aicap
Associazione Italiana Calcestruzzo Armato e Precompresso
Consiglio Superiore dei LL.PP.
Facoltà di Ingegneria della Università degli Studi di Bologna
Bologna
13 Marzo 2008
LE STRUTTURE DI CALCESTRUZZO:
DALL’EUROCODICE 2 ALLE NORME TECNICHE
STATI LIMITE DI ESERCIZIO
Franco MOLA, Sara CATTANEO, Francesca GIUSSANI
Politecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria Strutturale
STATI LIMITE DI ESERCIZIO
Il documento EC2 al punto 7.1 prende in considerazione i seguenti
stati limite di esercizio
• LIMITAZIONE DELLE TENSIONI
• CONTROLLO DELLA FESSURAZIONE
• CONTROLLO DEGLI SPOSTAMENTI
Lo stato limite di vibrazione, pur riconosciutane l’importanza per
alcune particolari strutture, non è oggetto di trattazione nel documento
Lo stato limite di tensione in esercizio

Le ragioni delle limitazioni delle tensioni

Calcestruzzo
Impedire fessure longitudinali negli elementi compressi in c.a.
 Impedire microfessure e deformazioni viscose non lineari
 Garantire la durabilità strutturale


Acciaio
Impedire sforzi anelastici in esercizio
 Impedire fessure troppo ampie
 Garantire la durabilità strutturale

Lo stato limite di tensione in esercizio

Limitazione degli sforzi per il calcestruzzo
σ c  k1f ck
XD, XF, XS
k1  0.6

σ c  k 2f ck per impedire viscosità non lineare
k 2  0.45
Viscosità lineare
  t,t 0  =0  t 0  βc  t-t 0 

Viscosità non lineare
 0, k  t 0  = 0  t 0  exp α σ  k σ -0.4  
 0, k  t 0  = 0  t 0 
kσ =
σc
f cm  t 0 
α =1.5
0.4  k σ  0.6
k σ  0.4
Lo stato limite di tensione in esercizio

Limitazioni tensionali per l’acciaio
σ s  k 3f yk
k 3  0 .8
Combinazione di carico caratteristica
σ s  k 4 f yk
k4  1
Deformazioni imposte
σ sp  k 5f pk
k 5  0.75
Acciaio da precompressione
Lo stato limite di tensione in esercizio per
sezioni in c.a. in assenza di fessurazione
ct ≤ fct,eff


f ct,eff  max 1.6  h 103  f ctm ; f ctm


f ctm =0.30f ck2 3
 f ck  60
MPa 
  f ck +8 
f ctm =2.12 ln 1+

10


 f ck >60
MPa 
Gli sforzi devono valutarsi nello stadio I non fessurato, assumendo come
fattore di omogeneizzazione e l’espressione
αe 
2 105
f  8
22 103  ck

α e  15

10
0.3
Per azioni istantanee
Per azioni permanenti
Equazioni generali per sezioni in c.a.

Asse neutro interno alla sezione: 0 ≤ yn ≤h
O
σ c =E c ε c
σ c =0
ε c <0
 ε c >0
x
z'
y
x'
yG
y
3
yn
h
G
σs  Esε s
M
ε c  ε s  ψ 3 y  y n 
z
y'
N
 yn

E c ψ3    y-y n  b  y  dy+α e   yi -y n  A si  =N
 0
i

 yn

2
2
E c ψ3    y-y n  b  y  dy+α e   yi -y n  A si  =M+N  y G -y n 
 0
i

I*yn S*yn =e+yG -yn
e=M/N
σcmin = M+N  yG -y n  ×  -yn  I*yn
Ec ψ3S*yn =N
Ec ψ3 I*yn =M+N  yG -yn 
ψ3 = M+N  yG -yn  E c I*yn


max
 e M  N  yG  yn   yimax  yn I*yn
s
Equazioni generali per sezioni in c.a.
Asse neutro esterno alla sezione: yn >h

