Parte 7, 1
Parte 7
Aggiornamento: Settembre 2010
Controlli Automatici T
Luogo delle radici
Prof. Lorenzo Marconi
DEIS-Università di Bologna
Tel. 051 2093788
Email: [email protected]
URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi
Prof. L. Marconi
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Parte 7, 2
Il luogo delle radici è uno strumento per identificare la collocazione
dei poli del sistema retroazionato al variare del guadagno statico
a partire dai poli-zeri del sistema ad anello
I poli del sistema retroazionato sono le soluzioni dell’equazione
caratteristica,
ovvero
Intuitivamente
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I poli di
coincidono con quelli di
I poli di
coincidono con gli zeri di
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Parte 7, 3
Osservazioni:
•  L’ordine del polinomio
è lo stesso di
quello di
il numero di poli del sistema retroazionato
è uguale a quello del sistema ad anello
•  Fissato un valore di
le soluzioni dell’equazione caratteristica
determinano
punti nel piano complesso con
ordine di
Il luogo delle radici è
costituito da
“rami”
parametrizzati nel valore
di
. Un volta fissato
gli
punti sugli
rami identificano i
poli del sistema
retroazionato per quel
valore di
.
• 
Per costruzione il luogo è simmetrico rispetto l’asse reale (infatti
riporta le radici di un polinomio a coefficienti reali)
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Parte 7, 4
Proprietà del luogo (
)
I.  Il luogo ha tanti rami quanti sono i poli del sistema in catena
aperta parametrizzati nel valore di
(a ciascun ramo e’ associato un polo)
II.  Ogni ramo
 
parte per
da un polo del sistema ad anello aperto
 
termina per
su uno zero del sistema ad anello aperto
o all’infinito (i rami all’infinito sono pari al grado relativo)
III.  Il luogo è simmetrico rispetto l’asse reale
IV.  Un punto dell’asse reale appartiene al luogo se si lascia alla
sua destra un numero totale dispari di poli/zeri del sistema ad
anello aperto (nota: i poli cc non entrano nel computo entrando a coppie)
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Parte 7, 5
….. proprietà del luogo
V. 
Gli asintoti si diramano da un punto della reale di valore
Grado relativo
Poli di
Zeri di
VI.  Gli asintoti dividono il piano complesso in parti uguali. In
particolare l’angolo che l’asintoto forma con l’asse reale è
VI.  Per sistemi a grado relativo maggiore di 1, la somma dei poli
è costante al variare di
e in particolare vale
Baricentro del luogo
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Parte 7, 6
Asintoti
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instabilità
instabilità
instabilità
instabilità
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Parte 7, 7
Sistemi del primo ordine
• 
Senza zero
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• 
Con zero
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Parte 7, 8
Sistemi del secondo ordine reali
• 
Senza zero
Prof. L. Marconi
• 
Con zero
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Parte 7, 9
Sistemi del secondo ordine c.c.
• 
Senza zero
Prof. L. Marconi
• 
Con zero
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Parte 7, 10
Sistemi del terzo ordine
• 
Senza zero
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• 
Con zero/i
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Esempio (uso del luogo per progetto robusto)
Parte 7, 11
Progetto regolatore in retroazione robusto dell’esempio numerico
a pag. 8-parte 6 (vedere anche progetto analitico pag. 19-parte 6)
Sistema controllato
Incertezza posizione polo
Specifiche
Dinamiche
• 
• 
Statiche
Affinché tale specifica sia soddisfatta
occorre che la fdt in retro abbia
guadagno statico unitario:
Specifica su
(
)
Specifica su
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Quindi
un polo nell’origine.
deve avere
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Parte 7, 12
Come progettare
per soddisfare
robustamente la specifica dinamica?
Polo nell’origine nel regolatore
per specifica statica
Dalle regole viste è
immediato vedere
che la scelta
con
nella regione di
ammissibilità e
sufficientemente elevato
risolve il problema
Range incertezza polo sistema
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