osEsempio 4 La successione
7 + n2
servare che
n+1
n
<
⇐⇒ n2 + n − 7 > 0
an+1 < an ⇐⇒
2
7 + (n + 1)
7 + n2
e questo accade per ogni n ≥ 3.
Alternativamente, possiamo utilizzare le tecniche acquisite studiando la monotonìa delle funzioni
di variabile reale. Infatti, i termini an sono ottenuti restringendo agli interi il dominio della
√
x
0 (x) < 0 se x >
funzione f (x) =
.
Poichè
f
è
derivabile
e
f
7 = 2.64.., ne segue che
7 + x2
N
an = f (n) decresce se n ≥ 3.
2.3. LIMITE DI UNA SUCCESSIONE
2.3
31
Limite di una successione
Definizione 2.5
i) Dato ` ∈ R, la scrittura
lim an =`
n→+∞
significa che
∀ε > 0 ∃ n = n(ε) : n ≥ n =⇒ |an − `| < ε,
cioè che a partire da n in poi tutti i termini della successione soddisfano ` − ε < an < ` + ε.
ii) La scrittura
lim an = +∞
n→+∞
significa che
∀M > 0 ∃ n = n(ε) : n ≥ n =⇒ an > M.
iii) La scrittura
lim an = −∞
n→+∞
significa che
∀M > 0 ∃ n = n(ε) : n ≥ n =⇒ an < −M.
Nel caso i) diciamo che {an } è convergente e converge al numero `, nei casi ii) e iii) la {an } si
dice divergente.
Queste successioni sono dette regolari, mentre quelle che non ammettono limite sono irregolari.
Con la scrittura ”an → `+ per n → +∞” intendiamo che la convergenza ad ` avviene per
eccesso, cioè che vale l’ulteriore informazione an ≥ ` definitivamente. Se invece an → ` per n →
+∞ e an ≤ ` definitivamente, scriviamo an → `− , e si ha convergenza per difetto.
¾
½
n−1
converge e ha limite 1.
Esempio 5 La successione
n
Infatti, se fissiamo ε > 0 la relazione
1−ε<
n−1
<1+ε
n
equivale a



n−1
n
n−1
n
>1−ε
;
<1+ε
1
n−1
= 1 − < 1; la prima lo è per ogni
la seconda diseguaglianza è sempre verificata, perchè
n
n
¹ º
1
1
n > . La scelta n = 1 +
dimostra l’affermazione.
ε
ε
(N.B.: la notazione bxc denota la ”parte intera” di x, cioè il più grande intero che non supera x.)
N
32
CAPITOLO 2. SUCCESSIONI
©√
ª
√
Esempio 6 La successione
n − 5 diverge a +∞. Infatti, fissato
M¦> 0 abbiamo n − 5 > M
¥
N
pur di prendere n > M 2 + 5. (Come sopra, la scelta n = 1 + M 2 + 5 funziona.)
Una delle conseguenze della Definizione 2.5 è
Teorema 2.6 Una successione convergente è limitata; una successione divergente è illimitata.
Esempio 7 La successione {(−1)n } non è convergente nè divergente. Infatti, essendo limitata
non può essere divergente. Inoltre, nessun ` ∈ R può essere limite per {(−1)n } perchè i valori
+1 e −1 vengono assunti infinite volte, e nessun intervallo (` − ε, ` + ε) può contenerli entrambi
se ε viene scelto sufficientemente piccolo (ad es. ε < 1).
N
(Questo esempio mostra che il Teorema 2.6 non è invertibile: una successione può essere limitata
senza essere convergente.)
Il legame con la già nota teoria dei limiti per funzioni f : I ⊂ R → R e dei limiti per successioni
viene chiarito dall’enunciato dei due seguenti teoremi.
Teorema 2.7 Se an = f (n), e se lim f (x) = ` , si ha lim an = `.
x→+∞
n→+∞
Teorema 2.8 Sia data f : I ⊂ R → R, con x0 punto di accumulazione per I. Allora
lim f (x) = `
x→x0
se e solo se
lim f (xn ) = `
n→+∞
per ogni successione {xn } tale che, per ogni n, si abbia xn ∈ I, xn 6= x0 , e inoltre xn → x0 .
2.4
Proprietà dei limiti
Grazie al Teorema (2.8) possiamo utilizzare molti tra i risultati relativi alle funzioni per ottenere
analoghe proprietà relative ai limiti di successioni.
¨ Unicità del limite Se {an } ammette limite, questo limite è unico.
