SUCCESSIONI
e
LIMITI DI SUCCESSIONI
c
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Successioni
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1
Successioni
Def. Una successione è una funzione reale (Y = R) a variabile
naturale, ovvero X = N:
a:N→R:
n 7→ y = a(n) = an .
Il dominio di una successione è del tipo {n ∈ N, n ≥ n0 } con n0
un opportuno numero naturale.
1
Es. an = , in questo caso n0 = 1.
n
n+1
, in questo caso n0 = 3.
Es. an =
n−2
n
Es. an = (−1) , in questo caso n0 = 0.
Es. Il fattoriale di n:
an = n!, n ∈ N.
0! := 1, n! := n · (n − 1)! = n · (n − 1) · (n − 2) . . . 2 · 1
c
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2
Confronto tra f (x) = 1/x e an = 1/n
2
1.5
f (x) = 1/x
an = 1/n
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−10
−5
dom(f ) = {x ∈ R, x 6= 0},
c
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0
5
10
dom(a) = {n ∈ N, n ≥ 1}
Successioni
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3
Richiami
Ricordiamo la definizione di Punto di accumulazione.
Def. Sia A ⊆ R. Diciamo che x0 ∈ R è un punto di
accumulazione per A se in ogni intorno di x0 cade almeno un
punto di A diverso da x0 .
Se A ≡ R, allora un qualsiasi punto x0 ∈ R (finito o infinito) è di
accumulazione per R.
ma se A = N,
L’unico punto di accumulazione per N è +∞
Ricordiamo che una successione è una funzione il cui dominio è
contenuto nell’insieme dei numeri naturali:
a:N→R:
a : n 7→ y = an
In conclusione, l’unico limite che possiamo calcolare sulle
successioni è per
n→∞
c
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4
Classificazione di successioni
Una successione può essere:
CONVERGENTE se lim an = ℓ con ℓ ∈ R finito
n→∞
DIVERGENTE POSITIVAMENTE se lim an = +∞
n→∞
DIVERGENTE NEGATIVAMENTE se lim an = −∞
n→∞
INDETERMINATA se 6 ∃ lim an .
n→∞
Es. La successione
n
an = (−1) =
−1 n dispari
1
n pari
è indeterminata.
c
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5
Successioni convergenti
Def. La successione a : n 7→ an , definita per n ≥ n0 , tende al
limite ℓ ∈ R (o converge al limite ℓ ∈ R) e si scrive
lim an = ℓ
n→∞
se
∀Iε (ℓ), ∃Inε (+∞) : ∀n ≥ n0 , n ∈ Inε (+∞) ⇒ an ∈ Iε (ℓ)
o equivalentemente se
∀ε > 0 (ε reale), ∃nε ∈ N : ∀n ≥ n0 , n > nε ⇒ |an − ℓ| < ε
ε
ε
1
an
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
c
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4
6
8
nε n
10
12
14
16
18
Limiti di successioni
20
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6
Def. Una successione convergente a ℓ = 0 si dice infinitesima.
Es. an =
1
.
n
lim
n→∞
1
=0
n
Questa è una succ. infinitesima
Es. an =
n
. Si ha
n+1
n
=1
n+1
Questa è una succ. convergente
lim
n→∞
Es. an =
3n2 + 1
.
5n2 + 2n
3n2 + 1
3
=
2
n→∞ 5n + 2n
5
Questa è una succ. convergente
lim
c
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7
Successioni divergenti
Def. La successione a : n 7→ an tende a +∞ (o diverge a +∞) e
si scrive
lim an = +∞,
n→∞
se
∀A ∈ R+ , ∃nA ∈ N : ∀n ≥ n0 , n > nA ⇒ an > A
oppure (secondo la terminologia degli intorni) se:
∀IA (+∞), ∃InA (+∞) : ∀n ≥ n0 , n ∈ InA (+∞) ⇒ an ∈ IA (+∞)
140
120
an
100
80
A
60
40
20
0
1
c
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2
3
4
n
5
6
7
nA
8
9
Limiti di successioni
10
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8
In maniera analoga si definisce una successione divergente a −∞.
