Corso di Analisi: Algebra di Base
5^ Lezione
• Logaritmi .
• Proprietà dei logaritmi
• Equazioni logaritmiche .
• Disequazioni logaritmiche .
• Allegato Esercizi .
INDICE
LOGARITMI :
Per logaritmo intendiamo una espressione letterale indicante un valore numerico.
Definizione :
Si chiamerà logaritmo di un numero reale positivo b rispetto
alla base a, positiva e diversa dall’unità, quel numero reale
c dato come esponente alla base per ottenere il numero reale b.
loga b = c ⇔ a c = b
dove con a indichiamo la base del logaritmo
dove con b indichiamo l’argomento del logaritmo
dove con c indichiamo il valore del logaritmo.
Es :
log2 x = 3

→ 2 3 = x
,
x=8
log x 4 = 2

→ x 2 = 4
,
x = ±2
x = +2
log2 16 = x

→ 2 x = 16
ma poiché x > 0
è l’unico valore accett.
L’ultimo esempio fatto ci porta ad un nuovo tipo di equazione, detta eq. esponenziale.
Quindi avremo un dato assunto per ipotesi , e cioè la base sempre positiva, ma diversa da 1.
Dovremo altresì esprimere di volta in volta quella che sarà la condizione di realtà di ogni
logaritmo , l’argomento strettamente positivo.
INDICE

loga b 
→ 

Hp → a > o , a ≠ 1
Condizione di Esistenza →
b>0
Nella maggior parte dei casi ci troveremo a lavorare con logaritmi di basi prefissate che nel
nostro caso saranno :
la base dei logaritmi naturali , e , con e numero di Nepero ( e = 2,71...)
la base dei logaritmi decimali , 10 .
I logaritmi naturali li indicheremo con il simbolo
ln
, i decimali con
log
.
Abbiamo detto che il valore della base di qualsiasi logaritmo viene assunta per ipotesi
strettamente positiva , ma diversa da 1 ; questo evidentemente perché dalla definizione di
logaritmo non esiste alcun valore dell’esponente c che dato alla base 1 permetta di avere un
prefissato numero b.
Infatti :
loga b = c ⇔ a c = b
se consideriamo per es : b = 5 , con a = 1 si avrebbe 1c = 5 e non esiste alcun valore di c
che verifichi l’uguaglianza.
Se volessimo rappresentare in un riferimento cartesiano ortogonale la legge che lega
ad ogni valore della variabile x , rappresentativa di tutti gli argomenti dei logaritmi, il
corrispondente valore del logaritmo , espresso dalla variabile y troveremmo un diverso
comportamento a seconda del valore assunto dalle basi.
INDICE
y = loga x
Più precisamente :
y
y
y = loga x
( a > 1)
1
y = loga x
x
1
( 0 < a < 1)
x
PROPRIETA’ DEI LOGARITMI
loga 1 = 0 
→ a 0 = 1
loga a = 1 
→ a = a
loga b + loga c = log a (bc )
1
 b
loga b − loga c = log a  
c
loga b c = c loga b
m
loga n b m = loga b n =
loga N =
log x N
log x a
m
log a b
n
INDICE
EQUAZIONI LOGARITMICHE :
Risolvere un’equazione logaritmica significa determinare quel particolare valore da attribuire
alla variabile x affinché l’uguaglianza sia verificata.
Per arrivare a ciò, utilizzando le proprietà dei logaritmi, è indispensabile ricondursi
all’uguaglianza di due membri che siano costituiti da un solo logaritmo, nella stessa base,
con lo stesso coefficiente e dello stesso grado.
Nota Bene : Prima di risolvere qualsiasi esercizio relativo ai logaritmi è assolutamente
indispensabile discutere la realtà dei singoli logaritmi, formulando così un sistema che
risolto ci dà la condizione per la quale ha senso risolvere l’esercizio.
loga [A( x )] = loga [B ( x )]
Per cui si avrà :
condiz. di realtà
 A( x ) > 0

→ 
B ( x ) > 0
eliminando i logaritmi
Es :
log(x + 2 ) = 0
A( x) = B ( x )
che risolta darà le soluzioni.
cond. realtà 
→( x + 2 > 0)
x > −2
-2
quindi le soluzioni finali della equazione saranno verificate se e solo se rientreranno
nell’intervallo suddetto. Ricordiamo che la notazione log ci indica un logaritmo decimale
(in base 10).
INDICE
Per cui riprendendo l’equazione avremo :
log(x + 2 ) = 0
che per le propr. dei logaritmi possiamo scrivere :
log(x + 2 ) = log1
di qui 
→ x + 2 = 1
-2

→ x = −1 che verifica.
-1
Infatti
(
)
log x 2 − 4 − log(x + 2 ) = 0
Es :
condiz. di realtà
x 2 − 4 > 0

x + 2 > 0
 x < −2 , x > +2

→ 
 x > −2
-2
risolvendo :
(x
2
− 4) = ( x + 2)
(
+2
)
log x 2 − 4 = log( x + 2 )
 x1 = +3 
→ accett .

