Università degli studi di Milano Bicocca – Scuola di Economia e Statistica
Metodi Matematici (parte di Finanziaria)
Esercizi con risoluzione dettagliata
Autrice: Prof.ssa G.Carcano
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La presente versione è aggiornata al May 30, 2013
1
10:14 am.
Università degli studi di Milano Bicocca – Facoltà di Economia
Matematica Finanziaria
Esercizi con risoluzione dettagliata
Capitolo 1: Capitalizzazione e attualizzazione
Elenco degli argomenti:
Operazioni finanziarie elementari certe di capitalizzazione o investimento / di attualizzazione o finanziamento.
Montante, valore attuale; legge di capitalizzazione M = F (C, t); fattore di montante f (t);
regime di capitalizzazione; legge di attualizzazione C = V (M, t); fattore di attualizzazione
v(t), regime di attualizzazione.
Leggi finanziarie coniugate.
Interesse I e sconto S; tasso d’interesse i(t) e tasso di sconto d(t); tasso unitario di interesse
(t.u.i.) i e tasso unitario di sconto (t.u.s.) d; relazioni tra i(t) e d(t); relazioni tra t.u.i. i
e t.u.s. d.
La forza d’interesse o tasso istantaneo d’interesse o intensità istantanea di interesse δ(t);
determinazione del fattore di montante f (t) a partire dalla forza di interesse δ(t).
Definizione di legge scindibile; teorema di caratterizzazione delle leggi scindibili.
Tasso d’interesse periodale equivalente ik ; tasso di sconto periodale equivalente dk .
Tasso d’interesse proporzionale ki ; tasso di sconto proporzionale kd .
Studio dei principali regimi di capitalizzazione e di attualizzazione:
• la capitalizzazione e l’attualizzazione semplice.
• la capitalizzazione e l’attualizzazione ad interessi anticipati o commerciale.
• la capitalizzazione e l’attualizzazione composta per durate intere.
• la capitalizzazione e l’attualizzazione composta per durate qualsiasi:
•• la capitalizzazione e l’attualizzazione composta in convenzione esponenziale (c.c./c.e.).
•• la capitalizzazione composta in convenzione lineare (c.c./c.l.).
Regime composto: tasso nominale di interesse convertibile k volte jk ; relazioni tra i, ik , jk
e δ; d e dk .
Confronto tra i regimi di capitalizzazione semplice, commerciale e composto.
Confronto tra i regimi di sconto semplice o razionale, composto, commerciale o anticipato.
Significato finanziario della forza d’interesse δ(t).
Riferimenti bibliografici:
(1) Stefani-Torriero-Zambruno, Elementi di Matematica finanziaria e cenni di Programmazione lineare, Giappichelli Editore, Torino, terza edizione, 2007.
(2) Carcano, Matematica finanziaria. Test, esercizi e temi d’esame, con svolgimenti e
richiami teorici. Datanova, Milano, 2001.
2
1. Siano f (t) / v(t), fattore di montante / di sconto, tra loro coniugati. Quale delle seguenti
affermazioni è vera?
a f (t) è il valore in t = 0 di un capitale C disponibile al tempo t;
b v(t) è il valore in t = 0 di un capitale unitario disponibile al tempo t;
c v(t) è il valore in t di un capitale C impiegato al tempo t = 0;
d f (t) è il valore in t di un capitale C impiegato al tempo t = 0.
Soluzione:
Il significato finanziario delle funzioni f e v è:
• f (t) è il valore (montante) in t di un capitale unitario C = 1 impiegato al tempo t0 = 0;
• v(t) è il valore (attuale) in t0 = 0 di un capitale unitario M = 1 disponibile al tempo t.
L’unica affermazione corretta è quindi la b .
2. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a l’interesse è l’importo cui rinunciare
in cambio della posticipazione di una disponibilità finanziaria;
b lo sconto è il compenso corrisposto
in cambio della posticipazione di una disponibilità finanziaria;
c l’interesse è il compenso corrisposto
in cambio della anticipazione di una disponibilità finanziaria;
d lo sconto è l’importo cui rinunciare
in cambio della anticipazione di una disponibilità finanziaria.
Soluzione:
L’unica affermazione corretta è la d .
Si noti l’assurdità delle risposte a e c :
posticipo una disponibilità finanziaria e dovrei essere punito?
anticipo una disponbilità finanziaria e dovrei essere premiato?
La b è sbagliata, ma solo perché c’è il termine sconto anziché interesse.
t
3. Sia f (t) = (1 + 30t) 30 ; si determini se la funzione f è atta a rappresentare un fattore di
montante. In caso affermativo, se ne determini il tasso unitario di interesse.
Soluzione:
f è definita in [0, +∞); f (0) = 1; f è non decrescente, perché
0
f (t) = (1 + 30t)
t
30
t
log(1 + 30t)
+
1 + 30t
30
≥0
∀t ≥ 0;
pertanto, la funzione f è atta a rappresentare un fattore di montante; la legge finanziaria
di capitalizzazione ad essa associata è
t
M (C, t) = C · f (t) = C (1 + 30t) 30 ,
∀C ≥ 0, ∀t ≥ 0.
Il tasso unitario di interesse è
1
i = f (1) − 1 = (1 + 30) 30 − 1 = 12.13%
3
4. Per raddoppiare un capitale C, utilizzando la legge di capitalizzazione data dal fattore di
montante f (t) = 1−1 t , occorre un tempo t
2
a
= 2;
< 2;
b
> 2;
c
d dipende da C.
Soluzione:
Nella legge di capitalizzazione M = Cf (t), imponiamo che il montante sia il doppio del
capitale impiegato, cioè M = 2C; abbiamo
M = 2C ⇔ Cf (t) = 2C ⇔ f (t) = 2 ⇔
1
1−
t
2
=2 ⇔ t=1
Si noti che, per qualsiasi fattore di montante f , la risposta non dipende dal capitale
impiegato C.
5. Si consideri la legge di capitalizzazione associata al fattore di montante
√
t
t
f (t) = 1 +
+
.
50
20
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a il montante in t = 4 di un capitale C = 1500, impiegato in t = 0, è 1620;
b il tasso unitario d’interesse è i = 2%;
c il tasso unitario d’interesse è i = 7%;
d la funzione f non è un fattore di montante.
Soluzione:
Analizziamo le varie affermazioni:
√ !
4
59
4
M (1500, 4) = 1500f (4) = 1500 1 +
+
= 1500
= 1770
50
20
50
i = f (1) − 1 = 1 +
1
1
7
+
−1=
= 7%
50 20
100
pertanto, a e b sono false e c è vera; infine, la d è falsa perché f è definita in
[0, +∞), vale f (0) = 1, f è monotona crescente, quindi f è un fattore di montante.
6. Usando il fattore di montante f (t) = eαt , un capitale di 1000 euro produce in tre anni un
montante di 7100 euro; si determini α.
Soluzione:
Nella legge di capitalizzazione M = Cf (t), sostituendo i dati forniti dal testo, si ottiene
M = Cf (t)
7100 = 1000f (3) = 1000e3α
⇒α=
log(7.1)
= 0.65336
3
4
7. Si determini il tasso unitario di interesse i corrispondente al tasso unitario di sconto d =
0.181 .
Soluzione:
Dalla relazione che lega tasso unitario di interesse i e tasso unitario di sconto d, in qualsiasi
i
, ricaviamo
legge finanziaria, d = 1+i
i=
d
0.181
=
= 22.1% .
1−d
1 − 0.181
8. Per raddoppiare un capitale C = 6000, impiegato con il fattore di montante
f (t) = 1 + log(1 + t),
sono necessari
a un anno e otto mesi;
c almeno un anno e nove mesi;
b
d
più di un anno e otto mesi;
due anni.
Soluzione:
Imponendo f (t) = 2, ricaviamo
1 + log(1 + t) = 2 ⇔ t = e − 1 = 1.71828
Dato che 1 anno e 8 mesi corrispondono a t = 1.6 e 1 anno e 9 mesi a t = 1.75, la risposta
giusta è la b .
9. Se il tasso d’interesse periodale i è pari a 0.05, allora il corrispondente tasso di sconto d è
a log(1.05);
b
0.05
;
1.05
c
0.05
;
0.95
Soluzione:
d=
10.
i
0.05
⇒ d=
1+i
1.05
Utilizzando il fattore di montante f (t) =
capitale impiegato C è
a 13.07;
b 3;
Soluzione:
f (t) = 3 ⇔
d nessuna delle altre tre risposte è giusta.
1
1−0.051t ,
c 9.804;
il tempo necessario per triplicare il
d occorre conoscere C
1
= 3 ⇔ t = 13.07 .
1 − 0.051t
5
11. Si consideri la funzione
f (t) =
1
1−0.05t
se 0 ≤ t <
1 + 0.1t se t ≥ 12
1
2
.
Si dimostri che f è un fattore di montante e si determini il tasso periodale d’interesse i
della relativa legge di capitalizzazione.
Soluzione:
f è definita ∀t ∈ [0, +∞).
1
f (0) = 1−0.05·0
= 1.
f è monotona strettamente crescente sia nell’intervallo [0, 12 ), ove si nota che coincide con
la legge commerciale, sia nell’intervallo [ 12 , +∞), ove si nota che coincide con la legge
semplice; inoltre
200
105
1
lim− f (t) =
<
= f( )
195
100
2
t→ 21
pertanto f è strettamente crescente in [0, +∞).
Si noti che f presenta una discontinuità di prima specie in t = 12 , ma questo non inficia il
fatto di essere un fattore di montante . . .
Per quanto riguarda il tasso periodale di interesse:
i = f (1) − 1 = 1 + 0.1 − 1 = 0.1
cioè i = 10%
12. Sia a ≥ 0; la funzione
2
f (t) = e0.5t+at
può rappresentare un fattore di montante?
a sı̀, se e solo se a = 0;
b no, per nessun a;
c sı̀, per qualsiasi a ≥ 0;
d sı̀, se e solo se a ≤ 1.
Soluzione:
f è definita in [0, +∞), f (0) = e0 = 1, f 0 (t) > 0 ∀t ≥ 0; si conclude che f è un fattore di
montante, per ogni a ≥ 0.
13. Si consideri la legge di capitalizzazione associata al fattore di montante
f (t) = 1 +
t
t2
+
.
20 100
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a il montante in t = 1.5 di un capitale C = 3000, impiegato in t = 0, è 3225 ;
b il montante in t = 1.5 di un capitale C = 3000, impiegato in t = 0, è 3292.5 ;
c il montante in t = 1.5 di un capitale C = 3000, impiegato in t = 0, è 3067.5 ;
6
d
nessuna delle altre tre affermazioni è corretta.
Soluzione:
t2
t
+
M = Cf (t) = C 1 +
20 100
3 1
9 1
6585
M (3000, 1.5) = 3000 1 +
+
=
= 3292.5
2 20 4 100
2
14. Un dato capitale iniziale C produce, al tempo t, un montante dato da
M (t) =
25t2 + 100
t2 + 10
(i) Si determini il valore del capitale iniziale.
(ii) Si determini l’espressione del fattore di montante f relativo a questa legge, verificando che
soddisfa le proprietà caratterizzanti un fattore di montante.
(iii) Si determinino tasso unitario di interesse e tasso unitario di sconto relativi alla legge data.
Soluzione:
(i) In una generica legge di montante M (C, t) = Cf (t), si ha M (C, 0) = C, capitale iniziale;
pertanto:
25 · 0 + 100
100
C = M (0) =
=
= 10
0 + 10
10
(ii) Il fattore di montante è dato da
f (t) =
M (C, t)
1 25t2 + 100
5t2 + 20
=
· 2
= 2
C
10
t + 10
2t + 20
Verifichiamo che f soddisfa le ipotesi caratterizzanti un fattore di montante:
• f è definita in IR (quindi, finanziariamente, è definita in [0, +∞));
5 · 0 + 20
= 1;
• f (0) =
2 · 0 + 20
30t
≥ 0 ∀t ∈ [0, +∞),
• f 0 (t) = 2
(t + 10)2
quindi f è monotona non decrescente.
(iii)
tasso unitario d’interesse:
tasso unitario di sconto:
25
i = f (1) − 1 =
− 1 = 0.136
22
1
22
d=1−
=1−
= 0.12
f (1)
25
15. Si consideri la legge di capitalizzazione associata al fattore di montante
√
f (t) = 1 + 0.02t + 0.05 t.
7
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a il tasso di sconto, relativo alla durata t = 4, è 0.18;
b il tasso di sconto, relativo alla durata t = 4, è 0.15;
c il tasso d’interesse, relativo alla durata t = 4, è 0.08;
d il tasso d’interesse, relativo alla durata t = 4, è 0.07.
Soluzione:
d(4) = 1 − v(4) = 1 −
=1−
1
=
f (4)
1
1
0.18
√ =1−
=
= 0.15
1 + 0.08 + 0.1
1.18
1 + 0.02 · 4 + 0.05 4
Invece:
i(4) = f (4) − 1 = 0.18
16.