Def. La successione a : n 7→ an tende a −∞ (o diverge a −∞) e
si scrive
lim an = −∞,
n→∞
se
∀A ∈ R+ , ∃nA ∈ N : ∀n ≥ n0 , n > nA ⇒ an < −A
oppure (secondo la terminologia degli intorni)
∀IA (−∞), ∃InA (+∞) : ∀n ≥ n0 , n ∈ InA (+∞) ⇒ an ∈ IA (−∞)
Es. an = − log(n).
lim (− log(n)) = −∞,
n→∞
Es. an = −n.
lim (−n) = −∞,
n→∞
c
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9
TEOREMI SUI LIMITI DI SUCCESSIONE
Valgono tutti i teoremi visti per i limiti di funzione, ovviamente
adattati alle successioni.
Teorema di unicità del limite. Una successione non può avere più
di un limite.
Teorema di permanenza del segno. Esista lim an = ℓ ∈ R. Se
n→∞
ℓ > 0 allora esiste n ∈ N tale che an > 0 per ogni n ≥ n.
Corollario al teorema di permanenza del segno. Esista
lim an = ℓ ∈ R. Se esiste n ∈ N tale che an ≥ 0 per ogni n ≥ n,
n→∞
allora ℓ ≥ 0.
c
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10
TEOREMI SUI LIMITI DI SUCCESSIONE
Primo teorema del confronto. Siano an e bn due successioni ed
esistano lim an = ℓ1 ∈ R e lim bn = ℓ2 ∈ R. Se esiste n ∈ N tale
n→∞
n→∞
che an ≤ bn per ogni n ≥ n, allora ℓ1 ≤ ℓ2 .
Secondo teorema del confronto. Siano an , bn e cn tre successioni
ed esistano lim an = lim cn = ℓ ∈ R. Se esiste n ∈ N tale che
n→∞
n→∞
an ≤ bn ≤ cn per ogni n ≥ n, allora esiste lim bn e lim bn = ℓ.
n→∞
n→∞
Teorema dell’algebra dei limiti. Quando tutti i limiti coinvolti esistono
e le espressioni a destra non sono forme indeterminate si ha:
lim (an + bn ) = lim an + lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
lim (an − bn ) = lim an − lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
lim (an bn ) = lim an lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
lim an
an
n→∞
=
lim
n→∞ bn
lim bn
c
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n→∞
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11
Lemma di commutazione
(È il teorema di sostituzione applicato alle successioni)
Sia [a, b] un intervallo in R,
sia xn : N → [a, b] una successione di valori in [a, b],
sia f : [a, b] → R una funzione.
Se esiste lim xn = x ∗ ed f è continua in x ∗
n→∞
allora
lim f (xn ) = f ( lim xn ) = f (x ∗ )
n→∞
n→∞
Osservazione
Quando f è continua, f ed il limite commutano
Esempio lim sin(1/n2 ) = sin( lim 1/n2 ) = sin(0) = 0
n→∞
c
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n→∞
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12
Alcune successioni fondamentali
an = c con c numero reale costante. Converge a ℓ = c
an = n diverge positivamente
an = n2 diverge positivamente
an = nα , ∀α ∈ R+ diverge positivamente
an = nα , ∀α ∈ R− converge a ℓ = 0
an = n! diverge positivamente
an = nn diverge positivamente
an = (−n)n = (−1)n · nn è indeterminata
successioni costruite a partire dalle funzioni elementari:
cos(n), sin(n), tan(n) sono indeterminate,
√
log(n), e n , n divergono positivamente.
c
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13
Successione superiormente limitata
Def. Una successione an si dice superiormente limitata se l’insieme
immagine im(an ) = {an , n ≥ n0 } è un sottoinsieme di R
superiormente limitato.
Es.
100
A
=
im(an )
n − n2 , n ∈ N
an
0
−100
−200
A = {0, 0, −2, −6, −12, ...}
−300
sup(A) = max(A) = 0.
0
5
10
n
15
c
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=
20
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14
Successione inferiormente limitata
Def. Una successione an si dice inferiormente limitata se l’insieme
immagine im(an ) = {an , n ≥ n0 } è un sottoinsieme di R
inferiormente limitato.
Es.
2.5
A = im(an ) = {log (n), n ∈ N+ }
an
2
A = {0, 0.693.., 1.098.., ...}
1.5
1
inf(A) = min(A) = 0
0.5
0
0
5
10
n
15
c
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15
Una successione si dice limitata se è sia superiormente che
inferiormente limitata.
7n − 2
.
Esempio. Sia an =
n+2
7
6
5
A = im(an ) =
an
4
3
7n − 2
, n∈N
n+2
inf(A) = min(A) = −1,
sup A = 7.
