Parte 4, 1
Parte 4
Aggiornamento: Settembre 2010
Controlli Automatici T
Stabilità e risposte di sistemi elementari
Prof. Lorenzo Marconi
DEIS-Università di Bologna
Tel. 051 2093788
Email: [email protected]
URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi
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Parte 4, 2
Stabilità (esterna)
Nozione che cattura la proprietà di come l’uscita di sistema dinamico
reagisce a fronte di “perturbazioni” sull’ingresso
Perturbazione
Sistema
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Parte 4, 3
Stabilità (esterna)
Dalla proprietà di sovrapposizione degli effetti (sistemi lineari) si
può pensare anche in termini di perturbazione di un moto nominale
Perturbazione (disturbo)
+
Sistema
traiettorie nominali
traiettorie perturbate
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Parte 4, 4
Quindi la stabilità esterna si riduce ad analizzare la risposta di un
sistema a fronte di un ingresso impulsivo
Dalle regole di antitrasformazione è quindi facile mettere in relazione
la stabilità esterna di un sistema con il segno della parte reale
dei poli della funzione di trasferimento:
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Parte 4, 5
Risultato: il sistema lineare con fdt
e’ esternamente
•  Asintoticamente stabile se tutti i poli di
hanno
parte reale negativa;
•  Semplicemente stabile se tutti i poli di
hanno parte
reale non positiva ed eventuali poli a parte reale nulla hanno
molteplicità singola;
•  Instabile se esiste almeno un polo a parte reale positiva
o a parte reale nulla e molteplicità maggiore di 1.
Sempre dalle proprietà di antitrasformazione di Laplace e in
particolare dallo sviluppo in fratti semplici, è semplice dedurre
il risultato che ogni sistema esternamente asintoticamente stabile
risponde con uscite limitate a fronte di ingressi limitati non
necessariamente impulsivi (stabilità BIBO).
Tale proprietà non è garantita nel caso di stabilità esterna semplice
(risonanza tra ingresso e polo della fdt)
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Parte 4, 6
Risposte temporali di sistemi elementari
Come evidenziato nella parte 3, la risposta forzata di un sistema
dinamico con fdt arbitrariamente complessa può essere ottenuta
sommando le risposte di sistemi elementari del primo e secondo
ordine. Ha quindi senso analizzare l’andamento temporale di
sistemi elementari a fronte di ingressi tipici (gradino) e
identificare la relazione esistente tra i parametri della fdt e
l’andamento temporale della risposta.
• 
Sistemi del primo ordine
• 
Sistemi del secondo ordine
• 
Luoghi a sovraelongazione e tempo di assestamento costante
• 
Effetto degli zeri
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Parte 4, 7
• 
Sistemi del primo ordine
costante di tempo
guadagno statico
• 
Valore di regime
• 
Derivata iniziale
•  Tempo di assestamento
all’
• 
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• 
Sistemi del secondo ordine
coefficiente di smorzamento (
pulsazione naturale (
)
)
Dalle regole di antitrasformazione:
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Tempo di assestamento all’
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Parte 4, 10
Osservazioni:
•  La sovraelongazione percentuale
univocamente dal coefficiente di smorzamento
l’andamento e’ monotono decrescente.
dipende
. In particolare
•  Il tempo di assestamento è proporzionale al prodotto tra il
coeff. di smorzamento e la pulsazione naturale (parte reale dei poli)
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Parte 4, 11
Altra quantità di interesse: Tempo di salita.
Tempo occorrente affinché l’uscita passi dal 10% al 90% del valore finale
Punto di flesso
Tempo di salita
approssimazione
(
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)
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Parte 4, 12
Il tempo di salita dipende in maniera congiunta (non
linearmente) sia da che da
. Fissato il tempo di assestamento
decresce all’aumentare di
. Fissato
il tempo di assestamento
decresce al calare di .
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Parte 4, 13
Luoghi a tempo di assestamento e sovraelongazione costante
Problema: caratterizzare tutte le fdt del secondo ordine che a fronte
di un ingresso a gradino presentano: 1) lo stesso tempo di
assestamento; 2) la stessa sovraelongazione.