→ x 2 − x − 6 = 0 
→ 
 x2 = −2 
→ non − accett .
INDICE
Potevamo risolvere anche così :
(
)
log x 2 − 4 − log(x + 2 ) = 0
log
(x
)
−4
=0
(x + 2 )
 x2 − 4

 =1
 x+2 
2
⇒
da cui
 x2 − 4 
⇒ log
 = log 1
 x+2 
x2 − x − 6
=0
x+2
⇒
x2 − x − 6 = 0
 x1 = +3 ⇒ accett.

 x2 = −2 ⇒ non accett.
Caso particolare :
Si possono avere dei casi particolari nelle equazioni logaritmiche allorchè i gradi dei singoli
logaritmi siano diversi tra loro.
Nella fattispecie sarà problematico riuscire a ricondursi ad avere due logaritmi nei rispettivi
membri con le caratteristiche prima elencate ; per cui si procederà alla loro risoluzione
tramite un metodo di sostituzione purchè i rispettivi argomenti siano tra loro uguali.
log2 ( x + 1) − 3 log(x + 1) + 2 = 0
Es :
E’ evidente che la prima operazione consiste nella condizione di realtà
x +1 > 0

→ x > −1
-1
si pone
log( x + 1) = t
da cui si ha :
INDICE
t1 = 1

→ 
t 2 = 2
t 2 − 3t + 2 = 0
ora ricordando che :
log( x + 1) = t
si ha :
log( x + 1) = 1 ⇒ log( x + 1) = log101
log( x + 1) = 2 ⇒ log(x + 1) = log10
⇒
x1 = 9
⇒
2
x2 = 99
e quindi alla fine si verificherà la bontà dei risultati ottenuti.
Sia il valore di x1 che quello di x2 verificano la condizione di realtà .
log2 (− x − 2 ) − log(− x − 2 ) = 0
Es :
−x−2>0
⇒
x < −2
-1
log(− x − 2 ) = t
si pone
t2 − t = 0
da cui ricordando che :
da cui si ha :
t = 0

→  1
t 2 = 1
log(− x − 2 ) = t
si ha :
log(− x − 2 ) = 0 ⇒ log(− x − 2 ) = log10 0
log(− x − 2 ) = 1 ⇒ log(− x − 2) = log 101
che soddisfano entrambi la condizione di realtà .
⇒
x1 = −3
⇒
x 2 = −12
INDICE
Nota Bene : ricordiamo bene alcune distinzioni importanti
log2 x = log x ⋅ log x
oppure log x = (log x )
log x = 2 log x
oppure log x = log( x ⋅ x )
2
2
2
è quindi evidente che log2 x ≠ log x 2
2
DISEQUAZIONI LOGARITMICHE :
Si procederà al pari delle equazioni logaritmiche , ricordandoci che alla fine dell’esercizio
metteremo a sistema l’insieme delle soluzioni trovate con la condizione di realtà iniziale.
Es :
2 log x − 2 log( x + 2 ) > 0
Condiz. di realtà
x > 0
x > 0

→

x + 2 > 0
 x > −2
-2
0
Applicando le proprietà dei logaritmi avremo :

→ log x 2 > log( x + 2 )
2 log x > 2 log(x + 2)
da cui :
4x + 4 < 0
2

→ x 2 > ( x + 2)

→ x < −1
Per cui sarà infine che :
-1
/ x ∈ℜ .
le soluzioni finali saranno : ∀
0
2
INDICE
Anche qui possiamo trovare il caso particolare :
Es :
3 log 2 ( x 2 − 4) − 4 log( x 2 − 4) + 1 ≥ 0
Condiz. di realtà :
x2 − 4 > 0

→ x < −2 , x > +2
-2
(
3t − 4t + 1 ≥ 0
2
)
log x 2 − 4 = t
quindi ponendo
1
→ t < ;t > 1
3
+2
si ha :
da cui :
Si avrà quindi che :
+
− 4+e
per cui :
) 13 →(x − 4) < e
− 4) > 1 
→(x − 4) > e
2
2
1
3
2
 x 2 < 4 + e
⇒ − 4+e < x< + 4+e
 2
 x > 4 + e ⇒ x < − 4 + e , x > + 4 + e
1
-
(
log(x
log x 2 − 4 <
1
3
1
3
3
− 4+e
1
+
+ 4+e
3
− 4+e < x<− 4+e
1
2
,
+ 4+e
1
3
1
3
< x < + 4+ e
da confrontarsi infine con la condizione di realtà iniziale.
+ 4+e
INDICE
− 4+e
− 4+e
1
−2
3
+2
+ 4+e
1
3
+ 4+e
di qui si può notare l’insieme delle soluzioni che soddisfano la disequazione.
Nota Bene : in una disequazione logaritmica se si opera con logaritmi la cui base
è minore di 1 al momento di eliminare i logaritmi stessi si procederà al cambio
del verso della disequazione stessa.
2 log ( x − 1) − log x 2 ≥ 0
Es :
1
1
2
2
condiz. di real.
x >1
1
log ( x − 1) 2 ≥ log x 2
1
2
1
2
2

