Esercizi di cinematica
Cinematica del punto: moti rettilinei.
1) In un lungo viale rettilineo nell’istante in cui un semaforo diventa verde
un’automobile parte da ferma con un’accelerazione costante a = 2 m/s2. Nello
stesso istante un camion, che viaggia con una velocità costante vC = 10 m/s
affianca e sorpassa l’auto. a) determinare dopo quanto tempo e a che distanza dal
semaforo l’automobile raggiunge il camion. b) Determinare la velocita dell’auto
nell’istante del sorpasso.
2) Una palla viene lanciata verso l’alto con velocità v0 = 10 m/s. Determinare: a)
dopo quanto tempo raggiunge la somità della traiettoria; b) l’altezza massima H
raggiunta dalla palla rispetto al punto di lancio; c) dopo quanto tempo ritorna al
punto di partenza; d) con che velocità ritorna al punto di partenza. e) la velocità
della palla ad una quota pari ah H/2; f) Se si fotografa il moto della palla a
intervalli di tempo di 0.1 s determinare qual’è la distanza fra le posizioni della
palla in due istantanee consecutive.
3) Due treni A e B si muovono lungo uno stesso binario rettilineo, nello stesso verso
e con B che precede A, con velocità rispettivamente vA = 120 Km/h e vB = 36
Km/h. Se il macchinista del treno A si accorge del treno B quando si trova ad una
distanza da esso pari a d = 300 m ed aziona in quell’istante i freni, determinare il
minimo valore della decelerazione per cui si evita la collisione.
4) Una misura della profondità di un pozzo viene ottenuta per mezzo di un sasso e di
un cronometro. Nell’istante in cui si abbandona il sasso dalla sommità del pozzo
si fa partire il cronometro e lo si arresta nell’istante in cui si ode il tonfo del sasso
sul suo fondo misurando così un tempo t* = 5 s. a) Determinare la profondità del
pozzo considerando t come il tempo di caduta del sasso dalla sommità al fondo
del pozzo. b) Determinare la profondità del pozzo considerando anche la velocità
finita del suono vS = 331 m/s. c) Con riferimento al punto a) calcolare l’errore che
si ha nella determinazione della profondità se l’operatore, a causa del suo tempo
di reazione finito, arresta il cronometro con un ritardo t = 0.1 s .
5) Un corpo cade, partendo con velocità nulla, dalla finestra di un palazzo; da una
della finestre sottostanti si osserva l’oggetto che attraversa la luce della finistra di
altezza l = 1.5 m impiegando un tempo t = 0.12 s. Determinare da quale altezza,
rispetto alla finestra di osservazione, è caduto l’oggetto.
6) La “ripresa” di un’auto è specificata in termini del tempo T che essa impiega per
passare da una velocità nulla ad una velocià V = 100 Km/h. Determinare le
accelerazioni medie corrispondenti per una utilitaria ( T1 = 14.5 s ) e per una
Ferrari (T2 = 4.5 s) e la distanza percorsa dai due autoveicoli per passare da 0 a
100 km/h.
7) Per un’auto che viaggia alla velocità di 60 Km/h si misura uno spazio di frenata s
= 28 m. Supponendo che il moto, durante la frenata, sia uniformemente
accelerato determinare: a) l’accelerazione corrispondente; b) lo spazio di frenata
con una velocità iniziale di 100 Km/h (considerando la stessa accelerazione
media); c) di quanto si allunga nei due casi lo spazio di frenata ipotizzando un
tempo di reazione complessivo t = 1 s ( t corrisponde al tempo che intercorre fra
l’impulso mentale di frenata e l’inizio effettivo della frenata).
8) Un’auto che viaggia alla velocità di 50 km/h va a sbattere contro un muro e si
arresta; si osserva che nell’urto la parte anteriore della macchina ha subito una
deformazione d = 30 cm. Determinare l’accelerazione media della macchina
durante l’urto e la durata di quest’ultimo.
9) Una goccia di pioggia cade da una nuvola che si trova ad un’altezza h = 1000 m
rispetto al suolo ed arriva a terra con una velocità circa pari a v0 = 6.5 m/s ( questa
velocità dipende, leggermente, dalla forma della goccia). a) Confrontare questa
velocità con quella che avrebbe la goccia, quando arriva a terra, supponendo che
sia soggetta solo all’accelerazione di gravità. b) Calcolare il tempo impiegato ad
arrivare a terra nel caso a) e nel caso in cui si muova con velocità costante pari a
vo.
