Dipartimento di Ingegneria Meccanica,
Nucleare e della Produzione
RUOTE DENTATE
Perdite e rendimento
Prof. Ing. Enrico MANFREDI
Integrazione degli argomenti trattati al Cap. 15
del testo di Juvinall e Marshek:
“Fondamenti della progettazione
dei componenti delle macchine”
Rendimenti
1
Rendimento degli ingranaggi
•
Definizioni e cause di perdita:
η=
L

Lres Lmot − Ldissipato
=
= 1−  dissipato
Lmot
Lmot
 Lmot 
Ldissipato = Lrotolamento + L strisciamento + L perditefluidodinamiche
•
•
Perdite pari a ≈ 0,5% ÷5% del lavoro o della potenza trasmessa.
A moto lento la causa prevalente è lo strisciamento tra i denti.
•
•
•
•
Le perdite fluidodinamiche aumentano fortemente con la velocità.
Fattori chiave: tipo di dentatura, lubrificazione, vperiferica, finitura.
Il rendimento è migliore in recesso ? correzione delle dentature.
Sono preferibili le ruote cilindriche rispetto alle coniche, a denti dritti
piuttosto che curvilinei; a dentatura interna, piuttosto che esterna.
Caso peggiore: vite senza fine-ruota elicoidale; con rapporto
trasmissione 100:1 si può avere η < 50% (irreversibilità statica).
•
Rendimenti
2
1
Procedura per il calcolo del rendimento
•
Se M è la coppia motrice, il rendimento si può scrivere:
η=
•
•
•
•
•
Lres
L
(M 0 ⋅ θ ) = M 0
= motoreideale =
Lmot Lmotoreeffettivo (M ⋅θ ) M
Si considerano separatamente il meccanismo ideale (perdite
nulle) e quello reale (ad es.: con attrito).
Si assume che la coppia resistente sia la stessa nei due casi.
Si calcolano le coppie motrici a regime sia per il meccanismo
ideale (M 0) , sia per il meccanismo reale (M).
Si opera in modo analogo se, invece delle coppie, si devono
considerare forze motrici e resistenti (es.: piano inclinato)
Nella parte seguente è presentato il calcolo semplificato del
rendimento per le sole perdite per strisciamento di un
ingranaggio cilindrico a dentatura esterna dritta.
Rendimenti
3
Ingranaggi: caso ideale senza attriti
Momento rispetto ad O
M 0 = F ⋅ bm
La situazione è identica in
accesso ed in recesso
saccesso
srecesso
Forza
motrice
bm
Rendimenti
O
4
2
Attrito negli ingranaggi: in accesso
Momento rispetto ad O
M accesso = F ⋅ bm − f ⋅ F ⋅ ba
Forza d’attrito
Velocità di
strisciamento
Forza
motrice
bm
O
ba
Rendimenti
5
Attrito negli ingranaggi: in recesso
Momento rispetto ad O
M recesso = F ⋅ bm + f ⋅ F ⋅ b'a
Gli strisciamenti e l’attrito
hanno versi opposti a
quelli in accesso
Forza d’attrito
Velocità di
strisciamento
Forza
motrice
bm
Rendimenti
O
b’a
6
3
Procedura per il calcolo del rendimento di ingranaggi
contatto in un punto P in accesso (1)
M 1 = F ⋅ R1 cos Φ − f ⋅ F ⋅ ( R1sen Φ + CP)
R2 sen
senΦ
Φ−CP
M 2 = F ⋅ R2 cos Φ − f ⋅ F ⋅ ( R2sen Φ − CP)
O2
Coppie delle forze delle
R2 cos
cosΦ
Φ
dentature rispetto agli assi delle
P
C
F2-1
fF2-1
ruote 1 (motrice) e 2 (condotta)
Φ
Qui si mostrano le forze agenti
R1 cos
cosΦ
Φ
sulla ruota motrice
senΦ+
Φ+CP
CP
O1 R1 sen
Rendimenti
7
