UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE
ISTITUTO DI STATISTICA
Alessandro CIPOLLINI
Luigi SANTAMARIA
UNA GENERALIZZAZIONE DEL
MODELLO BLACK-SHOLES
Serie E.P. N. 127 - Dicembre 2005
Finito di stampare nel mese di Dicembre 2005
Da MULTISERVER S.r.l.
Via Galliate, 22 - 28069 Romentino (Novara)
2
UNA GENERALIZZAZIONE DEL
MODELLO BLACK-SHOLES. *
Alessandro Cipollini,
Luigi Santamaria.
Laboratorio di Statistica applicata alle Decisioni Economiche-Aziendali
Istituto di Statistica
Università Cattolica del Sacro Cuore-Milano.
ABSTRACT.
Un’assunzione comune nel modello di Black and
Sholes è che le fluttuazioni del valore del sottostante siano descritte
da un moto Browniano geometrico.
E’ del tutto naturale pensare
che tali fluttuazioni siano modellizzabili attraverso un generico processo stocastico che dipende da alcuni parametri strutturali che possono essere scelti a partire dal contesto finanziario. Da questo punto
di vista è chiaro che risulta estremamente approssimativo descrivere i
deversi scenari finanziari che condizionano direttamente il valore del
sottostante utilizzando solo la volatilità stocastica ed il drift che compaiono nell’esponente del moto Browniano geometrico. L’obbiettivo
che ci siamo posti è quello di estendere il meccanismo di Black and
Sholes per stabilire i prezzi di un titolo derivato al caso in cui il valore
del sottostante sia ben descritto da una diffusione di Ito. E’ possibile
definire una formula più generale che sostituisce la ben nota di Black
and Sholes. In particolare risulta possibile caratterizzare il processo che
descrive i prezzi del derivato lungo l’orizzonte finanziario come soluzione
di una Equazione alle Derivate Parziali del tutto similare all’equazione
di Black-Sholes-Merton. Essendo il modello comunemente usato da
Black and Sholes una diffusione di Ito è possibile ritrovare i risultati
ben noti in letteratura. Infine come esempio di diffusione di Ito abbiamo
utilizzato il processo di Ornstein and Uhlenbeck che sembra adattarsi
bene a descrivere situazioni in cui il valore del sottostante è presunto a
scadenza ’Out of Money’ eccetto imprevisti particolari.
*
Parole chiave: Formula di Black and Sholes, Diffusioni di Ito, Opzioni Europee, etc.
1
1. Introduzione
Supponiamo di voler studiare l’andamento di un titolo di borsa, lungo l’orizzonte finanziario [0, T ]. Chiamato S = {St }t∈[0,T ] , il valore del sottostante che il titolo assume
nell’arco temporale [0, T ] e B = {Bt }t∈[0,T ] tasso di cambio, comunemente si assume
che:
Bt = ert ,
St = xeσWt +µt ,
t ∈ [0, T ], r ∈ [0, 1],
(1)
ove µ ∈ R è una costante detta drift che rappresenta la tendenza del titolo, σ è la
volatilità stocastica e W = {Wt }t∈[0,T ] è un moto Browniano definito in uno spazio di
probabilità (Ω, F , P) rispetto alla filtrazione {Ft }t∈[0,T ] . Si noti che B = {Bt }t∈[0,T ] è
il comune tasso di cambio in un regime di interesse esponenziale con tasso r ∈ [0, 1].
In letteratura, si veda ad esempio [1] per una definizione rigorosa, la coppia di funzioni
(B, S) = ({Bt }t∈[0,T ] , {St }t∈[0,T ] ) viene chiamata modello di Black and Sholes.
Si osservi che, essendo W = {Wt }t∈[0,T ] moto Browniano tale che ciascuna traiettoria
Wt : (Ω×[0, t], F ) → (R, B(R)) (t ∈ [0, T ])continua con probabilità P uguale ad 1, segue
che similmente S = {St }t∈[0,T ] ha ancora traiettorie St : (Ω × [0, t], F ) → (R, B(R))
(t ∈ [0, T ])continue con probabilità P uguale ad 1. Inoltre W è adattato in {Ft }t∈[0,T ] ,
cioè le sue traiettorie sono tali che Wt ∈ Ft (t ∈ [0, T ]), di modo che la mappa Wt :
(Ω × [0, t], Ft) → (R, B(R)) (t ∈ [0, T ])è misurabile. Di conseguenza anche S è adattato
in {Ft }t∈[0,T ] .
Si può facilmente dimostrare che la funzione aleatoria S è una soluzione forte nella
filtrazione {Ft }t∈[0,T ] dell’ Equazione Differenziale Stocastica (E.D.S.):
dSt = σSt dWt + (µ − σ 2 /2)St dt, t ∈ (0, T ]
(2)
S0 = x.
Di conseguenza:
dWt
dSt
= µSt + σ
,
t ∈ [0, T ]
(3)
dt
dt
con S0 = x dato iniziale. L’equazione (3) chiarisce l’interpretazione finanziaria del
modello (1) : fissato un qualunque tempo t ∈ [0, T ], la variazione infinitesimale del
valore del sottostante S al tempo t è funzione del valore del sottostante al tempo t
medesimo e della variazione infinitesimale di un fattore casuale W.
In particolare si noti che se poniamo σ = 0 allora si ottiene l’Equazione Differenziale
Ordinaria
dSt
= µSt ,
dt
t ∈ [0, T ],
2
(4)
che corrisponde ad assumere che la variazione infinitesimale al tempo t del valore del
sottostante sia direttatamente proporzionale al valore che esso assume all’inizio del
periodo d’osservazione, cioè al tempo t medesimo. In quest’ottica il parametro µ, detto
drift, è esattamente la costante che specifica tale relazione di proporzionalità diretta.
Al contrario ponendo µ = 0 nella (3) si ottiene l’Equazione Differenziale Stocastica
dWt
dSt
=σ
,
dt
dt
t ∈ [0, T ],
(5)
che corrisponde ad assumere che la variazione infinitesimale al tempo t del valore del
sottostante sia direttamente proporzionale alla variazione infinitesimale del processo
casuale W. Come prima il parametro σ detto anche volatilità stocastica è la costante che
specifica tale relazione di proporzionalità. In particolare il fattore dWt /dt (t ∈ [0, T ]),
comunemente detto rumore bianco, interpreta la variazione infinitesimale del sottostante
dovuta a fluttuazioni casuali.
Ora osserviamo che, definite le due funzioni b(x) = (µ − σ 2 /2)x ed σ(x) = σx (x ∈ R),
la (2) diviene:
dSt = σ(St )dWt + b(St )dt, t ∈ (0, T ]
(6)
S0 = x.
Si noti che la (6) equivale alla seguente Equazione Differenziale, del tutto analoga alla
(3) :
dSt
dWt
= b(St ) + σ(St )
,
dt
dt
t ∈ [0, T ],
(7)
con S0 = x condizione al bordo. Di conseguenza, ragionando in modo del tutto similare a prima, possiamo identificare la funzione b con il drift e la funzione σ con la
volatilità stocastica. Similmente dWt /dt (t ∈ [0, T ]) è il rumore bianco che interpreta
la fluttuazione puramente casuale del valore del sottostante.
E’ chiaro che, al fine di rendere più vicino alla realtà il modello assunto per interpretare le fluttuazioni del valore del sottostante, è necessario presupporre che sia il drift
b che la volatilità stocastica σ abbiano una forma funzionale generica.
Ad esempio possiamo dover supporre che b(x) = −λx (λ > 0) ed σ(x) = σ (x ∈ R) cui
corrisponde la seguente Equazione Differenziale Stocastica:
dSt = −λSt dt + σdWt ,
S0 = x.
3
t ∈ (0, T ]
Si noti che essendo λ > 0, −λ è un drift negativo bilanciato dall’effetto della pura
fluttuazione casuale:
dSt
dWt
= −λSt + σ
,
t ∈ [0, T ].
dt
dt
Confrontando con la (3) è immediato vedere che dal punto di vista finanziario stiamo
supponendo di essere nel caso in cui il valore del sottostante sia decrescente nel tempo
con una costante di proporzionalità diretta pari a λ e nel contempo tale decrescita
sia bilanciata da fluttuazioni casuali nel senso opposto. E’ un contesto in cui sarebbe
ragionevole aspettarsi che l’Opzione sia a scadenza ’Out of the money’, eccetto imprevisti
particolari.
Obbiettivo del nostro lavoro è generalizzare la formula di Black and Sholes ed in
particolare i meccanismi di Asset Price Forecast al caso in cui il processo S, valore del
sottostante, è una soluzione forte dell’Equazione Differenziale Stocastica:
dSt = σ(St )dWt + b(St )dt, t ∈ (0, T ]
S0 = x.
(8)
per valori delle funzioni b e σ generali. Chiaramente b e σ dovranno soddisfare alcune
condizioni strutturali dal punto di vista funzionale. Equivalentemente, ponendo a(x) =
σ 2 (x) (x ∈ R), si ha che S soluzione della (8) è una diffusione di Ito di parametri
funzionali a e b.
Nel paragrafo §2, per facilitare la comprensione dei paragrafi successivi, riportiamo una
costruzione analitica del modello di Black and Sholes. I paragrafi §3 e §4 costituiscono
la parte centrale del nostro lavoro; in essi interpretiamo l’andamento del valore del
sottostante S con una generica diffusione di Ito i cui parametri (drift e volatilità) sono
funzioni di forma generica. In particolare nel paragrafo §3 analizziamo un contesto
finanziario in cui il tasso d’interesse è banale (r = 0), viceversa nel paragrafo §4 un
contesto in cui il tasso d’interesse è non banale (r ∈ (0, 1)). In entrambi i paragrafi sopra
citati . La nostra idea è che la forma funzionale di tali parametri dipenda fortemente
dal contesto finanziario in cui l’investitore si trova; pertanto obbiettivo dei due paragrafi
è determinare formule generali che possano essere esplicitate una volta scelti b e σ. A
titolo esemplificativo, nel paragrafo §5, abbiamo scelto di riportare i risultati ottenuti
in due casi specifici: il caso in cui b e σ sono definiti come nel modello di Black and
Sholes, in modo da mostrare che (1) è solamente una delle possibile scelte, ed infine il
caso in cui b e σ descrivono un contesto finanziario in cui il valore del sottostante, salvo
imprevisti, decresce nel tempo.
4
2. Preliminari.
Abbiamo pensato di premettere una delle possibili costruzioni analitiche del modello
di Black and Sholes, al fine di facilitare la comprensione dei passaggi effettuati nei
paragrafi successivi. Sia (B, S) = ({Bt }t∈[0,T ] , {St }t∈[0,T ]) modello di Black and Sholes,
come riportato in (1) e consideriamo il titolo derivato X nell’orizzonte finanziario [0, T ].
