Teoria della relatività-3
19 dicembre 2014
Trasformazione della velocità
La velocita` della luce come velocita` limite
Invarianza della velocita` della luce
Trasformazione dell’accelerazione
Effetto Doppler
Trasformazione della velocità
• La velocita` di un corpo, in ciascun sistema di
riferimento, e` definita come rapporto tra intervallo
spaziale percorso e intervallo di tempo necessario a
percorrerlo
• In S avremo quindi la coppia dr, dt cui corrisponde in
S’ la coppia dr’, dt’ e le velocita` sono 

y’
y
S’
S
 dr '
u'
dt '
x’
x
z
v
 dr
u
dt
z’
2
Trasformazione della velocità
• Calcoliamo la trasformazione della velocità per
componenti
• Sia ux la componente della velocità u di un corpo
lungo x nel sistema S, vogliamo trovare il valore
ux’ della componente lungo x’ della velocità u’ nel
sistema S’
• Differenziando le eqq. di trasformazione

v 
dx'  dx  vdt
dt'   dt  2 dx 


c
3
Trasformazione della velocità
• Facendo il rapporto dei differenziali troviamo la
velocità
ux  v
dx' dx  vdt
dx dt  v
ux ' 



dt ' dt  v dx 1  v dx dt 1  vu x
2
2
c
c
c2
4
La somma di due velocità
minori di c è minore di c
• Dimostriamolo nel caso particolare in cui v e c siano
paralleli a x
• Se -c < v < c , -c < ux < c, allora anche -c < ux’ < c
• Infatti, se -c < v < c, ux’ è funzione crescente di ux , e
quindi assumera` un valore minore di quello assunto
cv
per ux=c, che vale
sup u ' 
c
x
vc
1 2
c
• e maggiore di quello assunto per ux=-c, che vale
cv
inf u x ' 
 c
vc
1 2
c
5
La velocità della luce è uguale
in tutti i sistemi inerziali
• Questo risultato deve ovviamente valere se la teoria
e` consistente
• Nel caso il corpo in moto sia sostituito da un raggio di
luce in verso positivo ux = c o negativo ux = -c
otteniamo che nel sistema S’ la velocita` del raggio
luminoso e` uguale agli estremi appena trovati
c'  supu x '  c
c'  inf u x '  c
6
Trasformazione della velocità
• Sia uy la componente della velocità u di un corpo
lungo y nel sistema S, vogliamo trovare il valore
uy’ della componente lungo y’ della velocità u’ nel
sistema S’
• Differenziando le eqq. di trasformazione

v 
dy' dy
dt'   dt  2 dx 


c


7
Trasformazione della velocità
• Facendo il rapporto dei differenziali troviamo la
velocità
uy
dy'
dy
dy dt
uy ' 




  vux 
v   v
dt'
 dt  2 dx   1  2 dx dt  1  2 

  c
  c 
c
• E similmente per la componente lungo z
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La velocità della luce è uguale
in tutti i sistemi inerziali
• Vediamo il caso particolare in cui la luce in S e`
diretta lungo y, allora 
c  c x , c y , c z   0, c,0
• In S’ le componenti
cx  v 0  v
cx ' 

 v
vcx 1  0
1 2
c
cx ' , c y ' , cz '
saranno
cy
c
c
cz
0
cz ' 

0
cy ' 


vc



1

0


 vc   1  0 
 1  2x 
 1  2x 
c 

c 

• E il modulo della velocita`
c' 
c '  c '  c '
2
x
2
y
2
z

 v   c  
2
2
2
v


 0  v 2  c 2 1  2   c
 c 
2
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La velocità della luce è uguale
in tutti i sistemi inerziali
• Lo si puo` dimostrare nel caso piu` generale
verificando la relazione
c'
2
 cx '  c y '  cz '  cx  c y  cz  c 2
2
2
2
2
2
2
• inserendo nella formula le componenti della
velocita` nel sistema S’
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Trasformazione
dell’accelerazione
• Si possono trovare le eqq. di trasformazione
dell’accelerazione partendo dalle definizioni


du x ' du x ' dt du x ' dt ' d  u x  v 

ax ' 


 
dt '
dt dt ' dt dt dt  1  u x v 


c2 



 1 
uxv 

2 
c 
du v 
 du  u v 
 u v
  x 1  x2   u x  v  x 2   1  x2  
c 
dt c 
c 

 dt 
ax

3
u
v


 3 1  x2 
c 

3
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Trasformazione
dell’accelerazione
• E analogamente per le componenti y e z




du y ' du y ' dt ' d 
uy

ay ' 


dt dt dt   u x v  
dt '
  1  c 2  

 