(i) Per quali valori del parametro reale a, la funzione f (t) = 1 + at2 è un fattore di montante?
Che tipo di legge finanziaria si ottiene, per a = 0?
(ii) Si consideri a = 13 .
Tizio ha a disposizione un capitale unitario di 150000 euro e può investirlo utilizzando la
legge finanziaria definita da f . Deve decidere se investire per 5 anni senza interruzione, oppure investire per 2 anni, interrompere l’investimento e poi reinvestire il montante ottenuto
per altri 3 anni; cosa gli conviene fare? (si motivi opportunamente la risposta)
Soluzione:
(i)
• f è definita in IR (dominio finanziario [0, +∞)).
• f (0) = 1
∀a.
0
• f (t) = 2at ≥ 0 ∀t ∈ [0, +∞) ⇔ a ≥ 0.
Pertanto, f è un fattore di montante se e solo se a ≥ 0. Nel caso particolare a = 0, si
ottiene la legge costante f ≡ 1; ciò equivale a dire che il capitale iniziale resta sempre
identico (è come mettere i soldi sotto il materasso, sperando che non vengano i ladri o i
tarli . . .)
(ii) Per qualsiasi a > 0, la legge data non è certamente scindibile, in quanto non è la legge
composta esponenziale; nel caso a = 31 , la sua forza d’interesse
δ(t) =
2
f 0 (t)
2t
3t
=
=
1
2
f (t)
t +3
1 + 3 t2
è infatti non costante. Inoltre, notiamo (dallo studio della sua derivata) che δ non è
monotona: è dapprima crescente e poi decrescente; pertanto, non possiamo concludere se
sia, o no, conveniente interrompere e riprendere un investimento.
8
In particolare, per due determinati periodi di investimento (in questo caso: t1 = 2, t2 = 3)
non possiamo prevedere quale relazione ci sia tra f (t1 + t2 ) e f (t1 )f (t2 ). Dobbiamo fare i
conti:
1
f (2 + 3) = f (5) = 1 + 25 = 9.33
3
1
1
f (2)f (3) = 1 + 4
1 + 9 = 9.33
3
3
Quindi, nel caso di questi due periodi particolari, è indifferente interrompere o no l’investimento. Si noti che l’entità del capitale investito non conta nulla; quel che conta è il fattore
di montante f .
17. Nella legge di capitalizzazione f (t) = 1 + it, l’interesse prodotto dal capitale unitario,
impiegato in t = 0, nel periodo tra t e t + h, è proporzionale ad h ed a f (t); vero? a no, è
proporzionale solo ad h; b no, è proporzionale solo a f (t); c sı̀; d no, è proporzionale
ad h ed a (f (t))2 .
Soluzione:
f (t + h) − f (t) = 1 + i(t + h) − (1 + it) = ih
pertanto, per la legge semplice f (t) = 1 + it, l’interesse è proporzionale solo ad h (e non a
f (t)), pertanto la risposta giusta è la a .
Con conti analoghi, si verifichi che per la legge composta esponenziale f (t) = (1 + i)t ,
1
,
l’interesse è proporzionale ad h e a f (t), mentre, per la legge commerciale f (t) = 1−dt
2
l’interesse è proporzionale ad h e a (f (t)) .
18. Tizio riceve in prestito 93500 euro, in capitalizzazione semplice, per un anno e tre mesi,
concordando il rimborso a scadenza di 99110. Si determini la somma che Tizio dovrebbe
sborsare in meno, rispetto al pattuito, se il tasso fosse diminuito di mezzo punto.
Soluzione:
Dapprima, determiniamo il tasso d’interesse semplice per cui 99110 è il montante, dopo
un anno e tre mesi, del capitale impiegato 93500:
93500 =
99110
⇔ i = 4.8%
1 + 1.25i
Ora, al tasso diminuito di mezzo punto, cioè i = 4.3%, si avrebbe
M = 93500(1 + 1.25 · 0.043) = 98526
e quindi Tizio risparmierebbe
99110 − 98526 = 584
19. Si consideri la legge di capitalizzazione associata al fattore di montante
f (t) =
3
.
2 + e−2t
9
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a il tasso unitario di sconto è 0.288;
b il tasso unitario d’interesse è 0.332;
c la forza d’interesse è crescente;
d nessuna delle altre tre risposte è giusta.
Soluzione:
3
− 1 = 0.4049
2 + e−2
2 + e−2
t.u.s. = 1 − v(1) = 1 −
= 0.288
3
f 0 (t)
2
δ(t) =
decrescente
=
f (t)
1 + 2e2t
t.u.i. = f (1) − 1 =
20. Un capitale C, impiegato in t = 0 con la legge di montante f (t) = eδt , al tempo t = 6 è
triplicato; allora
a δ = 0.333;
b δ = 0.183;
c la risposta dipende da C;
d nessuna delle altre risposte è giusta.
Soluzione:
M = 3C = Cf (6) ⇐⇒ f (6) = 3 ⇐⇒ e6δ = 3 ⇐⇒ δ =
21. Un capitale C, impiegato in t = 0 con la legge di montante f (t) =
raddoppiato; allora il tasso periodale di sconto di questa legge è
a 0.5;
b 0.1;
c non si può rispondere, perché non si conosce C;
d nessuna delle altre tre risposte è giusta.
log 3
= 0.183
6
1
1−αt ,
al tempo t = 5 è
Soluzione:
Si tratta della legge commerciale, o a interessi anticipati, il cui tasso periodale di sconto,
d, è proprio il parametro α; pertanto, imponendo che al tempo 5 il capitale si raddoppi,
cioè f (5) = 2f (0), otteniamo il valore del tasso periodale di sconto:
f (5) = 2 ⇔
1
1
=2 ⇔ d=
= 0.1 .
1 − 5d
10
22. In regime composto, se il tasso annuo effettivo i è pari a 0.1, allora il tasso annuo nominale
convertibile trimestralmente è
a 0.1;
b 0.0961;
c 0.0965;
10
d 0.0968.
Soluzione:
√
1+i−1
√
4
j4 = 4i4 = 4
1.1 − 1 = 0.0965
jk = kik = k
k
23. Si determini il tasso annuo nominale convertibile bimestralmente, equivalente al tasso
annuo nominale convertibile quadrimestralmente del 12.8% (in regime composto).
Soluzione:
j3
0.128
=
= 0.0427
3
3
√
⇒ i6 = 1.0427 − 1 = 0.0211 ⇒ j6 = 6i6 = 12.66%
j3 = 0.128 ⇒ i3 =
(1 + i6 )2 = 1 + i3
24. Il tasso d’interesse equivalente ik è uguale al tasso proporzionale
a sı̀, ma solo in regime semplice;
b sı̀, ma solo in regime commerciale;
c no, ik è sempre minore di ki ;
d no, ik è sempre maggiore di ki .
i
k.
Vero?
Soluzioni:
In regime semplice, uguagliando i montanti del capitale unitario, nei due casi, si ha
i
1 + i = 1 +ik + · · · + ik = 1 + kik ⇔ ik =
{z
}
|
k
k volte
Quindi la a è vera; si noti che la c
è vera, ma in regime esponenziale.
25. Si determini in quanti trimestri un capitale di 2400 euro, impiegato in regime composto
al tasso annuo nominale convertibile trimestralmente del 7.4% frutta un interesse di 998
euro.
Soluzione:
Dapprima, occorre calcolare il tasso d’interesse composto trimestrale:
j4 = 7.4%
⇒
i4 =
0.074
= 1.85%
4
Il montante è dato dalla somma di capitale e interesse, quindi
M = C + I = 2400 + 998 = 3398
A questo punto, dalla legge di capitalizzazione composta M = C(1 + i)t (utilizzando come
unità temporale il trimestre), sostituendo i dati ora ottenuti per il tasso e per il montante,
si ricava il tempo (in trimestri):
3398
log 2400
t
3398 = 2400(1.0185) ⇒ t =
= 18.969 trimestri
log(1.0185)
11
26. Di quale regime finanziario è caratteristica l’additività degli interessi?
a del regime semplice;
b del regime commerciale;
c del regime composto in convenzione esponenziale;
d del regime composto in convenzione lineare.
Soluzione:
Una legge di capitalizzazione M = C · f (t) è detta ad interessi additivi se, considerati due
qualsiasi intervalli temporali (anche non consecutivi) di durata t1 e t2 , si ha
[f (t1 ) − 1] + [f (t2 ) − 1] = f (t1 + t2 ) − 1
cioè: gli interessi maturati in un periodo lungo t1 +t2 sono uguali alla somma degli interessi
maturati in periodo lungo t1 più quelli maturati in un periodo lungo t2 (altrimenti detto:
l’interesse dipende solo dal capitale iniziale e dalla durata dell’operazione, indipendentemente da sue eventuali sospensioni e riprese).
Posto g(t) := f (t) − 1 , si ha g(t1 ) + g(t2 ) = g(t1 + t2 ); la funzione g soddisfa quindi
l’equazione funzionale di Cauchy ed è allora del tipo g(t) = αt; di conseguenza, f (t) =
1 + g(t) = 1 + αt (fattore di capitalizzazione semplice, risposta a ).
Si verifichi che le altre risposte sono false.
27. Tizio impiega oggi un capitale C in regime composto al tasso d’interesse mensile i; Caio
impiega oggi lo stesso capitale C in regime semplice allo stesso tasso d’interesse mensile i;
tra tot mesi, chi avrà il montante maggiore?
a Tizio, qualsiasi sia tot;
b Caio, qualsiasi sia tot;
c Tizio, se tot > 1, Caio, se tot < 1; è lo stesso, se tot = 1;
d Caio, se tot > 1, Tizio, se tot < 1; è lo stesso, se tot = 1.
Soluzione:
Dai confronti tra i fattori di montante semplice 1 + it

 1 + it > (1 + i)t se e solo se
1 + it < (1 + i)t se e solo se

1 + it = (1 + i)t se e solo se
e composto (1 + i)t , sappiamo che
0<t<1
t>1
t=0ot=1
pertanto la risposta giusta è la c .
28. A parità di condizioni iniziali, sono maggiori gli interessi calcolati in capitalizzazione
composta esponenziale di quelli calcolati in capitalizzazione semplice; vero?
a sı̀;
b no;
c sı̀, se t > 1;
d sı̀, se t < 1.
Soluzione:
Dal confronto visto prima, ricaviamo la risposta giusta c .
29. Tizio impiega oggi un capitale C in regime composto al tasso d’interesse mensile i; Caio
impiega oggi lo stesso capitale C in regime commerciale allo stesso tasso d’interesse mensile
i; tra tot mesi, chi avrà il montante maggiore?
12
a
b
c
d
Tizio, qualsiasi sia tot
Caio, qualsiasi sia tot
Tizio, se tot > 1, Caio, se tot < 1; è lo stesso, se tot = 1
Caio, se tot > 1, Tizio, se tot < 1; è lo stesso, se tot = 1
Soluzione:
Dai confronti tra i fattori di montante composto (1 + i)t e commerciale
sappiamo che

t

 (1 + i) >
(1 + i)t <

 (1 + i)t =
1+i
1+i−it
1+i
1+i−it
1+i
1+i−it
1+i
1
=
1 − dt
1 + i − it
se e solo se 0 < t < 1
se e solo se t > 1
se e solo se t = 0 o t = 1
pertanto la risposta giusta è la d .
30. Si consideri la legge di capitalizzazione associata al fattore di montante
√
t
f (t) = 1 + a t + ,
50
(a ≥ 0).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a il t.u.i. i è pari al 6% se e solo se a = 0.05;
b se a = 0.01, allora il tasso d’interesse relativo al periodo 4, i(4), è pari al 10%;
c f non è un fattore di montante, se a 6= 0;
d nessuna delle altre tre risposte è giusta.
Soluzione:
a
1
+ 50
>
f è un fattore di montante, perché è definito ∀t ∈ [0, +∞), f (0) = 1 e f 0 (t) = 2√
t
0 ∀t > 0; pertanto, c è falsa.
1
Il t.u.i. è dato da i = f (1) − 1 = a +
50
6
1
4
1
pertanto, i = 6% se e solo se a + 50 = 0.06, cioè se e solo se a =
−
=
= 0.04
100 50
100
quindi, a è falsa.
4
Il tasso d’interesse relativo al periodo 4 è i(4) = f (4) − 1 = 2a +
50
4
5
pertanto, per a = 0.01, si ha i(4) = 0.1 ⇔ 2 · 0.01 +
=
= 0.1 e quindi b è vera.
50
50
31. Il sig. Mimbrogliano sconta oggi una cambiale di valore nominale M , scadente tra tot
mesi, presso la Banca Parmalat & Banda Bassotti & Cirio, in regime composto al tasso di
sconto settimanale d; il sig. Mifregano sconta oggi una cambiale di uguale valore nominale
ed ugual scadenza, presso la stessa Banca, in regime commerciale allo stesso tasso di sconto
settimanale d; chi riceve più soldi dalla Banca P.&BB.&C.?
a il sig. Mimbrogliano, qualsiasi sia tot;
b il sig. Mifregano, qualsiasi sia tot;
c il sig. Mimbrogliano, se tot > 1, il sig. Mifregano, se tot < 1; è lo stesso, se tot = 1;
13
d
il sig. Mifregano, se tot > 1, il sig. Mimbrogliano, se tot < 1; è lo stesso, se tot = 1.
