Parte 8, 1
Parte 8
Aggiornamento: Settembre 2010
Controlli Automatici T
Analisi del sistema in retro e
Funzioni di sensitività
Prof. Lorenzo Marconi
DEIS-Università di Bologna
Tel. 051 2093788
Email: [email protected]
URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi
Prof. L. Marconi
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Parte 8, 2
Schema a blocchi reale
disturbo di attuazione
regolatore
attuatore
disturbo sull’uscita
sistema
Replica
dinamica
sensore
disturbo di misura
dinamica
sensore
Nota: il riferimento viene filtrato da una replica della dinamica del
sensore per ottenere un riferimento “compatibile” con la dinamica
dell’uscita retroazionata
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
Elaborazione schema a blocchi reale
Prof. L. Marconi
Parte 8, 3
Controlli Automatici T
…. Elaborazione schema a blocchi reale
Parte 8, 4
Anche partendo da uno schema
in retroazione più aderente alla
realtà (presenza di dinamiche
di sensore/attuatore) possiamo
ricondurci al seguente schema
ideale:
Disturbo di misura
Disturbo uscita + attuatore
Funzione ad anello aperto
Prof. L. Marconi
Dinamica “equivalente”
regolatore
Dinamica “equivalente”
plant
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Disaccoppiamento in frequenza degli ingressi
Parte 8, 5
Nella grande maggioranza delle applicazioni di interesse
ingegneristico si ha che le bande dei segnali di riferimento e
dei disturbi di uscita sono spettralmente disgiunte rispetto alla
banda che caratterizza disturbi di misura
• 
• 
• 
Segnali di riferimento e disturbi
sull’uscita normalmente confinati
a frequenze basse
Prof. L. Marconi
problemi termici nei componenti
elettronici
accoppiamenti con campi e.m. in aria
(telefonini, radio TV,..)
accoppiamento campo e.m a 50Hz (314
rad/s) dovuto alle correnti che scorrono
sulla rete di alimentazione
Disturbi di misura normalmente
confinati a frequenze elevate
Controlli Automatici T
Parte 8, 6
Funzioni di sensitività
Uscite di interesse:
Ingressi significativi:
Errore di inseguimento
Uscita controllata
“Sforzo” di controllo
Riferimento (set point)
Disturbi sull’uscita (ingresso)
Disturbi di misura
Le funzioni di sensitività rappresentano le funzioni di trasferimento
tra gli ingressi significativi e le uscite di interesse
Prof. L. Marconi
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Parte 8, 7
….Funzioni di sensitività
Funzione di sensitività
Funzione di sensitività complementare
Funzione di sensitività del controllo
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
Parte 8, 8
Alcune considerazioni
•  Le funzioni dipendono congiuntamente da
e
(funzione
di anello) tranne la funzione di sensitività del controllo in cui la fdt
del regolatore entra singolarmente
•  Il denominatore (e in particolare i poli) di tutte le funzioni di
sensitività e’ lo stesso. Si può quindi parlare di stabilità del sistema
in retroazione indipendentemente dal particolare ingresso
Poli del sistema retroazionato
radici dell’equazione caratteristica
Sistema in retro asintoticamente stabile
caratteristica a parte reale minore di zero.
Sistema in retro asintoticamente stabile
limitati (stabilità BIBO)
Prof. L. Marconi
tutte le radici dell’equazione
uscite limitate a fronte di ingressi
Controlli Automatici T
…..Alcune considerazioni
Parte 8, 9
•  Notare che strutturalmente
. In pratica
questo significa che non e’ possibile imporre, attraverso il
progetto del regolatore, specifiche arbitrarie.
Esempio:
  Cancellazione del disturbo
sull’uscita
No!
 
Cancellazione del disturbo
sull’uscita
Esempio:
  Inseguimento del riferimento
con
No!