¨ Permanenza del segno
i) Se {an } ammette limite ` > 0, oppure +∞, allora {an } è definitivamente positiva.
ii) Se {an } è definitivamente non-negativa ed ammette limite `, allora ` ≥ 0 oppure ` = +∞.
¨ Confronto Siano {an } , {bn } , {cn } tre successioni per le quali vale
an ≤ bn ≤ cn
definitivamente.
Se {an } e {cn } ammettono limite ` ∈ R, anche bn → `.
Inoltre, se definitivamente vale an ≤ bn , sono vere le implicazioni:
an → +∞ =⇒ bn → +∞
bn → −∞ =⇒ an → −∞
¨ Monotonìa Ogni successione monotòna è regolare.
Se {an } è monotòna crescente o non-decrescente, si ha lim an = sup {an } ;
n→+∞
n
se è monotòna decrescente o non-crescente, si ha lim an = inf {an } .
n→+∞
Se {an } è definitivamente monotòna, ammette limite.
Perciò, se {an } è monotòna, vale:
n
2.5. SOTTOSUCCESSIONI
33
“ {an } è convergente se e solo se {an } è limitata”
(vedi Teorema 2.6).
¨ Operazioni con i limiti Come nel caso delle funzioni, anche per le successioni regolari è
possibile (sotto adeguate ipotesi) trasportare l’effetto di alcune operazioni elementari dai termini
n-simi ai limiti. Un veloce riassunto può essere il seguente:
siano an ≥ 0 e bn > 0 tali che, per n → +∞, valgano an → a ∈ [0, +∞] e bn → b ∈ [0, +∞];
allora
i) an ± bn → a ± b ;
ii) an bn → ab ;
iv) abnn → ab ;
iii)
1
1
→ ;
bn
b
v) ln bn → ln b .
Queste regole vanno ovviamente interpretate secondo le usuali estensioni delle operazioni al simbolo +∞, cioè: +∞+∞ = +∞; c(+∞) = +∞ se c > 0; (1/+∞) = 0; (1/0+ ) = +∞; c+∞ = +∞
se c > 1; c+∞ = 0+ se 0 < c < 1; ln(0+ ) = −∞; ln(+∞) = +∞.
Inoltre, sono esclusi da questa tabella i casi che portano alle già note ”forme di indecisione”:
+∞ − ∞; 0 · ∞; ∞/∞; 0/0; 1∞ ; ∞0 ; 00 .
Infine, le solite regole dei numeri reali si applicano nel caso di termini negativi.
2.5
Sottosuccessioni
Sia {an } una successione. Una sua sottosuccessione (anche detta “successione estratta”), è
quel che si ottiene da {an } scartando alcuni termini, e conservandone infiniti. Tutto questo
equivale a scegliere una successione strettamente crescente di indici interi {nk }, e a considerare
la successione di termini bk = ank , dove k ∈ N.
Ad esempio, potremmo decidere di conservare solo i termini di posto pari (nk = 2k) ed ottenere
la successione {bk } = {a2k } .
Una volta scelta la successione {nk } degli indici, indichiamo la sottosuccessione ottenuta con
{ank }k≥1 o, per brevità, con {ank }.
È relativamente facile convincersi che una successione strettamente crescente di indici interi {nk }
soddisfa nk ≥ k per ogni k ∈ N; in seguito useremo più volte questo fatto.
Lemma 2.9 Se {an } ammette limite, ogni sua sottosuccessione ammette lo stesso limite.
Abbiamo visto in precedenza (Teorema 2.6) che ogni successione convergente è limitata, ma che
in generale, se manca la monotonìa, non vale il viceversa. Il Teorema 2.6 ammette però una sorta
di inverso, più debole, e questo coinvolge proprio la nozione di sottosuccessione.
Teorema 2.10 (Bolzano-Weierstrass) Da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione convergente.
Osservazione Chiaramente la sottosuccessione convergente non è unica, basta considerare una
qualsiasi sottosuccessione della sottosuccessione convergente per avere ancora lo stesso limite.
Inoltre, può anche accadere che una {an } limitata ammetta sottosuccessioni con limiti diversi,
come nel caso di {(−1)n } e delle sottosuccessioni di indici solo pari o solo dispari.
34
CAPITOLO 2. SUCCESSIONI
Dim. Dalla Definizione 2.3 sappiamo che esistono α, β ∈ R per i quali α ≤ an ≤ β per ogni
α+β
il punto medio del segmento [α, β]; uno almeno dei due sottointervalli [α, γ] e
n. Sia γ =
2
[γ, β] contiene termini an corrispondenti ad infiniti valori di n. Ribattezziamo questo intervallo
come [α1 , β 1 ] e notiamo che, di qualunque dei due sottointervalli si tratti, si ha
α ≤ α1 < β 1 ≤ β
e
1
β 1 − α1 = (β − α) .
