Il Giardino di Archimede
Oltre il compasso
4 ALI
Con filo e matita
Una delle operazioni fondamentali della geometria è
quella di costruire rette e cerchi. Mentre disegnare una
circonferenza è relativamente facile, non è altrettanto
facile disegnare una retta abbastanza precisa.
Il meccanismo di Watt
Nel 1784 Watt inventò un semplice meccanismo che,
applicato all’asta del pistone di una macchina a vapore,
lo costringeva a muoversi lungo una linea retta.
Il meccanismo di Watt libero
In realtà il meccanismo di Watt descrive una curva a
forma di 8 con tratti quasi rettilinei, e proprio uno di
questi tratti rettilinei viene sfruttato dalle macchine a
vapore per compiere lavoro.
Il meccanismo di ČebiČev
Durante l’ottocento vennero inventati vari
strumenti capaci di riprodurre un moto
rettilineo, uno dei più precisi è quello di
Pafnuti Lvovic Čebičev del 1850, che aveva
però un moto solo approssimativamente
rettilineo.
Il meccanismo di Sarrus
Invece nell’apparecchio di Pierre Frédérique
Sarrus del 1853 la lama riusciva a muoversi
verticalmente in linea retta, ma muovendosi in
un ambiente tridimensionale, non era pratica.
Il meccanismo di Peaucellier
Quadrilateri articolati
Nel 1864 Charles-Nicolas Peaucellier riuscì a
rappresentare una retta sfruttando le proprietà
matematiche di una trasformazione del piano:
l’inversione rispetto ad una circonferenza.
Questo meccanismo infatti tramite un’asta
costringe il punto inerziale a muoversi su una
circonferenza passante per il centro, e quindi il
pennarello situato nel punto corrispondente
disegna una retta.
Fra i molti meccanismi di aste articolate
che risolvono problemi di interesse
pratico, il più semplice è il quadrilatero
articolato.
Il moto alternato
Un quadrilatero articolato, quando
una delle aste è molto più corta delle
altre, può essere utilizzato per
trasformare un moto alternato in un
moto circolare e viceversa. Il pedale
di una macchina da cucire ne è un
esempio molto particolare.
Le sezioni coniche
Sezionando un cono, si
possono ottenere tre curve
diverse: un’iperbole, un’ellisse
e una parabola.
Possiamo disegnare un’ellisse servendosi del grande compasso
tridimensionale, al quale i geometri arabi avevano dato il nome di
“compasso perfetto”. L’asta inclinata descrive un cono, che viene
tagliato dal piano del disegno; a seconda dell’inclinazione di
quest’ultimo si ottiene una circonferenza (quando il piano è
orizzontale) o un’ellisse. Se si potesse aumentare l’inclinazione del
piano, si otterrebbe prima una parabola e poi un’iperbole.
L’ellisse
In una circonferenza tutti i punti sono alla stessa
distanza dal centro. In un’ellisse il centro per così
dire si sdoppia in due punti, i fuochi, e la somma
delle due distanze dai due fuochi è sempre la
stessa per ogni punto sull’ellisse. Questa
proprietà può essere sfruttata per disegnare
un’ellisse: si legano le estremità del filo ai due
fuochi e si fa scorrere un pennarello tenendo i fili
ben tesi.
Gli specchi ustori
Via via che l’ellissi si allunga, i suoi fuochi si
allontanano. La parabola ha un solo fuoco,
l’altro è all’infinito. Di conseguenza, i raggi
luminosi che partono dal fuoco della
parabola e si riflettono su di essa, diventano
tutti paralleli all’asse, e viceversa.
Combinando due specchi parabolici, si
possono concentrare sul fuoco del secondo i
raggi provenienti da una lampadina posta in
quella del primo. Il calore che vi si produce
può incendiare un fiammifero.
La cicloide
La cicloide è una curva tracciata
da un punto fisso su
una circonferenza che rotola
lungo una retta; in pratica il
disegno composto da un punto
su una ruota di bicicletta in
movimento.
La cicloide è anche isocrona. Infatti se appoggiamo una pallina
sulla cicloide e la lasciamo andare, il tempo che impiega per
raggiungere il punto più basso è sempre lo stesso, quale che sia il
punto di partenza. Così se facciamo oscillare una pallina su una
cicloide, le oscillazioni avverranno nello stesso tempo, sia
all’inizio quando sono grandi, sia quando la loro ampiezza
diminuisce.
Un miraggio
Accoppiando due specchi parabolici in modo che il
fuoco di ognuno di essi sia nel vertice dell’altro,
pratichiamo un foro sullo specchio superiore e
appoggiamo un dado sullo specchio inferiore. Se
guardiamo in direzione obliqua attraverso il foro, dopo
due riflessioni sui due specchi vediamo il dado come se
fosse posto sul vertice dello specchio superiore.
Il pendolo cicloidale
A differenza di quanto accade per il pendolo ordinario, un
pendolo che oscilla lungo una cicloide compie le sue
oscillazioni sempre nello stesso tempo.
L’evolvente della
cicloide
Se il profilo lungo cui adagiamo il filo
è a forma di cicloide e il filo è lungo
quanto metà della cicloide,
l’evolvente è ancora una cicloide
uguale alla prima.
La spirale di Archimede
Dopo aver messo il disco in rotazione, partiamo dal
centro e muoviamo il pennarello verso l’esterno con
velocità uniforme. La curva che ne risulterà è una
spirale dia Archimede.
Camera ellissoidale
In una camera ellissoidale, le onde sonore che
escono da un fuoco si riflettono sul soffitto per
concentrarsi nell’altro fuoco. Infatti parlando
sottovoce in uno dei fuochi della camera si viene
nettamente sentiti nell’altro.
Voci
focalizzate
Due grandi specchi
parabolici
permettono di
comunicare a
distanza: se si parla
in uno dei fuochi
degli specchi, la
voce viene riflessa
e inviata nell’altro
specchio
parabolico, che la
concentra nel
fuoco dove si sente
distintamente.
Video realizzato
dalla 4AL liceo
scientifico G. Vasari
Figline Valdarno
a.s. 2011/2012