Per quasi tutti i tipi di titoli derivati è ragionevole supporre che esista una mappa
f : R → R per cui X = f (ST ); in questi casi comunemente è detto che il derivato X è
funzione del valore che il sottostante assume a scadenza (esempio elementare è il caso
in cui f (x) = (x − k)+ oppure f (x) = (k − x)+ che corrisponde rispettivamente ad
un Opzione Call o ad un Opzione Put). Chiaramente a questo punto il derivato X è
una variabile aleatoria definita nello spazio di probabilità (Ω, F , P) tale che X ∈ FT ed
E P |X| < ∞.
Riassumiamo in breve il meccanismo attraverso il quale è possibile stabilire il prezzo
che il titolo derivato X deve avere affinchè sia garantita la condizione di non-arbitraggio.
Innanzitutto osserviamo che, eccetto nel caso in cui r = 0, il tasso di cambio B è tale che
Bt 6= 1 (t ∈ [0, T ]), pertanto definiamo valore del sottostante puro il processo stocastico
Z = {Zt }t∈[0,T ] definito come
Zt = Bt−1 St = xeσWt +(µ−r)t .
t ∈ [0, T ]
(9)
Possiamo dedurre utilizzando la formula di integrazione per parti che Z è la soluzione
forte rispetto alla filtrazione originaria {Ft }t∈[0,T ] della seguente Equazione Differenziale
Stocastica:
dZt = σZt dWt + (µ − σ 2 /2 − r)Zt dt, t ∈ (0, T ]
(10)
Z0 = x.
Chiaramente l’equazione (10) è del tutto paragonabile ad (2) e conseguentemente può
essere interpretata in modo analogo.
Un metodo spesso usato in teoria della Probabilità è utilizzare il teorema di Girsanov ([2]) per costruire una misura assolutamente continua rispetto a P secondo la
quale processi stocastici generali diventano Martingale. Essendo questo passaggio fondamentale per l’estensione dimostrata nell’articolo, conviene richiamare brevemente i
passaggi. Definiamo nello spazio di probabilità (Ω, F , P) il processo stocastico
dQ dP
Ft
= exp
n
−
µ − r − σ 2 /2 σ
5
Wt −
1 µ − σ 2 /2 − r 2 o
t ,
2
σ
per ogni t ∈ [0, T ].
Sia {Qt }t∈[0,T ] : Ft × [0, 1] successione di ’misure’ definite sullo spazio misurabile (Ω, F )
in modo che:
h dQ i
Qt (A) = E P
1A ,
A ∈ Ft ,
(11)
dP Ft
per ogni t ∈ [0, T ].
Verifichiamo che {Qt }t∈[0,T ] sia realmente una successione di misure propriamente dette:
Lemma 2.1
Si consideri W = {Wt }t∈[0,T ] moto Browniano definito nello spazio
di probabilità (Ω, F , P) rispetto alla filtrazione {Ft }t∈[0,T ] . Allora {Qt }t∈[0,T ] : Ft →
[0, 1] sono misure di probabilità definite sullo spazio misurabile (Ω, F ) consistenti, i.e.
Qt |Fs = Qs (t, s ∈ [0, T ] : s ≤ t).
Proof
Si consideri il processo stocastico β = {βt }t∈[0,T ] definito come:
Z t
µ − r − σ 2 /2 µ − r − σ 2 /2 dWs =
Wt .
βt =
σ
σ
0
E’ chiaro che, essendo Wt ∈ Ft (t ∈ [0, T ]), β è un processo stocastico continuo ed
adattato rispetto a {Ft }t∈[0,T ] e, dal teorema d’Integrazione Stocastica ([2]), segue che
è una Martingala Locale.
Si noti che:
Z t
µ − r − σ 2 /2 2
µ − r − σ 2 /2 2
µ − r − σ 2 /2 2
ds =
t≤
T <∞
[β]t =
σ
σ
σ
0
per ogni t ∈ [0, T ]. Pertanto β è un processo a variazione quadratica finita nell’intervallo
limitato [0, T ].
Poniamo per ogni t ∈ [0, T ] :
dQ
dP Ft
= e−βt −[β]t /2 = exp
n
−
µ − r − σ 2 /2 σ
Wt −
µ − r − σ 2 /2 2
σ
o
t/2 .
E’ ben noto (si veda ad esempio ancora [2]) che dQ/dP |Ft (t ∈ [0, T ]) è una Mar
tingala, {Ft }t∈[0,T ] -adattata, uniformemente integrabile e tale che dQ/dP |F0 = 1 con
probabilità 1.
Poniamo {Qt }t∈[0,T ] come in (10) e dall’additività dell’integrale di Lebesgue segue che
Qt : Ft → [0, 1] è realmente una misura per ogni t ∈ [0, T ].
6
Infine:
EP
i.e. sono consistenti.
h dP i
h dP i
|Ft = E P
|Fs ,
dQ
dQ
∀s ≤ t,
Il processo stocastico β è uniformemente integrabile e questo, insieme al teorema di Convergenza delle Martingale ([2]), assicura l’esistenza una misura Q : FT → [0, 1] definita
sulla σ−algebra FT tale che Q = QT , per consistenza. E’ importante sottolineare che
sia l’espressione (11) sia lo stesso lemma 1.1 possono essere estese, come d’altronde fatto
nei paragrafi §2 e §3, purchè le funzioni b = b(x) ed σ = σ(x) (x ∈ R) soddisfino una
particolare condizione integrale ((C.I) e (C.III)).
Sia X un titolo derivato, rappresentato da una variabile aleatoria X : Ω → R
FT −misurabile ed integrabile rispetto alla misura P. E’ possibile definire un processo
Π = {Πt }t∈[0,T ] che rappresenta il prezzo che il titolo derivato deve avere affinchè sia
rispettato il principio di non arbitraggio:
Theorem 2.2 Si consideri il modello (B, S) = ({Bt }t∈[0,T ], {St }t∈[0,T ] ) definito nello
spazio probabilistico (Ω, F , P) da (1), ed X un qualunque derivato osservato lungo
l’orizzonte finanziario [0, T ]. Esiste un processo stocastico Π = {Πt }t∈[0,T ] , prezzo del
derivato, adattato in {Ft }t∈[0,T ] e definito come:
h
i
Πt = e−r(T −t) E Q X|Ft ,
t ∈ [0, T ],
(12)
dove Q : FT → [0, 1] è la misura Q = QT definita in (11).
Proof
Il primo passo per una dimostrazione rigorosa è mostrare che la misura Q è
tale che Z processo stocastico che rappresenta il valore del sottostante opportunamente
attualizzato è una Martingala in {Ft }t∈[0,T ] .
Dal teorema di Girsanov ([2]) segue che il processo Xt = Wt − [β, W ]t (t ∈ [0, T ]) è una
Martingala Locale continua rispetto alla misura Q e alla filtrazione usuale {Ft }t∈[0,T ] .
In particolare:
Z t
µ − r − σ 2 /2 µ − r − σ 2 /2 Xt = Wt +
ds = Wt +
,
t ∈ [0, T ].
σ
σ
0
Osserviamo che dXt dXt = dWt dWt = dt (t ∈ [0, T ]) o analogamente [X]t = [W ]t = t
(t ∈ [0, T ]), dal fatto che l’integrale di Lebesgue definisce una misura assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue e pertanto ha variazione finita. Il teorema di caratterizzazione di Levi ([2]) implica che X = {Xt }t∈[0,T ] definito sopra è un {Ft }t∈[0,T ] moto Browniano rispetto alla misura Q.
7
Dall’unicità della distribuzione di una soluzione forte di una Equazione Differenziale
Stocastica segue che:
h
µ − r − σ 2 /2 i
dZt = σZt dWt +
dt = σZt dXt ,
σ
t ∈ [0, T ]
rispetto alla misura Q. Di conseguenza, in distribuzione, la soluzione Z non può essere
diversa dalla soluzione della seguente Equazione Differenziale Stocastica:
dZt = σZt dXt , t ∈ (0, T ]
(13)
Z0 = x.
Oppure equivalentemente:
Zt = x +
Z
t
σZs dXs ,
t ∈ [0, T ].
0
(14)
Dalla (12) si vede facilmente che Z rispetto alla misura Q è una Martingala Locale in
{Ft }t∈[0,T ] ed inoltre è continua. Infine:
E
Q
t
hZ
σZs dXs
0
i2
=E
Q
hZ
t
σ
0
2
Zs2 ds
i
=σ
2
Z
t
E Q [Zs ]ds,
0
per ogni t ∈ [0, T ]. Dalla (11) segue che, rispetto alla misura Q :
Zt = xeσXt −tσ
2
/2
,
t ∈ [0, T ],
ove X è un moto Browniano in {Ft }t∈[0,T ] . Pertanto per ogni t ∈ [0, T ] si ha che
σ
2
Z
0
t
Z t
i
h
h i
2
2
2
x2 e−sσ σ 2 E Q e2σXs ds = x2 eσ t ,
E Zs ds =
Q
0
e conseguentemente
i2
hZ t
2
2
Q
σZs dXs = x2 eσ t ≤ x2 eσ T < ∞,
E
0
t ∈ [0, T ].
Dunque Z è una Martingala Locale in {Ft }t∈[0,T ] rispetto alla misura Q, sia continua,
sia limitata in L2 e pertanto è una Martingala ben definita.
Ora tornando all’obbiettivo principale, definiamo E = {Et }t∈[0,T ] come
h
i
Q −rT
X|Ft ,
t ∈ [0, T ]
Et = E e
8
valore atteso del derivato X al tempo T opportunamente attualizzato su tutto il periodo
d’osservazione. E’ elementare osservare che il processo E è una Martingala rispetto alla
filtrazione {Ft }t∈[0,T ] ed inoltre alla misura Q; si noti anche che E è uniformemente
integrabile come successione di variabili aleatorie.
Nello spazio probabilistico (Ω, F , Q) abbiamo costruito due {Ft }t∈[0,T ] -Martingale, i.e.
Z ed E cosı̀ che dal teorema di Rappresentazione delle Martingale ([2]) segue che esiste
un processo {Ft }t∈[0,T ]-adattato φ = {φt }t∈[0,T ] tale che:
dEt = φt dZt ,
t ∈ [0, T ].
(15)
Equivalentemente:
h
i
h
i Z t
Q
φu dZu ,
Et = E X|Ft = E X|Ft +
Q
0
t ∈ [0, T ].
(16)
Consideriamo la strategia (φ, ψ) = ({φt }t∈[0,T ] , {ψt }t∈[0,T ] ) dove φ è definito dalla (15)
e ψ come:
ψ:
ψt = Et − φt Zt ,
t ∈ [0, T ].