 1 
uxv 

2 
c 
1  du y  u x v 
du v 
 u v
 
1  2   u y x 2   1  x2  
dt c 
c 
  dt  c 

v
a y  a x u y  a y u x  2
c

3
u
v


 2 1  x2 
c 

3
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Effetto Doppler per onde e.m.
• Sia dato un SdRI S in cui una sorgente a riposo
emette un’onda e.m. piana monocromatica F(,t) di
lunghezza d’onda l e periodo T
  t 
F ,t   Asin 2   
 l T 
• che si propaga nella direzione  di una retta che
giace nel piano xy e forma un’angolo  con l’asse x
• La relazione tra , x e y è
y 
  x cos  y sin 

S
z

• Inoltre la velocità della luce
si può esprimere come
x

c l T
13
Effetto Doppler per onde e.m.
• Nel sistema S’, in moto con velocità v lungo x rispetto
a S, l’onda avrà lunghezza d’onda l’, periodo T’ e
forma
   ' t' 


F '  ' , t '  A' sin 2    
  l' T ' 
• ove ’ è dato da ' x'cos 'y'sin  '
• Inoltre la velocità della luce si può esprimere come c  l' T'
y
y’

S
x
z
S’
z’
'

'
x’
v
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Effetto Doppler per onde e.m.
• Applichiamo le trasformazioni di Lorentz alla fase (divisa
per 2) di F’ nel sistema S’
x' cos ' y ' sin  ' t '   x  vt  cos ' y sin  '  t  v x c 2 
 


l'
T'
l'
T'
sin  '
 cos ' v 1 
 v cos ' 1 
 x
 2   t 
  y
c T'
T'
l'
 l'
 l'
• Questa espressione deve coincidere con la fase (divisa
per 2) dell’onda F nel sistema S, perche’ la fase non
dipende dal sistema di riferimento in cui viene misurata
• Possiamo quindi uguagliare i termini omologhi nelle due
espressioni
15
Effetto Doppler per onde e.m.
• Otteniamo
•
cos 
 cos  ' v 1 

 2 
l
c T'
 l'
sin  sin  '

l
l'
1
 v cos  ' 1 

 
T
T'
 l'
Dal rapporto delle prime
sin  '
sin  '
due eqq. ricaviamo la
tg



relazione tra gli angoli di
v l' 
v



cos

'


cos

'





propagazione dell’onda
2
c T'
c


nei due sistemi
sin 
tg ' 
• e la relazione inversa
v

  cos   
c

16

Effetto Doppler per onde e.m.
• L’ultima eq. ci dà la relazione tra le frequenze (f=1/T)
nei due sistemi
v
 v

 v

f    cos  ' f '   f 'cos  ' f ' f ' 1 cos  '
l'
 c

 c

• e tra le lunghezze d’onda
• Le relazioni inverse sono
 v

f '  f 1  cos 
 c

l
l'
 v
 1  cos ' 
 c

l'
l
 v

 1  cos 
 c

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Effetto Doppler per
onde e.m.
• Per   0 (il SdR si muove
nello stesso verso dell’onda)
1 v c
cv
 v
f '  f 1    f
 f
 f
1 v c
cv
 c
y’
x’
Spostamento “verso il rosso”
y’
• Per    (il SdR si muove in
verso opposto all’onda)
1 v c
cv
 v
f '  f 1    f
 f
 f
1 v c
cv
 c
v
z’
x’
z’
v
Spostamento “verso il blu”
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Effetto Doppler trasverso
• Confrontando questa espressione con quella ottenuta
nel caso classico
 v

f  f 0 1  cos 
 V

• troviamo una perfetta corrispondenza per piccole
velocità (   1 )
• Una notevole differenza si ha a grandi velocità per
   2 per cui classicamente f  f 0 ma
relativisticamente
f '  f (effetto Doppler trasverso)



19