 
Cancellazione del disturbo
Prof. L. Marconi
sull’uscita
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Parte 8, 10
Studio di stabilità del sistema in retro
Obiettivo: dedurre conclusioni sulla stabilità robusta del sistema in
retro dallo studio nel dominio della frequenza della funzione ad anello
aperto
Criterio di Bode
(caso particolare del criterio di Nyquist)
Importanza del risultato:
1.  Dalla lettura di un solo punto del diagramma di Bode di
si deduce la stabilità o meno del sistema chiuso in retro
2.  Possibilità di ottenere misure sulla robustezza della stabilità del
sistema in retro a fronte di incertezze sul diagramma dei moduli
e delle fasi di
Prof. L. Marconi
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Parte 8, 11
Margine di Fase e di Ampiezza
Margine di fase:
Margine di ampiezza:
Prof. L. Marconi
dove
dove
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Margine di Fase e di Ampiezza: casi patologici
• 
Parte 8, 12
Intersezioni multiple
Patologia: Presenza di una coppia di poli cc poco smorzati (alto picco di risonanza) che
Intervengono ad una frequenza successiva a quella di un poli (in questo caso nell’origine)
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
…. Margine di fase e di ampiezza: casi patologici
• 
Parte 8, 13
Assenza di intersezioni
Patologia: guadagno statico <1 e alternanza poli-zeri in modo che non ci sia mai
una amplificazione delle ampiezza tale da compensare il guadagno basso
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
Parte 8, 14
…. Margine di fase e di ampiezza: casi patologici
• 
Margine
e
Patologia: presenza di zeri a fase non minima (amplificazione + sfasamento negativo)
che intervengono a frequenze più basse rispetto ai poli
zeri a fase non minima che
“governano” nell’intorno della
pulsazione
negativo
zoom
Prof. L. Marconi
positivo
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Parte 8, 15
…. Margine di fase e di ampiezza: casi patologici
• 
Margine
e
Patologia: Analogo al caso precedente ma con guadagno statico più basso
positivo
zoom
negativo
Usualmente (ovvero a parte i casi patologici) è lecito aspettarsi che
e
(segni concordi)
Prof. L. Marconi
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Parte 8, 16
Criterio di Bode
Ipotesi:
  Stabilità asintotica di
  Guadagno statico di
(ipotesi restrittiva, ma non troppo ….)
positivo (
)
Tesi: Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema in retro
sia asintoticamente stabile (radici di
tutte a parte reale <0)
è che il margine di fase
di
sia positivo
Motivazione intuitiva:
Frequenza critica:
(se l’ingresso
ha una componente frequenziale
Allora questa componente viene sfasata dal sistema di
e quindi entra in
fase con )
Condizione di Bode (suff.): se
(e quindi anche
, tralasciando i casi
patologici) allora la componente a frequenza
viene smorzata dal sistema
Condizione di Bode (necc.): se
(e quindi anche
, tralasciando i casi
patologici) allora la componente a frequenza
viene amplificata dal sistema
Prof. L. Marconi
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Importanza del criterio per la stabilità robusta
Parte 8, 17
•  Incertezze sulla fdt che si riflettono in incertezze sul diagramma
delle ampiezze (per esempio incertezze sul guadagno statico)
Dalla definizione il margine di ampiezza rappresenta la massima
incertezza tollerabile sul guadagno statico che non pregiudica
la stabilità
Prof. L. Marconi
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… Importanza del criterio per la stabilità robusta
Parte 8, 18
•  Incertezze sulla fdt che si riflettono in incertezze sul diagramma
delle fasi (per esempio incertezze sull’entità del ritardo)
Dalla definizione il margine di fase è legato alla massima incertezza
tollerabile sul ritardo che non pregiudica la stabilità. Infatti
Prof. L. Marconi
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Parte 8, 19
… Importanza del criterio per la stabilità robusta
Ricordando che il diagramma di Bode di un ritardo
• 
• 
:
È costante a 0 db nelle ampiezze
Sfasa di
nelle fasi
Si ha che:
• 
La pulsazione
rimane invariata al variare del ritardo
Lo sfasamento negativo introdotto dal ritardo di entità
frequenza
risulta
• 
alla
E quindi, essendo
il margine di fase del sistema, il massimo
ritardo tollerabile è:
Esempio precedente:
Prof. L. Marconi
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Parte 8, 20
… Importanza del criterio per la stabilità robusta
•  I due margini sono quindi indicatori di robustezza della stabilità del
sistema in retroazione (il margine di fase è indice di robustezza
rispetto ad incertezze sul diagramma delle fasi, il margine di
ampiezza rispetto ad incertezze sul diagramma delle ampiezze)
•  Più elevati sono i margini più la stabilità del sistema in retro è
garantita anche in presenza di grosse incertezze (sia di fase che di ampiezza).
