Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Il piano Equazione parametrica Descrive le coordinate dei punti sul piano in termini di due parametri x =2+α−β y = −1 + α − β π: z =1+α+β x, y , z dipendono linearmente dai parametri; π= 1 0 00 1 0 11 2 1 −1 @−1A + span @@1A , @−1AA 1 1 1 Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Il piano Equazione parametrica Descrive le coordinate dei punti sul piano in termini di due parametri x =2+α−β y = −1 + α − β π: z =1+α+β E quazione cartesiana Descrive il piano π come insieme di soluzione di un’equazione lineare x −y =3 x, y , z dipendono linearmente dai parametri; π= 1 0 00 1 0 11 2 1 −1 @−1A + span @@1A , @−1AA 1 1 1 0 1 1 Il vettore n = @−1A è normale 0 al piano. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche La retta Equazione parametrica Descrive le coordinate dei punti sulla retta in termini di un parametro reale x =2+α y = −1 + α r: z =1+α x, y , z dipendono linearmente dal parametro; 0 1 0 1 2 1 r = @−1A + span @1A. 1 1 Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche La retta Equazione parametrica Descrive le coordinate dei punti sulla retta in termini di un parametro reale x =2+α y = −1 + α r: z =1+α Equazione cartesiana Descrive la retta r = insieme di soluzioni di un sistema lineare di 2 eq. in 3 inc. x −y =3 x +y +z =2 x, y , z dipendono linearmente La retta r è intersezione del dal parametro; piano di eq. x − y = 3 e del 0 1 0 1 2 1 r = @−1A + span @1A. 1 1 piano di eq. x + y + z = 2. 0 1 0 1 1 1 I vettori @−1A e @1A sono 0 1 normali alla retta Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Problemi 1 Data un’equazione parametrica di un piano/retta determinarne un’equazione cartesiana. 2 Data un’equazione cartesiana di un piano/retta determinarne un’equazione parametrica. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane per la retta Il metodo della cancellazione dei parametri x = 2 + 2α y = 1 + 2α z = −1 + 3α Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane per la retta Il dei parametri metodo della cancellazione x = 2 + 2α 2α = x − 2 y = 1 + 2α 2α = y − 1 z = −1 + 3α 3α = z + 1 Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane per la retta Il dei parametri metodo della cancellazione x x = 2 + 2α 2α = x − 2 α = 2 − 1 y = 1 + 2α 2α = y − 1 α = y2 − 12 . z = −1 + 3α 3α = z + 1 α = z3 + 13 Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane per la retta Il dei parametri metodo della cancellazione x x = 2 + 2α 2α = x − 2 α = 2 − 1 y = 1 + 2α 2α = y − 1 α = y2 − 12 . z = −1 + 3α 3α = z + 1 α = z3 + 13 Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano le equazioni x y 1 2 −1= 2 − 2 x z 1 −1= + y2 1 3z 31 2 − 2 = 3 + 3 Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane per la retta Il dei parametri metodo della cancellazione x = 2 + 2α 2α = x − 2 α = x2 − 1 y = 1 + 2α α = y2 − 12 . 2α = y − 1 z = −1 + 3α 3α = z + 1 α = z3 + 13 Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano le equazioni x y 1 2 −1= 2 − 2 z 1 x 2 −1= 3 + 3 Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane: caso retta Il dei parametri metodo di cancellazione x = 2 + 2α 2α = x − 2 α = x2 − 1 y = 1 + 2α 2α = y − 1 α = y2 − 12 . z = −1 + 3α 3α = z + 1 α = z3 + 13 Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano le equazioni x y 1 2 −1= 2 − 2 z 1 x 2 −1= 3 + 3 Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane: caso retta Il dei parametri metodo di cancellazione x = 2 + 2α 2α = x − 2 α = x2 − 1 y = 1 + 2α 2α = y − 1 α = y2 − 12 . z = −1 + 3α 3α = z + 1 α = z3 + 13 Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano le equazioni x x y y 1 1 2 − 2 =1− 2 2 −1= 2 − 2 z 1 x z 1 x 2 − 3 =1+ 3 2 −1= 3 + 3 Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane: caso retta Il dei parametri metodo di cancellazione x = 2 + 2α 2α = x − 2 α = x2 − 1 y = 1 + 2α 2α = y − 1 α = y2 − 12 . z = −1 + 3α 3α = z + 1 α = z3 + 13 Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano le equazioni x x y y 1 1 x −y =1 2 − 2 =1− 2 2 −1= 2 − 2 z 1 x z 1 x 3x − 2z = 8 2 − 3 =1+ 3 2 −1= 3 + 3 Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane: caso retta Il dei parametri metodo di cancellazione x = 2 + 2α 2α = x − 2 α = x2 − 1 y = 1 + 2α 2α = y − 1 α = y2 − 12 . z = −1 + 3α 3α = z + 1 α = z3 + 13 Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano le equazioni x x y y 1 1 x −y =1 2 − 2 =1− 2 2 −1= 2 − 2 z 1 x z 1 x 3x − 2z = 8 2 − 3 =1+ 3 2 −1= 3 + 3 Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane: caso piano Il 8 metodo di cancellazione dei parametri < x = 2 + 2α + β y =1+α+β : z = 4 + α + 4β Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane: caso piano Il dei parametri 8 metodo di cancellazione 8 < x = 2 + 2α + β < β = x − 2 − 2α y =1+α+β y =1+α+β : : z = 4 + α + 4β z = 4 + α + 4β Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane: caso piano Il dei parametri 8 metodo di cancellazione 8 8 < x = 2 + 2α + β < β = x − 2 − 2α < β = x − 2 − 2α y =1+α+β y =1+α+β y = 1 + α + (x − 2 − 2α) : : : z = 4 + α + 4β z = 4 + α + 4β z = 4 + α + 4β Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane: caso piano Il dei parametri 8 metodo di cancellazione 8 8 < x = 2 + 2α + β < β = x − 2 − 2α < β = x − 2 − 2α y =1+α+β y =1+α+β y = 1 + α + (x − 2 − 2α) : : : z = 4 + α + 4β z = 4 + α + 4β z = 4 + α + 4β 8 < β = x − 2 − 2α y =x −1−α : z = 4 + α + 4β Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane: caso piano Il dei parametri 8 metodo di cancellazione 8 8 < x = 2 + 2α + β y =1+α+β : z = 4 + α + 4β 8 < β = x − 2 − 2α y =x −1−α : z = 4 + α + 4β < β = x − 2 − 2α < β = x − 2 − 2α y =1+α+β y = 1 + α + (x − 2 − 2α) : : z = 4 + α + 4β z = 4 + α + 4β 8 < α=x −y −1 β = x − 2 − 2(x − y − 1) : z = 4 + α + 4β Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane: caso piano Il dei parametri 8 metodo di cancellazione 8 8 < x = 2 + 2α + β y =1+α+β : z = 4 + α + 4β 8 < β = x − 2 − 2α y =x −1−α : z = 4 + α + 4β < β = x − 2 − 2α < β = x − 2 − 2α y =1+α+β y = 1 + α + (x − 2 − 2α) : : z = 4 + α + 4β z = 4 + α + 4β 8 8 < α=x −y −1 < α=y −x +1 β = x − 2 − 2(x − y − 1) β = −x + 2y : : z = 4 + α + 4β z = 4 + α + 4β Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Da parametriche a cartesiane: caso piano Il dei parametri 8 metodo di cancellazione 8 8 < x = 2 + 2α + β y =1+α+β : z = 4 + α + 4β 8 < β = x − 2 − 2α y =x −1−α : z = 4 + α + 4β < β = x − 2 − 2α < β = x − 2 − 2α y =1+α+β y = 1 + α + (x − 2 − 2α) : : z = 4 + α + 4β z = 4 + α + 4β 8 8 < α=x −y −1 < α=y −x +1 β = x − 2 − 2(x − y − 1) β = −x + 2y : : z = 4 + α + 4β z = 4 + α + 4β Deduciamo dunque che z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y ) = 3 − 3x + 7y . Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Alcuni casi particolari x =3 y = 2 + 3α 1) z =1−α Ricavo i parametri dalla seconda e terza equazione α = y3 − 32 e deduco y3 − 23 = 1 − z ovvero y + 3z = 5. α=1−z L’altra equazione? Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Alcuni casi particolari x =3 y = 2 + 3α 1) z =1−α Ricavo i parametri dalla seconda e terza equazione α = y3 − 32 e deduco y3 − 23 = 1 − z ovvero y + 3z = 5. α=1−z L’altra equazione?x = 3. x =3 Equazione cartesiana: . y + 3z = 5 Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Alcuni casi particolari x =7 y =3 2) z = 3 + 2α Equazione cartesiana: Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Alcuni casi particolari x =7 y =3 2) z = 3 + 2α x =7 Equazione cartesiana: y =3 Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Alcuni casi particolari x =7 y =3 2) z = 3 + 2α x =7 Equazione cartesiana: y =3 x = 12 y = 2 + 3α + β 3) z = 1 − α − 2β Equazione cartesiana: Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Alcuni casi particolari x =7 y =3 2) z = 3 + 2α x =7 Equazione cartesiana: y =3 x = 12 y = 2 + 3α + β 3) z = 1 − α − 2β Equazione cartesiana: x = 12. Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Alcuni casi particolari x = 7 + 2α + β y = 3 + 4α + 2β 4) z = 3 + 2α Ricavo β dalla prima equazione: β = x − 7 − 2α. Sostituendo nella seconda equazione: y = 3 + 4α + 2(x − 7 − 2α) Deduco che y = −11 + 2x. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Alcuni casi particolari x = 7 + 2α + β y = 3 + 4α + 2β 4) z = 3 + 2α Ricavo β dalla prima equazione: β = x − 7 − 2α. Sostituendo nella seconda equazione: y = 3 + 4α + 2(x − 7 − 2α) Deduco che y = −11 + 2x. Il parametro α è sparito! Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Alcuni casi particolari x = 7 + 2α + β y = 3 + 4α + 2β 4) z = 3 + 2α Ricavo β dalla prima equazione: β = x − 7 − 2α. Sostituendo nella seconda equazione: y = 3 + 4α + 2(x − 7 − 2α) Deduco che y = −11 + 2x. Il parametro α è sparito! Equazione cartesiana: y=-11+2x. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Procedimento per il piano Consideriamo il piano π di equazione 3x + 2y − z = 2. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Procedimento per il piano Consideriamo il piano π di equazione 3x + 2y − z = 2. Possiamo riscrivere l’equazione nella forma seguente z = 3x + 2y − 2 La soluzione generale di tale equazione è x =α y =β z = 3α + 2β − 2 Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Procedimento per la retta x +y +z =1 x + 2y − z = 2 Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Procedimento per la retta x +y +z =1 x + 2y − z = 2 x +y =1−z x + 2y = 2 + z Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Procedimento per la retta x +y +z =1 x +y =1−z x + 2y − z = 2 x + 2y = 2 + z x = (1 − z) − y (1 − z) − y + 2y = 2 + z Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Procedimento per la retta x +y +z =1 x +y =1−z x + 2y − z = 2 x + 2y = 2 + z x = (1 − z) − y (1 − z) − y + 2y = 2 + z y = 2 + z − (1 − z) = 1 + 2z x = (1 − z) − y = (1 − z) − (1 + 2z) = −3z y = 1 + 2z Dunque in definitiva si ottiene il sistema la cui x = −3z soluzione generale è x = −3α y = 1 + 2α . z=α Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Alcuni casi particolari 1) x + z = 3. Ricavo z = 3 − x, la soluzione generale è x =α z =3−α y= Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Alcuni casi particolari 1) x + z = 3. Ricavo z = 3 − x, la soluzione generale è x =α z =3−α y =β Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Alcuni casi particolari 2) x +y −z =1 x + y + 2z = 0 x +y =1+z x + y = −2z Osserviamo che affinché tale sistema abbia soluzione bisogna che 1 + z = −2z ovvero che z = −1/3. Procedendo come prima otteniamo Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Alcuni casi particolari 2) x +y −z =1 x + y + 2z = 0 x +y =1+z x + y = −2z Osserviamo che affinché tale sistema abbia soluzione bisogna che 1 + z = −2z ovvero che z = −1/3. Procedendo come prima otteniamo In particolare abbiamo che il sistema sopra (come sistema nelle x,y con z parametrico) non ammette soluzioni se z 6= −1/3 e ammette infinite soluzioni se z = −1/3. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Alcuni casi particolari 2) x +y −z =1 x + y + 2z = 0 x +y =1+z x + y = −2z Osserviamo che affinché tale sistema abbia soluzione bisogna che 1 + z = −2z ovvero che z = −1/3. Procedendo come prima otteniamo In particolare abbiamo che il sistema sopra (come sistema nelle x,y con z parametrico) non ammette soluzioni se z 6= −1/3 e ammette infinite soluzioni se z = −1/3. Come procediamo in questo caso? Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Alcuni casi particolari x +y −z =1 x + y + 2z = 0 Invece dell’incognita z, esplicitiamo l’incognita y : x −z =1−y x + 2z = −y Dalla prima equazione ricaviamo x = (1 − y) + z. 2) Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Alcuni casi particolari x +y −z =1 x + y + 2z = 0 Invece dell’incognita z, esplicitiamo l’incognita y : x −z =1−y x + 2z = −y Dalla prima equazione ricaviamo x = (1 − y) + z. Sostituendo nella seconda 1 − y + z + 2z = −y da cui ricaviamo 1 + 3z = 0 ovvero z = −1/3. 2) Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Alcuni casi particolari x +y −z =1 x + y + 2z = 0 Invece dell’incognita z, esplicitiamo l’incognita y : x −z =1−y x + 2z = −y Dalla prima equazione ricaviamo x = (1 − y) + z. Sostituendo nella seconda 1 − y + z + 2z = −y da cui ricaviamo 1 + 3z = 0 ovvero z = −1/3. Sostituendo nell’espressione della x otteniamo x = 2/3 − y. Ovvero il sistema diventa x = 2/3 − y z = −1/3 2) Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Sintesi Passaggio da parametriche a cartesiane Passaggio da cartesiane a parametriche Alcuni casi particolari x +y −z =1 x + y + 2z = 0 Invece dell’incognita z, esplicitiamo l’incognita y : x −z =1−y x + 2z = −y Dalla prima equazione ricaviamo x = (1 − y) + z. Sostituendo nella seconda 1 − y + z + 2z = −y da cui ricaviamo 1 + 3z = 0 ovvero z = −1/3. Sostituendo nell’espressione della x otteniamo x = 2/3 − y. Ovvero il sistema diventa x = 2/3 − α x = 2/3 − y y =α ⇒ z = −1/3 z = −1/3 2) Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Due piani possono essere: coincidenti; paralleli; incidenti. Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Due piani possono essere: coincidenti; paralleli; incidenti. Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani Consideriamo i due piani π e π 0 di equazione cartesiana rispettivamente x +y +z =3 2x + 2y + 2z = 6. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani Consideriamo i due piani π e π 0 di equazione cartesiana rispettivamente x +y +z =3 2x + 2y + 2z = 6. Ogni soluzione della prima equazione è anche soluzione della seconda equazione e viceversa. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani Consideriamo i due piani π e π 0 di equazione cartesiana rispettivamente x +y +z =3 2x + 2y + 2z = 6. Ogni soluzione della prima equazione è anche soluzione della seconda equazione e viceversa. π = π 0 . Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani Consideriamo i due piani π e π 0 di equazione cartesiana rispettivamente x +y +z =3 2x + 2y + 2z = 6. Ogni soluzione della prima equazione è anche soluzione della seconda equazione e viceversa. π = π 0 . Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π 0 sono x +y +z =3 x + y + z = 5. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani Consideriamo i due piani π e π 0 di equazione cartesiana rispettivamente x +y +z =3 2x + 2y + 2z = 6. Ogni soluzione della prima equazione è anche soluzione della seconda equazione e viceversa. π = π 0 . Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π 0 sono x +y +z =3 x + y + z = 5. In questo caso non ci sono punti comuni a π e π 0 . Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani Consideriamo i due piani π e π 0 di equazione cartesiana rispettivamente x +y +z =3 2x + 2y + 2z = 6. Ogni soluzione della prima equazione è anche soluzione della seconda equazione e viceversa. π = π 0 . Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π 0 sono x +y +z =3 x + y + z = 5. In questo caso non ci sono punti comuni a π e π 0 .π k π 0 . Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani Consideriamo i due piani π e π 0 di equazione cartesiana rispettivamente x +y +z =3 2x + 2y + 2z = 6. Ogni soluzione della prima equazione è anche soluzione della seconda equazione e viceversa. π = π 0 . Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π 0 sono x +y +z =3 x + y + z = 5. In questo caso non ci sono punti comuni a π e π 0 .π k π 0 . Consideriamo infine il caso in cui le equazioni siano x +y +z =3 2x + y + 7z = 6. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani Consideriamo i due piani π e π 0 di equazione cartesiana rispettivamente x +y +z =3 2x + 2y + 2z = 6. Ogni soluzione della prima equazione è anche soluzione della seconda equazione e viceversa. π = π 0 . Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π 0 sono x +y +z =3 x + y + z = 5. In questo caso non ci sono punti comuni a π e π 0 .π k π 0 . Consideriamo infine il caso in cui le equazioni siano x +y +z =3 2x + y + 7z = 6. 1 2 I vettori normali 1, 1 sono indipendenti. π e π 0 sono 1 7 incidenti. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Esempi x +y +z =3 x + 2y + z = 3: Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Esempi x +y +z =3 x + 2y + z = 3:incidenti Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Esempi x +y +z =3 x + 2y + z = 3:incidenti x +y +z =0 2x + 2y + 2z = 1: Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Esempi x +y +z =3 x + 2y + z = 3:incidenti x +y +z =0 2x + 2y + 2z = 1:parallele Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Esempi x +y +z =3 x + 2y + z = 3:incidenti x +y +z =0 2x + 2y + 2z = 1:parallele x + 3y = 2 y + 3z = 2: Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Esempi x +y +z =3 x + 2y + z = 3:incidenti x +y +z =0 2x + 2y + 2z = 1:parallele x + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Esempi x +y +z =3 x + 2y + z = 3:incidenti x +y +z =0 2x + 2y + 