10) Una goccia di pioggia cade da una nuvola che si trova ad un’altezza h = 1000 m
rispetto al suolo ed arriva a terra con una velocità costante v0, detta velocità
limite, come conseguenza della resistenza viscosa dell’aria che a seconda delle
condizioni può essere proporzionale alla velocità o al quadrato della velocità e, in
entrambi i casi, opposta ad essa. Per una velocità limite v0 = 6.5 m/s calcolare il
valore della costante K nei seguenti casi: a) la goccia è soggetta all’accelerazione
di gravità e ad una accelerazione di resistenza viscosa proporzionale alla velocità
ed opposta ed essa , ossia ad una accelerazione a = g – Kv diretta verso il basso;
b) la goccia è soggetta all’accelerazione di gravità e ad una accelerazione di
resistenza viscosa proporzionale al quadrato della velocità ed opposta ed essa ,
ossia ad una accelerazione a* = g – Kvv diretta verso il basso. c) Con il valore di
K calcolato nel caso a) si determini dopo quanto tempo, dal distacco dalla nuvola,
la goccia raggiunge il 90% di v0 e la corrispondente distanza percorsa. d) Con il
valore di K calcolato nel caso b) si determini dopo quanto tempo, dal distacco
dalla nuvola, la goccia raggiunge il 90% di v0 e la corrispondente distanza
percorsa. [Nota. – Questo esercizio comporta delle nozioni di analisi matematica
che lo studente all’inizio del corso può non padronneggiare completamente. In
questo caso lo studente può comunque provare ad impostare a grandi linee il
problema e seguire poi i dettagli nella soluzione proposta.]
Cinematica del punto: moti piani.
11) Un corpo viene lanciato con una velocità v0 = 25 m/s lungo una direzione, rivolta
verso l’alto, che forma un angolo q rispetto al suolo. Determinare: a) la massima
“gittata” , ossia il punto del suolo più distante che può essere colpito; b) il tempo
che impiega il corpo a raggiungere questo punto; c) la velocità del corpo in questo
punto; d) il punto più alto della traiettoria, la corrispondente velocità del corpo ed
il tempo impiegato a raggiungerlo.
12) Un cannone spara proiettili con una velocità = 250 m/s e con un alzo (angolo di v
rispetto all’orizzontale) variabile fra 0 e 90°. a) Determinare i punti del piano
(individuato dalla verticale e da v0 ) nei quali può essere raggiunto un possible
bersaglio. b) Determinare l’alzo che si deve impostare per colpire un bersaglio
situato ad un’altezza h = 300 m , rispetto al suolo, e ad una distanza in
orizzontale dal cannone d = 4000 m.
13) Un aereo in fase di decollo, mentre si trova ad un’altezza h = 1200 m rispetto al
suolo e si muove con una velocità v0 = 500 Km/h lungo una direzione che forma
un’angolo q = 30° rispetto al suolo, perde un bullone. Determinare: a) a quale
distanza dal punto di distacco, lungo l’orizzontale, atterra il bullone; b) dopo
quanto tempo; c) la sua velocità al momento dell’impatto col terreno; d) la quota
più alta da esso raggiunta; e) la massima e la minima velocità, in modulo, durante
la sua traiettoria.
14) Il moto di un proiettile è seguito da una stazione radar, posta sul suolo nel piano
di moto del proiettile, che ne rileva la velocità e la posizione, individuata tramite
la distanza L fra proiettile e radar e l’angolo q che essa forma con l’orizzontale.
Nel punto più alto della traiettoria, di coordinate L = 2700 m e q = 30°, il
proiettile ha una velocità V = 300 Km/h e si muove verso la stazione radar.
Determinare: a) la distanza dalla stazione radar del punto di impatto sul suolo e
dopo quanto tempo, dalla rilevazione considerata, esso avviene; b) la
localizzazione, a livello del suolo, del cannone che ha sparato il proiettile; c) la
velocità con cui viene sparato il proiettile dal cannone e l’alzo del cannone
(angolo di sparo rispetto all’orizzontale).
