SOLUZIONI III ALLENAMENTO GARA A SQUADRE ONLINE SCUOLE MEDIE (02-12-2015)
1. LO SCIAME DI API [0016]
Partendo dal fondo si ha che prima del rumore improvviso le api posate sul cespuglio erano 12.
Dato che all’inizio metà sono volate via e metà di quelle volate via sono tornate a poggiarsi sul
cespuglio (quindi ¼ del totale), 12 corrisponde ai ¾ del numero totale di api dello sciame e
quindi le api inizialmente erano 16.
2. IL NONNO DI AGNESE [0089]
5
Dai dati del problema segue che l’età del nonno è minore di 90 e maggiore di 3 ∙ 51 = 85. I valori
possibili sono quindi 86, 87, 88 e 89. Di essi 86 e 88 vanno scartati perché pari, 87 va scartato
perché divisibile per 3. L’età del nonno è quindi 89.
3. RETTANGOLI ISOPERIMETRICI [0372]
Le possibili dimensioni dei rettangoli (a meno dell’ordine) sono: 1x15, 2x14, 3x13, 4x12, 5x11,
6x10, 7x9 e 8x8. I valori delle aree sono quindi 15, 28, 39, 48, 55, 60, 63 e 64 la cui somma è
372.
4. LA CASETTA [0500]
𝐶𝐹−𝐷𝐸
0,8−0,2
Sia 𝐷𝐾 l’altezza del trapezio. Si ha 𝐶𝐾 = 2 = 2 =
0,3 𝑚 e quindi 𝐶𝐷 = √𝐷𝐾 2 + 𝐶𝐾 2 = √0,42 + 0,32 = 0,5 𝑚.
Di conseguenza il perimetro della base della casetta vale
𝑝 = 6 ∙ 𝐴𝐵 + 𝐼𝐽 + 𝐷𝐸 + 2 ∙ 𝐶𝐷 = 6 ∙ 0,5 + 0,8 + 0,2 + 2 ∙ 0,5 =
5 𝑚 = 500 𝑐𝑚.
5. RISPARMI [0600]
Sia 𝑥 il numero delle settimane necessari affinché Salvatore ed Enrico abbiamo gli stessi soldi.
Allora deve aversi 12𝑥 = 475 − 7𝑥, da cui 19𝑥 = 475 e quindi 𝑥 = 25. Dopo 25 settimane i due
avranno 300 euro a testa e quindi il salvadanaio conterrà 600 euro.
6. LE PALLINE [0018]
Osserviamo che è possibile che su tutte le palline ci sia scritto il numero 0; non è invece
possibile che ci siano 19 palline su cui è scritto 0 e una pallina su cui è scritto un numero diverso
da 0 (perché dovrebbe essere la somma dei numeri presenti sulle rimanenti 19 palline che è 0); è
possibile, invece, che ci siano 18 palline su cui è scritto 0 e due palline su cui è scritto un
numero diverso da zero (lo stesso per entrambe le palline). Facciamo vedere adesso che non è
possibile avere meno di 18 palline con su scritto 0. Infatti, se ci fossero almeno 3 palline con un
su scritto un numero diverso da zero, per esempio A, B e C, si avrebbe che A vale almeno B+C
(essendo la somma di B, C e dei numeri riportati sulle rimanenti palline) e quindi A>B.
Analogamente B varrebbe almeno A+C e quindi B>A. Abbiamo così trovato che i due numeri A e B
sono contemporaneamente uno maggiore dell’altro e quindi non possono esistere.
Il numero minimo di palline con su scritto 0 è quindi 18.
7. I CUSCINI [0410]
Partendo dal primo cuscino in basso della pila fino al primo cuscino in alto, si avrà una riduzione
dello spesso di 19 cm per il primo cuscino, 18 per il secondo, 17 per il terzo, 16 per il quarto e
così via fino al penultimo che ridurrà lo spessore di 1 cm. La pila è alta pertanto 20 ∙ 30 −
19∙20
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ + 19) = 600 −
= 600 − 190 = 410 cm.
2
8. L’ESPRESSIONE [1024]
Trasformando le potenze al denominatore e calcolando il minimo comune multiplo si ottiene:
1+2+22 +23 +24 +⋯+210
1 1
1
1
1
1+ + 2 + 3 + 4 +⋯+ 10
2 2
2
2
2
=
1+2+22 +23 +24 +⋯+210
210 +29 +28 +27 +⋯+22 +2+1
210
= 210 = 1024.
9. I TRIANGOLI [0014]
Osserviamo che 𝐶𝐷 = √𝐵𝐶 2 + 𝐵𝐷2 = √402 + 302 = 50 𝑐𝑚. Sia
𝐴𝐸 l’altezza relativa all’ipotenusa del triangolo 𝐴𝐶𝐷. Si ha
𝐴𝐶∙𝐴𝐷
30∙40
𝐴𝐸 = 𝐶𝐷 = 50 = 24 𝑐𝑚 e quindi 𝐶𝐸 = √𝐴𝐶 2 − 𝐴𝐸 2 =
√302 − 242 = 18 𝑐𝑚. Di conseguenza 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 − 2 ∙ 𝐶𝐸 = 50 −
36 = 14 𝑐𝑚.
10. PERCENTUALI [0105]
Alla fine di gennaio l’azione vale l’80% del valore iniziale; nel mese di febbraio il valore aumenta
a 112% (80% + il 40% dell’80%); nel mese di marzo cala all’84% (112% - il 25% del 112%) e quindi
aumenta a 105% (84% + il 25% dell’84%).