•  I due margini valutati separatamente potrebbero non essere
indicatori affidabili di robustezza. Esempio significativo:
Coppia poli cc poco smorzata
Nonostante il margine di fase sia molto
elevato la stabilità del sistema in retro
non è robusta a causa del basso
margine di ampiezza.
Prof. L. Marconi
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Studio delle caratteristiche statiche e dinamiche
del sistema in retro
Parte 8, 21
Obiettivo: dedurre conclusioni sulle proprietà statiche e dinamiche
del sistema in retro dallo studio della funzione ad anello aperto
Studio delle funzioni di sensitività
in relazione a
Importanza dello studio:
1.  Individuare proprietà che la
deve avere in modo che
le funzioni di sensitività del sistema chiuso in retro abbiano
certe caratteristiche
Studio utile in vista della sintesi del regolatore
Prof. L. Marconi
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Studio della funzione di sensitività complementare
Parte 8, 22
Dinamica tra disturbo di misura ed errore di inseguimento/uscita.
Dinamica tra riferimento ed uscita.
Obiettivi contrastanti:
1. 
idealmente uguale a 1 al fine di avere replica esatta del
segnale di riferimento sull’uscita
2. 
idealmente uguale a 0 al fine di compensare in modo
esatto il disturbo di misura sull’uscita (errore)
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
….Studio della funzione di sensitività complementare
• 
Parte 8, 23
Analisi poli/zeri
  Gli zeri di
coincidono con gli zeri di
  I poli di
dipendono in maniera complessa dai poli e dagli
zeri di
(vedi luogo delle radici)
Osservazione: non si possono assegnare arbitrariamente gli zeri di
attraverso il progetto del regolatore. Infatti gli zeri della
funzione di trasferimento tra riferimento e uscita sono l’unione
di quelli del sistema (fissati) e quelli del regolatore (assegnabili)
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
….Studio della funzione di sensitività complementare
• 
Parte 8, 24
Analisi in frequenza
Per soddisfare le specifiche statiche a fronte di disturbi di tipo
e del riferimento , l’obiettivo sarà quello di progettare il regolatore
al fine di avere
1.  “piccolo” (ovvero
piccolo) nel campo di frequenze dove
sono confinate le componenti del disturbo di misura (frequenze
elevate)
2.  “unitaria” (ovvero
grande) nel campo di frequenze dove
sono confinate le componenti del riferimento (frequenze basse)
Assumeremo quindi che la funzione di risposta armonica di anello
abbia le caratteristiche di un passa basso:
Frequenze basse
Prof. L. Marconi
Frequenze elevate
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….Studio della funzione di sensitività complementare
Andamento approx. di
Parte 8, 25
:
se
se
Filtro passa-basso con pulsazione
di taglio
L’andamento approssimato di
mette in evidenza che
•  Segnali di riferimento (e disturbi) a frequenze sotto la
pulsazione
(pulsazione di attraversamento di
) vengono
fedelmente riprodotti in uscita a regime
•  Disturbi di misura (e riferimenti) a frequenze sopra la
pulsazione
vengono fortemente attenuati in uscita
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
….Studio della funzione di sensitività complementare
Parte 8, 26
Numero negativo
(attenuazione alla
frequenza
)
Nota: affinché un disturbo di misura ad alta frequenza
venga
esattamente compensato a regime (no effetto sull’uscita) occorre che
sia nulla, ovvero che la funzione ad anello presenti una coppia
di zeri cc con pulsazione naturale
e smorzamento nullo.
