LEZIONE 8
8.1. Equazioni parametriche di rette.
In questo paragrafo iniziamo ad applicare quanto spiegato sui vettori geometrici
per dare una descrizione delle rette nel piano e nello spazio.
Sia r ⊆ S3 una retta. Tale retta è sempre parallela ad un’unica retta passante
per l’origine r0 e rimane completamente individuata da essa e daOun punto qualsiasi
B
R ∈ r. Si noti che dare r0 equivale a dare un qualsiasi vettore ~v 6= ~0 avente r0
come direzione (si veda Figura 8.1.1).
y
r
R
r'
vr
O
x
Figura 8.1.1
~ − OR
~ (si veda la lezione
Sia P ∈ r. Allora, per definizione, P − R = OP
~ segue che
6 per la definizione di P − R): sommando ad ambo i membri OR
~ = OR
~ + (P − R). Poiché P − R è parallelo al segmento P R, dunque a r, ha
OP
direzione r0 , quindi è parallelo al vettore ~v 6= ~0 menzionato sopra come mostrato
in Figura 8.1.2.
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1
2
8.1. EQUAZIONI PARAMETRICHE DI RETTE
y
Pr
R
vr
P-R
r'
O
x
Figura 8.1.2
Segue allora dalla Proposizione 6.3.9, l’esistenza di un numero reale, che chiameremo t tale che P − R = t~v . Mettendo assieme quanto visto segue che P ∈ Sr
giace su r se e solo se
(8.1.3)
~ = OR
~ + t~v ,
OP
per un qualche t ∈ R.
Fissiamo un sistema di riferimento O~ı~~k in S3 . Allora R = (x0 , y0 , z0 ), sicché
~ = x0~ı + y0~ + z0~k , e ~v = l~ı + m~ + n~k : indicando con (x, y, z) le coordinate del
OP
~ = x~ı + y~ + z~k , dunque che l’Equazione (8.1.3)
punto generico P ∈ S3 si ha OP
diviene
x~ı + y~ + z~k = x0~ı + y0~ + z0~k + t(l~ı + m~ + n~k ),
t∈R
o, eguagliando le componenti dei due vettori lungo gli assi coordinati,


 x = x0 + lt
(8.1.4)
y = y0 + mt


z = z0 + nt.
Le Equazioni 8.1.4 vengono spesso chiamate equazioni parametriche della retta r
passante per R = (x0 , y0 , z0 ) e parallela al vettore ~v = l~ı + m~ + n~k .
Esempio 8.1.5. In S3 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~~k . Siano A =
(1, 2, 3) ∈ S3 e ~v = 2~ı − 3~k ∈ V3 (O). Allora delle equazioni parametriche della
retta r di S3 parallela al vettore ~v e passante per A sono date da


 x = 1 + 2t
(8.1.5.1)
y=2


z = 3 − 3t.
LEZIONE 8
3
Ci chiediamo quale fra i punti B = (3, 2, 0) e C = (−1, 2, 1) di S3 appartenga
alla retta r. Per rispondere a questa domanda bisogna capire se esistono valori
di t ∈ R per cui le coordinate di B e C possano essere scritte nella forma data
dall’Equazione (8.1.5.1), ovvero se e quale fra i sistemi


 3 = 1 + 2t
2=2


0 = 3 − 3t,


 −1 = 1 + 2t
2=2


1 = 3 − 3t.
abbia soluzione.
Consideriamo il primo dei due sistemi. Dalla prima equazione si ricava t = 1,
valore che sostituito nelle equazioni seguenti le soddisfa identicamente: possiamo
quindi affermare che B ∈ R.
Consideriamo ora il secondo dei due sistemi. Dalla prima equazione si ricava
t = −1, valore che sostituito nella terza equazione dà l’dentità numerica 1 = 6 che,
ovviamente, non è verificaa: concludiamo che C 6∈ R.
Viceversa supponiamo di avere fissato in S3 un sistema di riferimento O~ı~~k .
Dati numeri reali fissati x0 , y0 , z0 , l, m, n, si consideri il luogo r dei punti P =
(x, y, z) dello spazio le cui coordinate sono della forma


