aicap
Associazione Italiana
Calcestruzzo Armato e Precompresso
Napoli
10 Maggio 2007
GUIDA ALL’USO
DELL’EUROCODICE 2
NELLA PROGETTAZIONE
STRUTTURALE
STATI LIMITE DI ESERCIZIO (SEZ.7)
Franco MOLA, Sara CATTANEO, Francesca GIUSSANI
Politecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria Strutturale
STATI LIMITE DI
ESERCIZIO
Il documento EC2 al punto 7.1 prende in considerazione i seguenti stati limite di esercizio
• Limitazione delle tensioni
• Controllo della fessurazione
• Controllo degli spostamenti
Lo stato limite di vibrazione, pur riconosciutane l’importanza per alcune particolari
strutture, non è oggetto di trattazione nel documento
Lo stato limite di tensione in
esercizio

Le ragioni delle limitazioni delle tensioni

Calcestruzzo




Impedire fessure longitudinali negli elementi compressi in c.a.
Impedire microfessure e deformazioni viscose non lineari
Garantire la durabilità strutturale
Acciaio



Impedire sforzi anelastici in esercizio
Impedire fessure troppo ampie
Garantire la durabilità strutturale
Lo stato limite di tensione in
esercizio

Limitazione degli sforzi per il calcestruzzo
σ c  k1f ck XD, XF, XS
σ c  k 2f ck per impedire viscosità
k1  0.6

non lineare
k 2  0.45
Viscosità lineare
  t,t 0  =0  t 0  βc  t-t 0 

Viscosità non lineare
 0, k  t 0  = 0  t 0  exp α σ  k σ -0.4  
 0, k  t 0  = 0  t 0 
kσ =
σc
f cm  t 0 
α =1.5
0.4  k σ  0.6
k σ  0.4
Lo stato limite di tensione in
esercizio

Limitazioni tensionali per l’acciaio
σ s  k 3f yk
k 3  0 .8
Combinazione di carico caratteristica
σ s  k 4 f yk
k4  1
Deformazioni imposte
σ sp  k 5f pk
k 5  0.75
Acciaio da precompressione
Lo stato limite di tensione in esercizio per sezioni in c.a. in
assenza di fessurazione
ct ≤ fct,eff


f ct,eff  max 1.6  h 103  f ctm ; f ctm


f ctm =0.30f ck2 3
 f ck  60
MPa 
  f ck +8 
f ctm =2.12 ln 1+

10


 f ck >60
MPa 
Gli sforzi devono valutarsi nello stadio I non fessurato, assumendo come
fattore di omogeneizzazione e l’espressione
2 105
αe 
f  8 
22 10  ck
10

α e  15
Per azioni istantanee
0.3
3
Per azioni permanenti
Equazioni generali per sezioni in c.a.
σ c =E c ε c
σ c =0
ε c <0
 ε c >0
σs  Esε s
ε c  ε s  ψ 3 y  y n 

O
x
z'
y
yG
x'
y
3
yn
h
G
M
y'
z
Asse neutro interno alla sezione: 0 ≤ yn ≤h
N
 yn

E c ψ3    y-y n  b  y  dy+α e   yi -y n  A si  =N
 0
i

 yn

2
2
E c ψ3    y-y n  b  y  dy+α e   yi -y n  A si  =M+N  y G -y n 
 0
i

I*yn S*yn =e+yG -yn
Ec ψ3S*yn =N
Ec ψ3 I*yn =M+N  yG -yn 
e=M/N
ψ3 = M+N  yG -yn  E c I*yn
σcmin = M+N  yG -y n  ×  -yn  I*yn


max
 e M  N  yG  yn   yimax  yn I*yn
s
Equazioni generali per sezioni in c.a.
Asse neutro esterno alla sezione: yn >h
σ s  E s ψ 3 y  y n 
εc =ψ3  y-yn 
σc =Ec ψ3  y-yn 
0  y  h 

O
 h

*
Syn =    y-y n  b  y  dy+αe   yi -yn  Asi 
 0
i

x
z'
x'