Procedura per il calcolo del rendimento di ingranaggi
contatto in un punto P in accesso (2)
M 1 = F ⋅ R1 cos Φ − f ⋅ F ⋅ ( R1sen Φ + CP)
R2 sen
senΦ
Φ−CP
M 2 = F ⋅ R2 cos Φ − f ⋅ F ⋅ ( R2sen Φ − CP)
O2
R2 cos
cosΦ
Φ
R [1 − f ( tgΦ + CP/ ( R1 cos Φ))]
P
M1 = M 2 1
C
F2-1
fF2-1
R2 [1 − f ( tgΦ − CP/ ( R2 cos Φ ))]
Φ
Relazione tra coppia motrice e
R1 cos
cosΦ
Φ
coppia resistente in presenza
senΦ+
Φ+CP
CP
O1 R1 sen
d’attrito di strisciamento
Rendimenti
8
4
Procedura per il calcolo del rendimento di ingranaggi
contatto in un punto P in accesso (3)
M 1 = F ⋅ R1 cos Φ − f ⋅ F ⋅ ( R1sen Φ + CP)
R2 sen
senΦ
Φ−CP
M 2 = F ⋅ R2 cos Φ − f ⋅ F ⋅ ( R2sen Φ − CP)
O2
R2 cos
cosΦ
Φ
R [1 − f ( tgΦ + CP/R1 cos Φ )]
P
M1 = M 2 1
C
F2-1
fF2-1
R2 [1 − f ( tgΦ − CP/R2 cos Φ) ]
Φ
R1 cos
cosΦ
Φ
O1
R1 sen
senΦ+
Φ+CP
CP
M 10 = M 2
R1
L
M
; η = mot.ideale = 10
R2
Lmotore
M1
Coppia motrice con attrito nullo ed
espressione del rendimento
Rendimenti
9
Procedura per il calcolo del rendimento di ingranaggi
contatto in un punto P’ in recesso
M 1 = F ⋅ R1 cos Φ + f ⋅ F ⋅ ( R1senΦ − CP' )
R2 senΦ+CP’
M 2 = F ⋅ R2 cos Φ + f ⋅ F ⋅ ( R2 sen Φ + CP ' )
O2
R2 cosΦ
P’
M1 = M 2
C
Φ
R1 cosΦ
O1
R1 senΦ−CP’
R1 [1 + f ( tg Φ − CP' /R1 cos Φ ) ]
R2 [1 + f ( tg Φ + CP' /R2 cos Φ )]
M 10 = M 2
Rendimenti
R1
M
;η= 1
R2
M 10
10
5
Rendimenti istantanei
•
Considerando solo gli strisciamenti in accesso il rendimento è:
η accesso =
•
1 − f ( tg Φ + CP / R1 cos Φ)
1 − f ( tg Φ − CP / R1 cos Φ)
Invece in recesso il rendimento è :
η recesso =
1 + f (tg Φ − CP ' / R1 cos Φ)
1+ f ( tg Φ + CP ' / R1 cos Φ)
– Il valore in recesso è un po’ maggiore di quello in accesso.
•
CP e CP’ sono aliquote del segmento dei contatti, che si divide in una
parte in accesso ed una in recesso.
•
Il segmento dei contatto è pari a GR volte il passo di base (GR =
grado di ricoprimento)
•
Per il coefficiente d’attrito si può assumere un valore medio (con
buona lubrificazione fmedio ≈ 0,06)
Rendimenti
11
Perdite per strisciamento
e valore medio del rendimento
Considerando i lavori delle coppie motrice M 1 e resistente
M 2 su un arco di ingranamento θ = s/R pari ad un passo:
L2 = M 2
ηmedio
p
1
; L1 =
R2
R1
(∫
accesso
M 1ds + ∫
recesso
M 1ds
)
2
2
1
L2
1  saccesso
+ srecesso
=
= 1 − f medio  + 
L1
p
 R1 R2 
N.B. Qui si assume un grado di ricoprimento unitario con f=costante.
Relazioni analoghe nel caso di GR≠1
Rendimenti
12
6
Rendimento delle trasmissioni ingranaggi
• Le perdite possono essere:
– dipendenti dal carico (per lo più dovute allo strisciamento delle
dentature);
– indipendenti dal carico (per lo più fluidodinamiche o dovute ai
cuscinetti).
– N.B. Perciò il rendimento è minore con carichi bassi.
• Le perdite fluidodinamiche variano all’incirca con la terza
potenza della velocità periferica.
• Il lavoro dissipato si trasforma in calore, perciò:
– è necessario il raffreddamento (sistema lubrificazione);
– occorre, a volte, valutare la temperatura delle dentature.