 x = x0 + lt
y = y0 + mt


z = z0 + nt
al variare di t ∈ R. Allora, preso t = 0, segue che R = (x0 , y0 , z0 ) ∈ r. Se poi
l, m, n non sono tutti nulli esistono in R infiniti altri punti P tali che
x~ı + y~ + z~k = x0~ı + y0~ + z0~k + t(l~ı + m~ + n~k ),
~ + t~v ove ~v = l~ı + m~ + n~k . Tali punti descrivono
ovvero tali che P − R = OR
quindi la retta passante per il punto R sopra definito e parallela al vettore non
nullo ~v .
Concludiamo che, fissato in S3 un sistema di riferimento O~ı~~k , ogni retta può
essere descritta mediante un sistema di equazioni della forma (8.1.4) con l, m, n non
simultaneamente nulli e, viceversa, ogni sistema di equazioni della forma (8.1.4)
con l, m, n non simultaneamente nulli rappresenta una retta.
Si noti che data una retta r rappresentata tramite un sistema di equazioni
della forma (8.1.4) si è subito in grado di determinarne un punto (basta scegliere
un valore di t ∈ R, per esempio t = 0) e un vettore ad esso parallela (basta
considerare il vettore definito dai coefficienti di t nell’equazione, cioè l~ı +m~ +n~k ).
In particolare, tramite le loro equazioni parametriche, è facile stabilire se due rette
sono parallele oppure no.
4
8.1. EQUAZIONI PARAMETRICHE DI RETTE
Esempio 8.1.6. In S3 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~~k e si considerino
la retta r dell’Esempio 8.1.5 e la retta s di equazioni parametriche


 x = 2 − 2t
y=0


z = 3t.
Allora r ed r0 sono parallele: infatti r è parallela al vettore ~v = 2~ı − 3~k ed s a
w
~ = −2~ı + 3~k , che sono paralleli fra loro.
Si noti che di punti su una retta ne esistono infiniti, cosı̀ come sono infiniti i
vettori ad essa paralleli. Questa infinità di possibili scelte ci permette di affermare
che una stessa retta può essere rappresentata da sistemi di equazioni parametriche
anche molto diversi: per tale motivo non si dovrebbe mai scrivere “le equazioni
parametriche di r sono . . . ”, bensı̀ “delle equazioni parametriche di r sono . . . ”.
Esempio 8.1.7. In S3 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~~k e si consideri la
retta s di equazioni parametriche


 x = 3 − 4t
y=2


z = 6t.
Tale retta passa per il punto di coordinate B = (3, 2, 0) ed è parallela al vettore
w
~ = −4~ı + 6~k .
Ricordando l’Esempio 8.1.5 segue che s ha in comune con la retta r di Equazioni
(8.1.5.1) il punto B ed è ad essa parallela, perché w
~ = −4~ı + 6~k = −2(2~ı − 3~k ) =
−2~v , quindi essendo rette parallele ed incidenti devono coincidere, cioè s = r:
questa uguaglianza non è immediatamente deducibile dall’analisi dei sistemi di
equazioni parametriche che definiscono r ed s.
Più in generale, dal confronto di sistemi di equazioni parametriche di due rette,
si può dedurre la loro posizione relativa. Ricordo che due rette r, s ⊆ S3 possono
essere coincidenti, incidenti in un unico punto, parallele distinte (in questi tre casi
le rette sono contenute in un piano e vengono perciò dette complanari) oppure non
essere nè parallele nè incidenti: in quest’ultimo caso si parla di rette sghembe.
Osservazione 8.1.8. Le Equazioni (8.1.4) della retta r possono essere pensate come
leggi orarie del moto di un punto P lungo la retta r con posizione iniziale R =
(x0 , y0 , z0 ) e velocità costante ~v = l~ı + m~ + n~k . Questo punto di vista può essere
molto utile nell’affrontare problemi di incidenza fra rette date tramite equazioni
parametriche.
Per esempio si consideri la retta r dell’Esempio 8.1.5 e la retta s di equazioni
parametriche


