CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE
DI RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
PER L’ISTITUTO TECNICO
SETTORE TECNOLOGICO
Agraria, Agroalimentare e Agroindustria
classe seconda
PARTE PRIMA
Disegno del rilievo
Unità Didattica: Trigonometria parte 01
aggiornamento a.s. 2014-15
a cura di
LABTOPOMOREA
Circonferenza Goniometrica
Si consideri una circonferenza con centro O l’origine di un sistema di assi cartesiani e raggio
r= 1. Si assume il semiasse positivo delle ordinate come “direzione origine” e il senso orario
come “verso di rotazione positivo”.
Gli assi cartesiani x,y e la circonferenza goniometrica individuano quattro quadranti angolari
che vengono numerati in senso orario a partire dall’asse y.
Con queste convenzioni la posizione di un generico punto P sulla circonferenza e definita
dall’angolo α generato dalla rotazione oraria del semiasse positivo delle ordinate fino a
sovrapporsi al segmento OP.
La posizione di P è definita quindi dall’angolo “positivo”α, ma è definita anche dall’angolo
“negativo” β. Si sottolinea che β è negativo perché individuato da una rotazione antioraria
della direzione origine. Si ha:
α + β = 360° .
Definizione delle Funzioni Trigonometriche
Si consideri la circonferenza goniometrica con centro nell’origine di un sistema di assi
cartesiani x,y e raggio r=1.
Prof. ing. Fabio Anderlini
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Si tracci una semiretta uscente dall’origine O che interseca la circonferenza nel punto P di
coordinate XP e YP. Il segmento OP forma con il semiasse positivo delle ordinate l’angolo α.
Tracciamo la perpendicolare PQ all’asse delle ordinate per il punto P. Il triangolo OPQ che
cosi individuiamo è un triangolo rettangolo retto in Q.
Si definisce seno dell’angolo
l’ipotenusa OP:
α (sen α ) il rapporto tra il cateto QP (opposto all’angolo α) e
senα =
Si definisce coseno dell’angolo
e l’ipotenusa OP:
CO PQ X P
=
=
= XP
IPO PO
r
α (cos α ) il rapporto tra il cateto OQ (adiacente all’angolo α)
cosα =
CA OQ YP
=
= = YP
IPO PO r
Si definisce tangente dell’angolo α (tan
e il cateto OQ (adiacente all’angolo α):
α ) il rapporto tra il cateto QP (opposto all’angolo α)
tan α =
CO PQ X P
=
=
CA OQ YP
Le funzioni goniometriche cosi definite sono rapporti tra lunghezze di segmenti e sono quindi
valori adimensionali. Le funzioni dipendono esclusivamente dall’angolo α.
Ad ogni angolo α possiamo associare i valori corrispondenti delle funzioni sen α, cos α, tan
α.
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AB segmento
tanα
PQ segmento
senα
OQ segmento
cosα
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VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DEGLI ANGOLI NOTEVOLI
Si riportano i valori delle funzioni goniometriche per alcuni angoli notevoli.
α°
αg
αr
sen
α
0°
0g
0r
0
30°
33g,33333
πr/6
1/2
45°
50g
πr/4
2 2
60°
66g,6667
πr/3
3 2
90°
100g
πr/2
1
cos
α
tanα
0
3 2
2 2
0
1
3
1
1/2
3
0
±∞
RELAZIONI FONDAMENTALI
Nella circonferenza con centro l’origine O di un sistema di assi cartesiani di riferimento e
raggio r si consideri un punto P sulla circonferenza e si tracci il raggio OP. Il segmento OP
forma con il semiasse positivo delle ordinate un angolo α.
Tracciamo la perpendicolare PQ all’asse delle ordinate per il punto P. Il triangolo OPQ che
cosi individuiamo e un triangolo rettangolo retto in Q.