Soluzione:
Per l’attualizzazione, vale ovviamente il contrario di quello che vale per la capitalizzazione
1
); pertanto, dai risultati noti sui confronti tra i fattori di montante f
(essendo v(t) = f (t)
(per 0 < t < 1, semplice è meglio di esponenziale, che è meglio di commerciale; per t > 1,
commerciale è meglio di esponenziale, che è meglio di semplice), seguono i risultati sui
fattori di sconto v:
0<t<1 :
vsemplice (t) < vesponenziale (t) < vcommerciale (t)
t>1
:
vcommerciale (t) < vesponenziale (t) < vsemplice (t)
Pertanto, la risposta giusta è la c .
32. Otto mesi fa, ho comprato 2000 azioni al prezzo unitario di 3.5 euro. Dopo 5 mesi, ho
incassato un dividendo di 0.175 euro per azione, che ho versato su un c/c, in regime
semplice al tasso annuo del 2%. Oggi, vendo tutte le azioni ad un prezzo unitario di 3.65
euro.
(i) In ipotesi di legge esponenziale, si determini il tasso annuo d’interesse.
(ii) In ipotesi di legge semplice, si determini il tasso annuo d’interesse e l’equivalente tasso
semestrale.
Soluzione:
Il capitale iniziale investito (cioè quanto ho speso 8 mesi fa) è
C = 2000 · 3.5 = 7000
Il montante (cioè quanto ho oggi) è dato da due importi:
• la cifra ottenuta dalla vendita delle azioni,
2000 · 3.65 = 7300
• i dividendi ricevuti 3 mesi fa, 2000 · 0.175, capitalizzati per 3 mesi in regime semplice al
tasso annuo del 2%,
3
= 351.75
2000 · 0.175 1 + 0.02 ·
12
Pertanto, il montante è
M = 7300 + 351.75 = 7651.75
(i) Il tasso d’interesse composto, della operazione descritta, è dato da
8
7651.75 = 7000 (1 + i) 12 ⇔ i = 0.14286
(ii) Il tasso d’interesse semplice, della operazione descritta, è dato da
8
7651.75 = 7000 1 + i
⇔ i = 0.13966
12
14
Il tasso semestrale semplice equivalente è
i2 =
i
= 0.06983
2
33. Si determini il tasso annuo nominale convertibile trimestralmente corrispondente al tasso
annuo effettivo del 16.5% (in regime composto).
Soluzione:
i = 16.5% ⇒ i4 =
√
4
1.165 − 1 = 3.89% ⇒ j4 = 4i4 = 15.56%
34. Sia x il tasso nominale convertibile trimestralmente corrispondente al tasso annuo del
14.4%; si determini il montante, dopo un anno e due mesi, di un capitale di 14400, in
capitalizzazione composta in convenzione lineare al tasso x.
Soluzione:
Si ha x = j4 = 4i4 ; calcoliamo quindi i4 , tasso trimestrale equivalente al tasso annuo
i = 14.4%, e, in seguito, ricaviamo x:
i = 14.4% ⇒ i4 =
√
4
1.144 − 1 = 3.42% ⇒ x = 4 · 0.0342 = 0.1368
Ora consideriamo la legge di capitalizzazione composta in convenzione lineare al tasso x,
cioè
M = Cf (t) = C(1 + x)[t] (1 + x(t − [t]))
ove [t] rappresenta la parte intera di t. Utilizzando tale legge, al tasso x = 0.1368, abbiamo,
2
,
al tempo t = 1 + 12
2
M = 14400(1 + x) 1 + x
= 16743.
12
35. Si determini il tasso trimestrale equivalente al tasso annuo in capitalizzazione composta
necessario ad ottenere dopo otto anni e mezzo un montante di 79060 euro, partendo da un
capitale iniziale di 6976 euro e 50 centesimi.
Soluzione:
Dapprima si determina il tasso annuo composto i tale da ottenere il montante dato, a
partire dal capitale iniziale dato, nel tempo dato:
79060 = 6976.5(1 + i)8.5 ⇒ i = 33.057%
Ora si calcola il tasso trimestrale equivalente i4 :
i4 =
√
4
1.33057 − 1 = 7.4%
15
36. Il tasso di sconto è funzione decrescente del corrispondente tasso d’interesse; vero?
a no, mai;
b sı̀, ma solo in capitalizzazione semplice;
c sı̀, ma solo in capitalizzazione composta esponenziale;
d sı̀, ma solo in capitalizzazione composta in convenzione lineare.
Soluzione:
Tasso di interesse i(t) e tasso di sconto d(t) sono dati da
i(t) = f (t) − 1
1
d(t) = 1 −
f (t)
pertanto, il legame tra tasso di sconto e tasso di interesse è dato da
d(t) =
i(t)
1 + i(t)
Vedendo d come funzione di i, si ha
d0 (i) =
1
>0
(1 + i)2
∀i
e quindi il tasso di sconto d è sempre funzione crescente del tasso d’interesse i, in qualsiasi
legge di capitalizzazione ( a ).
37. In regime composto, si ha δ = log(1 + i), ove δ è la forza d’interesse e i è il tasso unitario
di sconto; vero?
a sı̀;
b no, i è il tasso unitario di interesse;
c no, δ = log(i);
d no, δ = e1+i .
Soluzione:
f 0 (t)
, si ricava, nel caso della legge di capitaf (t)
lizzazione composta (associata quindi al fattore f (t) = (1 + i)t ):
Dalla definizione di forza d’interesse, δ(t) =
δ(t) =
(1 + i)t log(1 + i)
= log(1 + i)
(1 + i)t
e quindi risposta b .
38.
Quale è la forza d’interesse costante che permette, a partire da un capitale iniziale di
25000 euro, di avere, dopo 4 anni, il montante di 33000?
a 0.0694;
b 0.08;
c 0.0606;
16
d
non esiste alcuna forza d’interesse costante che riesca ad ottenere tale risultato.
Soluzione:
4δ
33000 = 25000e
⇔ δ=
33
25
log
4
= 0.0694
39. In regime semplice al tasso periodale del 8.28%, la forza d’interesse in t = 10 è pari al
4.529%. Vero?
a no, è minore;
b no, è maggiore;
c sı̀;
d no, questa è la forza d’interesse in regime composto.
Soluzione:
f (t) = 1 + it ⇒ δ(t) =
δ(10) =
f 0 (t)
i
=
f (t)
1 + it
0.0828
= 4.529%
1 + 0.0828 · 10
Invece, in regime composto, la forza d’interesse, in t = 10 ed in qualsiasi altro t (dato che
è costante) è
δ = log(1 + i) = log(1.0828) = 0.0795
40. In regime commerciale, la forza d’interesse è
a costante;
b crescente;
c decrescente;
d non si può rispondere, a priori, perché dipende dal tasso di sconto.
Soluzione:
f (t) =
1
f 0 (t)
d
⇒ δ(t) =
=
1 − dt
f (t)
1 − dt
crescente
La legge di capitalizzazione a interessi anticipati ha forza d’interesse crescente rispetto al
tempo; ecco perché, in questa legge, non conviene interrompere e immediatamente riprendere l’investimento; invece, nella legge semplice, la forza è decrescente e quindi conviene
interrompere e riprendere; nella legge composta esponenziale, la forza è costante, e quindi
è indifferente se interrompere o no. Questi tre casi corrispondono rispettivamente a
f (t1 )f (t2 ) < f (t1 + t2 )
f (t1 )f (t2 ) > f (t1 + t2 )
f (t1 )f (t2 ) = f (t1 + t2 )
41. La forza d’interesse è crescente se si è in presenza della legge di capitalizzazione commerciale; vero?
a no, è costante;
b no, è decrescente;
c sı̀, solo per t > 1;
d sı̀, solo per t < d1 .
17
Soluzione:
In regime semplice, la forza d’interesse è
f (t) = 1 + it ⇒ δ(t) =
f 0 (t)
i
=
f (t)
1 + it
decrescente
In regime commerciale (che, ricordiamo, è definito solo per t ∈ [0, d1 )), la forza d’interesse
è
1
f 0 (t)
d
f (t) =
⇒ δ(t) =
=
crescente
1 − dt
f (t)
1 − dt
In regime composto esponenziale, la forza d’interesse è
f (t) = (1 + i)t ⇒ δ(t) =
f 0 (t)
= log(1 + i) costante
f (t)
Pertanto, la risposta giusta è la d .
42. In capitalizzazione semplice al tasso periodale d’interesse i = 0.01, la forza d’interesse in
t = 6 è
a
1
;
100
b
1
;
106
c
Soluzione:
f (t) = 1 + it ⇒ δ(t) =
2
;
112
d
2
.
100
i
f 0 (t)
=
f (t)
1 + it
1
0.01
1
100
δ(6) =
=
=
6
1 + 0.01 · 6
106
1 + 100
2t+1
43. Si consideri il fattore di montante associato alla forza d’interesse δ(t) = 1+t+t
2 ; si determini
il montante in t = 3 del capitale iniziale di 145 euro; si determini inoltre il tasso unitario
di interesse.
Soluzione:
Dalla definizione di forza d’interesse, δ(t) =
f 0 (t)
, si ricava il fattore di montante f :
f (t)
2t + 1
δ(t) =
⇒ f (t) = e
1 + t + t2
Rt
0
δ(s)ds
= 1 + t + t2
Ora che abbiamo il fattore di montante, e quindi la legge di capitalizzazione M = Cf (t),
si determina il montante, al tempo 3, del capitale impiegato iniziale 145, semplicemente
sostituendo questi dati nella M = Cf (t):
M = 145 · f (3) = 145(1 + 3 + 9) = 1885
18
Per il tasso unitario di interesse, si ha
i = f (1) − 1 = 1 + 1 + 1 − 1 = 2 = 200%
. . . accipicchia che forza d’interesse forzuta. . .
44. Si determini il montante, disponibile tra sei anni, di un capitale di 222000, impiegato con
il fattore di montante associato alla forza d’interesse δ(t) = 0.074 + 0.0005t.
Soluzione:
δ(t) = 0.074 + 0.0005t ⇒
Rt
2
δ(s)ds
f (t) = e 0
= e0.074t+0.00025t
2
M = Cf (6) = 222000e0.074·6+0.00025·6 = 349211
45. Sia f (t) il fattore di montante associato alla forza d’interesse δ(t) = 0.01 + 0.02t. Allora
l’interesse maturato in 2 anni, da un capitale di 20000 euro, impiegato oggi, con la legge
di capitalizzazione associata ad f , è (si approssimi all’unità)
a 1533;
b 1237;
c 1327;
d nessuna delle altre.
Soluzione:
f (t) = e
Rt
0
δ(s)ds
=e
Rt
0
(0.01+0.02s)ds
=e
2
0.01s+0.02 s2
t
0
= e0.01t+0.01t
2
I = M − C = Cf (2) − C = 20000 e0.02+0.04 − 1 = 20000 · 0.0618365 = 1236.73
46. Si determini il montante tra sei anni di un capitale di 12900 euro, utilizzando la legge di
0.04
capitalizzazione associata alla forza d’interesse δ(t) = 1−0.04t
.
Soluzione:
Da un esercizio precedente, sappiamo già che tipo di legge ha questa forza (quale?); in ogni
caso, senza bisogno di fare sforzi mnemonici, ricaviamoci la legge direttamente:
0.04
⇒
1 − 0.04t
Rt
1
δ(s)ds
f (t) = e 0
=
1 − 0.04t
1
M = Cf (6) = 12900 ·
= 16974
1 − 0.04 · 6
δ(t) =
. . . era la legge commerciale a tasso di sconto del 4% . . .
47. Si determini il montante disponibile tra otto anni e mezzo di un capitale di 92500 euro,
impiegato con il fattore di montante la cui forza d’interesse è δ(t) = 0.037 + 0.012t.
19
Soluzione:
δ(t) = 0.037 + 0.012t ⇒
Rt
2
δ(s)ds
f (t) = e 0
= e0.037t+0.006t
2
M = Cf (8.5) = 92500e0.037·8.5+0.006·8.5 = 92500 · 2.1128 = 195431
48. Un capitale C = 25000, impiegato in t = 0 con la legge di capitalizzazione associata alla
0.1
, dà luogo, al tempo t = 3, ad un montante M ; allora
forza d’interesse δ(t) = 1−0.1t
a M = 33746;
b M = 35714;
c M = 38746;
d nessuna delle altre.
