Forlì – Giugno 2004
Ingegneria sismica: la progettazione basata
sul metodo semiprobabilistico agli stati limite
STATI LIMITE DI ESERCIZIO – FESSURAZIONE,
DEFORMABILITA’ E TENSIONE
Claudio Mazzotti
DISTART - Tecnica delle costruzioni
Università di Bologna
1
CM
Sommario della lezione
1)
Verifiche agli stati limite di esercizio
2)
Verifiche SLE per strutture in c.a.
2.1) Stato limite di tensione
2.2) Fessurazione degli elementi in c.a.
2.3) Deformabilità delle travi in c.a.
3)
Verifiche SLE per strutture in acciaio (cenni)
2
CM
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO
Per assicurare il buon funzionamento delle strutture soggette a valori
dei carichi che si presentano frequentemente durante la loro vita utile.
Sono previste tre possibili combinazioni di carico associate a valori
crescenti di probabilità di presentarsi nella vita utile della struttura.
n
- Combinazione rara
Gk + Pk + Qk 1 +
∑ψ
0i
Qk ,i
i =2
n
- Combinazione frequente
Gk + Pk + ψ1 Qk 1 +
∑ψ
2i
Qk ,i
i =2
- Combinazione quasi permanente
n
Gk + Pk +
∑ψ
2i
Qk ,i
i =1
Coefficienti ψi variano a seconda della destinazione d’uso del
fabbricato e del tipo di azione (variabile, neve, vento):
Analogia
T.A.
CM
ψ0 = 0.70
.
ψ1 = 0.70 – 0.20
ψ2 = 0.60 – 0.00
3
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO
Classi di esposizione ambientale
Norma Italiana: Ambiente poco, mediamente e molto aggressivo.
EC2 prevede 5 classi di esposizione definite in modo più analitico:
4
CM
STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO
STATI LIMITE DI ESERCIZIO
5
CM
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO
Strutture in cemento armato
1) Limitazione dello stato tensionale (in esercizio)
2) Controllo di formazione e di ampiezza delle fessure
3) Verifiche di deformabilità
…) Controllo delle vibrazioni, del comportamento in presenza di carichi
ciclici, etc. (per applicazioni particolari)
Rivestono particolare importanza in un calcolo agli stati limite, in
quanto non sempre il superamento delle verifiche agli stati limite
ultimi assicura il buon funzionamento sotto carichi di esercizio
6
CM
1) Limitazione dello stato tensionale
E’ necessario assicurarsi che il dimensionamento effettuato agli stati
limite ultimo non sia tale da avere valori troppo elevati delle tensioni in
esercizio (nel calcestruzzo), in quanto:
1) Può causare, nel tempo, la formazione di (micro/macro) fessurazioni
in direzione verticale (soprattutto nel copriferro che non è confinato)
che può pregiudicare la durabilità
Combinazione
Rara
2) Può essere causa di deformazioni viscose anche ben superiori a
quelle predette dalla teoria della viscoelasticità lineare;
Combinazione
quasi permanente
- oltre questi livelli si deve tenere in conto un comportamento non
lineare delle deformazioni viscose CM
7
1) Limitazione dello stato tensionale
Per l’acciaio da armature ordinarie deve valere:
σs < 0.70 fyk Norma Italiana
σs < 0.80 fyk EC2
Per il calcestruzzo impiegato nelle strutture in c.a.p. si devono
rispettare limiti analoghi a quelli del calcestruzzo per strutture
convenzionali inoltre:
resistenza a j giorni
-All’atto della precompressione
di maturazione:
Compressione: σc < 0.60 fckj
Trazione: σct < 0.10 fckj (obbligo di armatura lenta)
IMPORTANTE – EC2
Se il dimensionamento della struttura agli s.l.u. è stato effettuato
utilizzando un coefficiente di redistribuzione inferiore a δ = 0.85, in genere
non è necessario fare la verifica di limitazione dello stato tensionale8
CM
Criteri per il calcolo dello stato tensionale
Il calcolo deve essere per quanto possibile rispondente all’effettivo
comportamento della struttura:
1)
Tenere in conto l’eventuale fessurazione (in esercizio), gli effetti di
viscosità, ritiro, variazioni termiche;
2)
Nelle sezioni non fessurate, si effettua un calcolo lineare;
3)
Nelle sezioni fessurate si esclude il contributo del calcestruzzo in
trazione (cioè il cosiddetto tension stiffening) - a favore di sicurezza
3)
Gli effetti di lungo termine (sullo stato tensionale) vanno tenuti in
conto se almeno il 50% della tensione è originata da carichi quasipermanenti, utilizzando n=15;
4)
Particolare attenzione si deve porre alla limitazione delle tensioni
quando ci siano incertezze sul modello di calcolo o alternanza del
segno della sollecitazione.
9
CM
Esempio applicativo – Trave inflessa
Caso A: Sezione 30x50 As = 17.2 cm2, A’s = 9.4 cm2 (A’/A = 0.50)
Combinazione rara Md = Mgk + Mqk = 185 kNm
σc = 11.84 MPa ≤ 0.6 fck=12.45 MPa
Dimensionata con
MsdSLU=265 kNm
σs = 265 MPaσs ≤ 0.7 fyk=301 MPa
Caso B: Sezione 30x50 As = 12.5 cm2, A’s = 4.6 cm2 (A’/A = 0.30)
Dimensionata con redistribuzione del 30% [265⋅0.70 kNm]
Combinazione rara Md = Mgk + Mqk = 186 kNm
σc = 14.6 MPa > 0.6 fck=12.45 MPa
σs = 364 MPaσs > 0.7 fyk=301 MPa
Osservazioni: Sezioni con forti armature compresse o
calcolate con significative redistribuzioni possono
fornire problemi di verifica.
CM
10
2) Fessurazione degli elementi in c.a.
Finalità: - Assicurare la funzionalità dell’opera
- Garantire la durabilità dei manufatti
Stati Limite di Fessurazione:
1) S. L. di Decompressione: fibra tesa ha tensione nulla
2) S. L. di Formazione delle fessure: fibra tesa ha σ ≤ fctk
3) S. L. di Apertura delle fessure: controllo che l’ampiezza delle
fessure sia compatibile con le condizioni di esercizio previste.
Sezione interamente reagente
1
CM
2
fctk
11
2) Fessurazione degli elementi in c.a. – segue
Caso di sollecitazione composta M-N
Sezione interamente reagente
12
CM
Case study: Elemento teso di cls con barra di armatura
Fessurazione del
cls avviene
quando:
εcr = fct / Ec ≈ 0.1%
Stadio 2
(fessurato)
Stadio 1 (non
fessurato)
CM
13
Rigidezza: andamento forza assiale - allungamento
Stadio 1
Stadio 1
Stadio
2
Stadio
2
Grande differenza di rigidezza tra Stadio 1 (cls ed acciaio) e Stadio
2 (solo acciaio)
14
CM
Effetto della quantità di armatura (armatura minima)
15
CM
Per passare da sezioni in Stadio 1 a Stadio 2 è necessario
che vi sia scorrimento tra acciaio e calcestruzzo
16
CM
Legge di aderenza acciaio-calcestruzzo
Legame tra scorrimento acciaio-calcestruzzo e
corrispondente tensione tangenziale
Limite per carichi di
servizio
Crisi dell’interfaccia
17
CM
Meccanismo di crisi dell’aderenza per barre ad aderenza migliorata
τs
τ s = τ s ,max ( ss s1 )
Meccanismo di crisi per “splitting”:
importanza di un adeguato confinamento
del calcestruzzo ai fini dell’aderenza
(s1, τmax)
α
monotonic curve
Legge di interfaccia (anche carichi ciclici)
(s3, τf)
τu
(b)
CM
ss
 s 