→( x − 1) ≤ x 2 
→ −2 x + 1 ≤ 0 
→ x ≥ 12
1
da cui avremo infine :
x >1
2
1
GUIDA
Esercizi della 5°lezione di Algebra di base
ESERCIZI SUL CALCOLO DEI LOGARITMI
ESERCIZI SUL CALCOLO DELLA BASE DEI LOGARITMI
ESERCIZI SULLA CONDIZIONE DI ESISTENZA DEI LOGARITMI
ESERCIZI SULLE SEMPLIFICAZIONI DEI LOGARITMI
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI LOGARITMICHE
ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI 1°E DI 2°GRADO
INDIETRO
USO DEI PULSANTI
?
RISOLVI
NASCONDI
ESERCIZI
INDICE
Visualizza solo la soluzione dell'esercizio
Visualizza le soluzioni di tutti gli esercizi
Nasconde le soluzioni
Torna all'indice degli esercizi
Torna all'indice della lezione
GUIDA
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Calcolare i seguenti logaritmi :
1.
2.
3.
log2
1
128
log 2
1
1
⇒ log 2 7
128
2
log4
1
16
log 4
1
1
⇒ log 4 2
16
4
log 1
1
243
3
3
⇒ log 4 4 −2
⇒ −2
?
5
1
⇒ log 1  
3  3
⇒ 5
?
1
1
⇒ log 1 2
4 16
4 4
log 1
6.
⇒ −7
4
64
log 1
4
5.
⇒ log 2 2 −7
?
1
1
⇒ log 1 5
243
3 3
log 1
4.
?
log
3
3 3
log
3
3 3 ⇒ log
1
⇒ log 1  
4 4
2
⇒ 2
?
3
33
⇒ log
( 3)
3
3
⇒ 3
?
log 5 125
log 5 125 ⇒ log
53
5
( )
2
⇒ log 5  5 


3
⇒ log
( 5)
6
5
⇒ 6
INDICE
GUIDA
7.
log
log
8.
1
25
5
1
⇒ log
25
5
5 −2
5
⇒ log
−2
⇒ log
( 5)
−4
5
⇒
1
100
⇒ −4
1
4
1
100
log10
NASCONDI
?
1
10.
( )
 5 2
5 


log2 4 2
log10
RISOLVI
?
log 2 4 2 ⇒ log 2 2 4
9.
ESERCIZI
?
⇒ log10 10 −2
⇒ −2
?
log16 64
log16 64 ⇒ log16 4 3
( )
⇒ log16 4 2
3
2
⇒ log16 (16 ) 2
3
⇒
3
2
INDICE
GUIDA
RISOLVI
ESERCIZI
NASCONDI
Calcolare la base dei seguenti logaritmi: ( ricordando la definizione di logaritmo , e la positività
della sua base ) :
11.
log x 49 = 2
log x 49 = 2 ⇒
12.
13.
14.
?
log x
1
= −4
81
log x
1
= −4 ⇒
81
log x
1
= −2
64
log x
1
= −2 ⇒ x − 2
64
log x
1
=3
8
1
log x = 3 ⇒ x 3
8
15.
=
x2
49 ⇒
x=7
?
x −4
=
1
⇒
81
x −4
=
1
34
⇒ x −4
= 3 −4
⇒ x =3
?
=
1
64
⇒
x−2
=
1
82
⇒
x −2
= 8 −2
⇒ x =8
?
1
=
⇒
8
log x
1
=5
243
log x
1
= 5 ⇒ x5
243
x
3
=
1
23
⇒
x
3
1
=  
2
3
⇒ x=
1
2
?
=
1
⇒ x5
243
=
1
35
⇒
x5
1
=  
 3
5
⇒
x=
1
3
INDICE
GUIDA
16.
x5
x5
=
25
⇒ x5
=
( 2)
5
⇒
x= 2
?
= 27 ⇒ x 3
x3
= 33 ⇒
x=3
log x 64 = 3
?
log x 33 3 =
= 64 ⇒
x3
x3
= 43 ⇒
x=4
4
3
?
4
⇒
log x 3 3 =
3
3
20.
= 4 2 ⇒
log x 27 = 3
log x 64 = 3 ⇒
19.
NASCONDI
?
log x 27 = 3 ⇒
18.
RISOLVI
log x 4 2 = 5
log x 4 2 = 5 ⇒
17.
ESERCIZI
x
4
3
= 3 3 ⇒
3
log x 6 = 3
log x 6 = 3 ⇒
x
4
3
=
3
3
4
⇒
x
4
3
= 3
4
3
⇒
x=3
?
x3
= 6 ⇒
x=3 6
INDICE
GUIDA
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Stabilire le condizioni di esistenza (realtà) dei seguenti logaritmi:
21.
log 1 ( −4 − 2 x)
?
2
log 1 (− 4 − 2 x ) ⇒ C .R. ⇒ − 4 − 2 x > 0 ⇒ x < − 2
2
22.
log 2 ( x 2 − 5x + 6)
(
)
log 2 x 2 − 5 x + 6
23.
?
⇒ C .R. ⇒ x 2 − 5 x + 6 > 0 ⇒
x < 2 ,
log x ( 3x + 3)
log x (3 x + 3)
x > 3
?