Rendimenti
13
Perdite di potenza complessive: esempio
(riduttore aeronautico: 3500 kW, 13000 giri/min)
η ≈ 0,99
Perdite
4 Cuscinetti
kW
10
Ingranaggio
vP elevata, cost.
Aerodinamiche +
+ rotolamento
5
Strisciamento
0
1500
Potenza trasm.
3000
kW
Rendimenti
Inoltre: energia dissipata da
pompe e circuito lubrificazione 14
Da: N.E. Anderson et al., Jou. of Mechanisms etc., Sett. 1986, p.
p. 424
7
Rendimenti dei rotismi epicicloidali (1)
• Le perdite di un rotismo epicicloidale e quelle dello
stesso rotismo reso ordinario sono analoghe.
• Detto (1−η0) il fattore di perdita del rotismo ordinario, se
ω1 è la velocità della ruota motrice, la potenza dissipata
si può scrivere come segue:
Pdissipata = M motω1 (1 − η ) = M mot (ω1 − ω P )(1 − η0 )
ω − ωP

η =1−  1
(1 −η 0 )
 ω1

Ø La velocità di rotazione del portatreno ωP dipende
dal rapporto di trasmissione i0 del rotismo reso
ordinario;
Ø ωP si può trovare tramite la nota formula di Willis.
perciò sarà :
Rendimenti
15
Rendimenti dei rotismi epicicloidali (2)
• Di regola il rendimento η è uguale o leggermente
superiore a quello η0 del rotismo ordinario.
• Per certi valori del rapporto di trasmissione i0 il
rendimento è basso, nullo o perfino negativo:
η
1
η0
+1
Rendimenti
1 / i0
16
8
Temperatura del dente
Gocce calde centrifugate
superficie
Hertziana
Temperatura
arrivo lubrificante
vstrisciamento
vperiferica
Flusso calore
T = Tmedia + ∆Tlocale ≈ Tlubrif. + ∆Tlocale
Rendimenti
17
Aumento della temperatura locale (Tflash )
Faccia attiva del dente
superficie
Hertziana
2a
vstrisciamento
Tflash = f(attrito, pressione, velocità e lunghezza di
strisciamento, capacità e conducibilità termica)
(Formula di Blok)
Rendimenti
18
9
vperiferica
Coeff. attrito
Forze,
coeff.
attrito
Forza / unità
larghezza dente
Strisciamento
Vrelativa
strisciamento
Temperature
Temp.
integrale
Tflash di Blok
∆T media
Accesso
Tlubrificante
Recesso
Rendimenti
Arco di ingranamento
19
Usura e micropitting delle dentature
e lubrificazione elastoidrodinamica (EHD)
•
Viscosità dell’olio aumenta con la pressione (GPa); deformazione elastica;
moto relativo; formazione meato di spessore hEHD
•
hEHD = f (viscosità olio, coeff. aumento viscosità con pressione, carico
unitario, rigidezza materiali, velocità relativa) (formula di Dowson et al.).
•
Il parametro Λ misura il rapporto tra hEHD ed altezza media delle
rugosità superficiali dei due corpi.
•
Si ha separazione completa se Λ maggiore di 3÷5 (usura nulla).
•
Nelle dentature spesso Λ minore di 1 ; usura, micropitting,
surriscaldamento.
•
Fattori chiave di durata: finitura, additivi del lubrificante, rodaggio.
Rendimenti
20
10
Lubrificazione
Ridurre il numero di guarnizioni e
Olio
preferire O-ring per evitare perdite olio
Ø Oli minerali con
viscosità medio alta.
Ø Lubrificanti
sintetici (temp. alte /
basse)
ØAdditivi mirati.
Emulsione
A getto d’olio
fino ad oltre 100 m/s
A sbattimento vP≤15 m/s
vperiferica
A grasso fluido
(semi-liquido) vP≤ 5 m/s
Rendimenti
21
Riferimenti
• Funaioli et. al., Meccanica applicata alle macchine.
• Niemann, Winter, Elementi di macchine, II e III voll.
• Henriot, Manuale pratico degli ingranaggi
• Townsend (coord.), Dudley’s Gear Handbook.
Rendimenti
22
11