2
2
I *yn =    y-y n  b  y  dy+αe   yi -y n  Asi 
 0
i

h
e y n  r

G
M
z
2
N
Asse neutro esterno alla sezione: yn≤0
ec > 0 ; c = 0
σ s  E s ψ 3 y  y n 
Syn =   yi -y n  A si
I
i
(yn≤0)
yn =   yi -y n  A si
2
i
σsmax = M+N  yG -yn    yimax -yn  I yn
y
e y n  r
2
y'
yG
3
y
yn
h
Specializzazione per sezioni rettangolari
x
d'
ί As
O
y
z'
G
yG=h/2
yn
x'
d
h
z
As
b
y'
2
2
3


b
y
3+α

A
d-y
+β
d'-y




I
n
e
s 
n
n
 =e+ h -y
=
n
2
S
-b y 2n 2 +αe  As  d-y n  +β  d'-y n 
0  yn  h
2
2
2
3


b
h
12
+bh
h
2
-y
+α

A
d-y
+β
d'-y






I
n
e
s 
n
n
 =e+ h -y
=
n
*
2
Syn
bh  h 2 -y n  +αe  As  d-y n  +β  d'-y n 
yn  h
*
yn
*
yn
*
yn
I yn
Syn
 d-yn  +β  d'-yn 
2
=
 d-yn  +β  d'-yn 
2
h
=e+ -y n
2
yn  0
Stato limite di fessurazione
Prescrizioni per l’armatura minima
As,min s  k c kfct,eff A ct



 1
c
k c  0.4 1 

h
k
f
1

h * ct,eff 
 
k c  0.9
1 r/r0smin
Fcr
 0.5
A ctfct ,eff
c 
(1)
(b)
(c)
NE,d
bh
h*=h per h<1.0 m,
h*=1.0 m per h≥1.0 m,
k1=1.5 se NE,d è di compressione,
k1=2h*/3h se NE,d è di trazione,
.5
(a)
x
.85
-1,025
0
.2
.525
.81
1
-.5
(2)
-1
0
rs,min
 kfct,eff / s
s=0.20; f =0.15; h/h*=1
Stato limite di fessurazione
Calcolo dell’ampiezza di fessurazione
wk= sr,maxe ;
s r,max 
e =esm- ecm
k 3c  k1k 2 k 4
Δε =
ρ p,eff
1
Es
 k t f ct,eff

σs
σ
1+α
ρ

0.6
 s
 e p,eff  E
ρp,eff


s
rp,eff = As/Ac,eff ; Ac,eff = min[2.5 b (h–d) ; b (h–yn)/3 ; bh/2];
k3=3.4; k1=0.8; k2=0.5; k4=0.425
λ= Ac,eff bh ; λ ξ=minyn2.5h1  δ ; 1  ξ  3 ;
ξ= yn h
σs,cr =k t  f ct,eff
f =k t λfct,eff
*
ct
σ
Δε = s
Es
σs,cr
Es

λ
ρs
ρs 

1+αe λ 


; f =αe k t fct,eff
*
0ct
 e  0.6
s
D
(c)
(b)
f ct* *
σs,cr = +f 0ct
ρs
2.5s,cr
A
Es
As
Ac
(a)
s,cr
s
rs 
s r,max =3.4c+0.17 λ ρs
 σs,cr 
σs
1
0.6


Es
 σs 
σ
σs
 2.5 s,cr
Es
Es
0.5
s  2.5s,cr
Δε =
σs
Es
 σs,cr 
1
 σs 
C
B
esmecm
Stato limite di fessurazione
σs,cr
Es