Prof. L. Marconi
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….Studio della funzione di sensitività complementare
• 
Parte 8, 27
Esempio
Presenza di
poli cc
zoom
Prof. L. Marconi
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….Studio della funzione di sensitività complementare
Parte 8, 28
L’andamento approx di
mette in evidenza come si possa
pensare che la funzione di sensitività complementare abbia una
coppia di poli c.c. che intervengono alla pulsazione
(punto
di rottura del diagramma di Bode delle ampiezze)
E’ di interesse cercare di capire la natura di questi poli (ovvero
lo smorzamento associato identificando il coefficiente di
smorzamento) cercando di studiarne la relazione (approx)
con proprietà di
Margine di fase di
con
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
….Studio della funzione di sensitività complementare
Ovvero, dalla relazione tra
e
Parte 8, 29
,
Dall’ipotesi che
abbia una coppia di poli cc con pulsazione di risonanza
e coefficiente di smorzamento si ha che
Se
piccolo
Espresso in gradi
Regola empirica: se il margine di fase del sistema ad anello è
< 75° allora il sistema chiuso in retro avrà una coppia di poli cc
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
….Studio della funzione di sensitività complementare
• 
Parte 8, 30
Esempio
Margine di fase e pulsazione di
attraversamento di
pari a
Ci aspettiamo quindi che il sistema
in retro abbia una coppia cc
dominante con
Dal calcolo della
si scopre
in effetti che i poli dominanti sono
caratterizzati da
Approx buona in questo caso
Prof. L. Marconi
+ polo reale in
Controlli Automatici T
….Studio della funzione di sensitività complementare
Parte 8, 31
Attenzione: nella parte 5 abbiamo visto che più lo smorzamento di
una coppia cc è piccolo più la banda della funzione associata è
grande rispetto alla pulsazione naturale:
In questo contesto ci dobbiamo
quindi aspettare che più il
margine di fase
di
è basso più la pulsazione di
attraversamento
sia una
stima per difetto della banda
di
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
Studio della funzione di sensitività
Parte 8, 32
Dinamica tra segnale di riferimento e disturbo sull’uscita ed
errore di inseguimento.
L’obiettivo progettuale sarà quindi tenere
prossima a zero al fine
di avere errori di inseguimento bassi a fronte di certi riferimenti e
disturbi sull’uscita
Essendo
tenere anche
di misura
Prof. L. Marconi
tale obiettivo si scontra con l’esigenza di
prossima a zero al fine di attenuare il disturbo
Controlli Automatici T
…..Studio della funzione di sensitività
Parte 8, 33
Questo “tradeoff” si risolverà grazie al disaccoppiamento in
frequenza tra riferimenti e disturbi sull’uscita (i cui spettri
sono assunti confinati alle frequenze basse) e disturbi di
misura (i cui spettri sono assunti confinati alle frequenze
alte)
Assumeremo quindi, in analogia allo studio della funzione
,
che la funzione di r.a. di anello
abbia le caratteristiche di
un passa basso:
Frequenze basse
Errore statico piccolo a fronte di
riferimenti e disturbi di uscita con
spettri a frequenze basse
Prof. L. Marconi
Frequenze elevate
Errore statico piccolo a fronte di
disturbi di misura con spettri a
frequenze elevate
Controlli Automatici T
…..Studio della funzione di sensitività
Parte 8, 34
Andamento approx. di
:
se
se
Filtro passa-alto con pulsazione
di taglio
Le componenti del riferimento e del disturbo sull’uscita a frequenze
basse (sotto la pulsazione di attraversamento
di
) vengono
attenuate sull’errore di una fattore pari a
. Le frequenze
superiori non vengono invece alterate.
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
…..Studio della funzione di sensitività
Parte 8, 35
Esempi
• 
Prof. L. Marconi
• 
Controlli Automatici T
Parte 8, 36
…..Studio della funzione di sensitività
Un segnale di riferimento (disturbo sull’uscita) con una componente
frequenziale
viene inseguito (attenuato) in uscita con una
“precisione” pari all’inverso del guadagno della funzione di r.a.
di anello alla frequenza
Specifiche statiche potranno essere imposte agendo sul
guadagno della
a certe frequenze
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
Parte 8, 37
…..Studio della funzione di sensitività
Nel caso si volesse inseguire esattamente il riferimento (ovvero
compensare esattamente il disturbo di misura) a regime:
Presenza in
di una coppia di poli cc
sull’asse immaginario con
Nota: affinché un riferimento (disturbo di misura) alla
frequenza
venga esattamente inseguito (compensato)
a regime occorre che
(ovvero che
). Questo si ha se
presenta una
coppia di poli cc a smorzamento nullo e pulsazione
naturale
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
Parte 8, 38
…..Studio della funzione di sensitività
Principio del modello interno
Affinché un segnale di riferimento (disturbo di misura) con una
componente spettrale alla frequenza
sia inseguito (neutralizzato)
a regime perfettamente in uscita e’ necessario e sufficiente che
1.  il sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabile
3.  la funzione ad anello aperto
abbia una coppia di poli cc
sull’asse immaginario con pulsazione naturale pari a
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
…..Studio della funzione di sensitività
Parte 8, 39
Caso particolare di interesse pratico: segnali di riferimento e disturbi
sull’uscita costanti, caratterizzati quindi da una componente
spettrale a frequenza zero.