εc =ψ3  y-yn 
σc =Ec ψ3  y-yn 
O
x
0  y  h 
z'
x'
σ s  E s ψ 3 y  y n 
yn
M
 h

S =    y-y n  b  y  dy+αe   yi -yn  Asi 
 0
i

I
y
3
G
y'
z
*
yn
*
yn
yG
y
N
 h

2
2
=    y-y n  b  y  dy+αe   yi -y n  Asi 
 0
i

e y n  r
2
O

x
Asse neutro esterno alla sezione: yn≤0
y
z'
ec > 0 ; c = 0
G
Syn =   yi -y n  A si
σ
max
s
yG
3
G
M
y'
z
i
y
x'
σ s  E s ψ 3 y  y n 
I
= M+N  yG -yn    y
yn =   yi -y n  A si
max
i
2
N
i
-yn  I yn
yn
O
z'
e y n  r
2
y'
M
z
N
h
h
Specializzazione per sezioni rettangolari
x
d'
ί As
O
y
z'
G
yG=h/2
yn
x'
d
h
z
As
b
y'
2
2
3


b
y
3+α

A
d-y
+β
d'-y




I
n
e
s 
n
n
 =e+ h -y
=
n
2
S
-b y 2n 2 +αe  As  d-y n  +β  d'-y n 
0  yn  h
2
2
2
3


b
h
12
+bh
h
2
-y
+α

A
d-y
+β
d'-y






I
n
e
s 
n
n
 =e+ h -y
=
n
*
2
Syn
bh  h 2 -y n  +αe  As  d-y n  +β  d'-y n 
yn  h
*
yn
*
yn
*
yn
I yn
Syn
 d-yn  +β  d'-yn 
=
 d-yn  +β  d'-yn 
2
2
h
=e+ -y n
2
yn  0
Stato limite di fessurazione
Prescrizioni per l’armatura minima
As,min s  k c kfct,eff A ct


c
 1
k c  0.4 1 

h
k
f
*
1

h ct,eff 
 
k c  0.9
Fcr
 0.5
A ctfct,eff
1 r/r0smin
(1)
(b)
c 
NE,d
bh
h*=h per h<1.0 m,
h*=1.0 m per h≥1.0 m,
(c)
.5
(a)
x
.85
-1,025
0
.2
.525
.81
1
-.5
(2)
-1
k1=1.5 se NE,d è di compressione,
k1=2h*/3h se NE,d è di trazione,
0
rs,min
 kfct,eff / s
s=0.20; f =0.15; h/h*=1
Stato limite di fessurazione
Calcolo dell’ampiezza di fessurazione
NTC
wk= sr,maxe
e =esm- ecm
wm= esmsm
wk = 1.7 wm
s
s r,max 
Δε =
1
Es
k 3c  k1k 2 k 4
D
(a)
(c)
ρ p,eff
 k t f ct,eff

σs
σ
1+α
ρ

0.6
 s
 e p,eff  E
ρp,eff


s
rp,eff = As/Ac,eff
Ac,eff = min[2.5 b (h–d) ; b (h–yn)/3 ; bh/2]
k3=3.4 ; k1=0.8 ; k2=0.5 ; k4=0.425
(b)
2.5s,cr
s,cr
A
C
B
esmecm
Stato limite di fessurazione
Calcolo dell’ampiezza di fessurazione
σs,cr =k t  f ct,eff
λ
ρs
ρs 

1+α
e


λ


3 ;A0.5
λ= Ac,eff bh ; ξ=λyn min
h 2.51  δ ; 1  ξ λ=
c,eff bh
; ξ= yn h
s r,max =3.4c+0.17 λ ρs
f =k t λfct,eff
*
ct
Δε =
σs
Es
; f =αe k t fct,eff
Es
(c)
(b)
2.5s,cr
s,cr
σ
σ
 s  2.5 s,cr
Es Es
Es
A
s  2.5s,cr
Δε =
σs  σs,cr 
1
Es  σs 
D
(a)
f ct* *
σs,cr = +f 0ct
ρs
*
0ct
σs,cr
s
As
Ac
s
 σs,cr 
σs
1  0.6
Es
 σs 
 e  0.6
rs 
C
B
esmecm
Stato limite di fessurazione
σs,cr
σ
σ
 s  2.5 s,cr
Es Es
Es
s  2.5s,cr
σ
Δ ε =0.6 s
Es
σ  σ 
Δ ε = s 1- s,cr 
Es  σs 
σs 
s  σ scr 


w k  β 1.5c  0.04 1 
Es 
ρ s 
σs 
β  1.66
σ scr 
ρs
G
I
C
s,cr
A
(EC2, ENV1992)
(EC2, EN1992 : 2004E)
k 4  0.425
H
F
Ferry Borges 
2
 σ scr  
σs 
λs 
 1  β

w k  β  50  k1k 2 k 4

Es 
ρs 
 σ s  

β  1.7
β 1
σ scr  0.15f fctm  k t α e f ctm k t  0.6
D
2.5 s,cr
0.75
ρs
σs 
λs  σ scr 