15) Una mela si stacca dal ramo di un’albero da un’altezza h = 3 m rispetto al suolo;
un bambino, distante d = 5m dalla linea di caduta della mela, lancia una freccetta ,
da un’altezza l = 1 m, cercando di colpire la mela. a) Determinare quale deve
essere la direzione di lancio se questo viene effettuato nello stesso istante del
distacco della mela. b) Determinare la minima velocità di lancio necessaria per
colpire la mela prima che essa tocchi terra. c) Con una velocità di lancio v0 = 9
m/s determinare quale deve esssere la direzione e l’istante di lancio , rispetto al
momento del distacco della mela, per colpirla ad una quota pari ad l.
Moto circolare
16) Si determinino la velocità lineare e l’accelerazione centripeta nei seguenti casi: a)
un corpo legato ad una funicella lunga 50 cm che viene fatto ruotare facendogli
compiere, con velocità costante, 10 giri al secondo; b) un corpo posto sulla
superficie terrestre all’equatore ( raggio terrestre RT = 6370 Km ); c) la Terra nel
suo moto attorno al Sole, considerando l’orbita circolare ( distanza Terra-Sole
RTS = 1.496 1011 m ); d) il Sole nel suo moto attorno al centro della galassia,
considerando questo come un moto circolare uniforme ( distanza Sole-centro
galassia RSG = 3.09 1011 m , periodo TSG = 2 1011 anni ).
17) Considerando le orbite dei pianeti attorno al Sole come circolari (l’eccentricità
delle orbite è per quasi tutti i pianeti < 0.1) la II legge di Keplero stabilisce che
ciascun pianeta si muove di moto circolare uniforme. Detto Ri il raggio dell’orbita
del pianeta i-esimo e Ti il corrispondente periodo la III Legge di Keplero
stabilisce che il rapporto Ri3/Ti2 = K = 3.37 1018 m3/s2 qualunque sia il pianeta
considerato. Desumere da questi dati l’andamento, in funzione del raggio
dell’orbita, della accelerazione a cui sono soggetti i vari pianeti in conseguenza
dell’interazione fra di essi ed il Sole.
18) In base alla Legge di Gravitazione universale qualsiasi oggetto in prossimità della
Terra è soggetto ad una accelerazione inversamente proporzionale al quadrato
della sua distanza dal centro della Terra e diretta verso di esso. a) Calcolare il
valore della costante di proporzionalità a partire dal valore dell’accelerazione di
gravità g e del raggio della Terra RT = 6370 Km. b) In base alla relazione
calcolata al punto a) si calcoli il periodo di rotazione della Luna attorno alla Terra
conoscendo la distanza fra i due RTL = 3.84 108 m e supponendo il moto della
Luna circolare uniforme. c) Calcolare il raggio dell’orbita di un satellite
geostazionario, ossia di un satellite che rimane fisso relatativamente ad un punto
della superficie terrestre situato all’equatore.
19) In un ipotetico viaggio Terra-Luna si suppone che ad un razzo, lanciato da una
base B situata all’equatore, venga impressa una velocità in direzione radiale v =
638 m/s e che essa venga successivamente mantenuta costante.
v
T
L
B
O
wT
Considerando la Terra come una piattaforma di lancio ruotante con velocità angolare
wT e che il razzo abbia una velocità angolare costante pari a w T , si determini: a) la
durata del viaggio; b) l’angolo che i raggi che uniscono la base B e la Luna al centro
O della Terra devono formare fra di loro, al momento del lancio, perchè il razzo
colpisca effettivamente il pianeta e la posizione di quest’ultimo; c) la velocità del
razzo quando esso raggiunge la luna; d) la massima accelerazione tangenziale a cui è
soggetto il razzo; e) la traiettoria del razzo. f) Determinare la traiettoria del razzo nel
caso in cui invece la sua velocità angolare w vari in modo inversamente proporzionale
al quadrato della sua distanza r dal centro della Terra, ossia risulti r2w = RT2wT . ( Si
suppone che l’attrazione gravitazionale della Terra e della Luna siano ininfluenti e
quindi che la velocità radiale iniziale rimanga inalterata; raggio della terra RT = 6370
Km ; raggio dell’orbita lunare RTL = 3.84 108 m ; si trascurino le dimensioni finite
della Luna ).
