SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1 Successioni Def. Una successione è una funzione reale (Y = R) a variabile naturale, ovvero X = N: a:N→R: n 7→ y = a(n) = an . Il dominio di una successione è del tipo {n ∈ N, n ≥ n0 } con n0 un opportuno numero naturale. 1 Es. an = , in questo caso n0 = 1. n n+1 , in questo caso n0 = 3. Es. an = n−2 n Es. an = (−1) , in questo caso n0 = 0. Es. Il fattoriale di n: an = n!, n ∈ N. 0! := 1, n! := n · (n − 1)! = n · (n − 1) · (n − 2) . . . 2 · 1 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 2 Confronto tra f (x) = 1/x e an = 1/n 2 1.5 f (x) = 1/x an = 1/n 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −10 −5 dom(f ) = {x ∈ R, x 6= 0}, c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 0 5 10 dom(a) = {n ∈ N, n ≥ 1} Successioni cap3b.pdf 3 Richiami Ricordiamo la definizione di Punto di accumulazione. Def. Sia A ⊆ R. Diciamo che x0 ∈ R è un punto di accumulazione per A se in ogni intorno di x0 cade almeno un punto di A diverso da x0 . Se A ≡ R, allora un qualsiasi punto x0 ∈ R (finito o infinito) è di accumulazione per R. ma se A = N, L’unico punto di accumulazione per N è +∞ Ricordiamo che una successione è una funzione il cui dominio è contenuto nell’insieme dei numeri naturali: a:N→R: a : n 7→ y = an In conclusione, l’unico limite che possiamo calcolare sulle successioni è per n→∞ c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 4 Classificazione di successioni Una successione può essere: CONVERGENTE se lim an = ℓ con ℓ ∈ R finito n→∞ DIVERGENTE POSITIVAMENTE se lim an = +∞ n→∞ DIVERGENTE NEGATIVAMENTE se lim an = −∞ n→∞ INDETERMINATA se 6 ∃ lim an . n→∞ Es. La successione n an = (−1) = −1 n dispari 1 n pari è indeterminata. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 5 Successioni convergenti Def. La successione a : n 7→ an , definita per n ≥ n0 , tende al limite ℓ ∈ R (o converge al limite ℓ ∈ R) e si scrive lim an = ℓ n→∞ se ∀Iε (ℓ), ∃Inε (+∞) : ∀n ≥ n0 , n ∈ Inε (+∞) ⇒ an ∈ Iε (ℓ) o equivalentemente se ∀ε > 0 (ε reale), ∃nε ∈ N : ∀n ≥ n0 , n > nε ⇒ |an − ℓ| < ε ε ε 1 an 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 4 6 8 nε n 10 12 14 16 18 Limiti di successioni 20 cap3b.pdf 6 Def. Una successione convergente a ℓ = 0 si dice infinitesima. Es. an = 1 . n lim n→∞ 1 =0 n Questa è una succ. infinitesima Es. an = n . Si ha n+1 n =1 n+1 Questa è una succ. convergente lim n→∞ Es. an = 3n2 + 1 . 5n2 + 2n 3n2 + 1 3 = 2 n→∞ 5n + 2n 5 Questa è una succ. convergente lim c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 7 Successioni divergenti Def. La successione a : n 7→ an tende a +∞ (o diverge a +∞) e si scrive lim an = +∞, n→∞ se ∀A ∈ R+ , ∃nA ∈ N : ∀n ≥ n0 , n > nA ⇒ an > A oppure (secondo la terminologia degli intorni) se: ∀IA (+∞), ∃InA (+∞) : ∀n ≥ n0 , n ∈ InA (+∞) ⇒ an ∈ IA (+∞) 140 120 an 100 80 A 60 40 20 0 1 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 2 3 4 n 5 6 7 nA 8 9 Limiti di successioni 10 cap3b.pdf 8 In maniera analoga si definisce una successione divergente a −∞. Def. La successione a : n 7→ an tende a −∞ (o diverge a −∞) e si scrive lim an = −∞, n→∞ se ∀A ∈ R+ , ∃nA ∈ N : ∀n ≥ n0 , n > nA ⇒ an < −A oppure (secondo la terminologia degli intorni) ∀IA (−∞), ∃InA (+∞) : ∀n ≥ n0 , n ∈ InA (+∞) ⇒ an ∈ IA (−∞) Es. an = − log(n). lim (− log(n)) = −∞, n→∞ Es. an = −n. lim (−n) = −∞, n→∞ c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 9 TEOREMI SUI LIMITI DI SUCCESSIONE Valgono tutti i teoremi visti per i limiti di funzione, ovviamente adattati alle successioni. Teorema di unicità del limite. Una successione non può avere più di un limite. Teorema di permanenza del segno. Esista lim an = ℓ ∈ R. Se n→∞ ℓ > 0 allora esiste n ∈ N tale che an > 0 per ogni n ≥ n. Corollario al teorema di permanenza del segno. Esista lim an = ℓ ∈ R. Se esiste n ∈ N tale che an ≥ 0 per ogni n ≥ n, n→∞ allora ℓ ≥ 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 10 TEOREMI SUI LIMITI DI SUCCESSIONE Primo teorema del confronto. Siano an e bn due successioni ed esistano lim an = ℓ1 ∈ R e lim bn = ℓ2 ∈ R. Se esiste n ∈ N tale n→∞ n→∞ che an ≤ bn per ogni n ≥ n, allora ℓ1 ≤ ℓ2 . Secondo teorema del confronto. Siano an , bn e cn tre successioni ed esistano lim an = lim cn = ℓ ∈ R. Se esiste n ∈ N tale che n→∞ n→∞ an ≤ bn ≤ cn per ogni n ≥ n, allora esiste lim bn e lim bn = ℓ. n→∞ n→∞ Teorema dell’algebra dei limiti. Quando tutti i limiti coinvolti esistono e le espressioni a destra non sono forme indeterminate si ha: lim (an + bn ) = lim an + lim bn n→∞ n→∞ n→∞ lim (an − bn ) = lim an − lim bn n→∞ n→∞ n→∞ lim (an bn ) = lim an lim bn n→∞ n→∞ n→∞ lim an an n→∞ = lim n→∞ bn lim bn c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 n→∞ Limiti di successioni cap3b.pdf 11 Lemma di commutazione (È il teorema di sostituzione applicato alle successioni) Sia [a, b] un intervallo in R, sia xn : N → [a, b] una successione di valori in [a, b], sia f : [a, b] → R una funzione. Se esiste lim xn = x ∗ ed f è continua in x ∗ n→∞ allora lim f (xn ) = f ( lim xn ) = f (x ∗ ) n→∞ n→∞ Osservazione Quando f è continua, f ed il limite commutano Esempio lim sin(1/n2 ) = sin( lim 1/n2 ) = sin(0) = 0 n→∞ c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 n→∞ Limiti di successioni cap3b.pdf 12 Alcune successioni fondamentali an = c con c numero reale costante. Converge a ℓ = c an = n diverge positivamente an = n2 diverge positivamente an = nα , ∀α ∈ R+ diverge positivamente an = nα , ∀α ∈ R− converge a ℓ = 0 an = n! diverge positivamente an = nn diverge positivamente an = (−n)n = (−1)n · nn è indeterminata successioni costruite a partire dalle funzioni elementari: cos(n), sin(n), tan(n) sono indeterminate, √ log(n), e n , n divergono positivamente. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 13 Successione superiormente limitata Def. Una successione an si dice superiormente limitata se l’insieme immagine im(an ) = {an , n ≥ n0 } è un sottoinsieme di R superiormente limitato. Es. 100 A = im(an ) n − n2 , n ∈ N an 0 −100 −200 A = {0, 0, −2, −6, −12, ...} −300 sup(A) = max(A) = 0. 0 5 10 n 15 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 = 20 Limiti di successioni cap3b.pdf 14 Successione inferiormente limitata Def. Una successione an si dice inferiormente limitata se l’insieme immagine im(an ) = {an , n ≥ n0 } è un sottoinsieme di R inferiormente limitato. Es. 2.5 A = im(an ) = {log (n), n ∈ N+ } an 2 A = {0, 0.693.., 1.098.., ...} 1.5 1 inf(A) = min(A) = 0 0.5 0 0 5 10 n 15 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 20 Limiti di successioni cap3b.pdf 15 Una successione si dice limitata se è sia superiormente che inferiormente limitata. 7n − 2 . Esempio. Sia an = n+2 7 6 5 A = im(an ) = an 4 3 7n − 2 , n∈N n+2 inf(A) = min(A) = −1, sup A = 7. 