In base al principio del modello interno si ha quindi che condizione
necessaria e sufficiente affinché un riferimento (disturbo sull’uscita)
costante sia inseguito (compensato) esattamente a regime in uscita
e’ che il sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabile
e che la funzione ad anello abbia almeno un polo nell’origine.
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
Parte 8, 40
…..Studio della funzione di sensitività
Interpretazione del principio del modello interno in termini
di proprietà bloccante degli zeri
• 
Analisi poli/zeri di
  Gli zeri di
coincidono con i poli di
  I poli di
dipendono in maniera complessa dai poli e dagli
zeri di
(vedi luogo delle radici)
• 
Supponiamo ora che
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
Parte 8, 41
…..Studio della funzione di sensitività
Dalle regole di antitrasformazione delle trasformate di Laplace si
deduce che affinché
sia un segnale che tenda a
zero esponenzialmente allora, necessariamente,
1. 
(cancellazione modi sull’asse immaginario)
2.  Radici di
tutte
a parte reale negativa (stabilità asintotica del sistema in retro)
Principio del modello interno
Nota: il valore dell’ampiezza e della fase del segnale da inseguire
o da compensare non sono conoscenze essenziali (non influenzano ne
il modello interno ne il problema di stabilizzazione)!!!
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
…..Studio della funzione di sensitività
Parte 8, 42
L’interpretazione del principio del modello interno data in termini
di proprietà bloccante degli zeri, permette anche l’analisi di casi
significativi come l’inseguimento (abbattimento) di riferimenti
(disturbi) instabili quali segnali a rampa e a parabola.
Affinché
sia un segnale che tende esponenzialmente a zero,
occorre ci siano almeno due zeri di
nell’origine (ovvero almeno due poli
nell’origine di
).
Principio del
modello interno
Prof. L. Marconi
1. 
2. 
con radici a parte Re<0
Controlli Automatici T
Parte 8, 43
…..Studio della funzione di sensitività
Caso generale:
gradino
rampa
parabola
Teorema del valore finale
Principio
del
modello
interno
Prof. L. Marconi
Valore dell’errore a regime
a fronte di riferimenti a
gradino-rampa-parabola
al variare del tipo del sistema
assumendo che il sistema in
retro sia asintoticamente stabile
Controlli Automatici T
Studio della funzione di sensitività del controllo
Parte 8, 44
Rappresenta il legame dinamico tra tutti gli ingressi di interesse
e l’uscita “controllo”
Essendo uno dei requisiti del sistema di controllo quello di
tenere lo sforzo di controllo “piccolo”, sarebbe auspicabile
avere una
“piccola”.
Seguendo un approccio frequenziale, sarà auspicabile avere
piccola sia a frequenze basse (al fine di avere moderazione
a fronte di riferimenti e disturbi sull’uscita) che a frequenze
elevate (al fine di avere moderazione del controllo a fronte di
disturbi di misura)
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
……Studio della funzione di sensitività del controllo
Andamento approx. di
Parte 8, 45
:
se
se
Pulsazione di attraversamento di
(quale
(frequenza alla
interseca
)
Le componenti a frequenze basse
(minori della pulsazione di att.
di
) sono filtrate dall’inversa
di
Il fattore di attenuazione a
frequenze basse non è
condizionabile attraverso il
progetto del controllo
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T
……Studio della funzione di sensitività del controllo
Parte 8, 46
Le componenti a frequenze elevate
(maggiori della pulsazione di att.
di
) sono filtrate da
Il fattore di attenuazione a
frequenze elevate è
condizionabile attraverso il
progetto del regolatore
Una buona regola da seguire, al fine
di moderare lo sforzo di controllo,
e’ quindi evitare l’uso di regolatori
che “amplificano” a frequenze
elevate, ovvero evitare di imporre
frequenze di attraversamento
di
molto più alte rispetto a
quella del sistema
Prof. L. Marconi
Controlli Automatici T