τ( s ) = τ max 
 smax 
α
τ max = 1.0 ÷ 2.5 18f ck
Scorrimento
s = u s − uc
Equil. Traslazione orizzontale
Φ2
τ( z ) π Φ d z = d N s = As dσ s = π
dσ s
4
τ( z ) =
Φ dσ s
4 dz
Per sostituzione
d2 s d εs
1 d σs
4
=
=
=
τ( z )
2
d z Es d z Φ Es
dz
4 τ max
d2 s
−
sα = 0
2
α
dz
Φ Es smax
19
CM
Lunghezza di trasferimento dell’aderenza acciaio-calcestruzzo
4 τ max
d2 s
α
−
s
=0
2
α
dz
Φ Es smax
ltr =
1 Φ
k
4 ρeff
k = f ct / τ media
ρeff = As / Ac,eff
ltr
Percentuale di armatura rispetto
all’area di calcestruzzo efficace ai
fini dell’aderenza (si veda il seguito)
20
CM
Lunghezza di trasferimento dell’aderenza acciaio-calcestruzzo
Distanza tra le fessure
(teorica)
ltr < sr < 2 ltr
Esempio (1Φ12 per 10x10 cm2):
Rck = 30 MPa
f ck = 0.83 ⋅ 30 = 24.9 MPa
f ctm = 0.3 f ck2 / 3 = 2.55 ( MPa )
τ media = τ max / 2 = 1.5 f ck / 2 = 3.74 MPa
ltr
k = f ct / τ media = 0.68
2 ltr
180.6 < sr < 361.2 (mm)
CM
ρeff = As / Ac ,eff =
Valore + attendibile
1.13
= 0.0113
100
sr = 1.3 ltr =235 mm
21
Distanza tra le fessure - valutazioni alternative (sulla
base di risultanze sperimentali)
EC2 (1999)
s rm = 50 mm + k1 k 2
Φ
12
= 50 + 0.8 ⋅
1⋅ = 262 mm
4 ⋅ 0.0113
4 ρ eff
Si utilizza per il calcolo tecnico
dell’apertura di fessura
k1 = 0.8 se barre ad.
migliorata, k2 =1 se trazione
EC2 (2002)
s r max = 3.4c + 0.425 k1 k 2
s rm =
s r max
= 300 mm
1.7
Parametri che definiscono il
tipo di barra e il tipo di
carico (trazione o flessione)
Φ
12
= 3.4 ⋅ 44 + 0.425 ⋅ 0.8 ⋅ 1 ⋅
= 510 mm
ρ eff
0.0113
srm = 1.3 ltr = 1.3 (50 mm + 1.5 k s ) = 1.3 (50 + 1.5 x100) = 260 mm
Jaccoud (1987)
Spazio tra le22
barre
CM
Distanza tra le fessure
Valutazione Normativa Italiana
Ricoprimento barre
Interasse tra le barre
Convenzionalità del calcolo
D.M. ‘96
srm
s 
50 
12
Φ