2 1 0 −1 0 10 20 30 n 40 50 60 La successione è superiormente ed inferiormente limitata, quindi è limitata. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 16 Limitatezza e convergenza Teorema. Sia an una successione convergente. Allora an è limitata. Dim. Sia {an }n≥n0 e sia ℓ = lim an . Per la definizione di limite: n→∞ ∀ε > 0 ∃nε : ∀n ≥ n0 , n > nε ⇒ |an − ℓ| < ε se prendo ε = 1, esiste nε tale che ∀n > nε si ha |an − ℓ| < 1. Per la disuguaglianza triangolare si ha: |an | = |an − ℓ + ℓ| ≤ |an − ℓ| + |ℓ| < 1 + |ℓ|, ∀n > nε . Si pone M = max{|an0 |, |an0 +1 |, . . . , |anε |, 1 + |ℓ|}. Per come ho definito M si ha |an | ≤ M per ogni valore di n, sia n ≤ nε , sia n > nε . Quindi la successione è limitata. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 17 N.B. Il viceversa del precedente teorema non è vero, ovvero una successione limitata non è detto che sia anche convergente. Esempio. an = (−1)n è limitata ma non è convergente. Esempio. an = sin(n), bn = cos(n) sono limitate ma non convergenti. Esempio. an = arctan(n) è limitata e convergente. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 18 Corollario al secondo teorema del confronto Sia an una successione limitata e bn una successione infinitesima. Allora la successione prodotto cn = an bn è infinitesima. sin(n) Es. lim = 0 perchè an = sin(n) è limitata, bn = n→∞ n infinitesima. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni 1 n è cap3b.pdf 19 Successioni monotòne Def. Una successione si dice monotona crescente se an+1 ≥ an ∀n ≥ n0 , si dice monotona decrescente se an+1 ≤ an Es. an = ∀n ≥ n0 , n , an = n! sono monotone crescenti per n ≥ n0 = 0. n+1 10 1.2 6 an an 1 0.8 10 4 0.6 10 0.4 2 0.2 0 0 1 2 3 4 5 n 6 7 8 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 9 10 10 0 0 1 2 3 Limiti di successioni 4 5 n 6 7 8 9 10 cap3b.pdf 20 1.4 2.4 1.2 2.2 1 2 0.8 1.8 an an 1 n+1 Es. an = , an = sono monotone decrescenti per n n n ≥ n0 = 1. 0.6 1.6 0.4 1.4 0.2 1.2 0 1 −0.2 0.8 1 2 3 4 an = 5 n 6 7 8 1 n 9 10 1 2 3 4 an = 5 n 6 7 8 9 10 n+1 n (−1)n Es. an = , an = cos(n) non sono monotone crescenti, né n monotone decrescenti. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 21 Limite di successioni monotone Teorema Sia {an } una successione monotona, allora essa è convergente o divergente (non può essere indeterminata). In particolare: se {an } è monotona crescente, ⇒ lim an = sup an n→∞ n≥n0 mentre: se {an } è monotona decrescente, ⇒ lim an = inf an c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 n→∞ Limiti di successioni n≥n0 cap3b.pdf 22 Osservazione: se {an } è monotona crescente ⇒ inf an = min an = an0 n≥n0 n≥n0 lim an sup an = n→∞ n≥n0 Es. an = n2 + 3 = {3, 4, 7, 12, ....}. inf an = min an = a0 = 3 n≥0 n≥0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 sup an = lim an = +∞. n≥0 n→∞ Limiti di successioni cap3b.pdf 23 Se {an } è monotona decrescente ⇒ 2 Es. an = = n n≥n0 n→∞ sup an = max an = an0 n≥n0 n≥n0 2 1 2, 1, , , .... . 3 2 inf an = lim an = 0 n≥1 inf an = lim an n→∞ c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 sup an = max an = a1 = 2. n≥1 n≥1 Limiti di successioni cap3b.pdf 24 Il numero e di Nepero. n n 1 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 10000 1+ 1 n an 2.00000000 2.69158803... 2.70481383... 2.70927591... 2.71151712... 2.71286512... 2.71376516... 