Soluzione:
Si riconosce subito che δ(t) è la forza d’interesse associata alla legge di capitalizzazione
1
(se non si riconosce, si fanno i
commerciale al tasso di sconto d = 10%: f (t) = 1−0.1t
Rt
δ(s)ds
conti: f (t) = e 0
= · · ·)
Pertanto:
1
25000
M = 25000f (3) = 25000
=
= 35714
1 − 0.1 · 3
0.7
49. Si enunci e si dimostri il Teorema di caratterizzazione delle leggi scindibili di montante.
Soluzione:
Enunciato:
Sia f un fattore di montante derivabile; le seguenti affermazioni su f sono allora equivalenti:
(1)
f è scindibile, cioè f (t1 + t2 ) = f (t1 )f (t2 ) ∀t1 , t2 ≥ 0;
0
(t)
è costante, cioè δ(t) = δ ≥ 0 ∀t ≥ 0;
(2)
la forza d’interesse δ(t) = ff (t)
δt
(3)
f (t) = e ∀t ≥ 0, cioè f è la legge composta esponenziale.
Dimostrazione:
È sufficiente dimostrare le seguenti implicazioni:
(3) ⇒ (1),
(2) ⇒ (3),
(1) ⇒ (3) ⇒ (2).
(3) ⇒ (1):
f (t1 + t2 ) = eδ(t1 +t2 ) = eδt1 +δt2 = eδt1 eδt2 = f (t1 )f (t2 )
(2) ⇒ (3):
f 0 (t)
= δ ∀t
f (t)
Z t
f 0 (s)
t
t
ds =
δds ⇒ [log(f (s))]0 = δ [s]0 ⇒
f (s)
0
δ(t) =
Z
0
t
log(f (t)) − log(f (0)) = δt ⇒ log(f (t)) − 0 = δt ⇒ f (t) = eδt
20
(1) ⇒ (3):
f (t1 + t2 ) = f (t1 )f (t2 ) ⇒ log (f (t1 + t2 )) = log(f (t1 )) + log(f (t2 ))
posto g(t) := log(f (t)), si ha quindi che la funzione g soddisfa l’equazione funzionale di
Cauchy
g(t1 + t2 ) = g(t1 ) + g(t2 ) ∀t1 , t2 ≥ 0
pertanto vale
g(t) = δt
con δ = g(1) ∈ [0, +∞) perché f (1) ≥ 1
e quindi
g(t) = log(f (t)) = δt ⇒ f (t) = eδt
(3) ⇒ (2):
f (t) = e
δt
δeδt
f 0 (t)
= δt = δ ∀t
⇒ δ(t) =
f (t)
e
50. Sia f il fattore di capitalizzazione composta in convenzione esponenziale e sia g il fattore
di capitalizzazione composta in convenzione lineare, entrambi allo stesso tasso unitario
d’interesse i; allora, per ogni t1 , t2 > 0, vale
a f (t1 + t2 ) ≥ g(t1 )g(t2 );
b f (t1 + t2 ) = g(t1 )g(t2 );
c f (t1 + t2 ) ≤ g(t1 )g(t2 );
d nessuna delle altre tre risposte è giusta.
Soluzione:
Come noto, g(t) coincide con f (t) nei punti ad ascissa intera (n, (1 + i)n ) e, nell’intervallo
t ∈ [n, n+1], il grafico di g è il segmento congiungente i due punti (n, f (n)) e (n+1, f (n+1)).
La funzione esponenziale f è strettamente convessa, se i > 0, quindi si ha
< g(t) ∀t > 0, t 6∈ IN
f (t)
= g(t) ∀t ∈ IN
Finanziariamente, ciò significa che, a parità di tempo e di tasso, il montante calcolato
mediante la convenzione lineare è superiore al montante in convenzione esponenziale, per
durate non intere.
La legge composta esponenziale f è scindibile, quindi vale
f (t1 )f (t2 ) = f (t1 + t2 )
∀t1 , t2 ≥ 0
Pertanto, unendo i due risultati soprascritti, abbiamo:
f (t1 + t2 ) = f (t1 )f (t2 ) ≤ g(t1 )g(t2 ) ∀t1 , t2 ≥ 0
e vale la disuguaglianza stretta (se i > 0) se ti 6∈ IN ; la risposta giusta è quindi la c
i = 0, f e g coincidono per ogni t e quindi vale l’uguaglianza).
21
(se
51.
t
Si consideri il fattore di montante associato alla forza d’interesse δ(t) = 10
; allora, il
montante al tempo t = 2, di un capitale di 15000 euro, impiegato in t = 0, è, arrotondando
all’unità,
a 18321;
b 24428;
Soluzione:
f (t) = e
c 30535;
Rt
s
ds
0 10
s2 t
=e
20
0
d nessuna delle altre.
t2
= e 20
4
M = Cf (2) = 15000e 20 = 18321
52. Presento allo sconto una cambiale con scadenza a due mesi, emessa oggi; ricevo 1610 euro;
sapendo che la Banca ha applicato lo sconto commerciale con tasso annuo di sconto del
14.6%, si determini il valore nominale della cambiale.
Soluzione:
La legge di attualizzazione commerciale al tasso annuo di sconto d è
C = V (M, t) = M v(t) = M (1 − dt);
in questo caso, quindi,
2
1610 = M 1 − 0.146 ·
⇒ M = 1650.2
12
53. Tizio riscuoterà 13000 euro tra dieci mesi e 17500 euro tra venti mesi. Il valore attuale
di questi due incassi futuri, valutato con sconto commerciale, è pari a 25000 euro. Si
determini il tasso annuo di sconto.
Soluzione:
La legge di attualizzazione commerciale (o a interessi anticipati) è
C = V (M, t) = M v(t) = M (1 − dt)
ove d è il tasso periodale di sconto.
Il valore attuale complessivo dei due incassi futuri è quindi
10
20
+ 17500 1 − d
13000 1 − d
12
12
uguagliando a 25000, si ottiene
d = 13.75%.
54. Utilizzando la legge di sconto composto, si determini per quale tasso periodale di interesse
i due importi di 88000 e di 118800, scadenti rispettivamente tra 4 e 6 anni, hanno oggi lo
stesso valore.
22
Soluzione:
La legge di sconto composto è data da
C = V (M, t) = M v(t) = M (1 + i)−t = M (1 − d)t
ove i e d sono, rispettivamente, il tasso periodale di interesse e di sconto. In questo caso,
quindi, uguagliando i due valori attuali, otteniamo
118800
88000
=
⇔ i=
4
(1 + i)
(1 + i)6
r
118800
− 1 = 16.19%
88000
55. Due capitali differiscono per 900 euro; il capitale maggiore può essere prelevato tra un
anno e sei mesi, quello minore, tra due anni e nove mesi; il valore attuale complessivo,
calcolato con la legge composta in convenzione lineare al tasso annuo di interesse del 10%,
è di 7800 euro. Determinare l’importo del capitale minore.
Soluzione:
La legge di attualizzazione da utilizzare è data dal fattore di sconto reciproco del fattore
di montante composto lineare a tasso d’interesse del 10%, quindi
v(t) =
(1 +
0.1)[t]
1
(1 + 0.1(t − [t]))
Indicando con C il capitale minore, e quindi con C + 900 il capitale maggiore, si ha
7800 =
(1.1)2 (1
C
+ 0.1 ·
9
12 )
+
C + 900
(1.1)(1 + 0.1 ·
6
12 )
⇒ C = 4295
56. Nel regime dello sconto commerciale, quale relazione lega il tasso di sconto per periodo
unitario al tasso di sconto equivalente per k-esimo
di periodo?
√
k
k
a dk = (1 + d) − 1;
b dk = 1 − 1 − d;
c dk = kd;
d dk = kd .
Soluzione:
Uguagliando i valori attuali, si ha
d
1 − d = 1 −dk − dk − · · · − dk = 1 − kdk ⇔ dk =
{z
}
|
k
k volte
Si noti che la b è vera in regime composto esponenziale.
57. Devo presentare allo sconto una cambiale; tre banche mi offrono lo stesso tasso unitario di
sconto, ma a condizioni diverse: la Banca Commerciale propone lo sconto commerciale, la
23
Banca Razionale, lo sconto razionale e la Banca Composta, lo sconto composto. Da chi mi
conviene andare?
a sempre dalla Banca Composta;
b dalla Banca Razionale se la scadenza è inferiore ad un periodo unitario,
altrimenti dalla Banca Commerciale;
c dalla Banca Commerciale se la scadenza è inferiore ad un periodo unitario,
altrimenti dalla Banca Razionale;
d dalla Banca Commerciale se la scadenza è inferiore ad un periodo unitario,
altrimenti dalla Banca Composta.
Soluzione:
Si devono confrontare i tre fattori di sconto
1−d
1
=
fattore di sconto semplice o razionale
vs (t) =
1 + it
1 − d + dt
vc (t) = (1 + i)−t = (1 − d)t
fattore di sconto composto
1 + i − it
va (t) = 1 − dt =
fattore di sconto commerciale
1+i
utilizzando lo stesso tasso unitario di sconto d (o lo stesso tasso unitario di interesse i).
Lo studio delle tre funzioni mostra che valgono le relazioni:
t=0
vs (0) = vc (0) = va (0) = 1
1
t=1
vs (1) = vc (1) = va (1) = 1 − d =
1+i
t>1
va (t) < vc (t) < vs (t)
0<t<1
vs (t) < vc (t) < va (t)
In modo ancor più semplice, si possono ricavare queste relazioni da quelle precedentemente
viste per i fattori di montante, dato che il fattore di sconto è il reciproco del fattore di
montante.
v(t) rappresenta quello che ricevo dalla banca oggi, in cambio di ogni unità di valore
nominale della mia cambiale di scadenza t; pertanto se t < 1, mi conviene il regime dello
sconto commerciale, mentre, se t > 1, mi conviene il regime semplice ( c ); notare che la
risposta b è quella che conviene alla banca, cioè a chi anticipa i soldi, non a me.
58. Si consideri la funzione
2t + 1
f (t) =
t+1
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Si stabilisca se f è atta a rappresentare un fattore di montante.
Si determini la forza di interesse ad esso associato.
Si determinino i relativi tassi periodali di interesse e di sconto.
Tizio investe 100000 euro in t = 0, con la legge f , fino al tempo t = 3. Senza fare calcoli,
si dica se a Tizio conviene, o no, interrompere l’investimento in t = 2 per riprenderlo
immediatamente, alle medesime condizioni, fino a t = 3.
Soluzione:
(i) f è definita in (−∞, −1) ∪ (−1, +∞), quindi ha come dominio finanziario [0, +∞);
f (0) = 1;
24
1
> 0 ∀t ∈ [0, +∞);
(1 + t)2
pertanto, f è atta a rappresentare un fattore di montante.
f 0 (t) =
(ii)
f 0 (t)
δ(t) =
=
f (t)
1
(1+t)2
2t+1
t+1
=
2t2
1
+ 3t + 1
(iii)
2+1
− 1 = 0.5 = 50%
1+1
1
2
1
d = 1 − v(1) = 1 −
= 1 − = = 33.3%
f (1)
3
3
i = f (1) − 1 =
(iv) Si nota che la forza d’interesse è strettamente decrescente, quindi conviene interrompere
l’investimento per immediatamente riprenderlo; cosı̀ facendo, Tizio arriverebbe ad un montante superiore.
59. Un quotidiano riporta questa notizia:
Scende al 7% la soglia oltre la quale viene considerato usurario un prestito.
(i) Cosa non è chiaro, in questa notizia?
(ii) Data la funzione
αt + 1
f (t) =
t+1
si determini α affinché f definisca una legge di capitalizzazione con tasso periodale d’interesse minore del 7%.
Soluzione:
(i) Il giornalista non ha specificato se si tratta di tasso d’interesse o di sconto; possiamo
supporre che intendesse tasso d’interesse, dato che non ha specificato altrimenti. Inoltre,
il giornalista non ha specificato quale sia la legge di capitalizzazione applicata (semplice?
composta? commerciale? di un altro tipo ancora?); possiamo supporre che intendesse
usare la legge composta esponenziale, dato che è la più importante ed utile (in quanto
scindibile), ma non è stata specificata l’unità di misura del tempo (tasso mensile? semestrale? annuale?).
α−1
(ii) Il dominio finanziario di f è [0, +∞), vale f (0) = 1 e f 0 (t) = (t+1)
2 ≥ 0 (∀t ≥ 0) se e solo
se α ≥ 1. Inoltre
α+1
i = f (1) − 1 =
− 1 < 0.07 ⇔ α < 1.14
2
Deve quindi essere 1 ≤ α < 1.14
60. Si consideri la funzione
3
f (t) = et
(i) Si verifichi che f è un fattore di montante.
(ii) Si calcoli la forza d’interesse associata a f .
25
−3t2 +3t
(iii) La legge di capitalizzazione associata a f è scindibile? Perché?
(iv) Si determini il tasso unitario di interesse ed il tasso unitario di sconto della legge associata
a f.
(v) Si calcoli il montante M2 generato in t = 2 da un capitale unitario impiegato in t = 0
ed il montante M2∗ ottenuto sempre in t = 2, da un capitale unitario impiegato in t = 0,
ipotizzando di interrompere la capitalizzazione in t = 32 e immediatamente riprenderla.
