Prof. A. Di Muro
I versori
Definiamo ora alcuni vettori particolarmente importanti detti versori.
Un versore è semplicemente un vettore di modulo unitario. Normalmente agli assi x, y e z vengono
associati i versori
iˆ , ˆj , kˆ che per comodità denoteremo i , j , k
z
i=j=k=1
con
Possiamo ora esprimere un vettore qualsiasi attraverso i
versori lungo gli assi.
Se p. es. u x = 3 e u y = 2
allora u = 3 i + 2 j
oppure se v x = 3 e v y = 4
ma nelle y negative allora v = 3 i  4 j .
j
k
i
j
x
u=3i+2j
v=3i4j
i
I versori lungo gli assi formano una base vettoriale, nel senso che ogni vettore può essere
espresso come somma vettoriale di versori. 
Il modulo di un vettore viene calcolato utilizzando il teorema di Pitagora:
v=4i3j
ha modulo v  42  32  5
oppure nello spazio tridimensionale
u=3i2j+k
ha modulo u  32  22  1  14
Dato un vettore a, esiste il suo versore â, evidentemente se a è il modulo di a, allora lungo il
vettore a ci saranno a versori, divertente no!
â
Per cui in generale
a=7â
a=7
a = a aˆ
y
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Esempio:
dato il vettore a = 3 i  2 j + k il suo versore è
3i  2 j  k
14
â=
Considerando vettori nel piano, l’angolo che un vettore forma con l’asse delle ascisse si calcola
u
osservando il triangolo rettangolo che si forma con le componenti, si ricava tan   y , quindi con
ux
u
la calcolatrice usando la funzione inversa della tangente si ha   tan 1 ( y ) .
ux
Occorre fare attenzione al quadrante nel quale cade il vettore, la tangente è positiva nel I e nel III
quadrante, ma negativa nel II e nel IV.
Per capire in quale quadrante siamo è sufficiente osservare il segno delle componenti del vettore,
u
nel I e nel IV quadrante non ci sono problemi,   tan 1 ( y ) , in particolare nel IV quadrante
ux
l’angolo verrà negativo ( rotazione in senso orario ).
y
y
uxi
u
uyj


x
uxi
x
uyj
u
Nel II e nel III occorrerà aggiungere 180° all’angolo fornito dalla calcolatrice   tan 1 (
uy
)  180
ux
Infatti la calcolatrice fornisce rispettivamente gli angoli   e , in entrambi i casi  = 180° + ( )
e  = 180° + .
y
y
u


uyj

uxi
uxi

x
x
uyj
u
In generale un vettore nel piano è espresso dalla relazione:
u  u(cos  i  sen  j )
dove  è l’angolo, contato in verso antiorario, che il vettore forma con l’asse delle ascisse.
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Operazioni tra vettori
I vettori si possono sommare o sottrarre, p. es. dati i vettori u = 3 i + 2 j e v = 3 i  4 j
allora s = u + v = 6 i  2 j oppure d = u  v = 6 j
y
y
v
u
d
v
x
s
u
x
Graficamente i vettori si sommano algebricamente ( quindi somma e differenza ) utilizzando la
regola della poligonale: si parte da un vettore qualsiasi e si dispone, a partire dalla fine di questo, il
secondo vettore; si itera il procedimento quindi si traccia il vettore risultante dal punto di partenza al
punto di arrivo.
Un vettore può essere moltiplicato per un numero, in tal caso il vettore risultante è sempre parallelo
al vettore di partenza, ciò che cambia è il modulo ed eventualmente il segno, p. es.
u
3u
3u
Le operazioni prodotto e divisione non si possono fare, tuttavia esistono due tipi di prodotto
particolari: il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale.
Prodotto scalare tra vettori
Il prodotto scalare tra due vettori u , v è una funzione matematica g che agisce nel seguente modo:
u
v
g
numero
g ( u , v ) = numero
questo numero è definito come u v cos  dove u e v sono i moduli dei vettori corrispondenti ed  è
l’angolo formato dai due vettori.
Il prodotto scalare si indica in diversi modi: g ( u , v ) = u v cos  oppure u  v = u v cos  o
semplicemente u v = u v cos  ( in questo ultimo caso l’operazione prodotto tra u e v è diversa
dall’operazione prodotto tra u e v, quest’ultima è il classico prodotto tra due numeri ).
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Il prodotto scalare è commutativo, u  v = v  u come è banale verificare.
Ricordando che cos 90° = 0 e cos 0° = 1, si ha che due vettori perpendicolari hanno il prodotto
scalare nullo, mentre due vettori paralleli hanno il prodotto scalare uguale al prodotto dei loro
moduli.
Considerando il prodotto scalare a  u = a u cos  si vede che
b
 è acuto per cui u a cos  > 0 , in particolare a cos  fornisce
c
a
la proiezione del vettore a su u.
Il prodotto scalare c  u = c u cos  < 0 perché l’angolo  è
ottuso.
u
Il prodotto scalare b  u = 0 perché sono perpendicolari.
c cos  < 0 a cos  > 0
Se facciamo il prodotto scalare tra due versori allora otteniamo:
ij =0,jk =0,ki =0
in quanto i versori sono perpendicolari tra loro, mentre
ii =1,jj =1,kk =1
in quanto i versori sono uguali e quindi paralleli
Se facciamo il prodotto scalare tra due versori p.es. u = 3 i  4 j + k e v = 2 i + 3 j + 3 k otteniamo:
u  v = 6 i  i + 9 i  j + 9 i  k  8 j  i  12 j  j  12 j  k + 2 k  i + 3 k  j + 3 k  k =  3
Il prodotto scalare fornisce la proiezione di un vettore lungo una direzione:
se si vuole trovare la proiezione del vettore b lungo la direzione del vettore a, questa è
ab
MN = b cos  =
=bâ
a
ovvero il prodotto scalare tra il vettore ed il versore della direzione.
Le proiezioni di un vettore lungo gli assi
coordinati corrispondono alle componenti
del vettore stesso quindi p. es.
b
N