2.71440871... 2.71489174... 2.71526765... 2.71556852... 2.71581477... 2.71814592... . 3 2.8 e an Sia an = 2.6 2.4 2.2 2 n101 121 141 161 181 E’ possibile dimostrare che an è strettamente crescente e che è superiormente limitata (dimostrazione lunga e con molti conti). Con queste ipotesi, il teorema precedente assicura che la successione an ha limite (ovvero an è convergente) e si ha 1 n 1 n = sup 1 + =e lim 1 + n→∞ n n n≥1 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 1 21 41 61 81 Limiti di successioni cap3b.pdf 25 Principio di induzione Sia n0 ∈ N e sia P(n) un predicato definito per ogni numero naturale n ≥ n0 . Supponiamo che siano verificate le seguenti due condizioni: 1.- P(n0 ) è vera 2.- ∀n ∈ N con n ≥ n0 , se P(n) è vera allora P(n + 1) è vera (P(n) ⇒ P(n + 1)). Allora P(n) è vera ∀n ∈ N con n ≥ n0 . n n+1 n0 Se ci si trova su un gradino di una scala (quello di indice n0 ), e si è capaci di salire un gradino alla volta (da n a n + 1, con n ≥ n0 ), allora si è in grado di salire una scala di infiniti gradini. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 26 La disuguaglianza di Bernoulli (1 + r )n ≥ 1 + rn ∀n ∈ N e r ∈ R+ . Dimostrazione. Applichiamo il principio di induzione con P(n) =′ (1 + r )n ≥ 1 + rn′ . Verifichiamo le ipotesi del Principio di induzione con n0 = 0. 1.- P(0) =′ (1 + r )0 = 1 ≥ 1 + r · 0 = 1′ (vera) 2.- Supponiamo P(n) =′ (1 + r )n ≥ 1 + rn′ vera, vediamo se è vera anche P(n + 1) =′ (1 + r )n+1 ≥ 1 + r (n + 1)′ . Abbiamo: (1 + r )n+1 = (1 + r ) · (1 + r )n ≥ (poiché P(n) è vera) (1 + r )(1 + rn) = 1 + r (n + 1) + r 2 n ≥ 1 + r (n + 1) ovvero, P(n + 1) =′ (1 + r )n+1 ≥ 1 + r (n + 1)′ . Siccome entrambe le ipotesi del Principio di induzione sono vere, allora segue immediatamente la tesi, cioè: (1 + r )n ≥ 1 + rn, ∀n ∈ N. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 27 La successione geometrica Sia q ∈ R. La successione geometrica è an = q n . Teorema 0 1 lim q n = n→∞ +∞ non esiste se se se se |q| < 1 (−1 < q < 1) q=1 q>1 q ≤ −1 Esempio n 2n (0.5)n (−2)n (−0.5)n 0 1 2 3 4 ... 10 11 1 2 4 8 16 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 +1 −2 +4 −8 +16 +1 −0.5 +0.25 −0.125 +0.0625 1024 2048 0.00097656 0.00048828 +1024 −2048 +0.00097656 −0.00048828 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 28 Dimostrazione di lim q n Caso 1 q > 1. Posso scrivere q = 1 + r con r > 0. Per la disuguaglianza di Bernoulli si ha: q n = (1 + r )n ≥ 1 + rn. Pongo: bn = q n e an = 1 + rn. Grazie all’algebra dei limiti ho che lim an = +∞. n→∞ bn è una succ. crescente, allora ammette limite per il teorema delle succ. monotone. Per il primo teorema del confronto si ha lim bn ≥ lim an = +∞ e quindi anche lim bn = +∞. n→∞ n→∞ n→∞ Caso 2 0 < q < 1. Posso scrivere q = 1/p con p > 1. Abbiamo: n 1 n lim q = lim = (per le propr. delle potenze) n→∞ n→∞ p 1 = lim n = (per l’algebra dei limiti) n→∞ p 1 = (per il Caso 1 di questo teorema) = lim p n n→∞ 1 = =0 +∞ c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 29 Caso 3 −1 < q < 0. Posso scrivere q = −|q|, ora 0 < |q| < 1. Quindi, dal Caso 2 di questo teorema lim |q|n = 0, ovvero |q|n è n→∞ infinitesima. Si ha: lim q n = lim (−|q|)n = (per le propr. delle potenze) n→∞ n→∞ = lim (−1)n |q|n = (succ. limitata per una infinitesima) n→∞ =0 Caso 4 q < −1. Posso scrivere q = −|q|, ora |q| > 1. Quindi, dal Caso 1 di questo teorema