= 124 mm
= 2 ⋅  44 +  + 0.40 ⋅ 0.25 ⋅
= 2 ⋅  c +  + k1 k2
10
10
0
.
0113
ρ




eff
Parametri che definiscono il tipo
di barra e il tipo di diagramma di
trazione
k1 = 0.4 se barre ad. migliorata,
k2 =0.125 – 0.25 - …
ρ eff = As / Ac ,eff
23
CM
Calcolo della deformabilità - tension stiffening
L’allungamento del tirante si può
ottenere per integrazione delle
deformazioni dell’acciaio:
Da un punto di vista tecnico, si
valuta la deformazione media
dell’acciaio (vedi poi), per cui:
∆L = ∫ ε s dx
l
∆L = ε sm L
24
CM
Deformazione media dell’acciaio εsm
Viene valutata su una base di misura sufficientemente lunga in
modo tale da poter essere descritta con una curva
Snervamento
dell’acciaio
Inizio fessurazione stabilizzata
Inizio fessurazione
del cls
25
CM
Deformazione media dell’acciaio εsm (segue)
PRESCRIZIONE NORMATIVA
Tutto il tirante in
Stadio 1
Tutto il tirante
in Stadio 2
ε sm = ε s 2 − ∆ε s
Tension - Stiffening
Contributo di
irrigidimento dovuto
al calcestruzzo teso
26
CM
Deformazione media dell’acciaio εsm (segue)
σsr = Tensione nell’acciaio quando
avviene la fessurazione del cls
ε sm = (1 − γ ) ε s1 + γ ε s 2
 σ sr
γ = 1 − 
 σs



2
Tale espressione
copre i due casi limite
(Stadio I e Stadio II)
ε sm = ε s 2 − ∆ε s
Se si trascura la deformazione dell’acciaio in Stadio I
ε sm
 σ
= ε s 2 1 −  sr
  σ s



2
σ
= s
 Es
 σ
1 −  sr
  σ s



2


∆L = ε sm L
27
CM
Deformazione media dell’acciaio εsm (segue)
ε sm = (1 − γ ) ε s1 + γ ε s 2
σ
γ = 1 − β1 β 2  sr
 σs