 x=t−1
(8.1.8.1)
y =2−t


z = 6 + t.
LEZIONE 8
5
La retta s è parallela al vettore w
~ = ~ı − ~ + ~k : poiché r è parallela a ~v = 2~ı − 3~ ,
deduciamo che r 6k s.
Ci domandiamo se r ed s siano incidenti. Un primo approccio che può venire
in mente è il seguente: conosciamo le coordinate del punto generico su r e su s
in funzione di un parametro, quindi basta eguagliare tali coordinate e vedere se
il sistema cosı̀ ottenuto ha soluzione o no: se sı̀ allora r ∩ s 6= ∅, se no r ∩ s =
∅. Bisogna fare però attenzione a come si traduce praticamente tale approccio.
Infatti se semplicemente eguagliamo le Equazioni (8.1.5.1) alle Equazioni (8.1.8.1)
otteniamo


 1 + 2t = t − 1
2=2−t


3 − 3t = 6 + t.
che, come è facile verificare, non ha soluzione, dunque sembrerebbe che r ∩ s = ∅,
cioè sembrerebbe di essere di fronte a una coppia di rette sghembe.
Invece si noti che (−1, 2, 6) ∈ r ∩ s: infatti si ottiene per t = −1 dalle Equazioni
(8.1.5.1) e per t = 0 dalle Equazioni (8.1.8.1). Dove sta l’errore?
L’errore sta nel fatto che noi ci siamo domandati non se i punti in moto sulle
due rette r ed s potranno mai passare per uno stesso punto, ma se ciò accade
esattamente nello stesso istante!
Quindi il modo per non sbagliare è quello di misurare i tempi in modo diverso
sulle due rette utilizzando, ad esempio, il tempo t su r e t0 su s: in questo modo
il problema si traduce nel sistema

0

 1 + 2t = t − 1
2 = 2 − t0


3 − 3t = 6 + t0 .
Dalla seconda equazione otteniamo t0 = 0: sostituendo nelle rimanenti ottenniamo
t = −1. Come visto sopra i valori t0 = 0 su s e t = −1 su r danno lo stesso punto
(−1, 2, 6).
Se invece consideriamo la retta u di equazioni parametriche


x=t
y =2−t


z =6+t
ancora r 6k u e, inoltre, è facile verificare che r ∩ u = ∅, poiché il sistema

0

 1 + 2t = t
2 = 2 − t0


3 − 3t = 6 + t0
non è compatibile: concludiamo che r ed u sono sghembe.
6
8.1. EQUAZIONI PARAMETRICHE DI RETTE
È noto dalla geometria euclidea che un altro modo per descrivere una retta r è
quello di dare due punti distinti A e B che le appartengono. In tal caso ci si può
ricondurre al caso precedente. Infatti un punto, per esempio A, l’abbiamo: per
costruire un vettore parallelo a r basta considerare B − A (si veda la Figura 8.1.9).
y
Br
A
B-A
O
x
Figura 8.1.9
Se fissiamo un sistema di riferimento O~ı~~k in S3 , A = (xA , yA , zA ), B =
(xB , yB , zB ) allora B−A = (xB −xA )~ı +(yB −yA )~ +(zB −zA )~k , sicché sostituendo
nell’Equazione (8.1.4) otteniamo le equazioni parametriche della retta r passante
per A = (xA , yA , zA ) e B = (xB , yB , zB )


 x = xA + (xB − xA )t
y = yA + (yB − yA )t
(8.1.10)