(17)
Notiamo che φ specifica ad ogni tempo dell’orizzonte finanziario la quantità di sottostante che il Long Seller deve comprare/vendere al fine di bilanciare l’acquisto del
derivato. Infatti, al più nel senso di Radon-Nikodymn φt = dEt /dZt (t ∈ [0, T ]), per cui
ad ogni tempo t ∈ [0, T ] φt è l’incremento nel valore attuale del Derivato al variare di un
incremento infinitesimale del valore del sottostante attualizzato al tempo t medesimo.
Il valore della strategia (φ, ψ) è pari ad:
Vt = φt St + ψt Bt ,
t ∈ [0, T ].
Sostituendo la definizione di ψ vediamo che Vt = Bt Et (t ∈ [0, T ]), dal quale si deduce
che (φ, ψ) è l’unica strategia possibile di copertura. Inoltre le fluttuazioni nel valore della
strategia (φ, ψ) dipendono esclusivamente dalle fluttuazioni del valore del sottostante:
dVt = d(Bt Et ) = Bt dEt + rBt Et dt = Bt φt dZt rBt Et dt = Bt φt dZt rBt (ψt + φt Zt )dt,
per ogni t ∈ [0, T ]. Pertanto (φ, ψ) è autofinanziata.
9
La condizione di non-arbitraggio impone che il processo stocastico Π = {Πt }t∈[0,T ] ,
prezzo del titolo derivato lungo l’orizzonte [0, T ] sia determinato dalla condizione Πt =
Vt (t ∈ [0, T ]). Di conseguenza:
h
i
h
i
Πt = Bt Et = ert E Q e−rT X|Ft = e−r(T −t) E Q X|Ft ,
t ∈ [0, T ],
come peraltro richiesto.
Se esiste una mappa f : R → R tale che X = f (ST ) la formula (12) diviene:
h
i
∀t ∈ [0, T ].
Πt = e−r(T −t) E Q f (ST )|Ft ,
(18)
Dividendo la σ−algebra Ft in insiemi {St = s} (s ∈ R) la formula precedente diviene:
h
i
h
i
Πt = e−r(T −t) E Q f (ST )|St = s = e−r(T −t) E Q,s f (ST −t ) ,
∀t ∈ [0, T ],
(19)
poichè S è un processo di Markov. Vedremo nei paragrafi successivi che nel caso di
un drift b e di una volatilità stocastica σ con forma generale è possibile trovare ancora
una formula esplicita per il processo Π, del tutto similare a (19) eccetto che per la
distribuzione del processo S.
La formula (19) è particolarmente interessante, poichè consente di valutare il prezzo
che il titolo derivato X = f (ST ) deve avere al tempo t ∈ [0, T ] fissato affinchè non vi
sia possibilità di arbitraggio. In quest’ottica possiamo osservare che, essendo Z =
{Zt }t∈[0,T ] soluzione forte in {Ft }t∈[0,T ] dell’Equazione Differenziale Stocastica (13),
segue che:
2
St = seσXt +(r−σ /2)t ,
t ∈ [0, T ],
su {St = s} ∈ Ft (t ∈ [0, T ]). Di conseguenza St = seZ+rt per Z ∼ N (−tσ 2 /2, σ 2 t)
(t ∈ [0, T ]) per cui l’espressione (19) diviene:
Z
2
2
2
h
i
e−(x+(T −t)σ /2) /2σ (T −t)
x
−r(T −t)
p
· dx,
f (se ) ·
Πt = e
E f (ST )|St = s = e
2πσ 2 (T − t)
R
(20)
per ogni t ∈ [0, T ] ed ω ∈ {St = s}. Si noti che (20) fornisce per ogni t ∈ [0, T ] fissato il
prezzo di non arbitraggio che il titolo derivato deve avere al tempo t sapendo che il valore
−r(T −t)
Q
del sottostante è s. Di conseguenza è possibile prezzare X lungo tutto l’arco di tempo
10
[0, T ]. La formula (20) è detta Formula di Black and Sholes. Per una discussione generale
relativa alla formula di Black and Sholes ed alle sue applicazioni è utile consultare [3]
oppure [4]. Ora vediamo un esempio applicativo:
Example 2.3 Ad esempio poniamo che X sia un Opzione Europea di tipo Call, per cui
esiste f : R → R con f (x) = (x − k)+ tale che X = (ST − k)+ . In questo caso k viene
anche detto strike price. Il prezzo di non arbitraggio è dato da Π = {Πt }t∈[0,T ] dove Πt
prezzo al tempo t ∈ [0, T ], sapendo che il valore del sottostante al tempo t medesimo è
s, è dato dalla formula (20) :
ln(s/k) + (T − t)(r + σ 2 /2) ln(s/k) + (T − t)(r − σ 2 /2) −r(T −t)
p
p
Πt = sφ
− ke
φ
,
σ (T − t)
σ (T − t)
con φ(x) =
Rx
−∞
e−y
2
/2
√
dy/ 2π per x ∈ R.
Come peraltro verrà esposto nel paragrafo §4, la generalizzazione al caso di un un drift
b e di una volatilità stocastica σ in forma generale, consente ipotesi generali sul processo
S. In quest’ottica è interessante sottolineare che è possibile ricavare a seconda del drift
b e della volatilità σ scelta formule esplicite del tutto analoghe a (20) attraverso le quali
è possibile prezzare un Opzione Europea di tipo Call come fatto nell’esempio 2.3.
Ora a scopo interpretativo è importante caratterizzare l’espressione (19) :
Theorem 2.4 Si consideri il modello (B, S) = ({Bt }t∈[0,T ] , {St }t∈[0,T ] ) definito sullo
spazi di probabilità (Ω, F , P) da (1) ed X titolo derivato funzione del valore del sot-
tostante a scadenza. Per ogni f : R → R tale che X = f (ST ), esiste un unica funzione
u ∈ C 2,1 (R×[0, T ]) tale che Πt = u(St , t) (t ∈ [0, T ]). In particolare u ∈ C 2,1 (R×[0, T ])
è l’unica soluzione dell’Equazione alle Derivate Parziali:
∂u(s,t)
∂t
+
∂ 2 u(s,t)
∂s2
2
· σ2 + ∂u(s,t)
· rs − ru(s, t) = 0, 0 ≤ t < T, s ∈ R
∂s
u(s, T ) = f (s),
s∈R
(21)
tale che Πt = u(St , t) (t ∈ [0, T ]).
Proof Consideriamo qualunque u : R × [0, T ] → R con u ∈ C 2,1 (R × [0, T ]) e, dato il
processo Π = {Πt }t∈[0,T ] , poniamo Πt = u(St , t) (t ∈ [0, T ]). Chiaramente t ∈ [0, T ] :
1 ∂ 2 u(St , t)
∂u(St , t)
∂u(St , t)
dSt + ·
dSt dSt +
dt.
du(St , t) =
2
∂s
2
∂s
∂t
11
Abbiamo mostrato che, rispetto alla misura Q, Z è la soluzione forte di (13) per cui,
essendo dZt = e−rt dSt − re−rt St dt (t ∈ [0, T ]), si può concludere che S l’unica soluzione
forte dell’Equazione Differenziale Stocastica:
dSt = σdXt + rSt dt, t ∈ [0, T ]
S0 = x,
(22)
dove X = {Xt }t∈[0,T ] è un moto Browniano rispetto ad {Ft }t∈[0,T ] sotto la misura Q.
Sostituendo:
∂ 2 u(S , t) σ 2
∂u(St , t)
∂u(St , t)
∂u(St , t) t
dt,
du(St , t) =
· σdXt +
·
+
·
rS
+
t
∂s
∂s2
2
∂s
∂t
per ∀t ∈ [0, T ].
Dal teorema 1.2 segue che Πt = Vt (t ∈ [0, T ]), dove V = {Vt }t∈[0,T ] è il valore della
strategia autofinanziata (φ, ψ), cosı̀ che u(St , t) = Vt (t ∈ [0, T ]). Pertanto, essendo
(φ, ψ) autofinanziata, le fluttuazioni di V dipendono esclusivamente dalle fluttuazioni
di S e di B :
du(St , t)− = φt dSt + ψt dBt = φt σdXt + rφt St dt + rert ψt dt =
= φt σdXt + rφt St + rert ψt ,
t ∈ [0, T ].
Dalla definizione di ψ, si deduce che per ogni t ∈ [0, T ] :
du(St , t) = φt σdXt + rφt St dt + Et dBt − φt Bt−1 St dBt = φt σdXt + ru(St , t)dt,
poichè dal teorema visto precedentemente u(St , t) = Πt = Et Bt (t ∈ [0, T ]).
Paragoniamo le due equazioni trovate per rappresentare du(St , t) (t ∈ [0, T ]). Innanzitutto segue che il processo continuo e adattato φ = {φt }t∈[0,T ] è completamente
determinato dall’espressione
φt =
∂u(St , t)
,
s
t ∈ [0, T ].
(23)
Inoltre paragonando i coefficenti:
∂u(St , t) ∂ 2 u(St , t) 2 ∂u(St , t)
+
·σ +
· rSt − ru(St , t) = 0,
∂t
∂s2
∂s
t ∈ [0, T ].
E’ ovvio che a scadenza u(ST , T ) = f (ST ). Di conseguenza (21) è del tutto determinata.
12
Per concludere la caratterizzazione di (19) :
Proposition 2.5 Per ogni f : R → R, sia u : R × [0, T ] l’unica soluzione in C 2,1 (R ×
[0, T ]) dell’Equazione Differenziale a Derivate Parziali (21). Assumiamo che u abbia
derivate limitate fino al prim’ordine. Dato il processo S = {St }t∈[0,T ] definito come in
(1), vale la seguente formula di rappresentazione per u :
h
i
−r(T −t) Q,s
u(s, t) = e
E
f (ST −t ) ,
t ∈ [0, T ].
Equivalentemente:
h
i
Πt = e−r(T −t) E Q,s f (ST −t ) ,
t ∈ [0, T ]
è la soluzione probabilistica dell’Equazione alle Derivate Parziali (21).
Proof Richiamiamo che il processo S soddisfa (13) rispetto alla misura Q. Consideriamo
l’operatore differenziale:
Lf (s, t) = rs
∂f (s, t) a(s) ∂ 2 f (s, t)
·
·
,
∂s
2
∂s2
(s, t) ∈ R × [0, T ], f ∈ C 2,1 (R × [0, T ]) .
L’equazione (21) può essere riscritta in questa forma:
∂u(s,t)
+ Lu(s, t) − ru(s, t) = 0, 0 ≤ t < T, s ∈ R
∂t
u(s, T ) = f (s).
s∈R
Fissato il tempo t ∈ (0, T ) osserviamo S nell’intervallo [t, T ]. Sia H = {H(Sv , v)}v∈[t,T ]
definito come:
H(Sv , v) = e−r(v−t) u(Sv , v),
v ∈ [t.T ],
dove u : R × [0, T ] è la soluzione di (21) corrispondente al dato iniziale f. Chiaramente
H è adattato in {Ft }t∈[0,T ] ed in più è continuo, dalla continuità di u.