2
1
0
−1
0
10
20
30
n 40 50 60
La successione è superiormente ed inferiormente limitata, quindi è
limitata.
c
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16
Limitatezza e convergenza
Teorema. Sia an una successione convergente. Allora an è limitata.
Dim. Sia {an }n≥n0 e sia ℓ = lim an . Per la definizione di limite:
n→∞
∀ε > 0 ∃nε : ∀n ≥ n0 , n > nε ⇒ |an − ℓ| < ε
se prendo ε = 1, esiste nε tale che ∀n > nε si ha |an − ℓ| < 1.
Per la disuguaglianza triangolare si ha:
|an | = |an − ℓ + ℓ| ≤ |an − ℓ| + |ℓ| < 1 + |ℓ|,
∀n > nε .
Si pone M = max{|an0 |, |an0 +1 |, . . . , |anε |, 1 + |ℓ|}.
Per come ho definito M si ha |an | ≤ M per ogni valore di n, sia
n ≤ nε , sia n > nε . Quindi la successione è limitata. c
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17
N.B. Il viceversa del precedente teorema non è vero, ovvero una
successione limitata non è detto che sia anche convergente.
Esempio. an = (−1)n è limitata ma non è convergente.
Esempio. an = sin(n), bn = cos(n) sono limitate ma non
convergenti.
Esempio. an = arctan(n) è limitata e convergente.
c
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18
Corollario al secondo teorema del confronto
Sia an una successione limitata e bn una successione infinitesima.
Allora la successione prodotto cn = an bn è infinitesima.
sin(n)
Es. lim
= 0 perchè an = sin(n) è limitata, bn =
n→∞
n
infinitesima.
c
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Limiti di successioni
1
n
è
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19
Successioni monotòne
Def. Una successione si dice monotona crescente se
an+1 ≥ an
∀n ≥ n0 ,
si dice monotona decrescente se
an+1 ≤ an
Es. an =
∀n ≥ n0 ,
n
, an = n! sono monotone crescenti per n ≥ n0 = 0.
n+1
10
1.2
6
an
an
1
0.8
10
4
0.6
10
0.4
2
0.2
0
0
1
2
3
4
5
n
6
7
8
c
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9
10
10
0
0
1
2
3
Limiti di successioni
4
5
n
6
7
8
9
10
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20
1.4
2.4
1.2
2.2
1
2
0.8
1.8
an
an
1
n+1
Es. an = , an =
sono monotone decrescenti per
n
n
n ≥ n0 = 1.
0.6
1.6
0.4
1.4
0.2
1.2
0
1
−0.2
0.8
1
2
3
4
an =
5
n
6
7
8
1
n
9
10
1
2
3
4
an =
5
n
6
7
8
9
10
n+1
n
(−1)n
Es. an =
, an = cos(n) non sono monotone crescenti, né
n
monotone decrescenti.
c
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Limite di successioni monotone
Teorema Sia {an } una successione monotona, allora essa è
convergente o divergente (non può essere indeterminata).
In particolare:
se {an } è monotona crescente, ⇒ lim an = sup an
n→∞
n≥n0
mentre:
se {an } è monotona decrescente, ⇒ lim an = inf an
c
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n→∞
Limiti di successioni
n≥n0
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22
Osservazione:
se {an } è monotona crescente ⇒

 inf an = min an = an0
n≥n0
n≥n0
lim an
 sup an = n→∞
n≥n0
Es. an = n2 + 3 = {3, 4, 7, 12, ....}.
inf an = min an = a0 = 3
n≥0
n≥0
c
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sup an = lim an = +∞.
n≥0
n→∞
Limiti di successioni
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23
Se {an } è monotona decrescente ⇒
2
Es. an = =
n
n≥n0
n→∞
 sup an = max an = an0
n≥n0
n≥n0
2 1
2, 1, , , .... .
3 2
inf an = lim an = 0
n≥1

 inf an = lim an
n→∞
c
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sup an = max an = a1 = 2.
n≥1
n≥1
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24
Il numero e di Nepero.
n
n
1
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
10000
1+
1
n
an
2.00000000
2.69158803...
2.70481383...
2.70927591...
2.71151712...
2.71286512...
2.71376516...
2.71440871...
2.71489174...
2.71526765...
2.71556852...
2.71581477...
2.71814592...
.
3
2.8
e
an
Sia an =
2.6
2.4
2.2
2
n101 121 141 161 181
E’ possibile dimostrare che an è strettamente crescente e che è
superiormente limitata (dimostrazione lunga e con molti conti).