 3x + 3 > 0


⇒ C .R. ⇒  x > 0
⇒ 
 x ≠ 1



x > −1
x > 0
x ≠ 1
da cui si ha :
-1
x
24.
> 0 ,
con
x
0
1
≠ 1
log x +3 ( 3 x + 9)
log x +3 (3 x + 9)
?
 3x + 9 > 0



⇒ C .R. ⇒  x + 3 > 0 ⇒ 
 x +3 ≠ 1



x > −3
x > −3
x ≠ −2
x ≠ −2
-3
da cui si ha :
x > − 3 , con
-2
INDICE
GUIDA
25.
ESERCIZI
RISOLVI
log 3 ( −5 − 4 x )
?
4
log 3 (− 5 − 4 x ) ⇒ C .R. ⇒ − 5 − 4 x > 0 ⇒ x < −
4
26.
log 5 2 x 2 − 5 x − 3
27.
5
4
log5 ( 2 x 2 − 5x − 3)
(
)
?
⇒ C.R. ⇒ 2 x 2 − 5 x − 3 > 0 ⇒
x < −
log x ( 6 − 2 x )
log x (6 − 2 x )
NASCONDI
1
, x > 3
2
?


⇒ C .R. ⇒ 


6 − 2x > 0


x > 0
⇒ 

x ≠ 1

x < 3
x > 0
x ≠ 1
0
3
da cui si ha :
0 <
28.
x < 3 , con
1
x ≠ 1
log x −3 ( 2 − 2 x )
log x −3 (2 − 2 x )
?


⇒ C .R. ⇒ 


2 − 2x > 0


x −3 > 0
⇒ 

x −3 ≠ 1

x < 1
x > 3
x ≠ 4
1
4
da cui si ha :
∀/ x ∈ ℜ
3
INDICE
GUIDA
29.
ESERCIZI
RISOLVI
log − x ( 2 + x)
NASCONDI
?

log − x (2 + x ) ⇒ C .R. ⇒ 

2+x > 0

⇒ 
−x > 0

x < −2
x < 0
si noti come in questo caso non abbiamo posto la base diversa da 1 , in quanto ( caso particolare )
per tale valore il logaritmo ammette valore reale .
da cui si ha :
-2
−2 <
30.
0
x < 0
log−2 x +1 ( 2 − 2 x 2 )
(
log −2 x +1 2 − 2 x 2
)
?


⇒ C .R. ⇒ 




− 2x + 1 > 0 ⇒ 

− 2x + 1 ≠ 1

2 − 2x 2
> 0
−1 <
x < 1
1
2
≠ 0
x <
x
da cui si ha :
-1
−1 <
x
<
1
2
, con
x
≠ 0
0
1
2
1
INDICE
GUIDA
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Utilizzando le proprietà dei logaritmi semplificare :
31.
log a 2b + 2 log a b
?
log a 2b + 2 log a b ⇒ log a 2b + log a b
32.
x2
+ log a x 8
3x
⇒ log a
x9
3
?
log b c − log b ac 2 + log b a
c
ac
+ log b a ⇒ log a 2
2
ac
ac
⇒ log a
1
c
1
4 log a d − log a d 2 y
4
4 log a d −
35.
?
⇒ log a x 2 − log a 3 x + log a x 8 ⇒ log a
log b c − log b ac 2 + log b a ⇒ log b
34.
3
2 log a x − log a 3x + 4 log a x 2
2 log a x − log a 3 x + 4 log a x 2
33.
⇒ log a 2b
2
?
( )
1
log a d 2 y ⇒ log a d 4 − log a d 2 y
4
1
4
⇒ log a
d4
4
d2 y
2 log n a + 3 log n c − log n n 2 + 2 log n n
?
2 log n a + 3 log n c − log n n 2 + 2 log n n ⇒ log n a 2 + log n c 3 − log n n 2 + log n n 2 ⇒ log n a 2 c 3
36.
2 log c d 3 +
1
1
log c a − log c ab + log c 2n
2
3
1
1
log c a − log c ab + log c 2n ⇒ log c d 6 + log c a − log c ab + log c 3 2n
2
3
d6 a
d 6 a ⋅ 3 2n
⇒ log c d 6 a − log c ab + log c 3 2n ⇒ log c
+ log c 3 2 n ⇒ log c
ab
ab
2 log c d 3 +
⇒ log c
d 6 6 4a3n 2
ab
?
INDICE
GUIDA
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche:
37.
log( − x − 2 ) + log( 1 − x ) = log 1 + log( x 2 − 6)
Condizione di realtà :
?