z = zA + (zB − zA )t
o anche


 x = (1 − t)xA + txB
y = (1 − t)yA + tyB


z = (1 − t)zA + tzB
(talvolta si scrive sinteticamente P = (1 − t)A + tB).
Si noti che P = (x, y, z) ∈ AB se e solo se


 x = (1 − t)xA + txB
y = (1 − t)yA + tyB
t ∈ [0, 1],


z = (1 − t)zA + tzB ,
o, equivalentemente, se


 x = λxA + µxB
y = λyA + µyB


z = λzA + µzB ,
λ, µ ≥ 0, λ + µ = 1.
LEZIONE 8
7
Per esempio il punto medio M di AB ha coordinate corrispondenti a t = 1/2,
cioè
xA + xB yA + yB zA + zB
M=
,
,
.
2
2
2
Esempio 8.1.11. Fissiamo un sistema di riferimento O~ı~~k in S3 . Siano A =
(1, 2, −3), B = (2, 1, 1): chiaramente A 6= B, quindi esiste unica una retta r
contenente A e B le cui equazioni parametriche si ottengono utilizzando la Formula
(8.1.10)


 x=1+t
y =2−t


z = −3 + 4t.
8.2. Equazioni parametriche di piani.
In questo paragrafo imiteremo quanto già fatto per descrivere le rette nel piano
e nello spazio alla descrizione di piani in S3 .
Sia α ⊆ S3 un piano. Tale piano è sempre parallelo ad un’unico piano passante
per l’origine α0 e rimane completamente individuata da essa e da un punto qualsiasi
A ∈ α.
z
A
v
O
w
α
y
α'
x
Figura 8.2.1
Quindi per descrivere α è necessario descrivere α0 . Siano ~v e w
~ due vettori
0
contenuti in α e non paralleli: allora la Proposizione 6.3.10 assicura che P 0 ∈ α0
~ 0 = t~v + uw.
se e solo se esistono t, u ∈ R tali che OP
~
~ − OA:
~ segue che OP
~ =
Sia ora P ∈ α. Allora per definizione P − A = OP
~ + (P − A). Poiché P − A è parallelo al segmento P A, dunque a α, esso è
OA
contenuto in α0 , quindi esistono, per quanto osservato sopra, s, t ∈ R tali che
P − A = t~v + uw.
~ Mettendo assieme quanto visto segue che P ∈ S3 giace su α se
e solo se
(8.2.2)
~ = OA
~ + t~v + uw,
OP
~
8
8.2. EQUAZIONI PARAMETRICHE DI PIANI
per un qualche t, u ∈ R (si veda Figura 8.2.3).
z
P
A
v
P-A
O
w
α
y
α'
x
Figura 8.2.3
Fissiamo un sistema di riferimento O~ı~~k in S3 . Allora A = (xA , yA , zA ), sicché
~ = xA~ı + yA~ + zA~k , ~v = vx~ı + vy~ + vz~k , w
OA
~ = wx~ı + wy~ + wz~k : indicando
~ = x~ı + y~ + z~k ,
con (x, y, z) le coordinate del punto generico P ∈ S3 si ha OP
dunque l’Equazione (8.2.2) diviene
x~ı +y~ +z~k = xA~ı +yA~ +zA~k +t(vx~ı +vy~ +vz~k )+u(wx~ı +wy~ +wz~k ),
t, u ∈ R
o, eguagliando le componenti dei due vettori lungo gli assi coordinati,


 x = xA + vx t + wx u
y = yA + vy t + wy u
(8.2.4)


z = zA + vz t + wz u.
Le Equazioni (8.2.4) vengono spesso chiamate equazioni parametriche del piano
α passante per A = (xA , yA , zA ) e parallelo ai vettori ~v = vx~ı + vy~ + vz~k , w
~ =
wx~ı + wy~ + wz~k .
Esempio 8.2.5. In S3 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~~k . Siano A =
(1, 2, 3) ∈ S3 e ~v = 2~ı − 3~k , w
~ = ~ı + ~ + ~k ∈ V3 (O). I vettori ~v e w
~ non sono
paralleli, quindi i dati individuano un piano α le cui equazioni parametriche sono
date da