1 

w k   3.4c  k1k 2 k 4
Es 
ρ s 
σs 
s
B
esm e cm
Effetto di irrigidimento
del calcestruzzo
FI(F.B.)
GI(EC2 2004)
HI(EC2 ENV)
Stato limite di fessurazione
s
D
wk  β
σs 
  σ 
1.5c  0.04 s 1  scr 
Es 
ρ s 
σs 
β  1.66
σ scr
0.75

ρs
H
F
G
I
2.5  s,cr
2
 σ scr  
σs 
λs 
 1  β

w k  β  50  k1k 2 k 4

Es 
ρs 
 σ s  

β  1.7
β 1
C
 s,cr
B
A
e sm e
wk 
σs 
λ  σ 
 3.4c  k1k 2 k 4 s 1  scr 
Es 
ρ s 
σs 
σ scr  0.15f fctm  k t α e f ctm k t  0.6
ρs
0.6x2.5  s,cr
k 4  0.425
cm
Formule di progetto

Procedimento generale
1
- ξ 2 -αe  ρs 1+β  ξ+α e  ρs δ+β  δ' =0
2
ξ2
ρs =
2αe - 1+β  ξ+δ+βδ'
w 0k
λ
p=
+ +α e
3.4  c+0.17 φ  λ ρs ρs
M
M
ν= 0 =
M cr k t f ctm b  h 2 6
σs =
αe ν  δ-ξ  f ctm k t
2
2
2 3αe  ρs  δ-ξ  +β  δ'-ξ   +ξ 3 




e     x  2x3p
p= σs k t fctm
   x
2
    ' x 
2
3x2p

   ' 1  x
w 0k = Es w k k t f ctm
α e ν  δ-ξ 


2α e ×λ
w 0k  ξ 2
=
+ 2 δ+βδ'- 1+β  ξ  +α e  
ξ
 δ-ξ 2 +β  δ'-ξ 2   3.4  c  ξ 2 +0.34α e  φ  λ δ+βδ'- 1+β  ξ 





3ξ 2
2ξ 3
×
+

2
2
δ+βδ'1+β
ξ



 δ-ξ  +β  δ'-ξ  
Formule di progetto

Procedimento approssimato
σs
wk =
Es

 λ  
λ  α e  ρ s 
1+
 3.4c+0.17
 1

ρ
ρ

p
λ


s 
s

h 0  0.9d;
ν*=
ξ  0.3δ.
ν
ν
=
δλ
1.18
110.185ν
ν
λ
u1 =
1  0.3δ
3
c

α 
ν

p 2 +5  ν* 3.4u1 * -0.20 e  p-ν* 17α e  u1 +5u 2  =0
ν
ν



νν
*
ν


 17ce  5w 0k  17cp
ρ s p  0.20ν
p 2  pα e ν
*
ν

u2 =
σs As  0.9d=M
ρs =
0.185 
pδ
w 0k

noti  , w k , 
σ s ,ρ s
noti  , w k , p
, ρ s
Esempio 1
Calcolo dell’armatura minima
1) M=Mcr ; N=0
250
2500
O
x
yG
G
1250
1800
2) N=-6000 kN ; eN=741 mm
a
P
250
300
fck = 45 MPa; fct,eff = 3.8 MPa;
s = 200 MPa; k =0.65 (hw>1m)
eN
300
900
300
1500
691
y
(5+5)12
1)
a  691 mm
(5+5)12
(14+14)14
231
2)
(2+2)10
(2+2)10
(12+12)14
 N

A 
M cr     1  e N
  fct ,eff  Wi
A
W

i 


M  N  eN
r2
yn  yG 
e  cr
e
N
yn  1269 mm  a  231 mm
Esempio 2
Controllo della fessurazione,

x
Progetto con noti Φ, ν , applicazione del
wk
procedimento approssimato
wk  0.1 mm
d
z'
O
y
x'
G
h
As
; wk  0.2 mm ; wk  0.3 mm
b
b = 100 cm ; h = 50 cm ; c = 5 cm f = 26 mm ;
fck = 33 MPa ; kt = 0.6 αe = 15 ; Mk = 600 kNm
Mk
z
y'
fctm = 0.3·332/3 = 3.086 MPa ;  = (50 – 6.3)/50 = 0.874
Mcr = 0.6 · 3.086 ·(100 · 502 / 6) · 103 · 10-6 = 77.15 kNm
=600/77.15=7.77 ; *=7.77/(1–1.18/7.77)=9.16 ; u1=50/26=1.92
w ki  w
max
k
 k wi
k wi  i 3
i  1, 2, 3
w 0ki
2 105  0.3