2
Differenza di deformazione tra acciaio
e calcestruzzo
β1 =1
Barre aderenza migliorata;
β1 =0.5
β2 =1
Carichi istantanei; β2 =0.5 Carichi lunga durata o ciclici
Barre lisce
Formule DM ‘96
CALCOLO TECNICO DELL’APERTURA DI
FESSURA
Valore medio
w m = srm ⋅ γ ε s 2
Differenza di deformaz.
tra acciaio e cls
wk ≤ wi
Distanza tra le fessure
CM
Valore caratteristico
wk = β wm = 1.7 wm
Per fare le verifiche di
28
ampiezza di fessura
INDIVIDUAZIONE DELLO STATO LIMITE DI
CONFRONTO
Formule DM ‘96
Il Decreto prevede tre livelli di ampiezza di apertura delle
fessure da porre in relazione alla condizioni ambientali
w1 = 0.1 mm
w2 = 0.2 mm
w3 = 0.4 mm
wk ≤ wi
29
CM
Calcolo tecnico dell’apertura di fessura (segue)
σ s − kt
ε sm − ε cm =
kt = 0.6 C. istantaneo
0.4 C. permanente
σs = tensione acciaio in
sezione fessurata
f ct ,eff
ρ eff
Es
(1 + n ρeff )
Formule EC2-2002
wk = (ε sm − ε cm ) ⋅ sr max ≤ wi
I limiti per l’ampiezza delle fessure dipendono dalle classi di
esposizione secondo cui sono classificate le strutture
n = Es / Ecm
Confronto EC2-DM96
Deformazioni analoghe.
Distanza tra le fessure
maggiori.
Limiti EC2 meno
restrittivi
CM
30
Calcolo tecnico dell’apertura di fessura (segue)
Etc.
CM
Formula dell’EC2
31
Calcolo tecnico dell’apertura di fessura (segue)
Secondo Favre (Norm. Svizzera)
32
CM
Area di calcestruzzo teso efficace nel caso di flessione (sia ai fini
del calcolo dell’apertura delle fessure che per valutare il
contributo del tension stiffening nella valutazione della curvatura
in condizioni fessurate)
EC2-2002
Ac,eff
E’ equivalente al tirante
in cls descritto prima
33
CM
Quando non è necessario calcolare l’apertura delle fessure (EC2) ?
A) Se viene disposta una armatura superiore all’armatura minima;
As ,min =
(kc Act ) (k f ct ,ef )
σs2
• Act = Area tesa della sez. interamente reagente (per
flessione bh/2);
• kc = tipo si sollecitazione – 1= trazione; 0.4= flessione;
• fct,eff = 3 MPa;
Per travi di notevole altezza,
è necessario utilizzare
un’armatura “di pelle”
longitudinale distribuita lungo
l’altezza, disposta all’interno
delle staffe
Per evitare l’espulsione del
copriferro o quando si
impieghino barre di grande
diametro è necessario,
inoltre, utilizzare armatura di
pelle esterna alle staffe
CM
• k = variabilità delle deformazioni impresse 1-0.5:
• σs2 = 0.90 fyk
Evitare lo snervamento dell’acciaio all’atto della
fessurazione → As > 1.6‰ Ac
34
Quando non è necessario calcolare l’apertura delle fessure (EC2) ?
B)
1) Per fessurazione dovuta a vincolamento (es. ritiro impedito) si
soddisfano i requisiti della Tab. 7.3;
2) Per fessurazione dovuta principalmente ai carichi si soddisfano i
requisiti della Tab. 7.3 o della Tab. 7.4;
E’ possibile usare diametri
diversi secondo l’espressione
φ s = φ*s
f ct ,eff
hcr
≥ φ*s
2.5 10( h − d )
2.5
f ct ,eff
1.33
h=80cm; d=77cm; hcr=40cm
35
CM
Quando non è necessario calcolare l’apertura delle fessure (EC2) ?
ESEMPIO
Sezione rettangolare
b= 30 cm ; h= 50 cm ; c= 4 cm ; d= 46 cm
As= 12.5 cm2; As’= 7.8 cm2; Mes= 80.6 kNm
As ≥
Indicazioni tabulate
k c k fct,cls A ct
0.9 fyk
con Act = bh/2, fct = 3 MPa, fyk = 374 MPa
ottengo As,min= 2.60 cm2 << As
Calcolo l’effettiva tensione nelle barre in
condizione di carico semi-permanente.
Dalle formule lineari x= 12.7 cm.
ξ = x/d = 0.277, ζ = 0.908, z = 41.8 cm
Calcolo della tensione nell’acciaio:
M
80.6 ⋅ 103
σs =
=
= 154.3 MPa
z As 41.8 ⋅ 12.5
Si impiegano 4φ20 (As=12.5 cm2)
distanziati di 80 mm.
Non è necessario procedere ad altre
verifiche di apertura fessure.
36
CM
FESSURAZIONE DOVUTA A CARICHI O A
DEFORMAZIONE IMPEDITA
37
CM
FESSURAZIONE DOVUTA A DEFORMAZIONE
IMPEDITA NELLE PRIME FASI DI COSTRUZIONE
38
CM
GETTO IN FASI SUCCESSIVE: NECESSITA’ DI UN’ARMATURA IN
DIREZIONE LONGITUDINALE PER LIMITARE LA FESSURAZIONE
ARMATURA MINIMA (EC2)
As ,min =
Nel caso di fessurazione dovuta a
deformazione impedita (es. per ritiro o forti
variazioni termiche), l’armatura minima è
definita come l’armatura necessaria ad
assorbire, all’atto della fessurazione e
senza snervarsi, lo sforzo di trazione che
precedentemente era assorbito dal
calcestruzzo
CM
(kc Act ) (k f ct ,ef )
σs2
39
40
CM
3) Deformabilità degli elementi in c.a.
La deformazione di un elemento strutturale deve essere tale da
non alterare né il suo corretto funzionamento, né l’aspetto
estetico;
1) Nel caso di soli problemi di tipo estetico (e di funzionalità), la
freccia (rispetto agli spostamenti delle estremità) di una trave
o di un solaio soggetto ai carichi quasi-permanenti deve
essere:
f / l < 1/250
2) Se possono essere causati danni a tramezzature e finiture, le
frecce (a struttura e finiture ultimate) devono essere:
f / l < 1/500
(a volte tale limite può essere rilassato)
41
CM
3) Deformabilità degli elementi in c.a. (segue)
B) Il calcolo delle frecce può essere evitato se il rapporto luce/altezza utile
non è superiore ai valori sotto riportati (valida per lunghezza < 7 metri):
ρ < 0.5 %
ρ = 1.5 %
Indicazioni
D.M. ‘96
(7)
CM
Travi in spessore di solaio sono più soggette a problemi di
elevata deformabilità
Deriva da una serie di studi di tipo parametrico (per strutture dimensionate con σs
=310 MPa) ed è tuttora soggetta a revisione
A) La freccia può essere calcolata secondo i criteri descritti nel seguito;
42
Calcolo della deformabilità delle travi in c.a.
εc
Ac,eff
εsm
CURVATURA MEDIA - a
partire dalla deformazione
del cls compresso e la def.
media dell’acciaio (come
se fosse un tirante in c.a.)
ε c + ε sm
1
=
rm
d
σ sr M cr
≅
M
σs2
1
1
1
= (1 − γ ) + γ
rm
r1
r2
σ
γ = 1 − β1 β 2  sr
 σs
43
CM