lim |q|n = +∞. Si ha: n→∞ lim q n→∞ n n = lim (−|q|) = n→∞ n (per le propr. delle potenze) n = lim (−1) |q| = (succ. limitata con segno alterno n→∞ per una divergente) =6 ∃ Caso 5 q = 1, q = 0 e q = −1. lim 1n = lim 1 = 1, n→∞ n→∞ lim 0n = lim 0 = 0, n→∞ c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 n→∞ Limiti di successioni lim (−1)n =6 ∃. n→∞ cap3b.pdf 30 Ordini di infinito Siano an e bn due successioni divergenti. Si ha an ha ordine di infinito > di quello di bn ∞ an lim = ℓ ∈ R, ℓ 6= 0 an e bn hanno lo stesso ordine di infinito n→∞ bn 0 an ha ordine di infinito < di quello di bn Esempi notevoli. - nn ha ordine di infinito maggiore di n!, infatti si nn = +∞, dimostra che lim n→∞ n! - nα ha ordine di infinito maggiore di nβ per ogni α > β > 0, si ha nα che lim β = lim nα−β = +∞ n→∞ n n→∞ - n ha ordine di infinito maggiore di log(n), si dimostra che che log(n) n = +∞, o equivalentemente lim =0 lim n→∞ n→∞ log(n) n (log (n))β - più in generale: lim = 0, ∀α, β ∈ R+ n→∞ nα c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 31 Confronto riassuntivo sugli ordini di infinito Le seguenti successioni sono ordinate, in ordine crescente, da sinistra a destra riguardo al loro ordine di infinito. (log n)β nα qn (β > 0) (α > 0) q>1 n! nn 6 10 log(n) n n 2 n! n n 4 an 10 2 10 0 10 10 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 1 10 n Limiti di successioni 2 10 cap3b.pdf 32 Dal teorema di sostituzione Vale la seguente identità: bn (an )bn = e log(an ) = e bn ·log an Notazione: exp(n) = e n 1 log n 2 2 n1/n = exp log n1/n = exp log n = exp n2 n2 Quindi 2 lim n1/n = lim exp n→∞ n→∞ c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 log n n2 = exp log n n→∞ n 2 lim Limiti di successioni = e0 = 1 cap3b.pdf 33 Esercizi √ lim n n = n→∞ lim n→∞ √ n 2n + 3n = 2 n1/n − 1 = n→∞ 2n 2 · log(n + 7) lim c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 34 Ordini di infinitesimo Siano an e bn due successioni infinitesime. Si ha an ha ordine di infinitesimo > di quello di bn 0 an lim = ℓ ∈ R, ℓ 6= 0 an e bn hanno lo stesso ordine di infinitesimo n→∞ bn ∞ an ha ordine di infinitesimo < di quello di bn Esempi notevoli. - an = (1/2)n ha ordine di infinitesimo maggiore di bn = 1/n, n (1/2)n = lim n = 0 infatti si ha che lim n→∞ 2 n→∞ 1/n - an = 1/n ha ordine di infinitesimo minore di bn = 1/n2 , infatti si an 1/n n2 = lim n = +∞, ha che lim = lim = lim n→∞ n→∞ bn n→∞ 1/n 2 n→∞ n - an = sin(1/n) ha ordine di infinitesimo uguale a bn = 1/n, infatti an sin(1/n) si ha che lim = lim = lim n sin(1/n) = 1 n→∞ bn n→∞ n→∞ 1/n c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Limiti di successioni cap3b.pdf 35 Sottosuccessioni Def. Data una successione {an }, chiamiamo sottosuccessione di {an } ogni successione estratta da questa, ossia ogni successione del tipo {ank } con k = 0, ..., ∞, dove {nk } è una successione monotona strettamente crescente di valori in N (nk : N → N, tale che nk : k 7→ nk ). n−1 , con n ≥ 0. nk = 2k, con k ≥ 0 (nk è la n+3 successione dei soli numeri pari). Ottengo la sottosuccessione: nk − 1 ank = con nk = 2k e k ≥ 0. nk + 3 Esempio 1. an = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Sottosuccessioni cap3b.pdf 36 n−1 nk − 1 e ank = con nk = 2k n+3 nk + 3 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 an an Esempio 1. an = 0.2 0.2 0 0 −0.2 −0.2 ank con nk = 2k an −0.4 0 5 10 n 15 {an } = {a0 , a1 , a2 , a3 , ....