Mostriamo che H è una Martingala in {Ft }t∈[0,T ], rispetto alla misura Q. Infatti:
dH(Sv , v) = e−r(v−t) du(Sv , v)) − re−r(v−t) u(Sv , v)dv,
v ∈ [t, T ],
e di conseguenza dalla (22)
∂u(Sv , v)
1 ∂ 2 u(Sv , v)
∂u(Sv , v)
dSv + ·
dS
dS
+
dv =
v
v
∂s
2
∂s2
∂v
∂u(Sv , v) σ 2 ∂ 2 u(Sv , v)
∂u(Sv , v)
∂u(Sv , v)
· σdXv + rSv ·
+
·
dv +
dv =
=
2
∂s
∂s
2
∂s
∂v
∂u(Sv , v)
∂u(Sv , v)
=
· σdXv +
dv + Lu(Sv , v)dv,
v ∈ [t, T ].
∂s
∂v
du(Sv , v) =
13
Allora:
∂u(Sv , v) −r(v−t)
·e
σdXv + e−r(v−t) Lu(Sv , v) − ru(Sv , v) dv =
∂s
∂u(Sv , v) −r(v−t)
=
·e
σdXv ,
v ∈ [t, T ],
∂s
dH(Sv , v) =
poichè u soddisfa per ipotesi (21).
Di conseguenza:
H(Sv , v) = H(St , t) +
Z
t
v
∂u(Sp , p) −r(p−t)
·e
σdXp ,
∂s
v ∈ [t, T ]
ed H è una Martingala Locale continua ed adattata in {Ft }t∈[0,T ] rispetto alla misura
Q.
Infine:
E
Q
i2 Z v
i2
h
∂u(Sp , p) −r(p−t)
−2r(p−t) Q ∂u(Sp , p)
e
σdXp =
· σ dp ≤
e
E
∂s
∂s
t
t
Z v
2
≤σ K
e−2rp dp = σ 2 K(1 − e−2rv )/2r < ∞,
v ∈ [t, T ],
hZ
v
0
per qualche K < ∞. Di conseguenza H è una Martingala Locale L2 limitata e dunque
è realmente una Martingala in {Ft }t∈[0,T ] rispetto alla misura Q.
Essendo una Martingala, per ogni t ∈ (0, T ) si ha:
h
i
E Q H(Sv , v)|Ft = H(St , t) = u(St , t),
v ∈ [t, T ].
Partizioniamo Ft in insiemi {St = s} (s ∈ R), cosı̀ che:
h
i
h
i
E Q H(St , t)|St = s = E Q H(ST , T )|St = s ,
∀(s, t) ∈ R × [0, T ].
Inoltre E Q [H(St , t)|St = s] = E Q [u(St , t)|St = s] = u(s, t) ((s, t) ∈ R × [0, T ]) e dunque
h
i
h
i
u(s, t) = E Q H(ST , T )|St = s = e−r(T −t) E Q f (ST )|St = s ,
(s, t) ∈ R × [0, T ],
dalla condizione di bordo.
Infine essendo S un processo di Markov:
h
i
h
i
−r(T −t) Q,s
−r(T −t) Q
f (ST −t ) ,
E
u(s, t) = e
E f (ST )|St = s = e
14
(s, t) ∈ R × [0, T ]
come d’altronde richiesto.
Possiamo affermare che, dato il modello (B, S) di Black and Sholes specificato in
(1), è possibile ad ogni istante t ∈ [0, T ] dell’orizzonte finanziario, osservato il corrispon-
dente valore del sottostante, determinare il prezzo di non arbitraggio Πt (t ∈ [0, T ]).
Inoltre tale prezzo è dato dal valore al tempo t ((t ∈ [0, T ])) della soluzione probabilis-
tica dell’Equazione alle Derivate Parziali (21). E’ bene sottolineare che, nel caso di una
generica diffusione, il corrispondente processo Π da noi trovato è ancora una soluzione
probabilistica di una Equazione alle Derivate Parziali del tutto similare a (21). In particolare l’Equazione alle Derivate Parziali da noi trovata generalizza la (21).
3. Un modello per una generica diffusione di Ito in un regime d’interesse
banale
Consideriamo il modello (B, S) = (1, {St }t∈[0,T ] ) dove Bt = 1 (t ∈ [0, T ]) ed S =
{St }t∈[0,T ] è una diffusione di Ito avente parametri funzionali a : R → R e b : R → R
rispetto ad una filtrazione {Ft }t∈[0,T ] fissata a priori.
E’ ben noto che se le funzioni a : R → R e b : R → R soddifano le condizioni usuali,
cioè sono Lipschitz continue ed inoltre a(x) ≥ 0 (x ∈ R), allora definita la funzione
p
σ(x) = a(x) (x ∈ R), S è la soluzione forte nello spazio di probabilità (Ω, F , P),
rispetto alla filtrazione {Ft }t∈[0,T ] , dell’Equazione Differenziale Stocastica:
dSt = σ(St )dWt + b(St )dt, t ∈ [0, T ]
(24)
S0 = x,
a.s.
dove W = {Wt }t∈[0,T ] è un P−moto Browniano in {Ft }t∈[0,T ] . Equivalentemente S è
l’unica Semi-Martingala continua ed adattata in {Ft }t∈[0,T ] che soddisfa (24) rispetto
alla misura P.
Una prima condizione che i parametri a, b : R → R devono soddisfare è:
(C.I) Date le funzioni σ, b : R → R e la diffusione di Ito S, definita dalla (24), vale che:
Z T
b(St ) 2
dt < ∞.
σ(St )
0
Per vedere la necessità di quest’ipotesi, definiamo in (Ω, F , P) il processo stocastico:
Z
dQ n Z t b(S ) 1 t b(Su ) 2 o
u
|Ft = exp −
dWu −
du ,
t ∈ [0, T ].
dP
σ(Su )
2 0 σ(Su )
0
15
Definiamo la sequenza di ’misure’ {Qt }t∈[0,T ] : Ft → [0, 1] data da:
Qt (A) = E P
h dQ i
|Ft 1A ,
dP
A ∈ Ft
(25)
per ogni t ∈ [0, T ].
La congettura (C.I) garantisce che {Qt }t∈[0,T ] sia realmente una sequenza di musure
consistenti in spazio di probabilità (Ω, F ) :
Lemma 3.1 Data la diffusione di Ito S = {St }t∈[0,T ] definita da (24) se i parametri
σ, b : R → R soddisfano la condizione (C.I) allora {Qt }t∈[0,T ] : Ft → [0, ∞] sono misure
consistenti definite in (Ω, F ), i.e. Qt |Fs = Qs (s ∈ [0, T ] : s ≤ t).
Proof
Sia {βt }t∈[0,T ] il processo stocastico definito come:
Z t
b(Su ) dWu ,
βt =
σ(Su )
0
t ∈ [0, T ].
Entrambe le variabili aleatorie St , Wt ∈ Ft (t ∈ [0, T ]), pertanto β è un processo continuo
ed adattato in {Ft }t∈[0,T ]. Inoltre, dal teorema d’Integrazione Stocastica ([2]), è una
Martingala locale. Osserviamo che (C.I) implica:
Z t
b(Su ) 2
du < ∞,
[β]t =
σ(Su )
0
∀t ∈ [0, T ]
cosı̀ che β ha variazione finita nell’intervallo [0, T ].
Definiamo:
dQ 2
|Ft = e−β−[β]t /2 ,
t ∈ [0, T ].
dP
E’ ben noto che (dQ/dP)Ft (t ∈ [0, T ]) è una Martingala uniformemente integrabile con
(dQ/dP)F0 = 1, adattata in {Ft }t∈[0,T ] , rispetto alla misura P.
Definiamo {Qt }t∈[0,T ] come in (25) ed in questo modo Qt : Ft → [0, 1] (t ∈ [0, T ]) è
realmente una misura dall’additività dell’integrale di Lebesgue.
Infine:
i
h dQ i
|Ft = E P
|Fs ,
dP
dP
i.e. esse sono realmente consistenti fra di loro.
EP
h dQ ∀s ≤ t,
Essendo (dQ/dP)Ft (t ∈ [0, T ]) una Martingala uniformemente integrabile, utilizzando
il teorema di Convergenza delle Martingale, possiamo definire la misura Q : FT → [0, 1]
16
sulla σ−algebra FT , tale che Q = QT , per consistenza. Questa misura Q, chiamata in
letteratura misura di Cameron-Girsanov, avrà un ruolo fondamentale.
La seconda ipotesi è:
(C.II) Data la funzione non negativa a : R → R e la diffusione di Ito S come in (24), vale
che:
Z
0
T
h
i
E Q a(St ) dt < ∞.
Supponiamo che X sia il titolo derivato con scadenza T > 0, osservato lungo
l’orizzonte finanziario [0, T ]; pertanto X è una variabile aleatoria definita su Ω con
X ∈ FT ed X integrabile. Risultato principale del paragrafo è la definizione del processo
di prezzo Π = {Πt }t∈[0,T ], del titolo derivato:
Theorem 3.2
Considerato il modello finanziario (B, S) = (1, {St }t∈[0,T ] ) sullo spazio
di probabilità (Ω, F , P) dove S è una diffusione di Ito in {Ft }t∈[0,T ] con parametri a, b :
R → R che soddisfano le condizioni usuali e tali che S soddisfi (C.I) e (C.II).
Dato X derivato con scadenza T > 0, il suo processo di prezzo è una Q−Martingala
uniformemente integrabile Π = {Πt }t∈[0,T ] , {Ft }t∈[0,T ]adattata e definita come:
h
i
Πt = E Q X|Ft ,
t ∈ [0, T ],
(26)
dove Q : FT → [0, 1] è la misura Q = QT e QT è la misura di Girsanov-Cameron-Martin
definita in (25).
Proof
Innanzitutto mostriamo che il processo S è una Martingala in {Ft }t∈[0,T ] rispetto
alla misura Q definita come in (25). Dal teorema di Girsanov segue che il processo
stocastico Xt = Wt − [β, W ]t (t ∈ [0, T ]) è una Martingala Locale continua rispetto alla
misura Q, adattata nell’usuale filtrazione {Ft }t∈[0,T ] . Inoltre:
Xt = Wt +
Z t
0
1 du,
σ(Su )
t ∈ [0, T ].
Chiaramente dXt dXt = dWt dWt (t ∈ [0, T ]) o equivalentemente [X]t = [W ]t (t ∈ [0, T ]),
per cui dalla caratterizzazione del moto Browniano di Levi segue che X = {Xt }t∈[0,T ] è
un {Ft }t∈[0,T ] −moto Browniano rispetto a Q.