Per il teorema di Pitagora si ha:
QP2 + OQ2 = OP2
dividendo entrambi i membri dell’uguaglianza per OP2 otteniamo:
sen2α + cos2α=1
tanα= sen
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α/ cos α
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ANDAMENTO DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE
La funzione sen α è una funzione continua e periodica con periodo l’angolo giro, cioè la
funzione riprende gli stessi valori dopo un angolo giro.
-1≤ sen
α
≤+1
La SINUSOIDE è il grafico delle funzione y = sen
α
La funzione cos α è una funzione continua e periodica con periodo l’angolo giro, cioè la
funzione riprende gli stessi valori dopo un angolo giro.
-1 ≤ cos
α
≤ +1
La COSINUSOIDE è il grafico delle funzione y = cos
α
La funzione tan α è una funzione discontinua e periodica con periodo l’angolo piatto,
cioè la funzione riprende gli stessi valori dopo un angolo piatto.
-∞ ≤ tan
Non esiste il valore della funzione tan
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α
≤ +∞
α per i valori α= πr/2
α= 3πr/2
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La TANGENTOIDE è il grafico delle funzione y = tan
α
FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE
Si è visto in precedenza come sia possibile ottenere i valori delle funzioni goniometriche seno,
coseno e tangente di un qualsiasi angolo α servendoci di una calcolatrice scientifica.
Nella soluzione di problemi tecnici ci si trova spesso ad affrontare il problema inverso, cioè
supposto di conoscere il valore di una delle funzioni goniometriche si ricerca l’angolo α cui
corrisponde il valore della funzione dato.
Ad esempio: qual’è il valore di α, se cosα = 3 2 ?
Si e visto che a un valore dell’angolo α corrisponde un solo valore di senα, un solo valore di
cosα e un solo valore di tanα.
Non è vero il contrario perché fissato un valore di cosα =OQ esistono più angoli α che hanno
quel valore del coseno.
Cosi se cosα = 3 2
possiamo dire che α =30°,
ma anche che α =330°.
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In matematica la funzione inversa della funzione y=f(x) è quella che consente, dato il valore
di y, di ricavare il corrispondente valore di x. Questa operazione è possibile solamente se a
ogni valore di x corrisponde un solo valore di y e viceversa. In questo caso si dice che la
funzione y=f(x) è una corrispondenza biunivoca tra x e y.
Come si è visto le funzioni goniometriche non sono corrispondenze biunivoche, ma possono
essere considerate tali se le consideriamo in opportuni intervalli.
Cosi ad esempio la funzione seno è una corrispondenza biunivoca nell’intervallo [-90°:+90°].
L’inversa della funzione seno è la funzione y=arcsinx ed è definita nell’intervallo [-1;+1].
La funzione arcsen, assegnato il valore del seno α [compreso tra -1 e +1], fornisce il valore
dell’angolo y (α), nell’ntervallo [-90°:+90°], cui corrisponde il valore del seno assegnato.
α = arcsin (sin α)
La funzione coseno è una corrispondenza biunivoca nell’intervallo [0°:+180°].
L’inversa della funzione coseno è la funzione y=arcosx ed è definita nell’intervallo [-1;+1].
La funzione arcos, assegnato il valore del coseno x [compreso tra -1 e +1], fornisce il valore
dell’angolo y (α), nell’intervallo [0°:+180°], cui corrisponde il valore del coseno assegnato.
α = arccos (cos α)
La funzione tangente è una corrispondenza biunivoca nell’intervallo [-90°:+90°].
L’inversa della funzione tangente è la funzione y=arctanx ed è definita nell’intervallo
[-∞;+∞].
La funzione arctan, assegnato il valore della tangente x [compreso tra -∞;+∞], fornisce il
valore dell’angolo y (α), nell’intervallo [-90°:+90°], cui corrisponde il valore della tangente
assegnato.
α = arctan(tan α)
E’ possibile calcolare una funzione inversa usando una calcolatrice scientifica.