} c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 20 −0.4 0 5 10 n 15 20 {ank } = {a0 , a2 , a4 , a6 , ....} Sottosuccessioni cap3b.pdf 37 Sottosuccessioni Esempio 2. an = (−1)n 7n − 2 , con n ≥ 0. n+2 7nk − 2 , per nk = 2k + 1 nk + 2 7nk − 2 , per nk = 2k = nk + 2 ank = − ank 8 8 6 6 4 4 2 an an 2 an 0 −2 −2 −4 −4 −6 −6 −8 0 5 10 n 15 20 ank , nk = 2k + 1 ank , nk = 2k 0 −8 0 5 10 n 15 20 Ho estratto da an due sottosuccessioni. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Sottosuccessioni cap3b.pdf 38 Osservazione. Da una successione an posso estrarre infinite sottosuccessioni. Teorema. Se una successione {an } è convergente e lim an = ℓ, n→∞ allora ogni sottosuccessione estratta da an converge ad ℓ, ovvero lim ank = ℓ, per ogni nk . k→∞ Es. Si veda l’Esempio 1. Teorema. Se da una successione an estraggo due sottosuccessioni che convergono a due limiti diversi, allora an è indeterminata, ovvero 6 ∃ lim an . n→∞ Es. Si veda l’Esempio 2. Per nk = 2k, limk→∞ ank = +7. Per nk = 2k + 1, limk→∞ ank = −7, quindi 6 ∃ lim an . c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 n→∞ Sottosuccessioni cap3b.pdf 39 Teorema (di Bolzano - Weierstrass). Da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione convergente. Es. Si veda l’Esempio 2. an è limitata, si ha inf an = −7 e sup an = 7. Abbiamo già trovato due sottosuccessioni di an che sono convergenti. 8 6 4 an 2 ank , nk = 2k + 1 0 ank , nk = 2k −2 −4 −6 −8 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 5 10 n Sottosuccessioni 15 20 cap3b.pdf 40 Successioni di Cauchy Def. Una successione {an }n≥n0 è di Cauchy se: ∀ε > 0 ∃nε ∈ N : ∀n, m ≥ n0 , n, m > nε ⇒ |an − am | < ε. 9 ε 8 7 6 an 5 4 3 2 1 0 −1 0 5 10 15 20 n 25 30 35 40 Sto dicendo che la distanza tra gli elementi della successione si riduce sempre più quando n → ∞. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Sottosuccessioni cap3b.pdf 41 Il criterio di Cauchy Teorema Sia an : N → R. an è convergente (cioè ∃ lim an = ℓ ∈ R) sse an è di Cauchy. n→∞ In R: succ. convergente succ. di Cauchy succ. limitata (per il Thm di Bolzano−Weierstrass) Esiste sottosucc. convergente c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Sottosuccessioni cap3b.pdf 42 N.B. Il criterio di Cauchy non vale se sostituiamo R con Q. Prendiamo ad esempio la successione an = 1 + ∀n ∈ N, i valori an ∈ Q. 1 n n . Si riesce a dimostrare che an è una successione di Cauchy (questa proprietà è indipendente dall’insieme Q o R in cui cerchiamo il limite). Sappiamo che lim an = e ∈ R, ma e 6∈ Q, n→∞ Quindi an è una successione di valori in Q, è di Cauchy, ma non è convergente in Q, cioè ∃ℓ = lim an = e, ma questo limite non n→∞ appartiene a Q. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Sottosuccessioni cap3b.pdf 43 Riferimenti Bibliografici: Canuto-Tabacco, pagg. 68-74, 142-143; Esercizi: Studiare il comportamento delle seguenti successioni (monotona crescente, decrescente, oscillante), calcolarne inf, sup, max e min e lim an : n→∞ 3n − 4 an = , 2n + 1 n3 an = √ , n an = log(n), an = n2 + 1 n2 − 3n + 2 an = arctan(n) an = sin n (−1)n n+7 an = 8n + 2 n Calcolare i seguenti limiti. 7n2 + n nn · n! lim · = n→∞ n + sin(n!) (n + 2)n · (n + 1)! an = nn+1 + 7n! = n→∞ (n + 2)n · (7n + sin(n)) lim c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Sottosuccessioni cap3b.pdf 44