 −x−2 > 0


⇒ 
 1− x > 0
 x2 − 6 > 0



x < −2
x < 1
x < − 6
,
x > + 6
e quindi :
− 6
-2
1
+ 6
x < − 6
Riprendendo l'equazione di partenza :
(
log(− x − 2) + log(1 − x ) = log1 + log x 2 − 6
(
⇒ log[(− x − 2)(1 − x )] = log x 2 − 6
⇒
(− x − 2 )(1 − x )
⇒
x2 − x − 2 + 2x =
=
)
)
x2 − 6
x2 − 6 ⇒ x + 4 = 0 ⇒
x = −4
che quindi , rispettando la condizione di realtà , è la soluzione dell'equazione .
INDICE
GUIDA
ESERCIZI
RISOLVI
log( 4 − x ) = log( x + 6) + 2 log ( x + 2 )
38.
Condizione di realtà :





?
4−x > 0


x+6 > 0 ⇒ 

x+2 > 0

x < 4
x > −6
x > −2
e quindi :
-6
−2 <
-2
4
x < 4
Riprendendo l'equazione di partenza :
log(4 − x ) = log( x + 6) + 2 log(x + 2 )
⇒ log(4 − x ) = log[(x + 6 )(x + 2 )]
⇒
(4 − x )
⇒ 4−x =
=
( x + 6)( x + 2 )
x 2 + 2 x + 6 x + 12 ⇒
NASCONDI
x 2 + 9x + 8 = 0 ⇒ x 1 =
e per la condizione di realtà , la soluzione è x = − 1 .
2
 x = −1
− 9 ± 49
=  1
2
 x 2 = −8
GUIDA
39.
INDICE
ESERCIZI
log( − x ) + log( 2 − x ) + log( 4 ) = log( 10 x 2 + 2)
Condizione di realtà :
e quindi :
0
2
x < 0
Riprendendo l'equazione di partenza :
(
(
⇒ log[4(− x )(2 − x )] = log 10 x 2 + 2
⇒ − 8x + 4x 2
)
)
= 10 x 2 + 2
⇒ 6x + 8x + 2 = 0 ⇒ 3x + 4x + 1 = 0 ⇒ x 1
2
NASCONDI
?
 −x > 0
 x < 0


⇒  x < 2
 2−x > 0
 10 x 2 + 2 > 0
 ∀ x∈ℜ


log(− x ) + log(2 − x ) + log 4 = log 10 x 2 + 2
RISOLVI
2
2
 x1 = −1
− 2± 1

=
= 
1
3
 x2 = − 3
che quindi , rispettando la condizione di realtà , sono soluzioni dell'equazione .
INDICE
GUIDA
40.
ESERCIZI
2 log( 2 x + 3) = log( x + 1)
Condizione di realtà :
RISOLVI
NASCONDI
?




2x + 3 > 0

⇒ 
x +1 > 0

3
2
x > −1
x > −
e quindi :
−
x > −1
3
2
-1
Riprendendo l'equazione di partenza :
2 log(2 x + 3) = log(x + 1)
⇒ log(2 x + 3)2
⇒
(2 x + 3)2
=
= log( x + 1)
x +1
⇒ 4 x 2 + 12 x + 9 =
41.
x + 1 ⇒ 4 x 2 + 11x + 8 = 0 ⇒ ∆ = −7 < 0 ⇒ ∀/ x ∈ ℜ
log( x−.3) = 2 log ( 2 x + 1) − log( 2 x)
Condizione di realtà :








2x + 1 > 0 ⇒ 

2x > 0

x −3 > 0
?
x > 3
x > −
x > 0
1
2
INDICE
GUIDA
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
e quindi :
−
1
2
0
3
x > 3
Riprendendo l'equazione di partenza :
log(x − 3) = 2 log(2 x + 1) − log(2 x )
⇒ log(x − 3) = log(2 x + 1)2 − log(2 x )
⇒
x−3 =
(2 x + 1)2
2x
⇒
2 x ( x − 3)
=
2x
(2 x + 1)2
2x
⇒ 2 x 2 − 6 x = 4 x 2 + 4 x + 1 ⇒ 2 x 2 + 10 x + 1 = 0 ⇒
x1
2

− 5 − 23
 x1 =
− 5 ± 23
2
=
= 
2
 x = − 5 + 23
 2
2
che quindi , non rispettando la condizione di realtà ,non sono soluzioni dell'equazione . ∀/ x ∈ ℜ
INDICE
GUIDA
42.
ESERCIZI
RISOLVI
log( x + 4) − log( x) = log( 3) + log( x 2 − 3)
Condizione di realtà :







⇒ 

x2 − 3 > 0

x+4 > 0
x > 0
?
x > −4
x > 0
x < − 3 ,
x > + 3
e quindi :
− 3
-4
0
+ 3
x > + 3
Riprendendo l'equazione di partenza :
(
)
log(x + 4 ) − log(x ) = log(3) + log x 2 − 3
⇒ log
⇒
( x + 4)
x+4
x
x
(
= log 3 x 2 − 3
= 3x 2 − 9 ⇒
⇒ 3x 3 − 10 x − 4 = 0 ⇒
)
x+4
x
=
3x3 − 9x
x
(x − 2 )(3x 2 + 6 x + 2 )
NASCONDI