17
Il processo S, rispetto alla misura P, soddisfa (24) e dall’unicità in legge della soluzione
di una Equazione Differenziale Stocastica segue che S soddisfa:
h
b(S ) i
t
dSt = σ(St )dWt + b(St )dt = σ(St ) dWt +
dt = σ(St )dXt ,
σ(St )
t ∈ [0, T ],
rispetto alla nuova misura Q.
Di conseguenza S in distribuzione è del tutto uguale alla soluzione forte dell’Equazione:
dSt = σ(St )dXt , t ∈ [0, T ]
(27)
S0 = x,
a.s.
Possiamo identificare S con il processo stocastico:
St = x +
Z
t
σ(Su )dXu ,
t ∈ [0, T ],
0
(28)
rispetto a Q. Osservando (28) è possibile dedurre che S è una Martingala continua e
adattata in {Ft }t∈[0,T ] , rispetto alla misura Q.
Dall’assunzione (C.II) segue che
E
Q
hZ
t
σ(Su )dXu
0
i2
=E
Q
hZ
t
2
i
σ(Su ) du =
0
Z
0
t
h
i
E a(Su ) du < ∞,
Q
per ogni t ∈ [0, T ]. Di conseguenza S rispetto a Q è una Martingala Locale limitata in L2 ,
bounded Local Martingale, continua ed adattata in{Ft }t∈[0,T ] cosı̀ che dalla condizione
DL ([2]) segue che è una {Ft }t∈[0,T ] −Martingala.
Costruiamo Π. Definiamo nello spazio misurabile (Ω, F ) la misura Q : FT → [0, 1]
data da (25). Data la variabile aleatoria, integrabile, X : Ω → R, possiamo definire il
valore atteso di X al tempo t come il processo E = {Et }t∈[0,T ] :
h
i
Et = E Q X|Ft ,
t ∈ [0, T ].
E’ importante sottolineare che la misura di probabilità rispetto alla quale è definito il
valore atteso condizionato è Q e non P. Il processo E può chiaramente essere interpretato dal punto di vista finanziario come il valore del derivato attualizzato al tempo t.
E’ immediato vedere che E è una {Ft }t∈[0,T ] −Martingala rispetto alla misura Q. Inoltre è una Martingala uniformemente integrabile dal teorema di Doob sul valore atteso
condizionato ([2]).
18
Abbiamo costruito nello spazio di probabilità (Ω, F , Q) due {Ft }t∈[0,T ] −Martingale, i.e.
S ed E cosı̀ che, dal teorema d’Equivalenza delle Martingale ([2]), esiste un processo
stocastici {Ft }t∈[0,T ] −adattato chiamato φ = {φt }t∈[0,T ] , tale che:
dEt = φt dSt ,
t ∈ [0, T ],
(29).
Equivalentemente:
Et = E
Q
h
X|Ft
i
h
i Z t
φu dSu ,
= E X|F0 +
Q
0
t ∈ [0, T ].
Consideriamo la strategia data dal processo stocastico (φ, ψ) = ({φt }t∈[0,T ] , {ψt }t∈[0,T ] )
dove φ is definita da (29) e ψ da
ψ:
ψt = Et − φt Bt−1 St ,
t ∈ [0, T ].
(30)
Ancora φ rappresenta l’ammontare di sottostante che l’investitore deve necessariamente
comprare/vendere al fine di coprire il derivato, poichè φt = dEt /dSt (t ∈ [0, T ]) nel
senso di Radon-Nicodymn.
Chiamiamo V = {Vt }t∈[0,T ] il valore della strategia cosı̀ definita e chiaramente:
Vt = φt St + ψt Bt .
t ∈ [0, T ]
Dalla definizione di ψ segue che Vt = Et (t ∈ [0, T ]) poichè B è costante, ed
dVt = dEt = φt dSt = φt dSt + ψt dBt ,
t ∈ [0, T ].
Dunque il valore della strategia (φ, ψ) dipende esclusivamente dalle fluttuazioni del
valore del sottostante, per cui è autofinanziata.
La condizione di non arbitraggio impone che il prezzo del derivato Π = {Πt }t∈[0,T ] sia
esattamente pari al valore della strategia (φ, ψ), i.e. Πt = Vt (t ∈ [0, T ]) ed
h
i
Πt = E X|Ft ,
Q
t ∈ [0, T ].
(26)
Osserviamo che (30) assicura che Π sia una {Ft }t∈[0,T ] −Martingala uniformemente in-
tegrabile rispetto alla misura Q.
19
E’ del tutto ragionevole pensare che il Derivato sia funzione del valore del sottostante a scadenza, per cui esiste una mappa f : R → R tale che X = f (ST ).
Data f : R → R tale che X = f (ST ), la (26) diviene:
h
i
Πt = E f (ST )|Ft ,
Q
∀t ∈ [0, T ].
Invece che considerare la filtrazione generica al tempo t, partizioniamo Ft lungo gli
insiemi {St = s} (s ∈ R):
h
i
h
i
Q,s
Πt = E f (ST )|St = s = E
f (ST −t ) ,
Q
∀t ∈ [0, T ],
(31)
poichè S è un processo di Markov.
E’ possibile mostrare che la (31) è una soluzione probabilistica di una particolare
Equazione alle Derivate Parziali:
Theorem 3.3
Sia (B, S) = (1, {St }t∈[0,T ]) modello finanziario definito nello spazio
di probabilità (Ω, F , P), oveS è una diffusione di Ito in {Ft }t∈[0,T ] avente parametri
a, b : R → R che soddisfano le condizioni usuali, (C.I) e (C.II).
Per ogni f : R → R, esiste una mappa u ∈ C 2,1 (R × [0, T ]) soluzione della Equazione
alle Derivate Parziali:
∂ 2 u(s,t) a(s) ∂u(s,t)
· 2 + ∂t = 0, 0 ≤ t < T, s ∈ R
∂s2
(32)
u(s, T ) = f (s),
s∈R
tale che Πt = u(St , t) (t ∈ [0, T ]).
Proof
Sia u : R × [0, T ] → R una qualunque funzione con u ∈ C 2,1 (R × [0, T ]) e,
dato il processo di prezzo Π = {Πt }t∈[0,T ] , poniamo Πt = u(St , t) (t ∈ [0, T ]). Per ogni
t ∈ [0, T ] :
du(St , t) =
∂u(St , t)
1 ∂ 2 u(St , t)
∂u(St , t)
dSt + ·
dSt dSt +
dt.
2
∂s
2
∂s
∂t
Rispetto alla misura Q, dSt = σ(St )dXt (t ∈ [0, T ]), cosı̀ che da una parte:
du(St , t) =
∂ 2 u(S , t) σ(S )2
∂u(St , t) ∂u(St , t)
t
t
dt,
· σ(St )dXt +
·
+
∂s
∂s2
2
∂t
ancora ∀t ∈ [0, T ].
20
Dall’altra, ragionando come nel teorema 2.2, segue che Πt = Vt (t ∈ [0, T ]), per V =
{Vt }t∈[0,T ] valore della strategia (φ, ψ), per cui u(St , t) = Vt (t ∈ [0, T ]). Essendo
dVt = φt dSt (t ∈ [0, T ]), segue che:
du(St , t) = φt dSt = φt σ(St )dXt ,
per ogni t ∈ [0, T ] rispetto alla misura Q.
Paragonando le Equazioni Differenziali Stocastiche trovate:
φt =
∂u(St , t)
,
∂s
t ∈ [0, T ],
(33)
ed
∂u(St , t)
∂ 2 u(St , t)
· σ(St )2 +
= 0,
t ∈ [0, T ].
2
∂s
∂t
E’ del tutto ragionevole porre u(ST , T ) = f (ST ), perchè ΠT = f (ST ).
E’ possibile dimostrare che la soluzione probabilistica della (32) è esattamente data
dalla (31) :
Proposition 3.4 Per ogni f : R → R, sia u : R × [0, T ] l’unica soluzione in C 2,1 (R ×
[0, T ]) dell’Equazione Differenziale a Derivate Parziali (32). Assumiamo che u abbia
derivate limitate fino al prim’ordine. Data la diffusione di Ito S = {St }t∈[0,T ] con
parametri a e b che soddisfano le usuali condizioni, (C.I) ed (C.II), vale la seguente
formula di rappresentazione per u :
h
i
f (ST −t ) ,
t ∈ [0, T ].
h
i
u(s, t) = E Q,s f (ST −t ) ,
t ∈ [0, T ],
u(s, t) = E
Q,s
Equivalentemente:
è la soluzione probabilistica dell’Equazione alle Derivate Parziali (32).
Proof
Richiamiamo che il processo S soddisfa l’Equazione Differenziale Stocastica
(27). Sia L l’operatore differenziale:
Lf (s, t) =
a(s) ∂ 2 f (s, t)
·
,
2
∂s2
(s, t) ∈ R × [0, T ], f ∈ C 2,1 (R × [0, T ]) .
L’Equazione alle Derivate Parziali diviene:
∂u(s,t)
+ Lu(s, t) = 0, 0 ≤ t < T, s ∈ R
∂t
u(s, T ) = f (s).
s∈R
21
Sia t ∈ (0, T ) ed osserviamo S nell’intervallo [t, T ]. Possiamo introdurre il processo
stocastico H = {H(Sv , v)}v∈[0,T ] :
H(Sv , v) = u(Sv , v),
v ∈ [t.T ],
dove u : R × [0, T ] è la soluzione della (32) che corrisponde alla funzione f. Chiaramente
H è un processo stocastico adattato {Ft }t∈[0,T ]ed inoltre continuo, dalla continuità della
mappa u.
Mostriamo che H è una {Ft }t∈[0,T ] −Martingala rispetto alla misura Q :
∂u(Sv , v)
1 ∂ 2 u(Sv , v)
∂u(Sv , v)
dSv + ·
dSv dSv +
dv =
2
∂s
2
∂s
∂v
σ(Sv )2 ∂ 2 u(Sv , v)
∂u(Sv , v)
∂u(Sv , v)
· σ(Sv )dXv +
·
dv +
dv =
=
2
∂s
2
∂s
∂v
∂u(Sv , v)
∂u(Sv , v)
=
· σ(Sv )dXv +
dv + Lu(Sv , v) =
∂s
∂v
∂u(Sv , v)
=
· σ(Sv )dXv ,
v ∈ [t, T ].
∂s
dH(Sv , v) = du(Sv , v) =
Abbiamo usato il fatto che u è una soluzione di (32) e le caratteristiche del processo S.
Di conseguenza:
Z v
∂u(Sp , p)
H(Sv , v) = H(St , t) +
· σ(Sp )dXp ,
v ∈ [t, T ]
∂s
t
ed H risulta una Martingala Locale {Ft }t∈[0,T ] −adattata e continua, rispetto alla misura
Q.