2
Curvatura media (EC2)
Formulazione ACI
Momenti di inerzia efficace
1
1
1
= (1 − γ ) + γ
rm
r1
r2
1
M
=
r1 Ec I1
Curvatura in Stadio I
(Sezione completamente
reagente)
M 
γ =  cr 
 M 
I e = γ I g + (1 − γ ) I 2
Curvatura in Stadio II
(Sezione parzializzata)
1
M
=
r2 Ec I 2
M 
γ = 1 − β1 β 2  cr 
 M 
2
0 ≤ γ ≤1
M
Mcr
Coefficienti definiti in
funzione del tipo di
barra e di carico
44
CM
4
CALCOLO DELLE FRECCE (STR. ISOSTATICHE)
Cioè nei casi in cui è noto il diagramma
dei momenti M(x)
Sistema fittizio
F=1
M(x)
M’(x)
1 ⋅ f = ∫ M ′( x) ⋅
M
l
Mcr
∆φ
1
1
( x) dx = ∑ M i′ ⋅   ⋅ ∆x
rm
i =1,.., N
 rm i
Sistema reale
f
1/rm(x)
Curvatura media del concio
CM
45
Calcolo delle frecce (segue)
Dopo alcuni passaggi analitici:
fc = ∫
l
MM
dz+∫
Ec I 1
l2
l : Lunghezza della trave
l2 : Lunghezza della trave in Stadio II
(cioè fessurata)
 1
1 
MM

 M M d z − ∫
−
Fts d z
Ec I 2
 E c I 2 Ec I 1 
l2
fc = f1 + ∆f2 − ∆ fts
Freccia trave non fessurata
Incremento come se tutta
la porzione centrale fosse
in Stadio II
Irrigidimento dovuto al “tension
stiffening” nel tratto centrale
Altra forma:
fc = f1 (1 − γ ) + f2 γ
f1 : Freccia in Stadio I
f2 : Freccia in Stadio II
0 ≤ γ ≤1
46
CM
Calcolo delle frecce (segue)
fc = f1 (1 − γ ) + f2 γ
f1 : Freccia in Stadio I
f2 : Freccia in Stadio II
0 ≤ γ ≤1
Funzione del rapporto
tra Momento di prima
fessurazione e Momento
massimo
Il diagramma dipende dal vincolamento e dal tipo di carico (es.
carico uniforme) - è un calcolo esatto
CM
47
Calcolo delle frecce (segue)
Metodo approssimato (Proposta CEB)
fc = f1 (1 − γ ) + f2 γ
CEB:
Altre proposte (da
indagini parametriche)
CM
 M
γ CEB = 1 − β1 β 2  cr
 M max