Soluzione:
(i)
•
•
•
f è
f è definita in IR, quindi il dominio finanziario è [0, +∞);
f (0) = e0 = 1;
3
2
3
2
f 0 (t) = (3t2 − 6t + 3)et −3t +3t = 3(t − 1)2 et −3t +3t ≥ 0 ∀t ∈ [0, +∞);
quindi un fattore di montante.
(ii)
δ(t) =
f 0 (t)
= 3(t − 1)2
f (t)
(iii) f non è scindibile, perché la sua forza di interesse non è costante.
(iv)
i = f (1) − 1 = e − 1 ∼ 171.8%
1
d = 1 − v(1) = 1 − ∼ 63.2%
e
(v)
M2 = f (2) = e8−3·4+3·2 = e2
26
28
2
4
M2∗ = f ( )f ( ) = e 27 e 27 = e2
3
3
In questo caso particolare (t1 = 32 , t2 = 43 ), si è ottenuto f (t1 + t2 ) = f (t1 )f (t2 ), e quindi
è indifferente interrompere, o no, l’investimento; questo, però, non implica assolutamente
che la legge sia scindibile (ed infatti non lo è). Infatti, basta prendere altri valori del tempo,
e si ottiene, per esempio,
t1 = t ∈ (0, 1), t2 = 1 − t :
2
f (t1 + t2 ) = f (1) = e, f (t1 )f (t2 ) = e−3t
e questi due valori sono diversi, per t ∈ (0, 1).
26
+3t+1
Università degli studi di Milano Bicocca – Facoltà di Economia
Matematica Finanziaria
Esercizi con risoluzione dettagliata
Capitolo 2: Rendite
Elenco degli argomenti:
Rendite:
Definizioni (certa/aleatoria, costante/a rate variabili, periodica/aperiodica, temporanea/perpetua, intera/frazionata, anticipata/posticipata, immediata/differita).
Il valore V (t) di una rendita in un istante t; valore attuale, montante (formule generali).
Valori di rendite in regime esponenziale; le funzioni
an|i , sn|i , än|i , s̈n|i ,
p an|i ,
p än|i ,
a
(h)
n|i
, s
(h)
n|i
.
Rendite perpetue: valori di rendite perpetue nel regime esponenziale; le funzioni
a∞|i , ä∞|i ,
p a∞|i ,
a
(h)
∞|i
.
Rendite a rate variabili; valori di rendite a rate variabili in regime esponenziale; rendite
con rate variabili in progressione geometrica.
Equivalenza finanziaria: valore di una rendita, rendite finanziariamente equivalenti in un
instante t, condizione necessaria e sufficiente affinché due rendite finanziariamente equivalenti in un’epoca lo siano in qualsiasi altra epoca.
Problemi inversi nella teoria delle rendite: determinazione della rata, della durata, del
tasso; ricerca del tasso.
Indici temporali:
La scadenza media aritmetica t.
La scadenza media z; proprietà di z(i), nel caso del regime esponenziale.
La duration D.
Riferimenti bibliografici:
(1) Stefani-Torriero-Zambruno, Elementi di Matematica finanziaria e cenni di Programmazione lineare, Giappichelli Editore, Torino, terza edizione, 2007.
(2) Carcano, Matematica finanziaria. Test, esercizi e temi d’esame, con svolgimenti e
richiami teorici. Datanova, Milano, 2001.
27
1. In una rendita immediata posticipata
a il valore attuale è calcolato in corrispondenza della prima rata non nulla;
b il montante è calcolato in corrispondenza dell’ultima rata non nulla;
c tra la prima e la seconda rata non nulla passa più di un periodo;
d nessuna delle altre tre affermazioni è corretta.
Soluzione:
La risposta giusta è la b .
Si noti che la a corrisponde a rendita anticipata e la c a rendita pluriennale (se anche
tutte le altre rate si susseguono alla stessa distanza, cioè se sono equiintervallate, a distanza
di k periodi, con k > 1), oppure a rendita non periodica (in caso contrario).
2. Si consideri la rendita
R = [(0, 1000, 1200, 1440, 1728); (0, 1, 2, 3, 4)]
Quale delle seguenti affermazioni su R è corretta?
a R è periodica, anticipata, immediata, a rate variabili;
b R è periodica, posticipata, immediata, a rate variabili
in progressione aritmetica;
c R è periodica, anticipata, differita di un periodo, a rate variabili
in progressione geometrica;
d R è non periodica, anticipata, differita di un periodo, a rate variabili.
Soluzione:
Si ha tk+1 − tk = 1 ∀k = 1, 2, 3, quindi R è periodica.
La rate sono variabili in progressione geometrica, di ragione q = 1.2 (cioè sono indicizzate
al 20%); non sono in progressione aritmetica.
Se consideriamo la rendita come posticipata, allora è immediata.
Se consideriamo la rendita come anticipata, allora è differita di un periodo.
In definitiva, l’unica affermazione completamente corretta è la c .
3. In una rendita immediata anticipata
a il valore attuale è calcolato in corrispondenza della prima rata non nulla;
b il montante è calcolato in corrispondenza dell’ultima rata non nulla;
c tra la prima e la seconda rata non nulla passa più di un periodo;
d nessuna delle altre tre affermazioni è corretta.
Soluzione:
La risposta giusta è la a .
Si noti che la b corrisponde a rendita posticipata e la c significa che potrebbe trattarsi
di rendita pluriennale.
4. Una rendita si dice frazionata se e solo se
a l’intervallo tra due scadenze successive è minore di 1;
28
b
c
d
ogni rata vale meno di 1;
in ogni periodo unitario la rata viene suddivisa in h parti,
da versarsi ogni h−esimo di periodo;
la somma di tutte le rate della rendita vale 1.
Soluzione:
La c è proprio la definizione di rendita frazionata.
5. Senza bisogno di far conti, ma solo ragionando finanziariamente, si dimostri la seguente
relazione
an|i + 1 + v n+1 = än+2|i
Soluzione:
Il primo membro è il valore attuale di una rendita unitaria posticipata, di n rate, alla quale
si aggiungono una rata unitaria oggi (e quindi di valore 1) ed una rata al tempo n + 1
(e quindi di valore attuale v n+1 ); in definitiva, è il valore attuale di una rendita unitaria
anticipata, di n + 2 rate, che è proprio il secondo membro.
6. Senza bisogno di far conti, ma solo ragionando finanziariamente, si dimostri la seguente
relazione
a4|i + a12|i = 2a4|i + v 4 a8|i
Soluzione:
Si sta considerando il valore attuale di una rendita data dall’unione di due rendite immediate posticipate unitarie, una di 4 rate e l’altra di 12 rate; una tale rendita ha quindi le
prime 4 rate doppie delle successive 8 rate.
7. Il valore attuale di una rendita annua immediata posticipata è di 2100. Sapendo che si
versano 12 rate annue costanti in capitalizzazione composta ai tassi semestrali del 3% per
i primi 8 anni e del 5% per i successivi, si determini il valore della rata.
Soluzione:
Per le prime 8 rate, si ha:
i = (1 + i2 )2 − 1 = 1.032 − 1 = 6.09%
V = V (0) = Ra8|0.0609 = 6.1877R
per le restanti 4 rate, si ha:
i = (1 + i2 )2 − 1 = 1.052 − 1 = 10.25%
V = V (0) = Ra4|0.1025 (1.0609)−8 = 1.9647R
Pertanto
V = V (0) = 6.1877R + 1.9647R = 2100 ⇒ R = 257.59 .
29
8. Vale
a
b
c
d
1 + isn|i = (1 + i)n ; vero?
no;
sı̀, ma solo se la rendita è unitaria;
sı̀;
sı̀, ma solo se la rendita è a rate costanti.
Soluzione:
1 + isn|i = 1 + i
(1 + i)n − 1
= 1 + (1 + i)n − 1 = (1 + i)n
i
quindi c .
9. Si consideri una rendita R, annua posticipata, di durata 6 anni, con prima rata R = 50 e
rate successive alternativamente di R e 2R; si determini il valore attuale di R, in regime
di sconto composto al tasso d’interesse annuo del 10%.
Soluzione:
Possiamo considerare R come la somma di due rendite: la prima, annuale, di 6 rate R = 50,
e la seconda, biennale, di 3 rate R = 50.
I valori attuali sono:
1 − (1.1)−6
= 217.76
0.1
i = 0.1 ⇒ i 12 = (1.1)2 − 1 = 0.21 ⇒
V1 = 50a6|0.1 = 50
V2 = 50a3|0.21
1 − (1.21)−3
= 50
= 103.7
0.21
si noti che, per calcolare V2 , è necessario calcolare il tasso biennale i 12 equivalente al tasso
annuo i.
Pertanto, il valore attuale di R è
V = V1 + V2 = 321.46
10. Si descrivano i metodi per calcolare il montante di una rendita frazionata posticipata, a
seconda del tipo di tasso noto.
Si considerino due rendite di ugual durata 10 anni: una è unitaria frazionata trimestralmente, l’altra è unitaria annua. Si determini, in regime composto al tasso annuo i = 15%,
la differenza tra i relativi montanti.
Soluzione:
Si consideri una rendita unitaria immediata posticipata, di durata n periodi unitari,
frazionata h volte in ogni periodo unitario (quindi al termine di ogni h-esimo di periodo,
si ha la rata h1 e ci sono nh rate).
Per calcolare il montante (e discorsi analoghi si applicano per calcolare il valore attuale):
30
(i) se viene assegnato il tasso d’interesse effettivo ih , relativo alla frazione di periodo considerata, si ha:
(1 + ih )nh − 1
1
montante = snh|ih =
h
hih
(ii) se viene assegnato il tasso nominale convertibile h volte nel periodo unitario jh , si ha:
montante =
(1 + jhh )nh − 1
1
1
snh|ih = snh| jh =
h
h
h
jh
(iii) se viene assegnato il tasso unitario i, si ha:
montante =
1
(1 + i)n − 1
i
snh| √
=
= sn|i
h
1+i−1
h
jh
jh
Nel caso della rendita data nell’esercizio, si ha:
(montante rendita frazionata) − (montante rendita intera) =
i
0.15
√
− 1 = 1.1088
= sn|i − sn|i = s10|0.15
jh
4( 4 1.15 − 1)
11. Devo scegliere quale rendita mi convenga accettare come regalo di compleanno; in caso di
rendita posticipata, a parità di tutte le altre condizioni,
a mi conviene sempre scegliere la rendita frazionata;
b non mi conviene mai scegliere la rendita frazionata;
c mi conviene scegliere la rendita frazionata solo per certi tassi;
d mi conviene scegliere la rendita frazionata solo per certi tipi di frazionamento.
Soluzione:
Vale i > jh ∀h, quindi conviene sempre frazionare:
i > jh
⇓
montante senza frazionamento = sn|i <
i
s
= montante con frazionamento
jh n|i
Cosa succede nel caso anticipato?
12. Si determini il valore attuale di una rendita di 11 rate semestrali posticipate immediate,
prima rata 2325, indicizzate al 31%, in legge composta al tasso semestrale del 15.5%.
Soluzione:
31
Si tratta di una rendita con rate crescenti in progressione geometrica di ragione 1.31;
pertanto:
1 − (qv)n
V = V (0) = Rv
1 − qv
1
R = 2325, q = 1.31, v =
, n = 11
1.155
⇒ V = 44934
13. Il valore attuale di una rendita di n rate variabili in progressione geometrica di ragione q
e prima rata R è nRv; vero?
a sı̀, se e solo se q = v;
b sı̀, se e solo se q = u;
c no, mai;
d sı̀, sempre.
Soluzione:
Si ricorda che il valore attuale di una rendita di n rate variabili in progressione geometrica
di ragione q e prima rata R è
Rv(1−(qv)n )
se qv 6= 1
1−qv
V (0) =
nRv
se qv = 1
pertanto la risposta giusta è la b (qv = 1 ⇔
q
u
= 1 ⇔ q = u).
14. Una rendita è costituita da n rate variabili in progressione aritmetica. Sapendo che la
seconda e la quarta rata valgono rispettivamente 23700 e 47400, si determini l’importo
della terza rata.
Soluzione:
Se le rate sono in progressione aritmetica di ragione d, allora la differenza tra la quarta e
la seconda rata vale 2d, quindi
2d = 47400 − 23700 ⇒ d = 11850
R3 = R2 + d = 23700 + 11850 = 35550
15. Una rendita perpetua ha rata di 12000 al termine di ciascuno dei primi sei anni, in seguito,
rate ciascuna di 24000. Calcolare il valore della rendita, allo scadere del terzo anno, in
capitalizzazione composta al tasso del 10%.