M
il vettore
v=2i+3j +3k
a
v x = v  i = 2, v y = v  j = 3, v z = v  k = 3
il modulo di un vettore può anche essere espresso da un prodotto scalare:
v=
vv
l’angolo tra due vettori a e b è espresso dal cos  =
ha componenti
ab
ab
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Dato un vettore nello spazio tridimensionale, possiamo ricavare gli angoli o meglio i coseni degli
angoli che il vettore forma con gli assi coordinati.
Indichiamo con , ,  questi angoli, allora il vettore
u  ux i  u y j  uz k ha:
cos  
u  i ux
u  j uy
u  k uz
 ; cos  
 ; cos  

u
u
u
u
u
u
Questi coseni si chiamano coseni direttori, la somma dei loro quadrati vale uno
cos 2   cos 2   cos 2  
2
ux2 u y uz2 u 2
+
+ 
1
u2 u2 u2 u2
Esercizio:
a)
determina l’angolo tra i vettori a = – 2 i + 3 j – 3 k e b =  i + 2 j + 4 k
cos  
a  b 2  6  12

 0.2791 e   cos1( 0.2791 )  106.2
ab
22 21
b )
determina i coseni direttori di a
cos  
c )
ay
ax
a
2
3
3

; cos  

; cos   z 
con   115.2   50.2   129.8 
a
a
a
22
22
22
determina un vettore u nel piano y z, perpendicolare a b di modulo 2
deve essere b  u  0 indicato con u  u y j  uz k si ha 2u y  4uz  0 , imponendo il modulo 2 si ha:
u y  2u z  0
2
che risolta fornisce uz  
 2
2
5
 u y  uz  4
u
d )
e uy 
4
i vettori sono due,
5
4
2
4
2
j
k e u'  
j
k
5
5
5
5
determina la proiezione di b su a
Pa ( b )  b  aˆ  (  i  2 j  4 k ) 
( 2 i  3 j  3 k ) 6