2
Se γ 1 è il punto medio di [α1 , β 1 ], in almeno uno tra [α1 , γ 1 ] e [γ 1 , β 1 ] cadono termini an corrispondenti ad infiniti valori di n. Chiamiamo [α2 , β 2 ] questo sottointervallo di [α1 , β 1 ], ed abbiamo
α ≤ α1 ≤ α2 < β 2 ≤ β 1 ≤ β
e
β 2 − α2 =
1
(β − α) .
22
Proseguiamo in questo modo ed otteniamo due successioni {αk } e {β k } per le quali si ha
α ≤ α1 ≤ α2 ≤ .. ≤ αk < β k ≤ .. ≤ β 2 ≤ β 1 ≤ β
e
β k − αk =
β−α
.
2k
Così, {αk } e {β k } sono monotòne e limitate, quindi convergenti ad α∗ e β ∗ rispettivamente. Inoltre, {αk } converge ad α∗ per difetto, e {β k } converge a β ∗ per eccesso.
Per come sono stati costruiti, abbiamo [αk , β k ] ⊂ [αk+1 , β k+1 ] per ogni k, e quindi α∗ ≤ β ∗ . Inoltre
0 ≤ β ∗ − α∗ ≤ β k − αk =
1
(β − α) → 0
2k
se k → +∞.
Così, β ∗ = α∗ = ` ∈ [α, β], cioè {αk } e {β k } convergono allo stesso limite `.
Ora costruiamo una sottosuccessione {ank } convergente ad `. Poichè [α1 , β 1 ] contiene termini an
corrispondenti ad infiniti valori di n, sia n1 uno di questi indici. Poi, scegliamo n2 in modo che
n2 > n1 e an2 ∈ [α2 , β 2 ] (è possibile, in quanto in [α2 , β 2 ] cadono termini an corrispondenti ad
infiniti valori di n). Iterando questo procedimento, otteniamo una sottosuccessione {ank } per la
quale si ha
ank ∈ [αk , β k ]
Quindi αk ≤ ank ≤ β k
2.6
∀k.
∀k, e ank → ` per il teorema del confronto.
La condizione di Cauchy
Sia {an } una successione convergente al limite `; dalla definizione, sappiamo che la differenza tra
an ed ` può essere resa ”molto piccola”, pur di scegliere l’indice n sufficientemente grande. Così,
ε
fissato ε > 0 è possibile trovare un indice n tale che, per ogni indice n ≥ n si ha |an − `| < . Se
2
scegliamo due indici n, m ≥ n abbiamo allora
|an − am | ≤ |an − `| + |am − `| < ε.
Riassumendo, la {an } soddisfa quella che viene chiamata condizione di Cauchy:
∀ε > 0 ∃ n = n(ε) : ∀n, m ≥ n =⇒ |an − am | < ε.
Per brevità, si usa anche dire che {an } è una successione di Cauchy.
Questa condizione è di difficile lettura, e non contiene traccia del valore del limite della successione.
È però importante, perchè vale
2.7. LA CLASSE LIMITE
35
Teorema 2.11 Una successione {an } converge se e solo se soddisfa la condizione di Cauchy.
Dim. Grazie alla osservazione precedente, dobbiamo solo dimostrare che la condizione di Cauchy
implica la convergenza. Per farlo, dividiamo la dimostrazione in 3 passi.
Passo1 Iniziamo con l’osservare che ogni successione di Cauchy è limitata.
Infatti, dopo aver fissato ε > 0 ed aver determinato il corrispondente n, i termini an sono definitivamente contenuti nell’intervallo (an − ε, an + ε), e quindi fuori da questo intervallo può cadere
al più un numero finito di termini della successione.
Passo 2 Se {an } è di Cauchy, ne segue che è limitata, e il Teorema di Bolzano-Weierstrass garantisce che è possibile estrarne una {ank } convergente ad limite `. Perciò, sempre con lo stesso
ε > 0, riusciamo a determinare k così da avere
|ank − `| < ε
per ogni k ≥ k ,
e possiamo anche permetterci di richiedere che k ≥ n.
Passo 3 Ora vediamo che {an } converge ad `.