Infine:
E
Q
h
i2 Z v
i2
∂u(Sp , p)
Q ∂u(Sp , p)
E
σ(Sp )dXp =
· σ(Sp ) dp ≤
∂s
∂s
t
t
Z v
Z T
Q
2
≤K
E [a(Sp )] dp ≤ K
E Q [a(Sp )]2 dp∞,
v ∈ [t, T ],
hZ
v
t
t
per qualche K < ∞, dall’assunzione (C.II). Pertanto H è una Martingala Locale,
limitata in L2 per cui è una Martingala in {Ft }t∈[0,T ]rispetto a Q.
Di conseguenza per ogni t ∈ (0, T ) :
h
i
Q
v ∈ [t, T ].
E H(Sv , v)|Ft = H(St , t) = u(St , t),
22
Partizioniamo Ft in insiemi {St = s} (s ∈ R), ed:
h
i
h
i
E Q H(St , t)|St = s = E Q H(ST , T )|St = s ,
∀(s, t) ∈ R × [0, T ].
E’ vero anche che E Q [H(St , t)|St = s] = E Q [u(St , t)|St = s] = u(s, t) ((s, t) ∈ R×[0, T ])
per cui
h
i
h
i
Q
u(s, t) = E H(ST , T )|St = s = E f (ST )|St = s ,
Q
(s, t) ∈ R × [0, T ],
dalla condizione al bordo.
Essendo S un processo di Markov:
h
i
h
i
Q
Q,s
u(s, t) = E f (ST )|St = s = E
f (ST −t ) ,
(s, t) ∈ R × [0, T ].
Possiamo affermare che, dato il modello (B, S) = (1, {St }t∈[0,T ] ) con S diffusione
di Ito avente parametri a e b che soddisfano le condizioni usuali e le congetture (C.I)
e (C.II), è possibile ad ogni istante t ∈ [0, T ] dell’orizzonte finanziario, osservato il
corrispondente valore del sottostante, determinare il prezzo di non arbitraggio Πt (t ∈
[0, T ]). Inoltre tale prezzo è dato dal valore al tempo t ((t ∈ [0, T ])) della soluzione
probabilistica dell’Equazione alle Derivate Parziali (32).
4. Un modello per una diffusione di Ito in un regime d’interesse non banale.
Consideriamo il modello (B, S) = ({Bt }t∈[0,T ] , {St }t∈[0,T ]) dove Bt = ert (t ∈ [0, T ])
e S = {St }t∈[0,T ] è una diffusione di Ito avente come parametri a : R → R e b :
R → R. Come nel paragrafo precedente assumiamo che a e b siano entrambe funzioni
Lipschitz continue e tali che a(x) ≥ 0 (x ∈ R). Queste due condizioni garantiscono che
il processo S sia l’unica soluzione forte nella filtrazioni usuale {Ft }t∈[0,T ] dell’Equazione
Differenziale Stocastica (24).
Come per il caso di Black and Sholes trattato nell’introduzione, anzichè lavorare
su S valore del sottostante nell’arco temporale [0, T ], consideriamo direttamente Z =
{Zt }t∈[0,T ] definito come Zt = e−rt St (t ∈ [0, T ]), i.e. valore del sottostante attualizzato
nel regime d’interesse usuale.
Di conseguenza:
dZt = d(e−rt St ) = −re−rt St dt + e−rt dSt = e−rt dSt − rZt dt,
23
t ∈ [0, T ]
i.e.
dZt = e−rt σ(ert Zt )dWt + e−rt b(ert Zt ) − rZt dt,
t ∈ [0, T ].
Il processo Z è la soluzione forte rispetto alla filtrazione {Ft }t∈[0,T ] della Equazione
Differenziale Stocastica:
dZt = e−rt σ(ert Zt )dWt + e−rt b(ert Zt ) − rZt dt, t ∈ [0, T ]
Z0 = x,
a.s.
(34)
nello spazio probabilistico (Ω, F , P).
Essendo r ∈ (0, 1) è necessario cambiare opportunamente la congettura (C.I) :
(C.III) Date le funzioni σ, b : R → R e la diffusione di ItoS come in (24) :
Z
0
T
h b(S ) − rS i2
t
t
dt < ∞.
σ(St )
Definiamo per ogni t ∈ [0, T ] :
dQ dP
|Ft
Z t −ru ru
e
b(e Zu ) − rZu = exp −
dWu −
e−ru σ(eru Zu )
0
Z
1 t e−ru b(eru Zu ) − rZu 2 o
−
du .
2 0
e−ru σ(eru Zu )
n
Poniamo {Qt }t∈[0,T ] : Ft → [0, 1] definite da
Qt (A) = E P
h dQ dP
i
|Ft 1A ,
A ∈ Ft , ∀t ∈ [0, T ].
(35)
La condizione (C.III) garantisce che {Qt }t∈[0,T ] sia realmente una successione di misure
consistenti definite nello spazio misurabile (Ω, F ) :
Lemma 4.1 Data la diffusione di Ito S = {St }t∈[0,T ] definita come in (24), se i
parametri σ, b : R → R soddisfano la condizione (C.III) allora {Qt }t∈[0,T ] : Ft → [0, ∞]
sono misure consistenti in (Ω, F ), i.e. Qt |Fs = Qs (s ∈ [0, T ] : s ≤ t).
Proof
Sia {βt }t∈[0,T ] :
Z t −ru ru
e
b(e Zu ) − rZu dWu ,
βt =
e−ru σ(eru Su )
0
24
t ∈ [0, T ].
Essendo Zt , Wt ∈ Ft (t ∈ [0, T ]), è evidente che β è un processo continuo ed adattato
in {Ft }t∈[0,T ] e, dal teorema d’Integrazione stocastica ([2]) è una Martingala Locale.
Osserviamo che la condizione (C.III) implica:
Z t −ru ru
Z t ru
e
b(e Zu ) − rZu 2
b(e Zu ) − reru Zu 2
[β]t =
du
=
du =
e−ru σ(eru Zu )
σ(eru Zu )
0
0
Z t
b(Su ) − rSu 2
=
du < ∞,
∀t ∈ [0, T ],
σ(Su )
0
cosı̀ che β ha nell’intervallo [0, T ] variazione finita.
Definiamo:
dQ 2
|Ft = e−βt −[β]t /2 ,
dP
t ∈ [0, T ].
E’ noto che (dQ/dP)Ft (t ∈ [0, T ]) è una Martingala uniformemente integrabile tale che
(dQ/dP)F0 = 1, adattata in {Ft }t∈[0,T ] rispetto alla misura P.
Dunque, se {Qt }t∈[0,T ] sono definite come in (35), allora Qt : Ft → [0, 1] (t ∈ [0, T ])
sono tutte misure ed in particolare:
EP
i
h dQ i
|Ft = E P
|Fs ,
dP
dP
h dQ ∀s ≤ t.
Ancora l’uniforme integrabilità della Martingala (dQ/dP)Ft (t ∈ [0, T ]) implica che
esiste una misura Q : FT → [0, 1] definita sulla σ−algebra FT tale che Q = QT , per
consistenza.
E’ necessario rimpiazzare (C.II) con la seguente congettura:
(C.IV ) Data la funzione a : R → R e la diffusione di Ito S definita come in (24), si ha:
Z
0
T
h
i
E Q e−2rt a(St ) dt < ∞,
Sia X derivato osservato lungo l’orizzonte finanziario [0, T ] ed assumiamo che X sia
una variabile aleatoria definita sullo spazio di probabilità Ω con X ∈ FT ed X integrabile. Chiaramente è necessario studiare il valore del derivato a scadenza attualizzato,
cioè e−rT X.
25
Theorem 4.2 Sia (B, S) = ({Bt }t∈[0,T ] , {St }t∈[0,T ] ) modello finanziario definito sullo
spazio di probabilità (Ω, F , P) ed S una diffusione di Ito avente parametri a ed b che
soddisfano (C.III) e (C.IV ). Dato qualsiasi derivato X con scadenza T > 0, il suo
processo di prezzo è un processo stocastico Π = {Πt }t∈[0,T ] , adattato in {Ft }t∈[0,T ] e
definito da:
h
i
Πt = e−r(T −t) E Q X|Ft ,
t ∈ [0, T ],
(36)
dove Q : FT → [0, 1] è la misura definita come Q = QT e QT è la misura di Girsanov-
Cameron-Martin definita in (35).
Proof Nella prima parte mostriamo che, rispetto alla misura Q introdotta, il processo
Z valore del sottostante attualizzato è una {Ft }t∈[0,T ] −Martingala.
Dal teorema di Girsanov, il processo Xt = Wt − [β, W ]t (t ∈ [0, T ]) è una Martingala
Locale continua, rispetto chiaramente alla misura Q e alla filtrazione {Ft }t∈[0,T ].
Inoltre:
Z t −ru ru
e
b(e Zu ) − rZu Xt = Wt +
du,
e−ru σ(eru Zu )
0
t ∈ [0, T ].
Essendo dXt dXt = dWt dWt (t ∈ [0, T ]) o equivalentemente [X]t = [W ]t (t ∈ [0, T ]), la
caratterizzazione di Levi del moto Browniano ([2]) implica che X = {Xt }t∈[0,T ] è un
{Ft }t∈[0,T ] −moto Browniano rispetto a Q.
Dall’unicità in distribuzione della soluzione forte di una Equazione Differenziale Stocastica, segue che:
dZt = e−rt σ(ert Zt )dWt + e−rt b(ert Zt ) − rZt dt =
h
e−rt b(ert Z ) − rZ i
t
t
−rt
rt
= e−rt σ(ert Zt )dXt ,
= e σ(e Zt ) dWt +
−rt
rt
e σ(e Zt )
t ∈ [0, T ],
rispetto alla nuova misura Q.
Di conseguenza Z in distribuzione può essere identificato con la soluzione forte di:
dZt = e−rt σ(ert Zt )dXt , t ∈ [0, T ]
Z0 = x,
a.s.
(37)
In modo del tutto analogo possiamo dire che:
Zt = x +
Z
t
e−ru σ(eru Zu )dXu ,
0
26
t ∈ [0, T ],
(38)
rispetto alla Q. Dalla (38) segue che Z è una Martingala Locale continua rispetto alla
misura Q, adattata in {Ft }t∈[0,T ] .
Da (C.IV ) segue che:
E
Q
hZ
=
t
−ru
e
ru
σ(e Zu )dXu
0
Z
t
0
i2
=E
Q
hZ
t
0
i
e−2ru σ(eru Zu )2 du =
Z t
h
i
h
i
−2ru Q
ru
E Q e−2ru a(Su ) du < ∞,
e
E a(e Zu ) du =
0
per ogni t ∈ [0, T ]. Di conseguenza Z rispetto a Q è una Martingala Locale limitata in
L2 , continua e adattata in {Ft }t∈[0,T ] , per cui è una {Ft }t∈[0,T ] −Martingala.