Stessa sovraelongazione
Stesso tempo assestamento
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Parte 4, 14
• 
Luoghi a tempo di assestamento costante
Dalla relazione
e ricordando che
reale dei poli cc
risulta essere il modulo della parte
Tutte le coppie di
poli cc con parte
reale costante
generano riposte
al gradino con lo
stesso tempo di
assestamento
cresce se
la parte reale
decresce
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Parte 4, 15
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• 
Luoghi a sovraelongazione costante
Dalla relazione
e ricordando che
risulta essere l’angolo che il segmento congiungente il polo
con l’origine forma con l’asse reale negativo
Tutte le coppie di
poli cc che giacciono
su semirette uscenti dall’
origine hanno la stessa
sovraelongazione nella
risposta al gradino
cresce se
l’angolo aumenta
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•  Luoghi dei poli cc che caratterizzano tutte le fdt con un tempo
di assestamento (5%)
e sovraelongazione
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Parte 4, 19
Esempio sistema meccanico
Ingresso: forza motrice
Uscita: posizione del carrello
Parametri fisici:
rigidezza molla
attrito viscoso
massa
sovraelongazione
guadagno statico
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tempo di assestamento
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Parte 4, 21
Sistema del secondo ordine con poli reali (Polo dominante)
Antitrasformando si ottiene:
• 
Valore asintotico
• 
Valore iniziale
• 
Rapidità iniziale
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Parte 4, 22
In molti casi di interesse pratico i due poli hanno costanti di tempo
molto diverse (
ovvero
)
Quindi il termine associato al polo con costante di tempo maggiore
e’ caratterizzato da un residuo molto più grande e da un
esponenziale molto più lento ad estinguersi
La risposta del sistema
tende a quella di un
sistema del primo ordine
governato dal
polo dominante
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Parte 4, 23
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Parte 4, 24
Effetto degli zeri nella risposta di sistemi elementari
• 
Sistema del primo ordine con uno zero reale
Grado relativo 0
collegamento algebrico
ingresso uscita
Antitrasformando si ottiene:
• 
Valore asintotico
• 
Valore iniziale
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• 
Sistema del primo ordine con uno zero nell’origine
Antitrasformando si ottiene:
• 
Valore asintotico
(proprietà bloccante degli zeri)
• 
Valore iniziale
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Parte 4, 26
• 
Risposta sistema del secondo ordine, poli reali + zero reale
Antitrasformando si ottiene:
Proprietà per
• 
e
• 
:
• 
L’analisi della risposta temporale, e in particolare il valore dei
residui associati ai poli, dipende fortemente dalla posizione dello
zero.
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• 
Caso sistemi a fase non minima:
(
)
Essendo
si ha che la risposta parte con
una sottoelongazione (
)
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• 
Caso sistemi a fase minima:
Termine >0 che
tende a 0 “lentamente”
Termine <0 che
tende a zero
“velocemente”
Inoltre:
Derivata nel caso non ci sia lo zero
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La risposta presenta una
sovraelongazione tanto più
marcata quanto più lo
zero tende verso l’origine
Risposta non oscillatoria
Risposta molto più
“brusca” dell’equivalente
sistema privo di zero
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• 
Caso sistemi a fase minima con “quasi cancellazione”:
Termine <0 che
tende a zero
“velocemente”
Il residuo associato e’ molto piccolo e
•  >0 se
•  <0 se
Inoltre l’esponenziale tende a zero
“lentamente”.
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L’esponenziale “lento” genera un contributo piccolo che non e’
evidente nei primi istanti del transitorio (in quanto “sovrastato” dal
contributo dell’esponenziale “veloce”) ma che appare asintoticamente.
Tale contributo e’ positivo se
e negativo altrimenti.
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L’andamento di
e’ quindi inizialmente analogo a quello di un
sistema del primo ordine (governato dal polo “veloce” con costante di
tempo
). Al passare del tempo emerge un contributo “subdolo”
che si esaurisce lentamente con una velocità che dipende dalla costante
di tempo
associata allo zero)
Tipica risposta con due
dinamiche temporali.
Coda di assestamento dovuta
alla quasi cancellazione
polo/zero.
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• 
Risposta sistema del secondo ordine, poli cc + zero reale
Notare che
con
Quindi, dalle proprietà delle trasformate di Laplace,
dove
rappresenta la
risposta al gradino del sistema
senza zero.
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L’effetto dello zero e’ analogo al caso di sistemi con poli reali
•  sottoelongazione per
, accentuazione delle sovraelongazioni
•  sfasamento in ritardo per
e in anticipo per
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