= 0 ⇒ 

e per la condizione di realtà , la soluzione dell'equazione x = 2
.
x1 = 2 , x 2 =
3
−3± 3

3

GUIDA
INDICE
2 log( −2 x + 1) = log ( 8 x 2 + 1)
43.
Condizione di realtà :

 − 2x + 1 > 0

⇒


2
 8x + 1 > 0

1
2
∀ x∈ℜ
x <
1
2
1
2
Riprendendo l'equazione di partenza :
(
)
2 log(− 2 x + 1) = log 8 x 2 + 1
⇒ log(− 2 x + 1)
⇒
(− 2 x + 1)2
2
(
RISOLVI
NASCONDI
?
e quindi :
x <
ESERCIZI
)
= log 8x 2 + 1
= 8x2 + 1

⇒ 4x 2 − 4x + 1 = 8x 2 + 1 ⇒ 4x 2 + 4x = 0 ⇒ 

che per la condizione di realtà , sono soluzioni dell'equazione .
x1 = 0
x 2 = −1
INDICE
GUIDA
44.
ESERCIZI
log 2 ( x + 4) − 3 log( x + 4 ) = log 2 16
Condizione di realtà :
x+4 > 0 ⇒
3 ± 25
2
t 2 − 3t − 4 = 0 ⇒ t 1 =
2
RISOLVI
NASCONDI
?
x > −4
e posto
log( x + 4) = t :
 t = −1
=  1
 t2 = 4
e risostituendo log( x + 4) = t :
log( x + 4 ) = − 1
e ricordando che : n = log a a n
log( x + 4 ) = 4
(x + 4 )
= 10 −1 ⇒
x = 10 −1 − 4
(x + 4 )
= 10 4
x = 10 4 − 4
log(x + 4 ) = log10 −1
⇒
log(x + 4 ) = log10 4
da cui :
⇒
che per la condizione di realtà sono soluzioni dell'equazione .
45.
2 log 3 ( x − 1) − [ log( x − 1) ] = 0
Condizione di realtà :
2t 3 − t 2
?
2
x −1 > 0 ⇒
= 0 ⇒ t 2 (2t − 1)
e risostituendo log(x − 1) = t :
x > 1
 t1 = 0
2

= 0 ⇒ 
1
 t3 =

2
e posto
log(x − 1) = t :
INDICE
GUIDA
log(x − 1) = 0
log(x − 1) =
e ricordando che : n = log a a n
NASCONDI
⇒
log( x − 1) = log10
= 1 ⇒
RISOLVI
log( x − 1) = log10 0
1
2
(x − 1)
ESERCIZI
1
2
x = 2
da cui :
(x − 1)
= 10
1
2
⇒
x =
10 + 1
che per la condizione di realtà sono soluzioni dell'equazione .
46.
log 3 ( x − 2 ) + log 3 ( 2 x − 5) =
Condizione di realtà :



1
log 3 1
4
?

x−2 > 0

⇒ 
2x − 5 > 0

x > 2
5
x >
2
e quindi :
2
x <
5
2
Riprendendo l'equazione di partenza :
5
2
INDICE
GUIDA
log 3 (x − 2 ) + log 3 (2 x − 5) =
RISOLVI
ESERCIZI
NASCONDI
1
log 3 1
4
⇒ log 3 [(x − 2 )(2 x − 5)] = log 3 1
⇒
(x − 2 )(2 x − 5)
= 1


⇒ 2 x − 5 x − 4 x + 10 = 1 ⇒ 2 x − 9 x + 9 = 0 ⇒ 

2
2
e per la condizione di realtà ,
47.
x = 3 è la soluzione dell'equazione .
ln( x − 2) − ln( 4 − x ) = ln e − ln( 3 x − 9 + e)
Condizione di realtà :





?


x−2 > 0

4−x > 0
⇒ 

3x − 9 + e > 0


x > 2
x < 4
9−e
x >
3
e quindi :
2
3−
3
2
x2 = 3
x1 =
e
<
3
x < 4
Riprendendo l'equazione di partenza :
3−
e
3
4
(
x > 3−
e
3
)
INDICE
GUIDA
ESERCIZI
ln(x − 2 ) − ln(4 − x ) = ln e − ln (3 x − 9 + e )
⇒ ln(x − 2 ) + ln(3x − 9 + e) = ln e + ln (4 − x )
⇒ ln[(x − 2 )(3x − 9 + e )] = ln[e(4 − x )] ⇒
(x − 2 )(3 x − 9 + e)
= e(4 − x )
⇒ 3x 2 − 9 x + ex − 6 x + 18 − 2e = 4e − ex ⇒ 3x 2 + 2ex − 15 x + 18 − 6e = 0
⇒ 3x + (2e − 15 )x + 6(3 − e) = 0 ⇒
2
⇒
⇒
x1 =
(15 − 2e) ±
2
x1 =
2
2
6
4e 2 − 60e + 225 − 216 + 72e (15 − 2e) ± 4e 2 + 12e + 9
=
=
6
6
(15 − 2e) ± (2e + 3)
6
x1 =
(15 − 2e ) ± (2e − 15 )2 − 72(3 − e)
2