Con queste ipotesi, il teorema precedente assicura che la
successione an ha limite (ovvero an è convergente) e si ha
1 n
1 n
= sup 1 +
=e
lim 1 +
n→∞
n
n
n≥1
c
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1
21
41
61
81
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25
Principio di induzione
Sia n0 ∈ N e sia P(n) un predicato definito per ogni numero
naturale n ≥ n0 . Supponiamo che siano verificate le seguenti due
condizioni:
1.- P(n0 ) è vera
2.- ∀n ∈ N con n ≥ n0 , se P(n) è vera allora P(n + 1) è vera
(P(n) ⇒ P(n + 1)).
Allora P(n) è vera ∀n ∈ N con n ≥ n0 .
n
n+1
n0
Se ci si trova su un gradino di una scala (quello di indice n0 ),
e si è capaci di salire un gradino alla volta (da n a n + 1, con n ≥ n0 ),
allora si è in grado di salire una scala di infiniti gradini.
c
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26
La disuguaglianza di Bernoulli
(1 + r )n ≥ 1 + rn
∀n ∈ N e r ∈ R+ .
Dimostrazione. Applichiamo il principio di induzione con
P(n) =′ (1 + r )n ≥ 1 + rn′ .
Verifichiamo le ipotesi del Principio di induzione con n0 = 0.
1.- P(0) =′ (1 + r )0 = 1 ≥ 1 + r · 0 = 1′ (vera)
2.- Supponiamo P(n) =′ (1 + r )n ≥ 1 + rn′ vera, vediamo se è
vera anche P(n + 1) =′ (1 + r )n+1 ≥ 1 + r (n + 1)′ .
Abbiamo: (1 + r )n+1 = (1 + r ) · (1 + r )n ≥ (poiché P(n) è vera)
(1 + r )(1 + rn) = 1 + r (n + 1) + r 2 n ≥ 1 + r (n + 1) ovvero,
P(n + 1) =′ (1 + r )n+1 ≥ 1 + r (n + 1)′ .
Siccome entrambe le ipotesi del Principio di induzione sono vere,
allora segue immediatamente la tesi, cioè:
(1 + r )n ≥ 1 + rn, ∀n ∈ N.
c
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27
La successione geometrica
Sia q ∈ R. La successione geometrica è an = q n .
Teorema

0



1
lim q n =
n→∞
+∞



non esiste
se
se
se
se
|q| < 1 (−1 < q < 1)
q=1
q>1
q ≤ −1
Esempio
n
2n
(0.5)n
(−2)n
(−0.5)n
0
1
2
3
4
...
10
11
1
2
4
8
16
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
+1
−2
+4
−8
+16
+1
−0.5
+0.25
−0.125
+0.0625
1024
2048
0.00097656
0.00048828
+1024
−2048
+0.00097656
−0.00048828
c
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28
Dimostrazione di lim q n
Caso 1 q > 1. Posso scrivere q = 1 + r con r > 0. Per la
disuguaglianza di Bernoulli si ha: q n = (1 + r )n ≥ 1 + rn.
Pongo: bn = q n e an = 1 + rn. Grazie all’algebra dei limiti ho che
lim an = +∞.
n→∞
bn è una succ. crescente, allora ammette limite per il teorema delle
succ. monotone. Per il primo teorema del confronto si ha
lim bn ≥ lim an = +∞ e quindi anche lim bn = +∞.
n→∞
n→∞
n→∞
Caso 2 0 < q < 1. Posso scrivere q = 1/p con p > 1. Abbiamo:
n
1
n
lim q = lim
= (per le propr. delle potenze)
n→∞
n→∞ p
1
= lim n =
(per l’algebra dei limiti)
n→∞ p
1
= (per il Caso 1 di questo teorema)
=
lim p n
n→∞
1
=
=0
+∞
c
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29
Caso 3 −1 < q < 0. Posso scrivere q = −|q|, ora 0 < |q| < 1.