 M
= 1 − β1 β 2  cr
 Mmax



γ appr
β1 =1
Barre aderenza migliorata;
β2 =1
Carichi istantanei;
β2 =0.5
β1 =0.5
1.5
Barre lisce;
Carichi di lunga durata o ciclici
48
Calcolo delle frecce (segue)
Trave appoggiata L=6.00 m
B = 25 cm – Rck 250 – FeB44k
qes=40 kN/m
Progetto: pongo ξ=0.35 da cui
µ=0.80⋅ξ⋅ (1-0.40⋅ξ)=0.24 (campo 3)
h=
Mu
1.5 ⋅ 400 ⋅ 6002 / 8
=
= 63.6 cm
µ B fcd
0.24 ⋅ 25 ⋅ 11⋅ 100
Uso quindi h=64 cm + h’=3 cm
Definisco anche l’armatura tesa:
ρ m = 0.80 ⋅ ξ → As = 0.80 ⋅ ξ
Bhfcd
= 12.98 cm2
f yd
Adotto 4φ20 (As = 12.57 cm2)
Per i calcoli successivi si considerano:
fctd=2.76 MPa – n = 7.37
CM
ESEMPIO NUMERICO - 1
Calcolo deformata
STADIO I (sez. non fessurata)
Asse neutro x1=35.1 cm
M. Inerzia I1=708252 cm4
Freccia in mezzeria:
fI =
5 qes l 4
= 0.334 cm
384 Ec I1
STADIO II (sez. parzializzata)
Asse neutro x2=18.4 cm
M. Inerzia I2=244546 cm4
Freccia in mezzeria:
5 qes l 4
fII =
= 0.968 cm
384 Ec I 2
Momento di fessurazione:
M cr =
fctd I1
= 61.3kNm
H − x1
49
Calcolo delle frecce (segue)
Calcolo esatto
Tratto non fessurato:
d=
(
)
l
1 − 1 − M cr / Mmax = 56.4 cm
2
Calcolo le funzioni adimensionali
F1 = 0.99
note anche
F2 = 0.166
da abachi
ESEMPIO NUMERICO - 2
Calcolo approssimato
Valutazione del coefficiente CEB
 M
γ CEB = 1 − β1 β 2  cr
 M max

 = 0.66

Calcolo della freccia approssimata:
fc = f1 (1 − γ ) + f2 γ = 0.752cm → Err = 12%
Valuto i contributi di freccia:
 I 
∆f2 = f2  1 − 2 F1 = 0.628 cm
I1 

 I 
∆fts = f2β1β 2  1 − 2 F2 = 0.105 cm
I1 

Sommando ottengo il valore finale:
Usando invece il coefficiente
γ app
 M
= 1 − β1 β 2  cr
 M max