 k wi  32404  k wi
0.6  3.086
u2 
32404
 k wi  1246  k wi
26
p= σs k t fctm
p2  235.93 p  4485  57067 k w  0
4
7,33
100
C
1326 (As=69.03 cm2)
4
4
4,85
100
B
4
50
2
2126 (As=111.51 cm )
2
5
1026 (As=53.10 cm )
5
50
ρs p  0.20ν
50
α 
ν

p 2 +5  ν* 3.4u1 * -0.20 e  p-ν* 17α e  u1 +5u 2  =0
ν
ν

5

4
2,66
100
A
4
100yn2 2  15  53.10   43.70  yn   0
Stato limite di fessurazione
Verifiche secondo la formulazione generale
αe ν  δ-ξ  f ctm k t
2
2
2 3αe  ρs  δ-ξ  +β  δ'-ξ   +ξ 3 




w 0k  p  λ ρs  αe 3.4c  0.17λ ρs 
1026 (As=53.10 cm )
2
7,33
100
B
5
50
C
1326 (As=69.03 cm2)
4
4
4,85
100
w 0k = Es w k k t f ctm
A
4
50
p= σs k t fctm
4
σs =
2126 (As=111.51 cm )
2
5
1
- ξ 2 -αe  ρs 1+β  ξ+α e  ρs δ+β  δ' =0
2
50

5

Esempio 2
4
2,66
100
4
0.811
105
As(cm2)
A
75
B
0.836
0.850
45
h0/d
C
Wk (mm)
0
0.9
0.1
0.2
0.3
scr
135
225
315
s MPa
wk (mm)
As (mm2)
ss (MPa)
h0/d
wk (mm)
As (mm2)
ss (MPa)
h0/d
0.1
11151
140
0.9
0.120
11151
160
0.811
0.2
6903
221
0.9
0.213
6903
238
0.836
0.3
5310
190
0.9
0.306
5310
304
0.850
Esempio 2
Determinazione del massimo diametro
17c( p   e  * )  5 * w ok 

*

 e  p  p2
max
Φ (mm)
wk=0.1
wk=0.2
wk=0.3
30
A
20
10
Φ=26 mm
137≤ s ≤156
Φ=26 mm
A
Φ=26 mm
B
C
96 ≤As ≤109
360
B
0
215 ≤ s ≤260
57 ≤As ≤69
0
C
65
280 ≤ s ≤360
41 ≤ As ≤52
As (cm2)
130
s (MPa)
120
140
221
240
290
360
Stato limite di deformazione

Diagramma Momenti-Curvature
1 1
1
 1    
r rI
rII
M
  1   s,r s 
  1  Mcr M
M/EII
(a)
2
(bII)
(bI)
M/EIII
2
=1
=0
1 M

rI EcII
1 M

rII EcIII
1
 M EI I 1  c  1ς 
r
Mcr
I
c I
I II
A
B
B'
1/r
1/rcr,I 1/rcr
1/rcr,II
Stato limite di deformazione

Calcolo degli abbassamenti
M(z)
Mcr(1)
z2
z1
z1
z
z3
z2
Mcr(2)
1 M
1 c  1  

r EII 
z4
z
1
fM(1)(z)
l
1 M
1  c1  1 1 

r1 EII,1 
0  z  z1
1
M

r5 EII,5
z 3  z  z2
1
M

r2 EII,2
z1  z  z1
1
M

r6 EII,6
z2  z  z 4
1
M

r3 EII,3
z1  z  z 2
1
M
1 c 7  1  7 

r7 EII,7 
z4  z 
1
M
1 c 4  1  4 

r4 EII,4 
z 2  z  z3
with II,1  II,2
; II,3  II,4  II,5
; II,6  II,7
Stato limite di deformazione

Calcolo degli abbassamenti
M(z)
Mcr(1)
z2
z1
7
v  z     fM   z, z 
1
i1
i
z1
z
z3
z2
Mcr(2)
1
dz
ri  z 
z
1
fM(1)(z)
l
7
v  z     fM  z,z 
i1
1
i
M z
EII,i
dz 

j1,4,7
fM  z,z 
1
j
Mz
EII,j
2


Mcr,j
c

1
1


 j   M2  dz


7
vI  z     fM   z,z 
i1
v  z   vI  z   v  z 
v  z  
1
i

j1,4,7
M z
EII,i
fM  z,z 
1
j
dz
M z
EII,j
2


Mcr,j
c

1
1



 j   M2  dz


z4
Esempio 3
fck=30 MPa ; q=4 kN/m ;
l=10 m ; As=31.64 cm2 (724) ; e=15
q
65
l
70
A
50
A   70  50  15  31.64  3974.6 cm2
70  50  35  15  31.64  65
yG 
 38.58 cm
3974.6
50  703
2