Infatti, abbiamo osservato che nk ≥ k ≥ n e quindi, per ogni n ≥ n abbiamo
|an − `| ≤ |an − ank | + |ank − `| < 2ε
che, data l’arbitrarietà di ε, dimostra che an → ` se n → +∞.
2.7
La classe limite
Abbiamo visto che non tutte le successioni ammettono limite; nel caso della {(−1)n } questo è
evidente, perchè i due valori +1 e −1 avrebbero entrambi il diritto di essere considerati un limite,
e questo non è chiaramente possibile, a causa del Teorema sull’unicità del limite.
Il comportamento della {(−1)n } suggerisce però la
Definizione 2.12 Il numero, o il simbolo, λ ∈ R è un valore limite della successione {an } se
esiste una sottosuccessione {ank } tale che
lim ank = λ .
k→+∞
La classe limite della successione {an } è il sottoinsieme Λ ⊂ R costituito da tutti e soli i valori
limite di {an } .
Esempio 8 Per la successione {(−1)n } certamente due valori limite sono +1 e −1. Ogni altro
λ ∈ R non può esserlo, perchè la successione è limitata, e inoltre nessun termine an può cadere
in un intervallo (λ − ε, λ + ε) se λ ∈ R ed ε > 0 è scelto sufficientemente piccolo. Così Λ =
{−1, +1} .
N
¾
½
1
1
1
, 1, 2, , 1, 3, , 1, 4, ... è costruita affiancando ”blocchetti” di tre
Esempio 9 La successione
2
3
4
1
termini, e l’n-esimo blocchetto contiene i valori , 1, n. In questo caso λ = 0, λ = 1 e λ = +∞
n
sono certamente valori limite, e ci si convince abbastanza facilmente che non ve ne sono altri,
per cui Λ = {0, 1, +∞} .
N
Esempio 10 L’insieme Q dei numeri razionali è numerabile, ed è quindi possibile elencare tutti i
suoi elementi per mezzo di qualche successione {rn } . La densità di Q in R permette di concludere
N
che ogni λ ∈ R è un valore limite di {rn } , e quindi Λ = R.
36
CAPITOLO 2. SUCCESSIONI
Da quest’ultimo esempio si vede come la classe limite di una successione possa essere anche
molto ampia. D’altra parte, dal Lemma (2.9) segue che se {an } ammette limite `, allora questo è
l’unico elemento della classe limite. Si è così portati, in modo naturale a formulare le due seguenti
domande
Domanda A Se la classe limite della successione {an } è costituita da un solo elemento `, è vero
che an → ` per n → +∞?
Domanda B Una successione può avere classe limite vuota?
I seguenti risultati, che riportiamo senza dimostrazione, forniscono una risposta a queste domande, e chiariscono ulteriori aspetti della natura della classe limite di una successione.
Teorema 2.13 La classe limite Λ di una successione {an } non è mai vuota. Inoltre, Λ ha
minimo e massimo (in R).
Definizione 2.14 Il minimo ed il massimo di Λ vengono detti limite inferiore (o minimo
limite) e limite superiore (o massimo limite) di {an } , e sono solitamente denotati con
min Λ = lim inf an
n→+∞
e
max Λ = lim sup an .
n→+∞
Tra le proprietà di queste due quantità, la seguente ci permetterà di dare una risposta alla
Domanda A.
Teorema 2.15 Sia data la successione {an } , e sia lim sup an = L ∈ R. Allora, per ogni ε > 0 la
n→+∞
successione è definitivamente maggiorata da L + ε. Analogamente, se lim inf an = l ∈ R, per ogni
n→+∞
ε > 0 la successione è definitivamente minorata da l − ε.
Corollario 2.16 La successione {an } è regolare se e solo se la sua classe limite contiene un solo
elemento.
Le quantità lim inf an e lim sup an possono anche essere caratterizzate in altro modo.
n→+∞
n→+∞
A partire dalla {an } si possono definire due nuove successioni che, in generale, hanno valori in R;
queste sono
bn = inf ak = inf {an , an+1 , an+2 , ...}
k≥n
cn = sup ak = sup {an , an+1 , an+2 , ...} .
k≥n
È abbastanza semplice notare che {bn } è monotòna non-decrescente, mentre {cn } è monotòna
non-crescente, per cui entrambe ammettono limite.
Si verifica che i due limiti sono, rispettivamente, lim inf an e lim sup an , cioè valgono le relazioni
n→+∞
lim inf an = lim
µ
lim sup an = lim
Ã
n→+∞
n→+∞
e
n→+∞
n→+∞
n→+∞
inf ak
k≥n
sup ak
k≥n
¶
!
.