1.5
= 0.801
fc = f1 (1 − γ ) + f2 γ = 0.842cm → Err = 2%
f = f1 + ∆f2 − ∆fts = 0.857 cm
50
CM
Influenza delle modalità di progettazione
Freccia aumenta al crescere di ξ
causa la diminuzione dell’altezza
della sezione (h=f (ξ-1)).
Contributo irrigidente della parte
non fessurata è trascurabile
tranne che per bassi valori di ξ
Effetto del tension stiffening è
sempre rilevante;
Particolarmente per bassi livelli di
ξ (diminuzione della freccia del
15−20%).
51
CM
CALCOLO DELLE FRECCE (STR. IPERSTATICHE)
Il calcolo delle frecce in strutture iperstatiche è
reso più complesso dal fatto che l’andamento
delle sollecitazioni dipende dalla deformabilità
della struttura, la quale a sua volta si modifica
quando alcuni tratti di trave sono fessurati. La
soluzione richiede quindi l’uso di tecniche
numeriche iterative.
Valutato nei
vari tratti
della trave
52
CM
Freccie in S. Iperstatiche – Segue
Redistribuzione dei momenti a
causa della fessurazione
Progetto con
ξ = 0.259
Fessure quasi
contemporanee
Fase con molta
redistribuzione
Redistribuzione limitata
quando M+/M-≈ Mcr+/Mcr53
CM
Influenza del Modulo Elastico e del Momento di Fessurazione
Modulo Elastico
Momento di fessurazione
•Stadio I: Non altera significativamente il
Momento di inerzia quindi la variazione di
rigidezza è circa proporzionale alla
propria variazione:
•Non induce alcuna modifica delle frecce
di stadio I e II.
•Provoca una sensibile variazione negli
effetti della fessurazione, del tension
stiffening e della freccia effettiva.
•Parametro significativo è il rapporto
Mcr / Mmax
•Per bassi valori c’è poca sensibilità
alla variaizone di Mcr.
•Per rapporti elevati la sensibilità
cresce significativamente.
E ±20% → EJ ±20%
• Stadio II: Modifica n e quindi anche il
Momento di inerzia in modo sensibile. La
variazione di J e di E, però, vanno in
senso opposto quindi:
E ±20% → EJ ±5%
•Variazione della freccia:
∆f = 15÷20% per carichi prossimi a quello
di prima fessurazione.
∆f = 2÷5% per carichi elevati.
CM
ES: Mcr / Mmax = 0.34 → ∆f = 4÷5%
Mcr / Mmax = 0.50 → ∆f = 9%
Mcr / Mmax = 0.66 → ∆f = 15%
54
INCERTEZZE NEL CALCOLO DELLA
DEFORMABILITA’ DELLE TRAVI IN C.A.
Modulo Elastico
40000
Resistenza a trazione
(rottura a flessione)
8
Ec (MPa)
fctf (MPa)
Norm. Italiana
EC2
36000
EC2
6
ACI (USA)
32000
4
28000
CEB MC90
CEB MC90
2
Norm. Italiana
24000
ACI (USA)
0
20000
CM
20
30
fc (MPa)
40
50
20
30
fc (MPa)
40
55
50
CONFRONTO CON RISULTATI SPERIMENTALI
Prove con Moduli E e Momenti
di fessurazione Mcr noti
Metodo approssimato
Modulo Elastico
Prove con Moduli E e Momenti
di fessurazione Mcr valutati
mediante indicazioni normative:
Valore medio = 0.97
C. Variazione = 0.31
CM
56
CONFRONTO CON RISULTATI SPERIMENTALI
Metodo rigoroso
•Previsione del valore medio
analoga al caso precedente.
•Coefficiente di variazione
molto più piccolo.
•Superiore attendibilità del
metodo rigoroso
Modulo Elastico
Metodo rigoroso
Valore medio = 0.95
C. Variazione = 0.14
57
CM
CALCOLO DELLE FRECCE DIFFERITE
Il calcolo della deformazione flessionale si effettua, se del caso, tenendo
conto degli effetti del ritiro e della viscosità.
Ponte stradale demolito per
eccesso di deformazione dopo
20 anni.
58
CM
IL PROBLEMA DELLA VISCOSITA’ DEI CALCESTRUZZI
Carico applicato costante nel tempo
ε ( t1 , t0 ) = εist . ( t0 ) + ε v ( t1 , t0 )
εist . ( t0 ) =
ε ( t1 , t0 ) =
σc
σc
εv ( t1 , t0 ) =
φ ( t1 , t0 )
Ec ( t0 )
Ec ( t0 )
σc
1 + φ ( t1 , t0 ) 
Ec ( t0 )
ε(t1 , t0 ) =
σc
Ec,eff (t0 )
Modulo efficace
Ec ,eff (t0 ) =
CM
Ec (t0 )
1 + φ(t , t0 )
59
IL PROBLEMA DELLA VISCOSITA’ DEI CALCESTRUZZI
Il calcolo tecnico delle deformazioni differite
• La descrizione della redistribuzione nel tempo delle sollecitazioni in
membrature in c.a. fessurate è estremamente complessa.
• Ricorso a metodi semplificati validi per strutture ISOSTATICHE o
IPERSTATICHE a vincoli fissi nel tempo (forte semplificazione).
• Si valutano gli effetti della viscosità e del ritiro sulla curvatura del
generico concio di trave.
• Per il calcolo della freccia è, quindi, necessario usare il P.L.V. (come
illustrato in precedenza per carichi istantanei).
METODO DEL MODULO EFFICACE SEMPLIFICATO (EMs) – EC2
•Si considerano le sezioni in c.a. con le loro armature;
•Si pensa indipendente il contributo della viscosità da quello del ritiro.