Quindi, dal Caso 2 di questo teorema lim |q|n = 0, ovvero |q|n è
n→∞
infinitesima. Si ha:
lim q n = lim (−|q|)n =
(per le propr. delle potenze)
n→∞
n→∞
= lim (−1)n |q|n = (succ. limitata per una infinitesima)
n→∞
=0
Caso 4 q < −1. Posso scrivere q = −|q|, ora |q| > 1. Quindi, dal
Caso 1 di questo teorema lim |q|n = +∞. Si ha:
n→∞
lim q
n→∞
n
n
= lim (−|q|) =
n→∞
n
(per le propr. delle potenze)
n
= lim (−1) |q| = (succ. limitata con segno alterno
n→∞
per una divergente)
=6 ∃
Caso 5 q = 1, q = 0 e q = −1.
lim 1n = lim 1 = 1,
n→∞
n→∞
lim 0n = lim 0 = 0,
n→∞
c
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n→∞
Limiti di successioni
lim (−1)n =6 ∃.
n→∞
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30
Ordini di infinito
Siano an e bn due successioni divergenti. Si ha

an ha ordine di infinito > di quello di bn
 ∞
an
lim
=
ℓ ∈ R, ℓ 6= 0 an e bn hanno lo stesso ordine di infinito
n→∞ bn

0
an ha ordine di infinito < di quello di bn
Esempi notevoli. - nn ha ordine di infinito maggiore di n!, infatti si
nn
= +∞,
dimostra che lim
n→∞ n!
- nα ha ordine di infinito maggiore di nβ per ogni α > β > 0, si ha
nα
che lim β = lim nα−β = +∞
n→∞ n
n→∞
- n ha ordine di infinito maggiore di log(n), si dimostra che che
log(n)
n
= +∞, o equivalentemente lim
=0
lim
n→∞
n→∞ log(n)
n
(log (n))β
- più in generale: lim
= 0, ∀α, β ∈ R+
n→∞
nα
c
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31
Confronto riassuntivo sugli ordini di infinito
Le seguenti successioni sono ordinate, in ordine crescente, da
sinistra a destra riguardo al loro ordine di infinito.
(log n)β
nα
qn
(β > 0)
(α > 0)
q>1
n!
nn
6
10
log(n)
n
n
2
n!
n
n
4
an
10
2
10
0
10
10
0
c
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1
10
n
Limiti di successioni
2
10
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32
Dal teorema di sostituzione
Vale la seguente identità:
bn
(an )bn = e log(an ) = e bn ·log an
Notazione: exp(n) = e n
1
log n
2
2
n1/n = exp log n1/n = exp
log
n
=
exp
n2
n2
Quindi
2
lim n1/n = lim exp
n→∞
n→∞
c
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log n
n2
= exp
log n
n→∞ n 2
lim
Limiti di successioni
= e0 = 1
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33
Esercizi
√
lim n n =
n→∞
lim
n→∞
√
n
2n + 3n =
2
n1/n − 1
=
n→∞ 2n 2 · log(n + 7)
lim
c
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34
Ordini di infinitesimo
Siano an e bn due successioni infinitesime. Si ha

an ha ordine di infinitesimo > di quello di bn
 0
an
lim
=
ℓ ∈ R, ℓ 6= 0 an e bn hanno lo stesso ordine di infinitesimo
n→∞ bn

∞
an ha ordine di infinitesimo < di quello di bn
Esempi notevoli.
- an = (1/2)n ha ordine di infinitesimo maggiore di bn = 1/n,
n
(1/2)n
= lim n = 0
infatti si ha che lim
n→∞ 2
n→∞ 1/n
- an = 1/n ha ordine di infinitesimo minore di bn = 1/n2 , infatti si
an
1/n
n2
= lim n = +∞,
ha che lim
= lim
=
lim
n→∞
n→∞ bn
n→∞ 1/n 2
n→∞ n
- an = sin(1/n) ha ordine di infinitesimo uguale a bn = 1/n, infatti
an
sin(1/n)
si ha che lim
= lim
= lim n sin(1/n) = 1
n→∞ bn
n→∞
n→∞
1/n
c
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35
Sottosuccessioni
Def. Data una successione {an }, chiamiamo sottosuccessione di
{an } ogni successione estratta da questa, ossia ogni successione del
tipo {ank } con k = 0, ..., ∞, dove {nk } è una successione
monotona strettamente crescente di valori in N (nk : N → N, tale
che nk : k 7→ nk ).
n−1
, con n ≥ 0. nk = 2k, con k ≥ 0 (nk è la
n+3
successione dei soli numeri pari).