σ
σs
 2.5 s,cr
Es
Es
s  2.5s,cr
Δ ε =0.6
σs
Es
σ
Δε = s
Es
 σs,cr 
1
σ
s 

σ 
  σ 
w k  β s 1.5c  0.04 s 1  scr 
Es 
ρ s 
σs 
β  1.66
σ scr
s
Ferry Borges 
σ scr  0.15f fctm  k t α e f ctm k t  0.6
ρs
s,cr
A
2
 σ scr  
σs 
λs 
 1  β

w k  β  50  k1k 2 k 4
Es 
ρ s 
σ
 s  

β  1.7
β 1
(EC2, ENV1992)
(EC2, EN1992 : 2004E)
k 4  0.425
H
F
G
2.5s,cr
0.75

ρs
σs 
λs  σ scr 

1 

w k   3.4c  k1k 2 k 4
Es 
ρ s 
σs 
D
I
C
B
esm ecm
Effetto di irrigidimento
del calcestruzzo
FI(F.B.)
GI(EC2 2004)
HI(EC2 ENV)
Formule di progetto

Metodo generale

λ 
λ
ρs  



E s w   3.4c  0.17  σs  kfct 1  α e  
ρs 
ρs 
λ 

Assegnati
*
yn
S
M, w, β
ρs , σs , ξ 
determinare
M
ρs , ξ   0
σs 
Wc
Wc α e δ  ξ 
Wc I*y n ρs , ξ 
M
yn
h
 pfct
ρs  g1 ξ 

σ s  pfct g 2 ρs , ξ   pfct g 2 ξ, g1 ξ  

Es w 2
λ

g1 ξ   3.4g1 ξ   0.17  pg2 ξ, g1 ξ   kα e g1 ξ   kλ
f ct c
c


Formule di progetto

Metodo approssimato
M
pf
σs 
 0.20 ct
0.9dAs
ρs
0.20
g2 
ρs
d
ξ  0.3  0.3δ
h
E s wρ
λ

 3.4ρs  0.17  0.20p  kλ   kα eρs 
f ct c
c

2
s
Formule di progetto
Metodo approssimato


l0.25;
p  1.5,3,4.5
0.08
0.04
/c0.25
trs/60
fct = 3 MPa;

p= 3
t  1,2,3
60
0.034ρ s 0.0425α 0.45  0.09ρ s  α  0.25,0.5,0.75
ρ s2
t  1,2,3
60
0.034ρ s 0.0212  (0.20p  0.15)  0.09ρ s
t
t
ρ s2
0.1
0
0
1
2
3
rs
4
-0.04
0.08
0.06
60p
p  1.5,3,4.5
ρs
200
0.04
60p/rs
trs/60
300
-0.08
0.02
100
0
0
1
2
rs
3
4
0
0
1
2
rs
3
4
5
Esempio
Controllo della fessurazione,

x
Progetto con noti Φ, ν w k , applicazione del
procedimento approssimato
wk  0.1 mm
;
wk  0.2 mm ;
d
z'
O
y
x'
G
h
As
b
wk  0.3 mm
z
Mk
b = 100 cm ; h = 50 cm ; c = 5 cm f = 26 mm ;
fck = 33 MPa ; kt = 0.6 αe = 15 ; Mk = 600 kNm
y'
fctm = 0.3·332/3 = 3.086 MPa ; d = (50 – 6.3)/50 = 0.874
Mcr = 0.6 · 3.086 ·(100 · 502 / 6) · 103 · 10-6 = 77.15 kNm
n=600/77.15=7.77 ; n*=7.77/(1–1.18/7.77)=9.16 ; u1=50/26=1.92
w ki  w
max
k
 k wi
k wi  i 3
i  1, 2, 3
2 105  0.3

 k wi  32404  k wi
0.6  3.086
w 0ki
u2 
32404
 k wi  1246  k wi
26
p= σs k t fctm
p2  235.93 p  4485  57067 k w  0
4
7,33
100
C
1326 (As=69.03 cm2)
4
4
4,85
100
B
4
50
2
2126 (As=111.51 cm )
2
5
1026 (As=53.10 cm )
5
50
ρs p  0.20ν
50
α 
ν