•Si calcola la curvatura dovuta al ritiro e quella legata alla viscosità per la
sezione fessurata e non fessurata secondo le espressioni:
1
Es S s
= ε cs
rcs
Ec,eff J tot
CM
1
M
=
rcv Ec ,eff J tot
1
1 1
=   (1 − γ ) +   γ
rci  rci 1
 rci  2
60
IL PROBLEMA DELLA VISCOSITA’ DEI CALCESTRUZZI
Ritiro – εcs
Indicazioni Norma Italiana DM96
Coefficiente di viscosità – φ
CONFRONTI SPERIMENTALI
Variabilità risultati sperimentali
dati sperimentali
CEB
ACI h(2)
ACIh(1)
B3
J(t,to) x 10 6 (1/Mpa)
150
100
50
0
10
CM
100
log(t)
61
1000
STRUTTURE IN ACCIAIO
STATI LIMITE DI SERVIZIO
62
CM
STATI LIMITE DI ESERCIZIO
Limiti di deformabilità (norma italiana)
• Si assumono la combinazione rara per gli stati limite di esercizio (simile alla
combinazione adottata con il metodo delle tensioni ammissibili)
• Le freccie degli elementi delle strutture edilizie devono essere contenute quanto è
necessario quanto è necessario perché non ne derivino danni alle opere complementari in
genere e in particolare alle murature di tamponamento e ai relativi intonaci.
NOTA: Data la deformabilità
delle strutture in acciaio, i limiti
degli spostamenti sono spesso più
gravosi dei limiti di resistenza
Esempio per una trave appoggiata:
diagramma del rapporto
freccia/lunghezza in funzione del
rapporto lunghezza/altezza della
sezione (in genere tra 15 e 30) per un
prefissato livello di tensione massima.
63
CM
Limiti di deformabilità (norma italiana)
Limiti agli spostamenti
1) Travi di solai
fq <
1
L
400
2) Travi caricate direttamente
da muri, pilastri o tramezzi
fq = freccia dovuta al
carico variabile
f g +q <
1
L
500
Nota: per le travi a sostegno di tamponamenti in strutture intelaiate si può ridurre il peso del
muro contando sul comportamento ad arco del muro
3) Sbalzi: come travi ma con luce pari al doppio della lunghezza dello sbalzo
4) Arcarecci e elementi secondari di copertura
f g +q <
5) Spostamento massimo orizzontale di edifici
multipiani alti dovuto al vento
δw <
1
L
200
1
H
500
Scorrimento delle unioni
CM
Nelle unioni in cui lo sforzo è affidato all’attrito la massima sollecitazione non
deve superare la massima forza trasmissibile
64
Stati limite di esercizio (Eurocodice 3)
Stati limite di servizio da verificare:
1. deformazioni che possono compromettere l’uso della struttura;
2.
3.
vibrazioni che possono dare fastidio o danno;
danni agli elementi non strutturali.
Controllo degli spostamenti
•Ad eccezione dei casi in cui valori limite specifici siano concordati tra
cliente, progettista e Autorità competenti, si considerano i limiti
raccomandati.
•Si applicano la combinazione di carico rara prevista allo SLE.
•Nel calcolo degli spostamenti si deve tenere conto degli eventuali effetti del
secondo ordine, della effettiva rigidezza rotazionale delle unioni semirigide,
e della possibile presenza di deformazioni plastiche che intervengano allo
SLE (qualora si adotti una analisi plastica globale allo SLU).
65
CM
Spostamenti verticali
δmax = spostamento dovuto
ai carichi totali
δ2 = spostamento dovuto ai
carichi variabili
1) Solai in generale
δ max <
1
L
250
δ2 <
1
L
300
2) Solai con tramezzi
δ max <
1
L
250
δ2 <
1
L
350
3) Solai che sopportano colonne
δ max <
1
L
400
δ2 <
1
L
500
66
CM
Spostamenti verticali: osservazione
Nel calcolo delle frecce occorre tenere conto delle deformazioni indotte da
scorrimenti nei collegamenti bullonati.
Ad esempio per una travatura reticolare si hanno ulteriori frecce dovuta agli scorrimenti
nei correnti (δc) e nelle diagonali (δd) che possono essere valutate con le espressioni:
δc =
n L
(d 0 − d )
6 h
δd =
Ld L
(d 0 − d )
p h
Dove:
n = numero di giunti nei correnti
Ld = lunghezza delle aste diagonali
p = passo delle aste diagonali
d0-d = gioco foro-bullone
Spostamenti orizzontali
In ciascun
piano
Per l’intera
struttura
δ<
1
h
300
1
δδ00 <≤ 1 hh00
500
250
67
CM
Controllo delle vibrazioni
Persone che camminano inducono vibrazioni con frequenza di circa 2 cicli/s ⇒ la
frequenza naturale del solaio deve essere maggiore di 3 cicli/s per evitare risonanza.
In caso di solai sui quali si salta o si balla in modo ritmico, la frequenza naturale del
solaio deve essere maggiore di 5 cicli/s.
Relazione tra
frequenza naturale
e freccia (in cm)
f =
5
δ
Limitazione della
freccia totale per
la combinazione di
carico frequente
68
CM
69
CM