= 


x1 =
(15 − 2e ) + (2e + 3) =
6
(
15 − 2e) − (2e + 3)
x2 =
=
6
e per la condizione di realtà , la soluzione dell'equazione x = 3 .
3
2(3 − e)
3
=
RISOLVI
NASCONDI
GUIDA
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche:
48.
log( 2 x − 2) + log ( x − 1) < log( x + 2)
Condizione di realtà :





?
2x − 2 > 0


x −1 > 0
⇒ 

x+2 > 0

x > 1
x > 1
x > −2
e quindi :
-2
1
x > 1
Riprendendo la disequazione di partenza :
log(2 x − 2 ) + log(x − 1) < log(x + 2)
⇒ log[(2 x − 2 )(x − 1)] < log(x + 2)
⇒
(2 x − 2 )(x − 1)
<
x+2
⇒ 2x 2 − 2x − 2x + 2 <
x + 2 ⇒ 2 x2 − 5x < 0 ⇒ 0 <
per arrivare infine ad avere :
0
1 < x <
5
2
1
soluzione della disequazione .
5
2
x <
5
2
INDICE
GUIDA
49.
log x + log( x − 1) < log( x 2 + 5)
Condizione di realtà :





 x > 0

x −1 > 0
⇒  x > 1
 ∀ x∈ℜ
x2 + 5 > 0

e quindi :
0
1
x > 1
Riprendendo la disequazione di partenza :
)
(
)
log x + log(x − 1) < log x 2 + 5
⇒ log[x(x − 1)] < log x 2 + 5
⇒
x( x − 1) <
⇒
x2 − x <
x2 + 5
x2 + 5 ⇒ x > − 5
per arrivare infine ad avere :
-5
x > 1
soluzione della disequazione .
RISOLVI
NASCONDI
?
x > 0
(
ESERCIZI
1
GUIDA
50.
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
log( 2 + x ) + log( 3 + x ) > log 10 + log ( x + 2 )
Condizione di realtà :
 2+x > 0



 3+x > 0 ⇒ 
 x+2 > 0



?
x > −2
x > −3
x > −2
e quindi :
-3
-2
x > −2
Riprendendo la disequazione di partenza :
log(2 + x ) + log(3 + x ) > log 10 + log(x + 2)
[ (
⇒ log[(2 + x )(3 + x )] > log 10 x 2 + 5
⇒
(2 + x )(3 + x )
(
> 10 x 2 + 5
⇒ 6 + 2x + 3x + x 2
NASCONDI
)]
)
> 10 x 2 + 50 ⇒ 9 x 2 − 5 x + 44 < 0 ⇒ ∆ < 0 ⇒ ∀/ x ∈ ℜ
GUIDA
51.
INDICE
2 log( x + 4) + log 3 > log( 3x 2 )
Condizione di realtà :
 x+4 > 0
 x > −4
⇒


2
 ∀ x ∈ ℜ − {0}
 3x > 0
-4
0
x ≠ 0
Riprendendo l'equazione di partenza :
( )
2 log(x + 4) + log 3 > log 3x 2
[
⇒ log 3(x + 4 )
⇒ 3(x + 4 )
2
2
]
( )
> log 3 x 2
> 3x 2
⇒ 3x 2 + 24 x + 48 > 3 x 2 ⇒ 24 x + 48 > 0 ⇒
x > −2
per arrivare infine ad avere :
-4
x > −2 ,
x ≠ 0
RISOLVI
NASCONDI
?
e quindi :
x > −4 ,
ESERCIZI
-2
soluzione della disequazione .
0
GUIDA
52.
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
log( 2 − 2 x) > log( x + 4) + log( x − 1)
Condizione di realtà :





NASCONDI
?
2 − 2x > 0


x+4 > 0 ⇒ 

x −1 > 0

x < 1
x > −4
x > 1
e quindi :
-4
1
∀/ x ∈ ℜ
e quindi non essendoci valori reali che soddisfano la condizione di realtà , la disequazione non
ammette soluzioni .
53.
?
ln( 2 − 4 x) + ln ( 2 + x) + < ln ( x + 4 )
Condizione di realtà :