20) Sulla pista circolare di un velodromo, di raggio R = 65 m, due ciclisti sono
impegnati in una gara su 5 giri completi; al primo corridore è stato dato un
vantaggio di un quarto di giro, quindi quando parte il secondo esso ha già
percorso un quarto del primo giro. I due ciclisti giungono appaiati sul traguardo
del quinto giro dopo un tempo t* = 3 min. Supponendo che il primo ciclista si
muova con velocità costante ed il secondo con accelerazione costante
determinare: a) la velocità angolare e lineare del primo ciclista; b) l’accelerazione
angolare e tangenziale del secondo ciclista; c) la velocità angolare e lineare del
secondo ciclista al traguardo; d) il modulo delle accelerazioni dei due ciclisti al
traguardo.
21) Un proiettile viene lanciato da terra con una velocità v0 = 250 m/s lungo una
direzione che forma un angolo q = 30° con l’orizzontale. Determinare
l’accelerazione tangenziale e normale del proiettile ed il raggio di curvatura nei
seguenti punti della traiettoria: a) il punto di lancio; b) l’apice della traiettoria; c)
il punto di impatto a livello del suolo.
Moti relativi.
22) In un tratto rettilineo del suo corso un fiume ha larghezza L = 60 m e la velocità
della corrente è V = 3 m/s. Avendo a disposizione una barca e volendo
attraversare il fiume determinare, rispetto alla posizione sulla sponda di partenza:
a) il punto di attracco sulla sponda opposta se si imprime alla barca una velocità
v0 = 1.2 m/s in direzione perpendicolare alla riva; b) la minima velocità v* che si
deve imprimere alla barca per raggiungere la riva opposta compiendo il tragitto
spazialmente più breve; c) la direzione verso cui si deve rivolgere la prua della
barca, imprimendo ad essa una velocità pari a 3v*, per raggiungere la riva opposta
facendo compiere ad essa il tragitto spazialmente più breve ed il tempo impiegato;
d) la direzione verso cui si deve rivolgere la prua della barca, imprimendo ad essa
una velocità pari a 3v*, per raggiungere la riva opposta nel minor tempo possible
ed il punto di arrivo.
23) Un passeggero di un auto osserva la traccia lasciata dalle gocce di pioggia sul
finestrino.
q0
vA = 0
q
vA
Quando l’auto è ferma la traccia (rettilinea) forma, rispetto alla direzione verticale
discendente, un angolo q0 = 30°, mentre quando l’auto si muove con velocità vA = 25
Km/h la traccia forma, con la verticale, un angolo q = -18°. Determinare la
componente verticale della velocità delle gocce e la velocità del vento, che dà luogo
alla loro componente orizzontale.
24) Mentre una nave A sta uscendo dall’imboccatura P di un porto una nave B che si
trova ad una distanza D = 1 Km, si sta muovendo verso di esso puntando dritto
sull’imboccatura P; le velocità v delle due navi sono costanti ed uguali in modulo,
v = 10 Km/h , e formano fra di loro un angolo b = 150°. Determinare: a) la
minima distanza d a cui si vengono a trovare la due navi; b) dopo quanto tempo,
dall’istante in cui A lascia l’imboccatura del porto, le navi si vengono a trovare a
distanza d; c) a che distanza da P si trovano le due navi quando esse sono a
distanza d.
A
P
v
v’
B
25) Mentre un ascensore si mette in moto verso l’alto con accelerazione costante A =
2 m/s un bullone si stacca dal soffitto della gabina la cui altezza è h = 2.2 m.
Determinare il tempo che impiega il bullone a raggiungere il pavimento
dell’ascensore e la sua velocità rispetto ad esso al momento dell’impatto. Si
risolva il problema utilizzando: a) il sistema di riferimento solidale con la tromba
dell’ascensore; b) il sistema di riferimento solidale con l’ascensore. c)
Determinare come variano le quantità precedentemente determinate se adesso
l’ascensore si mette in moto verso il basso con la stessa accelerazione A.