2z = 1:parallele x + 3y = 2 2x + 1 3y =2 y + 3z = 2:incidenti 3x + 12 y = 3: Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Esempi x +y +z =3 x + 2y + z = 3:incidenti x +y +z =0 2x + 2y + 2z = 1:parallele x + 3y = 2 2x + 1 3y =2 y + 3z = 2:incidenti 3x + 12 y = 3:coincidenti Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Esempi x +y +z =3 x + 2y + z = 3:incidenti x +y +z =0 2x + 2y + 2z = 1:parallele x + 3y = 2 1 3y 2x + =2 √ 3x + z = 1 y + 3z = 2:incidenti 3x + 12 y = 3:coincidenti √ 3x + 3z = 1: Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Esempi x +y +z =3 x + 2y + z = 3:incidenti x +y +z =0 2x + 2y + 2z = 1:parallele x + 3y = 2 1 3y 2x + =2 √ 3x + z = 1 y + 3z = 2:incidenti 3x + 12 y = 3:coincidenti √ 3x + 3z = 1:paralleli. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Procedura generale Supponiamo di avere due piani π e π 0 di equazioni rispettivamente ax + by + cz = d a0 x + b 0 y + c 0 z = d 0 0 a a I vettori b e b0 sono uno multiplo dell’altro? c0 c Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Procedura generale Supponiamo di avere due piani π e π 0 di equazioni rispettivamente ax + by + cz = d a0 x + b 0 y + c 0 z = d 0 0 a a I vettori b e b0 sono uno multiplo dell’altro?se la c0 c risposta è negativa allora π e π 0 sono incidenti. Altrimenti: Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Procedura generale Supponiamo di avere due piani π e π 0 di equazioni rispettivamente ax + by + cz = d a0 x + b 0 y + c 0 z = d 0 0 a a I vettori b e b0 sono uno multiplo dell’altro?se la c0 c risposta è negativa allora π e π 0 sono incidenti. Altrimenti: Le due equazioni sono multiple fra loro? Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Procedura generale Supponiamo di avere due piani π e π 0 di equazioni rispettivamente ax + by + cz = d a0 x + b 0 y + c 0 z = d 0 0 a a I vettori b e b0 sono uno multiplo dell’altro?se la c0 c risposta è negativa allora π e π 0 sono incidenti. Altrimenti: Le due equazioni sono multiple fra loro?se la risposta è negativa allora π e π 0 sono paralleli. Se la risposta è positiva π e π 0 sono coincidenti. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Equazione del piano parallelo ad un piano dato e passante per un punto dato Supponiamo di avere un piano di equazione x + 3y + z = 2 Determinare l’equazione del piano π 0 parallelo a π passante per 2 il punto P = −4: 6 Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Equazione del piano parallelo ad un piano dato e passante per un punto dato Supponiamo di avere un piano di equazione x + 3y + z = 2 Determinare l’equazione del piano π 0 parallelo a π passante per 2 il punto P = −4: 6 l’equazione avrà la forma x + 3y − z = k : Poiché il punto P appartiene al piano π 0 dobbiamo avere 2 + 3 · (−4) − 6 = k. Ovvero ricaviamo k = −16. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Equazione del piano parallelo ad un piano dato e passante per un punto dato Supponiamo di avere un piano di equazione x + 3y + z = 2 Determinare l’equazione del piano π 0 parallelo a π passante per 2 il punto P = −4: 6 l’equazione avrà la forma x + 3y − z = k : Poiché il punto P appartiene al piano π 0 dobbiamo avere 2 + 3 · (−4) − 6 = k. Ovvero ricaviamo k = −16. x + 3y − z = −16 . Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Data una retta r e un piano π ci sono tre casi: r è contenuta in π; r e π sono paralleli; r e π sono incidenti. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Data una retta r e un piano π ci sono tre casi: r è contenuta in π; r e π sono paralleli; r e π sono incidenti. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Data una retta r e un piano π ci sono tre casi: r è contenuta in π; r e π sono paralleli; r e π sono incidenti. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione retta/piano Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta 1 1 r = 1 + span 0 0 −1 1 Il punto 1 appartiene a π: 0 Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione retta/piano Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta 1 1 r = 1 + span 0 0 −1 1 Il punto 1 appartiene a π: r e π sono coincidenti o 0 incidenti. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione retta/piano Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta 1 1 r = 1 + span 0 0 −1 1 Il punto 1 appartiene a π: r e π sono coincidenti o 0 incidenti. 1 Il vettore 0 è contenuto nel piano π0 di equazione −1 x + y + z = 0:r è contenuto in π Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione retta/piano Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta 1 1 r = 2 + span 0 0 −1 1 Il punto 2 non appartiene a π: 0 Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione retta/piano Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta 1 1 r = 2 + span 0 0 −1 1 Il punto 2 non appartiene a π: r e π sono incidenti o 0 paralleli. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione retta/piano Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta 1 1 r = 2 + span 0 0 −1 1 Il punto 2 non appartiene a π: r e π sono incidenti o 0 paralleli. 1 0 è contenuto nel piano π0 di equazione Il vettore −1 x + y + z = 0: Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione retta/piano Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta 1 1 r = 2 + span 0 0 −1 1 Il punto 2 non appartiene a π: r e π sono incidenti o 0 paralleli. 1 0 è contenuto nel piano π0 di equazione Il vettore −1 x + y + z = 0: r è parallelo a π Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione retta/piano Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta 1 1 r = 2 + span 0 0 1 1 Il punto 2 non appartiene a π: 0 Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione retta/piano Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta 1 1 r = 2 + span 0 0 1 1 Il punto 2 non appartiene a π: r e π sono incidenti o 0 parallele. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione retta/piano Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta 1 1 r = 2 + span 0 0 1 1 Il punto 2 non appartiene a π: r e π sono incidenti o 0 parallele. 1 Il vettore 0 non è contenuto nel piano π0 di equazione 1 x + y + z = 0: Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Riconoscimento della posizione retta/piano Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta 1 1 r = 2 + span 0 0 1 1 Il punto 2 non appartiene a π: r e π sono incidenti o 0 parallele. 1 Il vettore 0 non è contenuto nel piano π0 di equazione 1 x + y + z = 0: r è incidente a π Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Procedura generale Supponiamo di avere un piano di equazione ax + by + cz = d e una retta di equazione parametrica r = P + span v. Il vettore v è contenuto nel piano π0 di equazione ax + by + cz = 0? Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Procedura generale Supponiamo di avere un piano di equazione ax + by + cz = d e una retta di equazione parametrica r = P + span v. Il vettore v è contenuto nel piano π0 di equazione ax + by + cz = 0?se la risposta è negativa allora π e π sono incidenti. Altrimenti: Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Procedura generale Supponiamo di avere un piano di equazione ax + by + cz = d e una retta di equazione parametrica r = P + span v. Il vettore v è contenuto nel piano π0 di equazione ax + by + cz = 0?se la risposta è negativa allora π e π sono incidenti. Altrimenti: P appartiene a π? Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Procedura generale Supponiamo di avere un piano di equazione ax + by + cz = d e una retta di equazione parametrica r = P + span v. Il vettore v è contenuto nel piano π0 di equazione ax + by + cz = 0?se la risposta è negativa allora π e π sono incidenti. Altrimenti: P appartiene a π?se la risposta è negativa allora π e π sono paralleli. Se la risposta è positiva π e π 0 sono coincidenti. Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Due rette possono essere coincidenti; parallele; incidenti; sghembe; Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Due rette possono essere coincidenti; parallele; incidenti; sghembe; Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette Equazioni cartesiane e parametriche Posizioni reciproche Due rette possono essere coincidenti; parallele; incidenti; sghembe; Posizioni reciproche tra piani Posizioni reciproche retta/piano Posizione reciproche tra rette
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