I valori forniti dalla calcolatrice per arcsin, arcos, arctan sono angoli compresi negli intervalli:
• α = arcsinx -90°≤ α ≤+90° [con -1≤ x ≤+1]
• α = arcosx 0°≤ α ≤+180° [con -1≤ x ≤+1]
• α = arctanx -90°≤ α ≤+90° [con -∞≤ x ≤+∞].
A titolo di esempio ricerchiamo gli angoli compresi nell’intervallo [0g; 400g] cui corrispondono i
valori delle funzioni goniometriche sotto riportati. Nell’analisi dei casi proposti è conveniente
considerare la circonferenza goniometrica di raggio r=1.
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1 _ sen α = 0,3529
Nella circonferenza goniometrica (r =1) il seno di un
angolo α è rappresentato dall’ascissa del punto P della
stessa circonferenza associato all’angolo. Come si può
vedere dalla figura sono due i punti della circonferenza
che hanno ascissa x = 0,3529. A questi punti sono
associati gli angoli α1 e α2.
La calcolatrice fornisce per arcsen x un valore
compreso nell’intervallo –100g≤ α ≤+100g .
Nel caso in esame α = arcsen 0,3529 = 22g,9609
(valore arrotondato alla quarta cifra decimale).
Pertanto α1 = 22 g,9609 e α2= 200g - α1 =177 g,0391.
2 _ sen α = -0,7028
In questo caso la calcolatrice fornisce per
l’angolo α un valore negativo (perchè valutato in
senso antiorario) esterno all’intervallo [0g; 400g].
α = arcsen (-0,7028) = -49g,6134.
Da semplici considerazioni geometriche
possiamo ricavare α1 e α1 nell’intervallo
considerato:
α1 = 200g + |α| = 249g,6134
α2= 400g - |α| = 350g,3866.
3 _ cosα = 0,5496
Nella circonferenza goniometrica (r =1) il coseno di un
angolo α è rappresentato dall’ordinata del punto P
della stessa circonferenza associato all’angolo.
Come si può vedere dalla figura sono due i punti della
circonferenza che hanno ordinata y= 0,5496.
A questi punti sono associati gli angoli α1 e α2.
La calcolatrice fornisce per arcos x un valore compreso
nell’intervallo 0g≤ α ≤+200g .
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Nel caso in esame α = arcos 0,5496 = 62g,9560 (valore
arrotondato alla quarta cifra decimale).
Pertanto α1 = α =62g,9560 e α2= 400g - α =337g,0440.
4 _ cosα = -0,2891
Sono due i punti della circonferenza che hanno
ordinata y = -0,2891. A questi punti sono associati
gli angoli α1 e α2. La calcolatrice fornisce per
l’angolo α il valore (interno all’intervallo [0g;
200g]): α = arcos (-0,2891) = 118g,6712.
Da semplici considerazioni abbiamo:
α1= α= 118g,6712
α2= 400g - α = 281g,3288.
5 _ tanα = 0,9120
Nella circonferenza goniometrica (r =1) la tangente
di un angolo α e rappresentato dall’ascissa del punto
A intersezione del prolungamento del raggio OP
(che individua l’angolo α) con la retta s (parallela
all’asse delle ascisse condotta per B).
Come si può notare dalla figura sono due gli angoli
in corrispondenza dei quali l’ascissa del punto A
vale xA = 0,9120.
La calcolatrice fornisce per arctan x un valore
compreso nell’intervallo –100g≤α ≤+100g .
Nel caso in esame α = arctan 0,9120 = 47,07209g.
Pertanto α1 =α = 47g,0720 e α2= α1 +200g = 247g,0720.
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6 _tanα = -1,6914
In questo caso la calcolatrice fornisce per
l’angolo α un valore negativo (perchè valutato in
senso antiorario) esterno all’intervallo [0g; 400g].
α1= arctan (-1,6914) = -66g,0081.
Da semplici considerazioni geometriche
possiamo ricavare α1 e α2 nell’intervallo
considerato:
α1 = 200g - |α| = 133g,9919
α2= α1 + 200g = 333g,9919.
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