2 − 4x > 0

2+x > 0 ⇒ 

x+4 > 0


1
2
x > −2
x > −4
x <
e quindi :
-4
−2 <
x <
1
2
-2
1
2
GUIDA
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Riprendendo l'equazione di partenza :
ln(2 − 4 x ) + ln(2 + x ) < ln(x + 4 )
⇒ ln[(2 − 4 x )(2 + x )] < ln (x + 4 )
⇒
(2 − 4 x )(2 + x )
<
⇒ 4 + 2x − 8x − 4x 2
x+4
<
x + 4 ⇒ 4x 2 + 7 x > 0 ⇒
x < −
7
4
,
x > 0
per arrivare infine ad avere :
−
-2
−2 <
54.
x < −
7
, 0 <
4
x <
1
2
7
4
1
2
0
soluzione della disequazione .
log 0,1 ( 2 x + 6) + log 0,1 ( 2 x − 4) > 2 log 0 ,1 ( x − 1)
Condizione di realtà :





2x + 6 > 0


2x − 4 > 0 ⇒ 

x −1 > 0

?
x > −3
x > 2
x > 1
e quindi :
x > 2
-3
1
2
GUIDA
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Riprendendo l'equazione di partenza :
log 0,1 (2 x + 6 ) + log 0 ,1 (2 x − 4) > 2 log 0 ,1 (x − 1)
⇒ log 0,1 [(2 x + 6)(2 x − 4 )] > log 0 ,1 (x − 1)2
⇒
(2 x + 6 )(2 x − 4)
(x − 1)2
<
⇒ 4 x 2 − 8 x + 12 x − 24 <
⇒
− 3 − 2 21
<
3
x <
x 2 − 2 x + 1 ⇒ 3 x 2 + 6 x − 25 < 0 ⇒
∆
= 84 > 0
4
− 3 + 2 21
3
per arrivare infine ad avere :
− 3 − 2 21
3
− 3 + 2 21
3
2 <
x <
55.
log 3 ( x 2 + 3) − log 3 ( x 2 + 1) ≥ log 3 2 − log 3 8
Condizione di realtà :
e quindi :
∀ x ∈ℜ



2
− 3 + 2 21
3
soluzione della disequazione .
x2 + 3 > 0
x +1 > 0
2

⇒ 

?
∀ x∈ℜ
∀ x∈ℜ
GUIDA
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Riprendendo l'equazione di partenza :
(
)
(
)
log 3 x 2 + 3 − log 3 x 2 + 1
(
≥ log 3 2 − log 3 8
)
(
)
⇒ log 3 x 2 + 3 + log 3 8 > log 3 2 + log 3 x 2 + 1
(
)
⇒ 8 x2 + 3
> 2(x − 1)
2
⇒ 8 x 2 + 24 > 2 x 2 − 4 x + 2 ⇒ 6 x 2 + 4 x + 22 > 0 ⇒
∆
= −128 < 0
4
⇒ ∀ x∈ℜ
∀ x ∈ℜ
56.
soluzione della disequazione .
log 0, 3 ( x − 2) + log 0 ,3 ( 2 x − 2 ) − log 0,3 ( 3x − 3) < log 0 ,3 5
Condizione di realtà :
 x−2 > 0



 2x − 2 > 0 ⇒ 
 3x − 3 > 0



?
x > 2
x > 1
x > 1
e quindi :
1
x > 2
2
GUIDA
INDICE
ESERCIZI
RISOLVI
NASCONDI
Riprendendo l'equazione di partenza :
log 0,3 (x − 2 ) + log 0,3 (2 x − 2 ) − log 0,3 (3 x − 3) < log 0,3 5
⇒ log 0, 3 [(x − 2 )(2 x − 2 )] < log 0, 3 (3x − 3) + log 0,3 5
⇒
(x − 2 )(2 x − 2 )
> 5(3x − 3)
⇒ 2 x 2 − 2 x − 4 x + 4 > 15 x − 15 ⇒ 2 x 2 − 21x + 19 > 0 ⇒ ∆ = 289 > 0
⇒
x < 1 ,
19
2
x >
per arrivare infine ad avere :
1
x >
19
2
57.
log x 2 − 6 x + 9 > log x 2 − log 3
19
2
2
soluzione della disequazione .
(
Condizione di realtà :
)



x 2 − 6x + 9 > 0
x2
> 0
?

⇒ 

∀ x ∈ ℜ − {3}
∀ x ∈ ℜ − {0}
e quindi :
0
3
GUIDA
INDICE
ESERCIZI
∀ x ∈ ℜ − {0 , 3}
(
)
Riprendendo l'equazione di partenza : log x 2 − 6 x + 9 > log x 2 − log 3
(
log x 2 − 6 x + 9
)
> log x 2 − log 3
[(
⇒ log 3 x 2 − 6 x + 9
(
⇒ 3 x 2 − 6x + 9
)
)]
>
x2
⇒ 3x 2 − 18 x + 27 >
⇒
x <
9 −3 3
2
> log x 2
x2
⇒ 2 x 2 − 18 x + 27 > 0 ⇒
, x >
∆
= 27 > 0
4
9+ 3 3
2
per arrivare infine ad avere :
0
x <
9 −3 3
,
2
x ≠ 0 , x >
9+3 3
2
9 −3 3
2
3
9+3 3
2
soluzione della disequazione .
RISOLVI
NASCONDI