II 
 50  70  3.582  15  31.64   65  35.58   1805303 cm 4
12
1805303
Wi 
 57457 cm3
70  38.58
fctm  0.30  302 3  2.9 MPa
Mcr  fctm Wi  2.9  57457 103 106  166.6 kNm
Mmax  40 102 8  500 kNm
s
Esempio 3
yn2
50   15  31  65  yn   0  yn  9.492  9.4922  1234  26.90 cm
2
26.903
2

III  50 
 15  31.64   65  26.5  1013352 cm4
3
c=II /III =1.78
1 M

r EcII
, M  Mcr
2

1 M 
 M cr 

 c  1 , M  M cr
1  β
r E c I I 
 M 

 
   v  2 
v    vI    1 

vI  2 
2
 2  
1
1


2
2
M max l  1 l
M cr 2 1 l
l
1
g x  dx 
v   2c  1
fM x ,
g x dx   2   f M x ,
*

2
2
Ec I I  x1
M max x1

2


2




Esempio 3

Stato limite di deformazione

M/M
cr
Carico uniformemente distribuito
g(ξ)=4(ξ-
ξ2) ;
f
(1)
M(ξ,
)
(c-1)(1-
l/2)= ξ/2
(1/r)
cr
=M
cr
/E c I I
1
 (c-1)
Mmax 2  21

 
2
3
v    c  1
4
x

x
d
x


EcI I 1
42
2


1
2
1

dx 

1 x 
(1/r)/(1/r)
Mmax 2  5

4 3

 
4


v    c  1

x

x

ln
2
1

x


1
1
1 

3
EcI I  48
42 
2



4 x1  x  Mcr Mmax  1 
2
1
1
  1
x1  1

2 
 
1
5 Mmax 2
vI 
48 EcI I
q
x1
x=0
Mcr
1–x1
Mmax
Mcr
x=1
c
cr
Esempio 3

Stato limite di deformazione

M/M
cr
Carico concentrato
(c-1)(1-
)
(1/r)
g(ξ)= ξ/2; f(1)M(ξ,
l/2)= ξ/2
cr
=M
cr
/E c I I
1
 (c-1)
(1/r)/(1/r)
2
  5 Mmax
v  

 2  48 EcI I
  M
v    max *
 2  12EcII
2
ξ1 

 48  4 4 3  12 
 


1

c

1
1

x

x

ln
2
1

x





1
1
1 

5 
3  5 2 


 
1



3
3
1

c

1
1

8
x

1

2
x





1
1 

2



1
2μ
Q
x1
x=0
Mcr
1–x1
Mmax
Mcr
x=1
c
cr
Esempio 3

Stato limite di deformazione
x1q
x1Q
1–x1q
1–x1Q
Mmax
Mcr
0
Mcr
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
0
1.8
0.02
1.6
Δ
0.06
2
vx[EII/MmaxL ]
0.08
1.65
v/vI (q)
1.56
v/vI (Q)
1.2
1
0.8
0.1
ξ1(Q)
1 (Q)
0.6
2
vIx[EII/MmaxL ]
0.12
0.2
0.16
0
2
vx[EII/MmaxL ]
1
0.167
0.091
0
2
vx[EII/MmaxL ]
ξ1(q)
(q)
0.4
0.14
0.2
c=1.78
v/vI
1.4
0.04
0.18
ξ1, v/vI
1,
1
2
3
4
5
6
7 μ
8
Conclusioni

I modelli proposti da EC2 ENV 1992-1-1 E2004 per le analisi
allo stato limite di esercizio introducono i seguenti concetti


La formulazione di srm che fornisce direttamente il valore caratteristico di
apertura della fessura
L’adozione del contributo irrigidente del calcestruzzo indipendente dalla
tensione dell’acciaio

Le formule proposte da EC2 sono di semplice utilizzo per la
valutazione dell’apertura delle fessure. Non sono altrettanto
idonee per il progetto sotto prescritta ampiezza fessurativa

Possono tuttavia derivarsi formule approssimate, basate su una
prefissata posizione dell’asse neutro, che permettono una
progettazione agile e sufficientemente approssimata delle sezioni
in c.a. allo stato limite di fessurazione.