p 2 +5  ν* 3.4u1 * -0.20 e  p-ν* 17α e  u1 +5u 2  =0
ν
ν

5

4
2,66
100
A
4
100yn2 2  15  53.10   43.70  yn   0
Esempio
Stato limite di fessurazione
Verifiche secondo la formulazione generale
αe ν  δ-ξ  f ctm k t
2
2
2 3αe  ρs  δ-ξ  +β  δ'-ξ   +ξ 3 




w 0k  p  λ ρs  αe 3.4c  0.17λ ρs 
1026 (As=53.10 cm )
2
7,33
100
B
5
50
C
1326 (As=69.03 cm2)
4
4
4,85
100
w 0k = Es w k k t f ctm
A
4
50
p= σs k t fctm
4
σs =
2126 (As=111.51 cm )
2
5
1
- ξ 2 -αe  ρs 1+β  ξ+α e  ρs δ+β  δ' =0
2
50

5

4
2,66
100
4
0.811
105
As(cm2)
A
75
B
0.836
0.850
45
h0/d
C
Wk (mm)
0
0.9
0.1
0.2
0.3
scr
135
225
315
s MPa
wk (mm)
As (mm2)
ss (MPa)
h0/d
wk (mm)
As (mm2)
ss (MPa)
h0/d
0.1
11151
140
0.9
0.120
11151
160
0.811
0.2
6903
221
0.9
0.213
6903
238
0.836
0.3
5310
290
0.9
0.306
5310
304
0.850
Esempio
Determinazione del massimo diametro
max
17c( np   e n * )  5n * w ok 

*
n
 e n p  p2
Φ (mm)
wk=0.1
wk=0.2
wk=0.3
30
A
20
10
Φ=26 mm
137≤ s ≤156
Φ=26 mm
A
Φ=26 mm
B
C
96 ≤As ≤109
360
B
0
0
57 ≤As ≤69
C
65
280 ≤ s ≤360
41 ≤ As ≤52
As (cm2)
130
s (MPa)
215 ≤ s ≤260
120
140
221
240
290
360
Stato limite di deformazione

Relazioni generali
c = c1 (1 – z) + cII z
z  1  s,r s 
II
I
2
II
Stato limite di deformazione

Diagramma Momenti-Curvature
1 1
1
 1 z   z
r rI
rII
M
M/EII
z  1   s,r s 
2
z  1  Mcr M
(a)
(bII)
2
(bI)
M/EIII
=1
1 M

rI EcII
1 M

rII EcIII
1
 M EI I 1  c  1ς 
r
=0
Mcr
c
A
B
B'
II
I II
1/r
1/rcr,I 1/rcr
1/rcr,II
Stato limite di deformazione
Calcolo degli abbassamenti

M(z)
Mcr(1)
z2
z1 z1
1 M
1 c  1 z 

r EII 
1
fM(1)(z)
0  z  z1
1
M

r2 EII,2
z1  z  z1
1
M

r3 EII,3
z1  z  z 2
1
M
1 c 4  1 z 4 

r4 EII,4 
z 2  z  z3
7
1
i1
i
7
v  z     fM  z,z 
1
i1
i
7
vI  z     f
i1
1
M
i
 z,z 
1
M

r5 EII,5
z 3  z  z2
1
M

r6 EII,6
z2  z  z 4
1
M
1 c 7  1 z 7 

r7 EII,7 
z4  z 
with II,1  II,2
; II,3  II,4  II,5
; II,6  II,7
1
dz
ri  z 
M z
EII,i
M z
EII,i
z2
Mcr(2)
z
1 M
1  c1  1 z1 

r1 EII,1 
v  z     fM   z, z 
z z3
dz 

j1,4,7
dz
fM  z,z 
1
j
Mz
EII,j
v  z  
2


Mcr,j
c j  1 1  M2  dz



j1,4,7
fM  z,z 
1
j
M z
EII,j
v  z   vI  z   v  z 
2


Mcr,j
c

1
1



 j   M2  dz


l
z4
Esempio 3
fck=30 MPa ; q=4 kN/m ;
l=10 m ; As=31.64 cm2 (724) ; e=15
A   70  50  15  31.64  3974.6 cm2
70  50  35  15  31.64  65
yG 
 38.58 cm
3974.6
50  703
2