Soluzione:
Il valore in t = 0 delle prime sei rate è
12000a6|0.1 ;
il valore della rendita perpetua con rata 24000 è, al suo inizio, cioè in t = 6,
24000
1
;
0.1
32
quindi, il valore in t = 0 è
24000
1 1
;
0.1 1.16
pertanto, il valore attuale della rendita data è
V = V (0) = 12000a6|0.1 + 24000
1 1
= 187740 ;
0.1 1.16
ed il suo valore al tempo t = 3 è
V (3) = V (0)1.13 = 249880 .
16. Tizio mi propone l’acquisto di un terreno, che rende 900 euro annui posticipati, chiedendomi 12000 euro, sostenendo che cosı̀ avrei un interesse pari al 7.5%; è vero, o mi sta
imbrogliando?
a no, l’interesse è tra il 6% ed il 7%;
b sı̀, è vero;
c no, l’interesse è inferiore al 5%;
d no, l’interesse è tra il 5% ed il 6%.
Soluzione:
V =
R
R
900
⇒ i=
=
= 7.5%
i
V
12000
quindi è vero ( b ).
Strano! Non stanno cercando di imbrogliarmi . . .
17. Mi hanno regalato una rendita perpetua che rende (posticipatamente) 6000 euro l’anno;
qual è il valore, oggi, di tale rendita (si usi la capitalizzazione composta al tasso i del 3%)?
a 200000;
b + ∞;
c 206000;
d nessuna delle altre risposte è giusta.
Soluzione:
V = 6000a∞|0.03 = 6000 ·
1
100
= 6000
= 200000
0.03
3
18. Si ricordi in quali casi si può parlare di valore attuale di una rendita perpetua con rate
indicizzate; in seguito, si determini il valore attuale di una rendita annua perpetua immediata posticipata, con rate indicizzate al 3%, di prima rata 15000, valutata al tasso annuo
d’interesse del 5%.
Soluzione:
In generale, data una rendita perpetua R, per determinarne il suo valore attuale, si deve
considerare la rendita Rn ottenuta da R, troncandola alla scadenza tn , determinare il suo
valore attuale e calcolarne poi il limite per n → +∞.
33
Nel caso di rendita immediata posticipata con rate in progressione geometrica di ragione
q = 1 + j (j è il tasso di indicizzazione) e primo termine C, si ha
valore attuale di R = lim (valore attuale di Rn ) =
n→+∞
(
−1 n
]
se q 6= 1 + i
C 1−[q(1+i)
1+i−q
=
= lim
−1
n→+∞
nC(1 + i)
se q = 1 + i
+∞
se q(1 + i)−1 ≥ 1, cioè q ≥ 1 + i
=
1
C 1+i−q se q(1 + i)−1 < 1, cioè q < 1 + i
+∞ se j ≥ i
=
C
se j < i
i−j
pertanto: se le rate sono indicizzate ad un tasso uguale o superiore al tasso di valutazione,
la rendita perpetua ha valore attuale infinito, altrimenti, se le rate sono indicizzate ad un
tasso inferiore al tasso di valutazione, ha valore attuale finito.
In questo caso, abbiamo una rendita posticipata perpetua con rate indicizzate al tasso
j = 3%, da valutare al tasso i = 5%, quindi:
V =
15000
= 750000
0.05 − 0.03
19. Si determini il valore attuale di una rendita annua perpetua posticipata, con rate variabili
in progressione geometrica, tale che la prima rata sia 3136 e la terza rata sia 3497 (regime
composto al tasso annuo d’interesse del 16.8%).
Soluzione:
Conoscendo due rate, possiamo determinare la ragione della progressione geometrica:
r
R3 = R2 q = R1 q
2
⇒ q=
3497
= 1.056
3136
Si nota che q è minore di 1 + i = 1.168 (cioè qv < 1), quindi la rendita perpetua ha valore
attuale finito, dato da
V = V (0) =
R1
3136
=
= 28000
1+i−q
1.168 − 1.056
Cosa succederebbe se il tasso fosse del 4%?
20. Se due rendite, R1 e R2 , hanno lo stesso valore attuale, allora hanno lo stesso valore, in
ogni istante t. Vero?
a sı̀;
b sı̀, ma se e solo se si utilizzano leggi scindibili e coniugate;
c no, è vero se hanno lo stesso montante, non lo stesso valore attuale;
34
d
sı̀, se si usano leggi scindibili.
Soluzione:
Ricordiamo, dalla teoria:
Due rendite si dicono finanziariamente equivalenti, all’istante t, in base alle leggi di capitalizzazione e attualizzazione f e v se sono uguali i loro valori in t.
Il valore in t di una rendita [R; t], calcolato con le leggi di capitalizzazione e di attualizzazione f e v, è dato da
X
X
(valore in t) =
Rk f (t − tk ) +
Rk v(tk − t) .
tk >t
tk ≤t
Due rendite possono essere finanziariamente equivalenti in un istante t1 e non esserlo in
un altro istante t2 ; quindi la a è falsa.
Si può dimostrare il seguente risultato:
Condizione necessaria e sufficiente affinché due rendite finanziariamente equivalenti in un
certo istante T lo siano in qualsiasi altro istante t, è che i loro valori siano calcolati con leggi
di capitalizzazione ed attualizzazione esponenziali coniugate, cioè f (t) = (1 + i)t , v(t) =
(1 + i)−t .
La risposta giusta è quindi la b .
21. Si consideri la legge di capitalizzazione associata alla forza di interesse
δ(t) =
0.2
,
1 + 0.2t
e la legge di attualizzazione ad essa coniugata.
(i) Si calcolino montante M e valore attuale V della rendita
R = [(0, 2000, 1500, 3000); (0, 2, 3, 5)]
(ii) Si verifichi che M non coincide con il montante al tempo 5 di V e che V non coincide con
il valore al tempo 0 di M ; si giustifichi, in base ad un noto teorema, tale fatto.
Soluzione:
(i) La legge di capitalizzazione è data da M (C, t) = Cf (t), ove
Rt
t
δ(s)ds
f (t) = e 0
= e[log(1+0.2s)]0 = elog(1+0.2t) = 1 + 0.2t
cioè, è la capitalizzazione semplice a t.u.i. 20%; la legge di attualizzazione ad essa coniugata
è
M
C = V (M, t) = M v(t) =
.
1 + 0.2t
Utilizzando tali leggi, montante e valore attuale della rendita sono dati da
M = 2000f (3) + 1500f (2) + 3000 = 8300
V = 2000v(2) + 1500v(3) + 3000v(5) = 3866
35
(ii)
V f (5) = 3866(1 + 0.2 · 5) = 7732 6= M
8300
M v(5) =
= 4150 6= V
1 + 0.2 · 5
Se non si utilizzano leggi esponenziali coniugate, la finanziaria equivalenza di due rendite in
un dato istante t1 NON implica la finanziaria equivalenza in un altro istante t2 ; pertanto,
non è detto che il montante coincida con il valore attuale capitalizzato al termine della
rendita o che il valore attuale coincida con il montante attualizzato all’inizio della rendita.
22. Si consideri la legge di attualizzazione associata al fattore di sconto
v(t) =
Sia data la rendita
R=
1
.
1 + 0.025t2
X
X, , X, 2X ; (0, 1, 2, 5) .
2
Si determini X affinché il valore di R in t = 3, calcolato con la legge di attualizzazione
data (e la legge di capitalizzazione ad essa coniugata) sia pari a 20000.
Soluzione:
La legge di capitalizzazione, associata alla legge di attualizzazione data, è
M = Cf (t) = C 1 + 0.025t2
Calcoliamo il valore di R in t = 3 capitalizzando fino a t = 3 le rate scadenti prima o in
t = 3 ed attualizzando a t = 3 le rate scadenti dopo t = 3 ed imponiamo che venga 20000:
20000 = X(1 + 0.025 · 32 ) +
⇔
2X
X
(1 + 0.025 · 22 ) + X(1 + 0.025 · 12 ) +
2
1 + 0.025 · 22
X = 4330.
23. Si consideri la rendita R = [(6000, 12000, 24000); (0, 3, 5)]; si determini, in capitalizzazione
composta al tasso del 12%, il valore di R tra 4 anni e due mesi.
Soluzione:
Per calcolare il valore di una rendita, in un dato istante t, si capitalizzazione fino a t le
rate scadenti prima o in t, e si attualizzano a t le rate scadenti dopo; quindi:
2
2
10
M = 6000(1.12)4+ 12 + 12000(1.12)1+ 12 + 24000(1.12)− 12 = 45155
24. Voglio investire 200000 euro. Acquisto una rendita di valore 150000 euro; deposito il
rimanente su un c/c al tasso d’interesse semplice annuo del 3.5%. Grazie alla rendita,
incasserò 4 rate annue costanti, posticipate, al tasso annuo composto del 4.5%.
36
(i) Si determini l’importo di ogni rata.
(ii) Ipotizzando che le rate vengano via via depositate sul c/c prima descritto, si determini
quale cifra avrò dopo 4 anni e 3 mesi.
(iii) Si determini il tasso composto che determina l’operazione descritta in (ii).
(iv) Si imposti l’equazione da risolvere, se si volesse rispondere alla domanda (iii), ma utilizzando la legge composta in convenzione lineare; è possibile ricavare qualche informazione
sul tasso?
Soluzione:
(i) Uguagliando il valore 150000 con il valore attuale, a tasso composto i = 4.5%, di una
rendita immediata posticipata, di 4 rate costanti uguali a R, si ottiene
150000 = Ra4|0.035 = R
1 − (1.045)−4
⇔ R = 41812
0.045
(ii) Occorre capitalizzare le quattro rate R, al tasso semplice del 3.5%, dal momento della
3
= 17
rispettiva riscossione (tk = k, k = 1, 2, 3, 4) fino all’istante finale 4 + 12
4 ; a questo va
aggiunto il montante della cifra di 50000, depositata sul c/c all’inizio e capitalizzata fino
a t = 17
4 (sempre all’interesse semplice del 3.5%):
13
9
5
1
M = 41812 1 + 0.035 ·
+ 1 + 0.035 ·
+ 1 + 0.035 ·
+ 1 + 0.035 ·
+
4
4
4
4
17
+ 50000 1 + 0.035 ·
=
4
= 234930
(iii) Detto C il capitale iniziale, cioè 200000, e M il montante finale sopra determinato, cioè
234930, e ricordando che la durata dell’operazione è t = 17
4 , occorre determinare i tale che
M = C(1 + i)t
17
234930 = 200000(1 + i) 4 ⇔ i = 3.86%
(iv) I numeri sono quelli di prima (M, C, t), ma ora si deve utilizzare la legge
M = C(1 + i)[t] (1 + i(t − [t]))
ove [t] è la parte intera di t, cioè il massimo intero non superiore a t; nel caso t =
[t] = 4 e t − [t] = 41 . L’equazione da risolvere è quindi
i
4
234930 − 200000(1 + i) 1 +
=0
4
17
4 ,
si ha
Dal confronto tra la legge composta esponenziale e la legge composta in convenzione lineare,
sappiamo che il tasso deve essere (leggermente) inferiore a quello di prima; infatti, con un
semplice procedimento di dicotomia, si può trovare che i è circa 3.857%.
37
25. Si consideri, in capitalizzazione composta esponenziale al tasso i, una rendita periodica
immediata posticipata di n rate costanti R, valore attuale V e montante M . Quale delle
seguenti affermazioni è vera?
R = 1000, n = 10, i = 5% ⇒ M = 15278 ;
a
nessuna delle altre;
b
R = 8000, i = 0.03, V = 36638 ⇒ n = 4 ;
c
M = 6289, i = 0.05, n = 10 ⇒ R = 750 .
d
Soluzione:
M = 1000s10|0.05 = 12578 ⇒ M 6= 15278
V = 8000a4|0.03 = 29737 6= 36638 ⇒ n 6= 4
R = 6289σ10|0.05 = 500 ⇒ R 6= 750
pertanto, l’unica affermazione vera è la b .
Si noti che, per verificare la c non occorre ricordarsi la formuletta della durata in funzione
di V , R, i; comunque, per fare ulteriore esercizio, ricordiamoci la formula e determiniamo
la durata esatta:
8000
log 8000−36638·0.03
=5
n=
log(1.03)
26. Ho la possibilità di acquistare una rendita perpetua che rende (anticipatamente) 8000 euro
l’anno; qual è il giusto prezzo, oggi, di tale rendita (si usi la capitalizzazione esponenziale
al tasso i del 2%)?
a 408000;
b + ∞;
c 400000;
Soluzione:
V = 8000 · ä∞|0.02
d nessuna delle altre risposte è giusta.
1
= 408000
= 8000 1 +
0.02
27. Una rendita costante posticipata immediata, di valore attuale V (calcolato in regime composto al tasso i) e rata R, ha durata finita
a se e solo se vale R = V i;
b se e solo se vale R < V i;
c se e solo se vale R > V i;
d la conoscenza di R, V e i non permette di ricavare la durata della rendita.
Soluzione:
Per rendite siffatte, di durata n, vale R = V αn|i .
i
è decrescente con n e lim αn|i = i.