11. LE PATATINE FRITTE [0040]
Servono 20 porzioni di patatine fritte per i 60 adulti e altrettante per i 100 bambini. In totale 40.
12. ANGOLI [0075]
Con riferimento alla figura a fianco, si ha che 𝑧 = 180° −
(60° + 65°) = 55° e 𝑦 = 180° − (40° + 60°) = 80°; di
conseguenza 𝑤 = 180° − (80° + 55°) = 45° e quindi
𝑥 = 180° − (60° + 45°) = 75°.
13. CINQUE NUMERI [0420]
Comunicare il prodotto dei cinque numeri scelti, equivale
a fornire il prodotto dei due numeri non scelti. Ora, gli
unici prodotti ottenibili moltiplicando più di una coppia di
numeri sono 12 (3x4 e 2x6) e 6 (2x3 e 1x6). Nel secondo caso la somma dei fattori di ciascuna
coppia è sempre dispari, nel primo caso è per una coppia pari (2+6) e per l’altra dispari (3+4). Di
conseguenza non è stata scelta una delle due coppie di numeri il cui prodotto è 12 e quindi il
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7
prodotto dei cinque numeri scelti vale
= 420.
12
14. IL ROMBO [0040]
Sia 3𝑥 la diagonale minore del rombo e 4𝑥 la diagonale maggiore. Dai dati del problema segue
3𝑥∙4𝑥
che
= 96, cioè 6𝑥 2 = 96 da cui 𝑥 2 = 16 e quindi 𝑥 = 4. Ne segue che le diagonali misurano
2
rispettivamente 12 e 16 cm. Il lato del rombo misura quindi √62 + 82 = 10 cm e di conseguenza il
perimetro vale 40 cm.
15. GLI STUDENTI [0200]
Dai dati del problema segue che gli studenti maschi di seconda media sono 60, le femmine 100.
Detto allora 3𝑥 il numero degli studenti maschi di prima media e 2𝑥 il numero delle femmine, si
ha che 60 + 3𝑥 = 100 + 2𝑥 da cui 𝑥 = 40. Di conseguenza gli studenti iscritti in prima media sono
3𝑥 + 2𝑥 = 5𝑥 = 5 ∙ 40 = 200.
16. L’AREA INCOGNITA [102]
Essendo 720° la somma degli angoli interni dell’esagono, la somma
delle aree dei 6 cerchi interne all’esagono è pari a quella di due
cerchi di raggio 5 cm, cioè 50𝜋 cm2. L’area dell’esagono è pari a
6∙
√3
2
10∙10∙
2
= 150√3 cm2 e quindi l’area cercata (la parte bianca
interna all’esagono) misura 150√3 − 50𝜋 ≃ 102,7 cm2.
17. CIFRE [0042]
Eseguendo la moltiplicazione 8x888 si ottiene il numero 7104; 8x8888 da luogo al prodotto
71104, 8x88888 al prodotto 711104, 8x888888=7111104 e così via, si ottiene sempre un numero
che inizia con 7, è seguito da un numero di cifre 1 pari al numero, diminuito di 2, di cifre 8 del
secondo fattore, da uno zero e dal 4. Se 𝑛 è il numero di cifre 8 del secondo fattore, si ha quindi
che la somma delle cifre del prodotto vale 7 + 4 + (𝑛 − 2) = 𝑛 + 9. Dovendo essere 9 + 𝑛 = 50, si
ha 𝑛 = 41. Le cifre 8 scritte sono in totale 42.
18. LE DIAGONALI [0023]
Il numero delle diagonali di un poligono di 𝑛 lati è pari a
da cui 𝑛 − 3 = 20 che risolta da 𝑛 = 23.
𝑛(𝑛−3)
𝑛(𝑛−3)
2
2
. Deve allora aversi
= 10𝑛
19. LA COLORAZIONE [0021]
Analizziamo le varie possibilità a seconda del numero di colori utilizzati:



1 solo colore: 3 possibilità;
2 colori: se X e Y sono i due colori usati, le possibili colorazioni sono XYYYY, XXYYY, XXXYY e
XYYYY (4 in totale). Essendo 3 le possibili scelte dei due colori su 3, le possibili colorazioni sono
4 ∙ 3 = 12;
3 colori: le possibili colorazioni sono: RRRBV, BBBRV, VVVRB, BBVVR, BBRRV, RRVVB, cioè 6 in
totale.
Complessivamente 21 colorazioni diverse.
20. QUANTE COPPIE! [0035]
Se (𝑎, 𝑏) è una coppia di numeri naturali il cui minimo comune multiplo è 23 ∙ 112 , 𝑎 e 𝑏 sono
entrambi divisori di 23 ∙ 112 e quindi sono della forma 𝑎 = 2𝑥 ∙ 11𝑦 e 𝑏 = 2𝑛 ∙ 11𝑚 , dove il valore
massimo tra 𝑥 ed 𝑛 è 3, mentre il massimo tra 𝑦 ed 𝑚 è 2. Di conseguenza le possibilità per 𝑥 ed
𝑛 sono date dalle 7 coppie (0,3), (1,3), (2,3), (3,3), (3,0), (3,1), (3,2), mentre per 𝑦 ed 𝑚 sono date
dalle 5 coppie (0,2), (1,2), (2,2), (2,1), (2,0). Di conseguenza esistono 7 ∙ 5 = 35 coppie di numeri
naturali aventi minimo comune multiplo 23 ∙ 112 .