Ora costruiamo il processo di prezzo Π. Data la variabile aleatoria X : Ω → R,
definiamo E = {Et }t∈[0,T ] come il processo stocastico:
h
i
Et = E Q e−rT X|Ft ,
t ∈ [0, T ],
valore al tempo t ∈ [0, T ] fissato del derivato attualizzato rispetto all’usuale regime
d’interesse. E’ pressochè immediato vedere che E è una {Ft }t∈[0,T ] −Martingala rispetto
alla misura Q. Inoltre E è anche uniformemente integrabile.
Abbiamo costruito sullo spazio di probabilità (Ω, F , Q) due {Ft }t∈[0,T ] −Martingale, i.e.
Z and E. Dal teorema d’Equivalenza delle Martingale ([2]) segue che esiste un processo
stocastico adattato in {Ft }t∈[0,T ] , diciamo φ = {φt }t∈[0,T ] , tale che:
dEt = φt dZt ,
t ∈ [0, T ],
(39).
La condizione di non arbitraggio impone che il prezzo del derivato sia del tutto uguale
al valore della strategia (φ, ψ) = ({φt }t∈[0,T ] , {ψt }t∈[0,T ] ) dove φ è definita come in (39)
e ψ da
ψ:
ψt = Et − φt Zt ,
t ∈ [0, T ].
(40)
Dal punto di vista finanziario sottolineamo ancora una volta che φ è l’ammontare di sottostante che l’investitore deve vendere/comprare per bilanciare l’acquisto del derivato,
poichè φt = dEt /dZt (t ∈ [0, T ]) almeno nel senso di Radon-Nikodymn.
Chiamiamo V = {Vt }t∈[0,T ] il valore della strategia cosı̀ costruita, cioè
Vt = φt St + ψt Bt ,
27
t ∈ [0, T ].
E’ immediato verificare che Vt = Bt Et (t ∈ [0, T ]) ed
dVt = d(Bt Et ) = Bt dEt + rBt Et dt = Bt φt dZt + rBt Et dt = Bt φt dZt + rBt (ψt + φt Zt )dt,
per ogni t ∈ [0, T ]. Ma dZt = −rBt−1 St dt + Bt−1 dSt (t ∈ [0, T ])per cui
dVt = φt dSt + rBt ψt dt = φt dSt + ψt dBt .
t ∈ [0, T ]
La strategia (φ, ψ) dipende esclusivamente dalle fluttuazioni del valore del sottostante
e del processo B per cui è auto-finanziata.
Come già detto, la condizione di arbitraggio impone che il prezzo del derivato sia un
processo stocastico Π = {Πt }t∈[0,T ] definito come Πt = Vt (t ∈ [0, T ]), cioè:
h
i
h
i
−rT
−r(T −t) Q
Πt = e E e
X|Ft = e
E X|Ft ,
rt
Q
t ∈ [0, T ].
Data una mappa f : R → R tale che X = f (ST ) la formula (36) diviene:
−r(T −t)
Πt = e
h
i
E f (ST )|Ft ,
Q
∀t ∈ [0, T ].
Partizioniamo la σ−algebra Ft negli insiemi {St = s} (s ∈ R). La formula precedente
diviene
h
i
h
i
Πt = e−r(T −t) E Q f (ST )|St = s = e−r(T −t) E Q,s f (ST −t ) ,
∀t ∈ [0, T ],
(41)
poichè S è un processo di Markov.
Come fatto nei paragrafi precedenti è interessante mostrare che la formula (41) è
intrinsecamente connessa con una particolare Equazione alle Derivate Parziali:
Theorem 4.3
Sia (B, S) = ({Bt }t∈[0,T ], {St }t∈[0,T ] ) modello finanziario definito
nello spazio di probabilità (Ω, F , P), ove S è una diffusione di Ito in {Ft }t∈[0,T ] avente
parametri a, b : R → R che soddisfano le condizioni usuali, (C.III) e (C.IV ).
Per ogni f : R → R, esiste una mappa u ∈ C 2,1 (R × [0, T ]) soluzione della Equazione
alle Derivate Parziali:
∂u(s,t) ∂ 2 u(s,t) a(s) ∂u(s,t)
+ ∂s2 · 2 + ∂s · rs − ru(s, t) = 0, 0 ≤ t < T, s ∈ R
∂t
(42)
u(s, T ) = f (s),
s∈R
28
tale che Πt = u(St , t) (t ∈ [0, T ]).
Proof
Sia u : R × [0, T ] → R una qualunque funzione in C 2,1 (R × [0, T ]) e, dato il
processo di prezzo Π = {Πt }t∈[0,T ] , poniamo Πt = u(St , t) (t ∈ [0, T ]). Chiaramente per
ogni t ∈ [0, T ] :
du(St , t) =
∂u(St , t)
1 ∂ 2 u(St , t)
∂u(St , t)
dSt + ·
dS
dS
+
dt.
t
t
∂s
2
∂s2
∂t
Rispetto alla misura Q il processo Z soddisfa (37) cosı̀ che, ricordando che dZt =
e−rt dSt − re−rt St dt (t ∈ [0, T ]), possiamo dedurre che S è l’unica soluzione forte
dell’Equazione Differenziale Stocastica:

 dSt = σ(St )dXt + rSt dt, t ∈ [0, T ]
S0 = x,
(43)

dove X = {Xt }t∈[0,T ] è un moto Browniano in {Ft }t∈[0,T ] , rispetto alla misura Q.
Di conseguenza sostituendo:
du(St , t) =
∂ 2 u(S , t) σ(S )2
∂u(St , t)
∂u(St , t)
∂u(St , t) t
t
dt,
· σ(St )dXt +
·
+
·
rS
+
t
∂s
∂s2
2
∂s
∂t
ancora per ogni ∀t ∈ [0, T ].
Allo stesso tempo, dal teorema 3.2, segue che Πt = Vt (t ∈ [0, T ]), per V = {Vt }t∈[0,T ]
valore della strategia autofinanziata (φ, ψ), e dunque u(St , t) = Vt (t ∈ [0, T ]). Di
conseguenza, essendo (φ, ψ) auto-finanziata:
du(St , t)− = φt dSt + ψt dBt = φt σ(St )dXt + rφt St dt + rert ψt dt =
= φt σ(St )dXt + rφt St + rert ψt ,
t ∈ [0, T ].
Dalla definizione di ψ, consegue che per ogni t ∈ [0, T ] :
du(St , t) = φt σ(St )dXt + rφt St dt + Et dBt − φt Bt−1 St dBt = φt σ(St )dXt + ru(St , t)dt,
poichè u(St , t) = Πt = Et Bt (t ∈ [0, T ]).
Paragonando le due equazioni trovate per du(St , t) (t ∈ [0, T ]), segue che il processo
continuo e adattato φ = {φt }t∈[0,T ] è completamente determinato dalla formula:
φt =
∂u(St , t)
,
s
29
t ∈ [0, T ].
(44)
Inoltre:
∂u(St , t) ∂ 2 u(St , t)
∂u(St , t)
+
· σ(St )2 +
· rSt − ru(St , t) = 0,
2
∂t
∂s
∂s
t ∈ [0, T ].
E’ chiaramente ovvio che u(ST , T ) = f (ST ).
Dimostriamo direttamente che (41) è la soluzione di (42) :
Proposition 4.4 Per ogni f : R → R, sia u : R × [0, T ] l’unica soluzione in C 2,1 (R ×
[0, T ]) dell’Equazione Differenziale a Derivate Parziali (42). Assumiamo che u abbia
derivate limitate fino al prim’ordine. Data la diffusione di Ito S = {St }t∈[0,T ] con
parametri a e b che soddisfano le usuali condizioni, (C.III) ed (C.IV ), vale la seguente
formula di rappresentazione per u :
h
i
u(s, t) = e−r(T −t) E Q,s f (ST −t ) ,
t ∈ [0, T ].
h
i
u(s, t) = e−r(T −t) E Q,s f (ST −t ) ,
t ∈ [0, T ],
Equivalentemente:
è la soluzione probabilistica dell’Equazione alle Derivate Parziali (42).
Proof Richiamiamo che sotto Q il processo stocastico S soddisfa l’Equazione Differenziale Stocastica (24). Definiamo l’operatore differenziale:
Lf (s, t) = rs
∂f (s, t) a(s) ∂ 2 f (s, t)
·
·
,
∂s
2
∂s2
(s, t) ∈ R × [0, T ], f ∈ C 2,1 (R × [0, T ]) .
L’equazione alle Derivate Parziali (42) diventa in questa notazione:
∂u(s,t)
+ Lu(s, t) − ru(s, t) = 0, 0 ≤ t < T, s ∈ R
∂t
u(s, T ) = f (s).
s∈R
Fissiamo t ∈ (0, T ) ed osserviamo S nell’intervallo [t, T ].
Sia H = {H(Sv , v)}v∈[t,T ] definito come:
H(Sv , v) = e−r(v−t) u(Sv , v),
v ∈ [t.T ],
dove u : R × [0, T ] è l’unica soluzione di (42) che corrisponde alla scelta di f come dato.
Chiaramente H è un processo adattato in {Ft }t∈[0,T ]ed è continuo, dalla continuità della
mappa u.
30
Mostriamo che H è una {Ft }t∈[0,T ] −Martingala rispetto alla misura Q :
dH(Sv , v) = e−r(v−t) du(Sv , v)) − re−r(v−t) u(Sv , v)dv,
v ∈ [t, T ],
ed
∂u(Sv , v)
1 ∂ 2 u(Sv , v)
∂u(Sv , v)
dSv + ·
dSv dSv +
dv =
2
∂s
2
∂s
∂v
∂u(Sv , v)
∂u(Sv , v) σ(Sv )2 ∂ 2 u(Sv , v)
∂u(Sv , v)
=
· σ(Sv )dXv + rSv ·
+
·
dv +
dv =
2
∂s
∂s
2
∂s
∂v
∂u(Sv , v)
∂u(Sv , v)
=
· σ(Sv )dXv +
dv + Lu(Sv , v)dv,
v ∈ [t, T ].
∂s
∂v
du(Sv , v) =
Per cui:
∂u(Sv , v) −r(v−t)
·e
σ(Sv )dXv + e−r(v−t) Lu(Sv , v) − ru(Sv , v) dv =
∂s
∂u(Sv , v) −r(v−t)
=
·e
σ(Sv )dXv ,
v ∈ [t, T ],
∂s
dH(Sv , v) =
poichè u soddisfa (42).
Di conseguenza:
H(Sv , v) = H(St , t) +
Z
t
v
∂u(Sp , p) −r(p−t)
·e
σ(Sp )dXp ,
∂s
v ∈ [t, T ]
ed H è una Martingala Locale in {Ft }t∈[0,T ] , continua, rispetto alla misura usuale Q.