II 
 50  70  3.582  15  31.64   65  35.58   1805303 cm 4
12
1805303
Wi 
 57457 cm3
70  38.58
fctm  0.30  302 3  2.9 MPa
q
50
Mcr  fctm Wi  2.9  57457 103 106  166.6 kNm
Mmax  40 102 8  500 kNm
yn2
 15  31  65  yn   0  yn  9.492  9.4922  1234  26.90 cm
2
26.903
2

III  50 
 15  31.64   65  26.5  1013352 cm4
3
c=II /III =1.78
, M  Mcr
2

1 M 
 M cr 

 c  1 , M  M cr
1  β
r E c I I 
 M 

 
   v  2 
v    vI    1 

vI  2 
2
 2  
1
1

M max l 2  2 1 l
M cr2 2 1 l
l
1
g x  dx 
v   2c  1
fM x ,
g x dx   2   f M x ,
*

2
2
Ec I I  x1
M max x1

2




70
As
l
50 
1 M

r EcII
65


Esempio 3
M/Mcr

Stato limite di deformazione

Carico uniformemente distribuito
g(ξ)=4(ξ- ξ2) ; f(1)M(ξ,
(1/r) cr =M cr /EcII
1
l/2)= ξ/2
Mmax 2  21

 
v    c  1
4 x2  x3 dx  2
  z
EcI I  1
4
2

(c-1)(1- )

1
2
z1

(c-1)
(1/r)/(1/r)cr
dx 

1 x 
1
Mmax 2  5

4

 
v    c  1
 x14  x13  2 ln 2 1 x1  
 
3
EcI I  48
4
2



1
  1
x1  1

2 
 

Carico concentrato
4 x1  x  Mcr Mmax  1 
2
1
g(ξ)= ξ/2; f(1)M(ξ,
2
  5 Mmax
v  

 2  48 EcI I
  M
v    max *
 2  12EcII
2
ξ1 
1
2μ
5 Mmax 2
vI 
48 EcI I
c
q
x1
x=0
1–x1
Mcr
Mmax
Mcr
x=1
l/2)= ξ/2

 48  4 4 3  12 
 


1

c

1
1

x

x

ln
2
1

x





1
1
1 

5 
3  5 2 


 



3
3
1

c

1
1

8
x

1

2
x





1
1 

2



Q
x1
x=0
1–x1
Mcr Mmax Mcr
x=1
Esempio 3

2
Stato limite di deformazione
ξ1v/v
, v/vI
1,
1.8
c=1.78
I
1.65
1.6
v/vI (q)
x1q
1.56
1.4
v/vI (Q)
1.2
x1Q
1–x1Q
1–x1q
1
0.8
(Q)
ξ11(Q)
0.6
ξ11(q)
(q)
0.4
0.167
0.2
Mmax
Mcr
Mcr
0.091
0
0
1
2
3
4
5
6
7
μ
8
0
0.2
0.4
0.6
0
0.02
0.04
Δ vx[EII/MmaxL2]
0.06
0.08
0.1
2
vIx[EII/MmaxL ]
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
2
vx[EII/MmaxL ]
2
vx[EII/MmaxL ]
0.8
1
Conclusioni

I modelli proposti da EC2 ENV 1992-1-1 E2004 per le analisi allo stato limite
di esercizio introducono i seguenti concetti


La formulazione di srm che fornisce direttamente il valore caratteristico di
apertura della fessura
L’adozione del contributo irrigidente del calcestruzzo indipendente dalla
tensione dell’acciaio

Le formule proposte da EC2 sono di semplice utilizzo per la valutazione
dell’apertura delle fessure. Non sono altrettanto idonee per il progetto sotto
prescritta ampiezza fessurativa

Possono tuttavia derivarsi formule approssimate, basate su una prefissata
posizione dell’asse neutro, che permettono una progettazione agile e
sufficientemente approssimata delle sezioni in c.a. allo stato limite di
fessurazione.