26) Il passeggero di un treno osserva un corpo puntiforme, inizialmente fermo, che
cade da una certa altezza h = 3 m; nell’istante in cui il corpo inizia a cadere il
treno ha una velocità v0 ed una accelerazione costante A (Si suppone che
accelerazione e velocità siano equiversi). Determinare la traiettoria del corpo
osservata dal passeggero del treno nei seguenti casi: a) v0 = 15 m/s ed A = 0 ; b) v0
= 0 ed A = 2 m/s; c) v0 = 15 m/s ed A = 5 m/s.
P
h
v0
A
27) Il passeggero di una giostra, che compie 3 giri al minuto, osserva il moto di un
corpo puntiforme che si muove, rispetto ad un osservatore fermo a terra, con
velocità costante v = 0.25 m/s lungo una traiettoria rettilinea, orizzontale e
passante per l’asse di rotazione della giostra. Determinare nel sistema di
riferimento solidale con la giostra la traiettoria del corpo a tempi successivi
all’istante di passaggio per l’asse di rotazione.
w
O
P
v
Cinematica dei corpi rigidi.
28) Un disco di centro O e raggio R si muove su un piano orizzontale con velocità v0,
costante, del suo centro e ruota con velocità angolare costante w attorno ad un
asse perpendicolare al piano del moto. a) Determinare le componenti ed il modulo
della velocità dei punti A, B, C, D indicati in figura. b) Determinare le
componenti ed il modulo della velocità dei punti A, C nel caso particolare v0 = wR
con il disco che si muove verso destra e ruota in verso orario. c) Sempre nel caso
particolare del punto b) si verifichi che la velocità di un qualsiasi punto P del
disco è perpendicolare al segmento PC ed è uguale in modulo al prodotto di w per
la distanza PC.
w
A
P B
D
O
v0
C
29) Per un disco di centro O e raggio R che si muove lungo un piano orizzontale con
moto di puro rotolamento (v0 = wR ) determinare: a) la traiettoria di un punto P
del bordo del disco; b) l’accelerazione a cui è soggetto P; c) le componenti
tangenziale e normale dell’accelerazione , in particolare per il punto più alto e più
basso della traiettoria; d) il raggio di curvatura della traiettoria, utilizzando i
risultati del punto c).
30) Si consideri il sistema di figura costituito da un disco di raggio R che ruota
attorno al suo centro O ed un’asta PB di lunghezza R imperniata liberamente con
un estremo al punto P del bordo della ruota e con l’altro estremo ad un manicotto
M vincolato a scorrere liberamente lungo una guida rettilinea passante per O . a)
Determinare la relazione che intercorre fra la velocità e l’accelerazione angolare
del disco e la velocità e l’accelerazione lineare dei punti P ed M≡B. b)
Determinare la velocità e l’accelerazione dell’estremo B dell’asta in termini della
velocità angolare del disco nel caso in cui questa sia costante. c) Nel caso in cui
l’estremo B non sia più collegato al manicotto, e quindi libero, determinare la
relazione che intercorre fra la velocità e l’accelerazione angolare del disco e
dell’asta PB e la velocità e l’accelerazione lineare dei punti P e B.
P
O
B
31) Si consideri il sistema di figura in cui la funicella a cui è appeso il corpo P viene
fatta passare attraverso una piccola carrucola A e congiunta ad una seconda
funicella, appesa in O alla stessa quota di A, nel punto B da cui pende un secondo
corpo. Fissata le distanze AO = BO = l determinare le relazioni che intercorrono
fra la velocità e l’accelerazione di P e di O. (Si suppone che i vari tratti di corda
siano sempre ben tesi durante il moto).
A
32)
O
B
P
32) Il sistema di figura è costituito da un’asta AO di lunghezza l = 4R appoggiata con
l’estremo A ad un piano verticale e incernierata liberamente in O all’asse di un
cilindro di raggio R che si può muovere lungo un piano orizzontale. Determinare,
quando il sistema si muove mantenendo A a contatto col piano verticale, le
relazioni che intercorrono fra la velocità di A , la velocità angolare dell’asta, la
velocità di O e la velocità angolare del cilindro nei seguenti casi: a) la rotazione
del cilindro è bloccata; b) il cilindro rotola senza strisciare; c) il cilindro rotola e
striscia. d) Si ripetano i calcoli dei precedenti tre punti per il caso in cui l’estremo
A della sbarra non sia più appoggiato al piano verticale.
33) A
a)
O
A
d)
O