Infine:
E
Q
v
h
i2 Z v
i2
∂u(Sp , p) −r(p−t)
−2r(p−t) Q ∂u(Sp , p)
e
E
e
σ(Sp )dXp =
· σ(Sp ) dp ≤
∂s
∂s
t
t
Z T
Z v
−2rp Q
2
e−2rp E Q [a(Sp )]dp < ∞,
v ∈ [t, T ],
e
E [σ(Sp )] dp ≤ K
≤K
hZ
0
0
per qualche K < ∞, dall’assunzione (C.IV ). Dunque H è una Martingala L2 limitata e,
dalla caratterizzazione DL ([2]), di conseguenza è una Martingala in {Ft }t∈[0,T ] rispetto
a Q.
Dunque dato qualsiasi t ∈ (0, T ) :
h
i
E H(Sv , v)|Ft = H(St , t) = u(St , t),
Q
31
v ∈ [t, T ].
Partizioniamo Ft in insiemi {St = s} (s ∈ R) per ottenere:
h
i
h
i
∀(s, t) ∈ R × [0, T ].
E Q H(St , t)|St = s = E Q H(ST , T )|St = s ,
Essendo E Q [H(St , t)|St = s] = E Q [u(St , t)|St = s] = u(s, t) ((s, t) ∈ R × [0, T ]) cosı̀ che
h
i
h
i
(s, t) ∈ R × [0, T ],
u(s, t) = E Q H(ST , T )|St = s = e−r(T −t) E Q f (ST )|St = s ,
dalla condizione al bordo.
Essendo S un processo di Markov:
h
i
h
i
u(s, t) = e−r(T −t) E Q f (ST )|St = s = e−r(T −t) E Q,s f (ST −t ) ,
(s, t) ∈ R × [0, T ].
5. Alcune formule esplicite nel caso di due diffusioni di Ito particolari.
Il problema principale nel trovare formule esplicite, al fine di determinare il processo
di prezzo del derivato, è risolvere l’Equazione Differenziale Stocastica (24) per stabilire
la forma funzionale del processo stocastico S. In questa sede abbiamo scelto due esempi particolari di Equazioni Differenziali Stocastiche che corrispondono ad una scelta
specifica dei parametri funzionali a ed b della diffusione.
Come primo esempio prendiamo S = {St }t∈[0,T ] soluzione forte dell’Equazione
Differenziale Stocastica:
dSt = σSt dWt + (µ − σ 2 /2)St dt, t ∈ [0, T ]
S0 = x,
comunemente detta di Black and Sholes. Osserviamo che b(x) = (µ − σ 2 /2)x ed σ(x) =
σx (x ∈ R) ed W = {Wt }t∈[0,T ] è il moto Browniano {Ft }t∈[0,T ] −adattato rispetto alla
misura P. Utilizzando (34) si ha che Z = {Zt }t∈[0,T ] è la suluzione forte dell’Equazione
Differenziale Stocastica:
dZt = σZt dWt + (µ − σ 2 /2 − r)Zt dt, t ∈ [0, T ]
Z0 = x
Chiaramente (C.III) è soddisfatta:
Z
T
0
Z Th
h (µ − σ 2 /2 − r) i2
h b(S ) − rS i2
(µ − σ 2 /2 − r) i2
t
t
dt =
dt =
T < ∞.
σ(St )
σ
σ
0
32
Definiamo come in (35) la misura Q = QT data da:
h
Q(A) = E e−
P
µ−r−σ 2 /2
σ
WT −
µ−r−σ 2 /2
σ
2
T /2
i
1A ,
per ogni A ∈ FT . Rispetto alla misura Q il processo Z è la soluzione forte dell’Equazione
Differenziale Stocastica:
dZt = σZt dXt , t ∈ [0, T ]
Z0 = x,
per X = {Xt }t∈[0,T ] Q−moto Browniano in {Ft }t∈[0,T ] . E’ immediato dedurre che sotto
alla misura Q :
Zt = xeσXt −σ
2
/2·t
,
t ∈ [0, T ]
cosı̀ che
St = xeσXt +(r−σ
2
/2)t
,
t ∈ [0, T ].
Osserviamo che (C.IV ) è soddisfatta:
Z
T
−2rt
e
0
Z
h
i
2
E a(St ) dt = σ
T
Q
0
= σ 2 x2
Z
T
0
h i
e−2rt E Q St2 dt =
i2
h
2
−σ 2 t Q 2σXt
dt = x2 eσ T < ∞.
e
E e
La variabile aleatoria St = xeσXt +(r−σ
2
/2)t
= xeZ+rt for Z ∼ N (−tσ 2 /2, σ 2 t) per ogni
t ∈ [0, T ].
Il processo di prezzo Π = {Πt }t∈[0,T ] dato dalla formula (41) è:
Z
h
i
−r(T −t)
−r(T −t) Q,s
f (ST −t ) = e
Πt = e
E
+∞
−∞
x
− x+(T −t)σ 2 /2
f (se )e
p
2
/2σ 2 (T −t)
2πσ 2 (T − t)
· dx
per ogni (s, t) ∈ R × [0, T ], assumendo che s è il valore del sottostante osservato al
tempo t. L’espressione sopra riportata è esattamente il prezzo di mon arbitraggio del
derivato X = f (ST ). Osserviamo che essa coincide con la formula di Black and Sholes
precedentemente discussa nell’introduzione ((20)).
Come secondo esempio consideriamo il caso in cui S è la soluzione dell’Equazione:
dSt = −λSt dt + σdWt , t ∈ [0, T ]
S0 = x,
33
dove W = {Wt }t∈[0,T ] è il moto Browniano canonico in {Ft }t∈[0,T ] rispetto alla misura
originaria P. La costante λ è strettamente positiva cosı̀ che −λ è un drift negativo
bilanciato dall’effetto del caso.
Usando (34) possiamo dedurre che Z = {Zt }t∈[0,T ] è la soluzione forte dell’Equazione
Differenziale Stocastica:
dZt = σe−rt dWt − (λ + r)Zt dt, t ∈ [0, T ]
Z0 = x.
Osserviamo che:
Z
T
0
h b(S ) − rS λ + r 2 Z T
t
t 2
dt =
St2 dt.
σ(St )
σ
0
E’ noto che la soluzione forte dell’Equazione sopra citata è:
−λt
St = xe
+
Z
t
eλ(s−t) dWs ,
t ∈ [0, T ],
0
cioè è un processo Gaussiano con media xe−λt e varianza σ 2 (1 − e−2λt )/2λ (t ∈ [0, T ]).
Dal teorema di Fubini:
E
P
h i
λ + r 2 Z T
h b(S ) − rS i2
t
t
E P St2 dt =
dt =
σ(St )
σ
0
0
h
2
−2λT i
(λ + r)
λ + r 2 x2 (1 − e−2λT )
1−e
=
+
·
· T−
< ∞.
2λ
2λ
σ
2λ
Z
T
Come conseguenza esiste una costante C < ∞ tale che
RT
0
(b(St ) − rSt )2 /σ(St )2 dt ≤ C
con probabilità 1, i.e. (C.III) è verificata eccetto sottoinsiemi di Ω con misura zero.
Definiamo come in (35) la misura Q = QT , cioè
h
i
Q(A) = E P e−βt −[β]t /2 1A ,
A ∈ FT ,
dove per ogni t ∈ [0, T ] :
λ+r
·
βt = −
σ
Z
T
Su dWu ,
[β]t =
0
λ + r 2 Z
σ
T
0
Su2 du.
Possiamo usare il lemma 3.1 anche se la condizione (C.III) è vera eccetto che per sottoinsiemi di Ω di misura di probabilità nulla. Infatti problema principale è verificare
34
che il processo dQt /dPt = e−βt −[β]t /2 (t ∈ [0, T ]) è una Martingala uniformemente integrabile in {Ft }t∈[0,T ] con dQ0 /dP0 = 1 a.s.. Questo tipo di verifica può essere condotta
abbastanza facilmente ripetendo gli stessi passi del lemma 3.1. Il processo Z è una
soluzione forte dell’Equazione Differenziale Stocastica
dZt = σe−rt dXt , t ∈ [0, T ]
Z0 = x,
per X = {Xt }t∈[0,T ] Q−moto Browniano, {Ft }t∈[0,T ] −adattato.
Rispetto alla misura Q :
Zt = x + σ
Z
t
Z
t
e−rs dXs ,
0
e dunque
rt
St = xe + σ
er(t−s) dXs ,
0
t ∈ [0, T ]
t ∈ [0, T ].
Osserviamo che (C.IV ) è soddisfatta:
Z T
h
i
σ2
· (1 − e−2rT ) < ∞,
e−2rt E Q a(St ) dt =
2r
0
cosı̀ che (41) specifica il processo di prezzo Π del derivato X. In particolare essendo St
una variabile aleatoria Gaussiana con media xert e varianza (e2rt − 1)σ 2 /2r per ogni
t ∈ [0, T ], possiamo riscrivere (41) come:
Z +∞
r(T −t) 2
f (x)
) /2σ 2 (e2r(T −t) −1)
−r(T −t)
p
· e−2r(x−se
dx (45)
Πt = e
2π(e2r(T −t) − 1)σ 2 /2r
−∞
per ogni t ∈ [0, T ] assumendo che s sia il prezzo del sottostante al tempo t. La formula
(45) ha lo stesso ruolo della formula di Black and Sholes (20), in un contesto finanziario
chiaramente diverso. E’ interessante prezzare Opzioni Europee usando la formula sopra
citata:
Example 4.2 Sia f (x) = (x − k)+ (x ∈ R) e k strike price di un Opzione Europea di
tipo Call. Usando un cambio di variabile elementare:
q
h
i k − ser(T −t)
Πt = s + σ (1 − e−2r(T −t) − 1)/2r φ p
−
σ (e2r(T −t) − 1)/2r
k − ser(T −t)
− ke−r(T −t) φ p
,
t ∈ [0, T ].
σ (e2r(T −t) − 1)/2r
35
E’ interessante paragonare la formula sopra riportata con la formula di Black and Sholes
nel contesto di Opzioni Europee di tipo Call dimostrata nell’esempio 1.5.
5. Bibliografia.
[1] F.Black, M.Sholes: The Pricing of Options and Corporate Liabilities Journal of
Political Economy, 81, 637-659, (1973)
[2] D.Revuz, M.Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion Springer, 2, -3rd
ed. p. cm., (1999)
[3] J.Hull: Options, Futures, and Other Derivatives Prentice Hall, -5ed p. cm., (2001)
[4] I.Karatzas, S. E. Shreve: Methods of Mathematical Finance Springer, Applications
of Mathematics Stochastic Modelling and Applied Probability, 39, (1998)
Indirizzi degli autori:
L. Santamaria
Facoltà di Scienze Statistiche
Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano
via Necchi 7,
20100 Milano – Italy
e–mail:
A. Cipollini
Facoltà di Matematica
Università di Milano-Bicocca
via Cozzi 34,
20126 Milano- Italy
e-mail: [email protected]
36