La funzione di n, αn|i =
n→+∞
1 − (1 + i)−n
38
Pertanto, se la durata è finita, si ha R = V αn|i > V i; viceversa, se R > V i, allora la
rendita non può essere perpetua perché in questo caso dovrebbe essere R = Sα∞|i = V i.
La risposta giusta è quindi la c .
Si noti che la d è falsa, perché se si conoscono R, V ed i, si può ricavare la durata della
rendita:
• se vale R = V i, allora la rendita è perpetua;
i
, ottenendo
• se vale R > V i, allora si ricava n da R = V
1 − (1 + i)−n
log
n=
R
R−V i
;
log(1 + i)
• se vale R < V i, si butta tutto perché non può esistere nessuna rendita con questi dati.
28. Vorrei una rendita immediata posticipata, rata costante 12500 euro, montante 50000 euro,
valutata al tasso composto i = 8%.
Esiste una tale rendita?
Quali aggiustamenti sono possibili, per avere una rendita simile a quella da me desiderata?
Soluzione:
Imponendo l’uguaglianza tra 50000 ed il montante della rendita descritta, ottengo
50000 = 12500sn|0.08 = 12500
(1.08)n − 1
0.08
log 1 + 50000·0.08
12500
⇒ n=
= 3.6074
log(1.08)
Una rendita cosı̀ non può esistere (non ha senso dire un po’ più di tre rate e mezzo . . .).
Osserviamo che, dalle formule
i
1 − (1 + i)−n
i
=M
(1 + i)n − 1
R = V αn|i = V
R = M σn|i
si ricava
log
n=
R
R−V i
log(1 + i)
i
log 1 + M
R
n=
log(1 + i)
ma, a meno che i valori di R, i e V (o M ) non siano stati scelti ad hoc, raramente n
risulterà intero . . .
39
•
•
•
•
Se n non risulta intero, si può vedere di aggiustare la rendita in vari modi, per renderla
realistica; ad esempio:
si può prendere l’intero immediatamente precedente a n (cioè la parte intera di n, [n]) e
modificare un po’ la rata, in modo che con la nuova rata R0 valga R0 = V α[n]|i ;
oppure si può prendere l’intero immediatamente successivo ([n] + 1) e modificare analogamente la rata;
oppure si possono fare [n] rate di importo R, unite ad un versamento complementare in
[n] o in n.
Nel caso in esame, possiamo considerare, ad esempio, queste rendite:
rendita di 3 anni; in questo caso, però la rata è ovviamente maggiore ed è
R0 = 50000σ3|0.08 = 50000
0.08
= 15402;
(1.08)3 − 1
• rendita di 4 anni, con rata (ora ovviamente minore)
R00 = 50000σ4|0.08 = 50000
0.08
= 11096;
(1.08)4 − 1
• 3 rate di 12500 ed un’ultima rata complementare; se vogliamo terminare la rendita in t = 3,
allora dobbiamo aggiungere, alla terza rata, una cifra che permetta di arrivare al montante
50000; la cifra è data da
12500s3|0.08 + x = 50000 ⇒ x = 9420;
oppure, possiamo terminare la rendita in t = 3.6074 e allora la cifra da pagare in t (cioè
al 222o giorno del quart’anno) sarà ottenuta da
12500s3|0.08 (1.08)0.6074 + x = 50000 ⇒ x = 7478.
29. Tizio presenta in banca per l’incasso le seguenti cambiali: 7890, scadenza a 789 giorni;
1315, scadenza a 526 giorni; 1841, scadenza a 1578 giorni. Si determini la scadenza media
aritmetica di accredito delle cambiali (espressa in giorni).
Soluzione:
La scadenza media aritmetica, t, di un flusso di importi, è la media ponderata delle scadenze
con pesi le rate; in questo caso:
t=
7890 · 789 + 1315 · 526 + 1841 · 1578
= 889
7890 + 1315 + 1841
30. La rendita R = [(120, 200, 200, 250); (1, 2, 5, 6)] ha scadenza media, in regime commerciale,
3.5;
a
40
b
c
d
3.77;
3.922;
non si può rispondere, perché non si conosce il tasso.
Soluzione:
In regime commerciale (o anticipato), la scadenza media non dipende dal tasso e coincide
con la scadenza media aritmetica t, cioè con la media ponderata delle scadenze con pesi
le rate.
In questo caso:
z=t=
1 · 120 + 2 · 200 + 5 · 200 + 6 · 250
302
=
= 3.922
120 + 200 + 200 + 250
77
31. Sia z(i) la scadenza media di una rendita R (di almeno due rate), calcolata in regime
composto al tasso i; allora vale
z(0.05) > z(0.04);
a
z(0.03) > z(0.04);
b
z(i) = t, per qualche i > 0;
c
nessuna delle altre tre risposte è giusta.
d
Soluzione:
Come noto, l’indice scadenza media, in regime composto, gode delle proprietà
(i)
z < t;
(ii) z è funzione decrescente del tasso;
(iii) limi→0+ z = t;
(iv) limi→+∞ z = scadenza della prima rata non nulla.
Pertanto, la risposta giusta è la b .
Si noti che, nel testo, si è specificato che la rendita avesse almeno due rate non nulle;
infatti, se ci fosse stata una sola rata, cosa sarebbe successo?
32. Tre capitali di 1000, 2000, 1590, sono esigibili rispettivamente tra 4, 6, 10 anni. Si
determini la scadenza media, in regime composto al tasso annuo del 10%.
Soluzione:
V = 1000(1.1)−4 + 2000(1.1)−6 + 1590(1.1)−10 = 2425
z = z(0.1) =
ln(1000 + 2000 + 1590) − ln(2425)
= 6.6944
ln(1.1)
33. Sia z = 6.5 la scadenza media di una rendita, costituita da più di un importo, calcolata
con fattore di sconto composto al tasso i. Allora, per i > 0, la scadenza media aritmetica
è uguale a 6.5. Vero?
sı̀;
a
no, è minore;
b
41
c
d
no, è maggiore;
non si può dire nulla.
Soluzione:
Come sopra ricordato (v. proprietè funzione scadenza media in regime composto), vale
∀i > 0
z(i) < t
pertanto la risposta giusta è la c .
34. In una rendita di scadenze (1, 3, 7, 9), la scadenza media aritmetica è t = 5; allora la
scadenza media in regime composto al tasso i soddisfa
a 1 < z < 5;
b z = 5;
c la risposta dipende da i;
d 3 < z < 5.
Soluzione:
La scadenza media, in regime composto, è funzione decrescente del tasso i, compresa tra
la prima scadenza con rata non nulla e la scadenza media aritmetica; pertanto, in questo
caso, vale
∀i
1 < z(i) < t = 5
35.
Se la rendita R = [(2000, 5000, X), (2, 4, 7)] ha scadenza media aritmetica uguale a 5,
allora
a X = 5500;
b X = 5000;
c non si può rispondere, perché non si conosce il tasso i;
d nessuna delle altre tre risposte è giusta.
Soluzione:
5=t=
2 · 2000 + 4 · 5000 + 7 · X
⇔ X = 5500
2000 + 5000 + X
36. Tizio deve ricevere due pagamenti di 1000 e 5000 previsti in scadenza al tempo 5 ed al
tempo 7. Si determini la scadenza media dei due pagamenti, in regime composto al tasso
dell’8%.
Soluzione:
V = 1000(1.08)−5 + 5000(1.08)−7 = 3598
z = z(0.08) =
ln(1000 + 5000) − ln(3598)
= 6.645
ln(1.08)
37. Siano z(0.13) e z(0.2) le scadenze medie in regime composto di una stessa rendita R,
costituita da più di una rata, calcolate rispettivamente al tasso d’interesse del 13% e del
20%. Allora
42
a
b
c
d
z(0.13) > z(0.2);
z(0.13) < z(0.2);
z(0.13) = z(0.2);
non si può rispondere, perché dipende da R.
Soluzione:
a
38. La scadenza media aritmetica di una rendita di 3 rate crescenti in progressione aritmetica
di ragione 2000, scadenti in t = 1, 3, 6 è t = 3.611. Allora la prima rata è
a 10500;
b 10005;
c 12009;
d i dati non sono sufficienti per rispondere.
Soluzione:
Indicando con C la prima rata (e quindi le successive sono C + 2000 e C + 4000), si ha
3.611 = t =
1 · C + 3 · (C + 2000) + 6 · (C + 4000)
10(C + 3000)
=
⇔ C = 10005
C + (C + 2000) + (C + 4000)
3(C + 2000)
39. Si consideri la rendita
R = [(100, 400, 200, 500); (0, 1, 3, n)];
si determini n affinché la scadenza media di R, calcolata in regime composto al tasso annuo
d’interesse i = 5%, sia pari a 3.194.
Soluzione:
100 + 400(1.05)−1 + 200(1.05)−3 + 500(1.05)−n = 1200(1.05)−3.194
⇓⇑
−n
500(1.05)
= 373.12
⇓⇑
n=6
40. Si consideri la rendita R = [(30, 50, 40); (2, 4, 7)]; allora, la sua scadenza media in regime
commerciale è
a 4;
b 4.5;
c la risposta dipende dal tasso;
d nessuna delle altre tre risposte è giusta.
Soluzione:
43
In regime commerciale, la scadenza media non dipende dal tasso e coincide con la scadenza
media aritmetica t, quindi
z=t=
2 · 30 + 4 · 50 + 7 · 40
= 4.5
30 + 50 + 40
41. Si consideri la rendita
R = [(100, X, 200, 400); (0, 1, 3, 4)];
si determini X affinché la scadenza media di R, calcolata in regime composto al tasso
annuo d’interesse i = 7%, sia pari a 2.
Soluzione:
100 + X(1.07)−1 + 200(1.07)−3 + 400(1.07)−4 = (700 + X)(1.07)−2
⇓⇑
X = 703
42. Si determini X affinché la rendita R = [(2000, 5000, X), (2, 4, 7)] abbia scadenza media
aritmetica uguale a 5.
Soluzione:
5=t=
2 · 2000 + 4 · 5000 + 7 · X
⇔ X = 5500
2000 + 5000 + X
43. Si consideri la rendita
R = [(80, 120, X, 500); (0, 1, 4, 5)];
si determini X affinché la scadenza media di R, calcolata in regime composto al tasso
annuo d’interesse i = 5%, sia pari a 3.8 .
Soluzione:
80 + 120(1.05)−1 + X(1.05)−4 + 500(1.05)−5 = (700 + X)(1.05)−3.8
⇓⇑
X=
700(1.05)−3.8 − 80 − 120(1.05)−1 − 500(1.05)−5
= 559
(1.05)−4 − (1.05)−3.8
44. Si consideri la rendita
R = [(50, 20, 50); (2, 5, 7)];
allora, la sua scadenza media in regime commerciale è
a 4.6666;
b 4.5833;
c non si può rispondere, perché non si conosce il tasso;
d nessuna delle altre tre risposte è giusta.
44
Soluzione:
In regime commerciale, la scadenza media non dipende dal tasso e coincide con la scadenza
media aritmetica t, quindi
z=t=
2 · 50 + 5 · 20 + 7 · 50
55
=
= 4.5833 . . .
50 + 20 + 50
12
45. Sia X > 0 e si considerino le rendite
R = [(100, 200, X, 150); (0, 2, 3, 4)]
R̃ = [(80, X, 200, 170); (0, 2, 3, 4)]
Si determini X affinché le due rendite abbiano la stessa scadenza media, calcolata in regime
composto al tasso periodale del 5%; inoltre, si determini tale scadenza media.
Soluzione:
Si osserva che la somma degli importi è la stessa, in entrambe le rendite; pertanto, dalla
definizione di scadenza media, segue:
100 + 200(1.05)−2 + X(1.05)−3 + 150(1.05)−4 = (450 + X)(1.05)−z
80 + X(1.05)−2 + 200(1.05)−3 + 170(1.05)−4 = (450 + X)(1.05)−z
⇒ 100 + 200(1.05)−2 + X(1.05)−3 + 150(1.05)−4 =
= 80 + X(1.05)−2 + 200(1.05)−3 + 170(1.05)−4
⇔ X 1.05−3 + 1.05−2 =
= 80 + 200(1.05)−3 + 170(1.05)−4 − 100 − 200(1.05)−2 − 150(1.05)−4
⇔ X = 282
Posto X = 282, si ottiene la scadenza media z
100 + 200(1.05)−2 + 282(1.05)−3 + 150(1.05)−4 = (450 + 282)(1.05)−z
⇔ z = 2.485
46. Si determini la duration del seguente flusso di pagamenti, in regime composto al tasso
d’interesse del 5.5%
[(0, 3000, 5000, 7000); (0, 1, 3, 5)]
Soluzione:
Data una rendita
R = [(0, R1 , R2 , . . . , Rn ); (0, t1 , t2 , . . . , tn )]
la durata media finanziaria, o duration, di R, al tasso i, è la media ponderata delle scadenze
tk , con pesi i valori attuali delle rate Rk , calcolati in regime composto al tasso i:
Pn
−tk
k=1 tk Rk (1 + i)
P
D(i) =
n
−tk
k=1 Rk (1 + i)
45
In questo caso,
D(0.055) =
1 · 3000(1.055)−1 + 3 · 5000(1.055)−3 + 5 · 7000(1.055)−5
= 3.403
3000(1.055)−1 + 5000(1.055)−3 + 7000(1.055)−5
47. Si consideri un obbligazione di valore nominale 10000 che paga cedole annuali posticipate,
calcolate al 10%, durata 4 anni. Si calcoli la sua duration, al tasso del 10%.