 x = 1 + 2t + u
(8.2.5.1)
y =2+u


z = 3 − 3t + u.
Si noti che la retta r dell’Esempio 8.1.5 di equazioni parametriche


 x = 1 + 2t
y=2


z = 3 − 3t,
LEZIONE 8
9
è contenuta in α: infatti i suoi punti si ottengono ponendo u = 0 nelle Equazioni
(8.2.5.1)
Viceversa supponiamo di avere fissato in S3 un sistema di riferimento O~ı~~k .
Dati numeri reali fissati xA , yA , zA , vx , vy , vz , wx , wy , wz , si considerino il luogo α
dei punti P = (x, y, z) dello spazio le cui coordinate sono della forma


 x = xA + vx t + wx u
y = yA + vy t + wy u


z = zA + vz t + wz u.
al variare di t, u ∈ R. Allora, procedendo come nel caso della retta, è facile
verificare che tale luogo è il piano α passante per il punto A = (xA , yA , zA ) e
parallelo ai vettori ~v = vx~ı + vy~ + vz~k , w
~ = wx~ı + wy~ + wz~k .
È noto dalla geometria euclidea che un altro modo per descrivere un piano
α è quello di dare tre suoi punti A, B e C non allineati. In tal caso ci si può
ricondurre al caso precedente. Infatti un punto, per esempio A, l’abbiamo: per
costruire due vettori paralleli a α basta considerare B − A e C − A. Se, rispetto
al sistema di riferimento O~ı~~k fissato in S3 , A = (xA , yA , zA ), B = (xB , yB , zB ),
C = (xC , yC , zC ) allora B − A = (xB − xA )~ı + (yB − yA )~ + (zB − zA )~k e C − A =
(xC − xA )~ı + (yC − yA )~ + (zC − zA )~k sicché sostituendo nell’Equazione (8.2.4)
otteniamo le equazioni parametriche del piano α passante per A = (xA , yA , zA ),
B = (xB , yB , zB ), C = (xC , yC , zC )
(8.2.6)
o anche


 x = xA + (xB − xA )t + (xC − xA )u
y = yA + (yB − yA )t + (yC − yA )u


z = zA + (zB − zA )t + (zC − zA )u.


 x = (1 − t − u)xA + txB + uxC
y = (1 − t − u)yA + tyB + uyC


z = (1 − t − u)zA + tzB + uzC
(talvolta si scrive sinteticamente P = (1 − t)A + tB + uC).
Se poi vogliamo descrivere le coordinate dei punti del triangolo ∆ABC è sufficiente che ci limitiamo a considerare i punti le cui coordinate si possono esprimere
tramite la Formula (8.2.6) con t, u ∈ [0, 1] e t + u ≤ 1, cioè P = (x, y, z) ∈ ∆ABC
se e solo se


 x = (1 − t − u)xA + txB + uxC
y = (1 − t − u)yA + tyB + uyC
t, u, t + u ∈ [0, 1],


z = (1 − t − u)zA + tzB + uzC
10
8.2. EQUAZIONI PARAMETRICHE DI PIANI
o, equivalentemente, se


 x = λxA + µxB + νxC
y = λyA + µyB + νyC


z = λzA + µzB + νzC
λ, µ, ν ≥ 0, λ + µ + ν = 1.
Esempio 8.2.6. Fissiamo un sistema di riferimento O~ı~~k in S3 . Siano A =
(1, 2, −3), B = (2, 1, 1), C = (2, 2, 2).: chiaramente A 6= B, quindi esiste unico un
piano α contenente A, Be C le cui equazioni parametriche si ottengono utilizzando
la Formula 8.2.6


 x=1+t+u
y =2−t


z = −3 + 4t + 5u.