Ottengo la sottosuccessione:
nk − 1
ank =
con nk = 2k e k ≥ 0.
nk + 3
Esempio 1. an =
c
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Sottosuccessioni
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36
n−1
nk − 1
e ank =
con nk = 2k
n+3
nk + 3
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
an
an
Esempio 1. an =
0.2
0.2
0
0
−0.2
−0.2
ank con nk = 2k
an
−0.4
0
5
10
n
15
{an } = {a0 , a1 , a2 , a3 , ....}
c
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20
−0.4
0
5
10
n
15
20
{ank } = {a0 , a2 , a4 , a6 , ....}
Sottosuccessioni
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37
Sottosuccessioni
Esempio 2. an = (−1)n
7n − 2
, con n ≥ 0.
n+2
7nk − 2
, per nk = 2k + 1
nk + 2
7nk − 2
,
per nk = 2k
=
nk + 2
ank = −
ank
8
8
6
6
4
4
2
an
an
2
an
0
−2
−2
−4
−4
−6
−6
−8
0
5
10
n
15
20
ank , nk = 2k + 1
ank , nk = 2k
0
−8
0
5
10
n
15
20
Ho estratto da an due sottosuccessioni.
c
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Sottosuccessioni
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38
Osservazione. Da una successione an posso estrarre infinite
sottosuccessioni.
Teorema. Se una successione {an } è convergente e lim an = ℓ,
n→∞
allora ogni sottosuccessione estratta da an converge ad ℓ, ovvero
lim ank = ℓ,
per ogni nk .
k→∞
Es. Si veda l’Esempio 1.
Teorema. Se da una successione an estraggo due sottosuccessioni
che convergono a due limiti diversi, allora an è indeterminata,
ovvero
6 ∃ lim an .
n→∞
Es. Si veda l’Esempio 2. Per nk = 2k, limk→∞ ank = +7. Per
nk = 2k + 1, limk→∞ ank = −7, quindi 6 ∃ lim an .
c
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n→∞
Sottosuccessioni
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39
Teorema (di Bolzano - Weierstrass).
Da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione
convergente.
Es. Si veda l’Esempio 2. an è limitata, si ha inf an = −7 e
sup an = 7.
Abbiamo già trovato due sottosuccessioni di an che sono
convergenti.
8
6
4
an
2
ank , nk = 2k + 1
0
ank , nk = 2k
−2
−4
−6
−8
0
c
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5
10
n
Sottosuccessioni
15
20
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40
Successioni di Cauchy
Def. Una successione {an }n≥n0 è di Cauchy se:
∀ε > 0 ∃nε ∈ N : ∀n, m ≥ n0 , n, m > nε ⇒ |an − am | < ε.
9
ε
8
7
6
an
5
4
3
2
1
0
−1
0
5
10
15
20
n
25
30
35
40
Sto dicendo che la distanza tra gli elementi della successione si
riduce sempre più quando n → ∞.
c
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Sottosuccessioni
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41
Il criterio di Cauchy
Teorema Sia an : N → R.
an è convergente (cioè ∃ lim an = ℓ ∈ R) sse an è di Cauchy.
n→∞
In R:
succ. convergente
succ. di Cauchy
succ. limitata
(per il Thm di Bolzano−Weierstrass)
Esiste sottosucc. convergente
c
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Sottosuccessioni
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42
N.B. Il criterio di Cauchy non vale se sostituiamo R con Q.
Prendiamo ad esempio la successione an = 1 +
∀n ∈ N, i valori an ∈ Q.
1 n
n .
Si riesce a dimostrare che an è una successione di Cauchy (questa
proprietà è indipendente dall’insieme Q o R in cui cerchiamo il
limite).
Sappiamo che lim an = e ∈ R, ma e 6∈ Q,
n→∞
Quindi an è una successione di valori in Q, è di Cauchy, ma non è
convergente in Q, cioè ∃ℓ = lim an = e, ma questo limite non
n→∞
appartiene a Q.
c
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43
Riferimenti Bibliografici: Canuto-Tabacco, pagg. 68-74, 142-143;
Esercizi: Studiare il comportamento delle seguenti successioni
(monotona crescente, decrescente, oscillante), calcolarne inf, sup,
max e min e lim an :
n→∞
3n − 4
an =
,
2n + 1
n3
an = √ ,
n
an = log(n),
an =
n2 + 1
n2 − 3n + 2
an = arctan(n)
an = sin n
(−1)n
n+7
an =
8n + 2
n
Calcolare i seguenti limiti.
7n2 + n
nn · n!
lim
·
=
n→∞ n + sin(n!) (n + 2)n · (n + 1)!
an =
nn+1 + 7n!
=
n→∞ (n + 2)n · (7n + sin(n))
lim
c
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