22
22

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Prodotto vettoriale tra vettori
Dati due vettori a e b, il prodotto vettoriale indicato con a  b è un vettore c = a  b con le seguenti
caratteristiche ( da notare che il simbolo  non è il prodotto usato per i numeri, per cui la scrittura 3
 2 non ha senso):
il suo modulo c = a b sen  dove  è l’angolo compreso tra a e b,
la sua direzione è perpendicolare al piano generato da a e b,
Il suo verso è dato dalla regola della mano sinistra o regola di Fleming.
Considerando c = a  b Il medio viene messo in corrispondenza del primo vettore del prodotto
vettoriale, l’indice in corrispondenza del secondo vettore del prodotto vettoriale come in figura, la
risultante è data dal pollice.
c
b
a
Una ulteriore regola forse più pratica per evitare contorsioni strambe è quella della mano destra
considerando c = a  b il pollice dà la direzione e verso di c, le altre dita devono essere disposte in
modo da immaginare una rotazione del primo vettore ( a ) sul secondo vettore ( b ).
c=ab
b
b
a
c’ = b  a
a
come si vede a  b  b  a , infatti c =  c’.
il prodotto vettoriale non è commutativo, bensì anticommutativo.
Se a e b sono paralleli il loro prodotto vettoriale è nullo (  = 0 ).
Se a e b sono perpendicolari il loro prodotto vettoriale è massimo (  = 90° ) di modulo ab.
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Vediamo ora come si determina il prodotto vettoriale tra due vettori scomposti in un S.C.:
ci servono i prodotti vettoriali fondamentali tra i versori coordinati
ij =1,jk =1,ki =1
ji =1,kj =1,ik =1
in quanto i versori sono perpendicolari tra loro, mentre
ii =0,jj =0,kk =0
in quanto i versori sono uguali e quindi paralleli
un metodo per ricordarli è questo, basta disporre i versori in ordine ciclico ai vertici di un triangolo
come in figura, il prodotto vettoriale tra due versori posti ai vertici del triangolo è uguale al versore
del terzo vertice se si ruota in verso antiorario, se invece si ruota in
i
verso orario è sufficiente cambiare segno.
Esempio:
dati i vettori
u=3i4j+k

+
u  v = 9 i  j + 9 i  k  8 j  i  12 j  k + 2 k  i + 3 k 
si ha
j =

e v=2i+3j +3k
j

k
9 k  9 j + 8 k  12 i + 2 j  3 i =  15 i  7 j + 17 k.
un altro metodo consiste nell’uso del determinante, si costruisce un determinante, nella prima
riga mettiamo i versori ordinati, nella seconda le componenti del primo vettore e nella terza le
componenti del secondo vettore.
Si sviluppa il determinante con la regola di Laplace lungo la prima riga:
i
j
k
3 4 1  i
2
3
3
4 1
3
3
j
3 1
2 3
k
3 4
2
3
=
(  12  3 ) i  ( 9  2 ) j + ( 9 +8 ) k =  15 i  7 j + 17 k.

Il modulo del prodotto vettoriale fornisce l’area del parallelogrammo di lati i due vettori:
infatti  a  b = a b sen  = b h = S
in particolare l’area del triangolo di lati i due vettori è
1
A = a b sen 
2
a
h

b
S
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Esercizio :
a)
Dati i vettori a =  4 j + 2 k , b = 2 i + j e c = 3 j + 4 k
dell’espressione
determina il risultato
( ba  c  b  c  ab )  c
ba c
Osserviamo innanzitutto che ba  c  b è un vettore, infatti il prodotto vettoriale dà un vettore,
quindi il suo prodotto scalare con b dà un numero che moltiplicato per b dà un vettore.
Stessa cosa per c  ab , mentre b  a  c dà un numero.
Calcoliamo prima i prodotti vettoriali a  c  22 i e b  a  2 i  4 j  8 k quindi
[( 2 i  j )( 22 i )  ( 2 i  j )  ( 3 j  4 k )  ( 4 j  2 k )( 2 i  j )]  ( 3 j  4 k )

( 2 i  4 j  8 k )( 3 j  4 k )
[( 2 i  j )( 44 )  ( 12  8 )( 2 i  j )]  ( 3 j  4 k ) ( 80 i  40 j )  ( 3 j  4 k ) 120 30



12  32
44
44 11
b)
S
determina l’area del triangolo formato dai vettori b e c
1
1
b  c  4 i  8 j  6 k  2 i  4 j  3 k  4  16  9  29
2
2
Prodotto vettoriale misto
Abbiamo incontrato nell’esercizio precedente il prodotto a  b  c , questo prodotto è detto prodotto
vettoriale misto.
Il suo significato geometrico è il seguente:
a  b  c  a  b  c  cos 
ma a  b è il modulo del
prodotto vettoriale e corrisponde
all’area S del parallelogrammo,
inoltre
c  cos   h
dove h è l’altezza del
parallelepipedo di spigoli i tre
vettori, per cui si ha:
c
ab

h
b
S
a
V  a  b  c  S  h , il prodotto vettoriale misto corrisponde al volume del parallelepipedo di spigoli
i tre vettori.
Se l’angolo  è ottuso, il volume assume segno negativo, per cui V  a  b  c .