Soluzione:
Il flusso di pagamenti è
[(0, 1000, 1000, 1000, 11000); (0, 1, 2, 3, 4)]
Pertanto,
D(0.1) =
1 · 1000(1.1)−1 + 2 · 1000(1.1)−2 + 3 · 1000(1.1)−3 + 4 · 11000(1.1)−4
= 3.4868
1000(1.1)−1 + 1000(1.1)−2 + 1000(1.1)−3 + 11000(1.1)−4
si noti che, al denominatore, c’è il corso del titolo, cioè il valore attuale delle cedole e del
rimborso.
48. Sul giornale, leggo la seguente frase:
A parità di variazioni del tasso i, un titolo con elevata duration subisce oscillazioni del
corso più elevate, rispetto ad un titolo con duration più bassa.
Perché? Cosa significa?
Soluzione:
Detto P = P (i) il corso del titolo (cioè il valore attuale, calcolato al tasso composto i,
delle cedole e del rimborso), si dimostra che vale la relazione
D(i)
d(log(1 + i))
P 0 (i)
=−
= −D(i) ·
P (i)
1+i
di
pertanto, possiamo dire che piccole variazioni del tasso determinano una variazione percentuale del corso del titolo, proporzionale alla variazione di log(1 + i) (cioè alla variazione
della forza di interesse), ma di segno opposto, con costante di proporzionalità D(i); in
poche parole, titoli ad alta duration sono più volatili di titoli a bassa duration.
46
Università degli studi di Milano Bicocca – Facoltà di Economia
Matematica Finanziaria
Esercizi con risoluzione dettagliata
Capitolo 3: Costituzione di un capitale. Ammortamenti.
Elenco degli argomenti:
Costituzione di un capitale: rate di costituzione, piano di costituzione, fondo di costituzione; equazione di aggiornamento del fondo di costituzione; costituzione per inseguimento.
Ammortamento di prestiti indivisi:
Definizioni: mutuante, mutuatario, importo del mutuo, rate, debito residuo, debito estinto,
quota interessi, quota capitale, piano di ammortamento.
Impostazione elementare; impostazione finanziaria. Condizione di equità iniziale / condizione di equità finale; relazione ricorrente del debito residuo; equazione esplicita retrospettiva del debito residuo; equazione esplicita prospettiva del debito residuo.
Casi particolari:
• rimborso unico finale di capitale ed interessi;
• rimborso unico finale del capitale e periodico degli interessi;
• metodo francese o progressivo o a rate costanti;
• metodo italiano o uniforme o a quote capitali costanti.
• metodo americano o dei due tassi o con quote di accumulazione; confronti con il metodo
francese.
Problema della ricerca del tasso di interesse in un ammortamento; t.a.n. (tasso annuo
nominale) e t.a.e.g. (tasso annuo effettivo globale); esistenza ed unicità del t.a.e.g. in un
ammortamento.
Valore, nuda proprietà, usufrutto; relazione di Makeham.
Riferimenti bibliografici:
(1) Stefani-Torriero-Zambruno, Elementi di Matematica finanziaria e cenni di Programmazione lineare, Giappichelli Editore, Torino, terza edizione, 2007.
(2) Carcano, Matematica finanziaria. Test, esercizi e temi d’esame, con svolgimenti e
richiami teorici. Datanova, Milano, 2001.
47
1. Per costituire un capitale di 6750, da ritirare tra 6 anni, Tizio predispone i seguenti
versamenti [R; t] = [(270, 541, C); (0, 3, 5)]; sapendo che la banca riconosce interessi in
capitalizzazione composta al tasso annuo del 5%, si determini C.
Soluzione:
Uguagliando il capitale da costituire 6750 con il montante della rendita descritta, si ottiene
6750 = 270(1.05)6 + 541(1.05)3 + C(1.05)
⇔
C = 5487.5
2. Si vuole costituire un capitale di 200000 in sei anni da oggi, versando: R oggi, R tra un
anno e mezzo, 2R tra 5 anni. Determinare R, utilizzando la capitalizzazione composta in
convenzione lineare, al tasso annuo dell’8%.
Soluzione:
Uguagliando il capitale da costituire 200000 con il montante della rendita descritta, si
ottiene
1
6
4
+ 2R(1.08) ⇔ R = 38746
200000 = R(1.08) + R(1.08) 1 + 0.08 ·
2
3. Tizio intende costituire un capitale di 196000 euro nell’arco di 4 anni; a tal fine, versa 4
rate annue costanti anticipate presso la banca Caio; sapendo che Caio riconosce interessi
del 3% per i primi tre anni e del 2.5% il quarto anno, regime composto, si determini la
rata.
Soluzione:
196000 = R(1.03)3 (1.025)+R(1.03)2 (1.025)+R(1.03)(1.025)+R(1.025)
⇔
R = 45710
4. Voglio costituire 2470000 euro alla data del 1o aprile 2012, versando, da oggi 1o aprile
2006, 6 rate annue anticipate, uguali a R negli anni non bisestili e uguali a 10R negli anni
bisestili. Si determini R in regime composto al tasso annuo del 12.4%.
Soluzione:
La prima e la seconda rata sono uguali a R; la terza è 10R; la quarta, quinta e sesta sono
R; in pratica, conviene considerare 6 rate periodiche, tutte uguali a R e poi tener conto
che al terzo anno (il 1o aprile 2008) c’è anche una rata di 9R (in modo da avere 10R):
2470000 = Rs6|0.124 (1.124) + 9R(1.124)4 ⇒ R = 104753
5. Tizio vuole costituire, in regime composto, un capitale S mediante versamenti semestrali
costanti posticipati di 1100 euro. Sapendo che il fondo dopo due versamenti è 2244, si
calcoli il fondo dopo quattro versamenti.
Soluzione:
48
Si ricorda l’equazione di aggiornamento del fondo di costituzione
Fk = Fk−1 (1 + i)tk −tk−1 + Rk
che si esprime finanziariamento dicendo: nella costituzione di un capitale, il fondo alla
scadenza tk è dato dal fondo costituito alla scadenza precedente tk−1 , capitalizzato da
tk−1 a tk , più la rata con scadenza tk .
tk−1
tk
...................................................................................................................................................................................................................................................................................
Fk−1
Rk
..
...
..
.............................................................................................
..
.
•..
Fk
In questo caso, pertanto,
2244 = F2 = R + R(1 + i2 ) = 1100 + 1100(1 + i2 ) ⇒ i2 = 4%
F4 = 1100s4|0.04 = 4671.1
6. In una costituzione di capitale, con rate Rk alle scadenze tk , i fondi di costituzione Fk
seguono la seguente legge
a Fk = Fk−1 (1 + i) + Rk ;
b Fk−1 = Fk (1 + i)tk −tk−1 + Rk ;
c Fk = Fk−1 (1 + i)tk −tk−1 + Rk ;
d nessuna di queste.
Soluzione:
La risposta giusta è la c .
7.
Si consideri il piano di costituzione di un importo M , mediante n rate annue costanti
anticipate, in regime composto al tasso annuo d’interesse del 5%; se il fondo, alla fine del
primo anno, è pari a 30750, allora la rata di costituzione è
a 30750;
b non si può rispondere, perché non si conosce M ;
c non si può rispondere, perché non si conosce n;
d 15000.
Soluzione:
F1 = R + R(1 + i) ⇒ R =
8.
F1
30750
=
= 15000
2+i
2.05
Si consideri il piano di costituzione di un importo M , mediante n rate annue costanti
anticipate, in regime composto al tasso annuo d’interesse del 4%; se il fondo, alla fine del
secondo anno, è pari a 4682, allora la rata di costituzione è, arrotondando all’unità,
a nessuna delle altre tre risposte è giusta;
49
b
c
d
non si può rispondere, perché non si conosce M ;
non si può rispondere, perché non si conosce n;
1500.
Soluzione:
Il fondo, alla fine del secondo anno, è
F = R + R(1 + i) + R(1 + i)2
quindi
4682 = R + R(1.04) + R(1.04)2 ⇔ R = 1500
9. Voglio costituire 200000 euro mediante il versamento di 15 rate trimestrali costanti posticipate su un c/c bancario che corrisponde interessi composti al tasso annuo nominale
convertibile trimestralmente del 10%.
(i) Si determini l’ammontare della rata di costituzione.
(ii) Subito dopo il versamento della decima rata, decido di voler costituire non più 200000
euro, ma 270000 euro, a parità di tasso e di numero di rate residue. Si determini l’importo
della nuova rata di costituzione.
Soluzione:
(i) Se il tasso nominale convertibile trimestralmente, j4 , è il 10%, allora il tasso d’interesse
trimestrale, i4 , è j44 = 2.5%; la rata di costituzione è quindi
R = 200000σ15|0.025 = 200000
0.025
= 11153
(1.025)15 − 1
(ii) Dopo la decima rata, il fondo accumulato è
F10 = 11153s10|0.025 = 1153
(1.025)10 − 1
= 124950 ;
0.025
restano pertanto da costituire, con 5 rate trimestrali al tasso del 2.5%,
270000 − 124950(1.025)5 = 128630 .
La nuova rata è quindi
R0 = 128630σ5|0.025 = 128630
0.025
= 24471
(1.025)5 − 1
10. La mia zia d’America, morendo, ha lasciato 1000000 di euro, investiti in regime composto,
al tasso annuo del 13%; nel testamento, ha stabilito che la sua unica erede (io) avrò diritto
a ricevere, per tutta la vita, 150000 euro all’anno, con il primo pagamento da effettuarsi
subito, appena morta la de cuius (cioè la zia); a mia volta, nel mio testamento, stabilisco
che, quando morirò io, alla scadenza di pagamento successiva alla mia morte, il saldo del
50
fondo dovrà essere utilizzato per acquistare una rendita annua posticipata perpetua (in
regime composto al 9%), la cui rata annua sarà devoluta in beneficenza.
(i) Se muoio 4 anni e 3 mesi dopo la zia, quale sarà la rata annua data in beneficenza?
(ii) Se 11 anni dopo la morte della zia, sono ancora viva, cosa succederebbe? E se morissi tra
il decimo e l’undicesimo anno dopo la morte della zia?
Soluzione:
(i) Se muoio 4 anni e 3 mesi dopo la zia, allora devo considerare la scadenza t = 5; in quel
momento, il fondo vale
F5 = 1000000(1.13)5 − 150000s̈5|0.13 = 744029.3
In regime composto al tasso del 9%, la rendita posticipata perpetua, di valore 744029.3,
ha rata
R = iV = 0.09 · 744029.3 = 66962.6
e questi sono i soldini che ogni anno vanno in beneficenza.
(ii) Se, dopo 11 anni, sono ancora viva, allora ciò significa che ho ritirato, finora, 12 rate; il
fondo, in t = 12, è
F12 = 1000000(1.13)12 − 150000s̈12|0.13 < 0
e quindi non resta più niente! (niente soldini per comprare la rendita perpetua e quindi
niente rate da versare in beneficenza).
Se invece muoio tra il decimo e l’undicesimo anno, la situazione sarebbe
F11 = 1000000(1, 13)11 − 150000s̈11|0.13 = 138334.5
e quindi resta ancora qualche soldino per comprare una rendit(ina) perpetua, le cui (piccole) rate andrebbero in beneficenza.
Morale della favola: all’ente a cui andrebbero le rate in beneficenza non conviene augurarmi
lunga vita . . . (ma honny soit qui mal y pense . . .)
11. Nell’estinzione anticipata di un prestito, l’importo da rimborsare è la somma delle rate
già pagate. Vero?
a sı̀;
b no, è la somma della rate ancora da pagare;
c no, è il valore attuale delle rate ancora da pagare;
d no, è il debito estinto.
Soluzione:
La risposta giusta à la c .
12. Nell’impostazione elementare dell’ammortamento di un prestito, la condizione di equità è
n
X
Ck ;
a S=
k=1
51
0=
b
S=
c
S=
d
n
X
Ck ;
k=1
n
X
Rk ;
k=1
n
X
Ik .
k=1
Soluzione:
La condizione elementare di equità (o
P di chiusura) del piano di rimborso di un prestito
è che la somma delle quote capitali k Ck sia uguale al capitale preso a prestito S; la
risposta giusta è quindi la a .
13. Nell’impostazione finanziaria dell’ammortamento di un prestito, la condizione di equità
finale è
n
X
S=
Rj (1 + i)−(tj −t0 ) ;
a
j=1
b
S(1 + i)
tn −t0
=
n
X
Rj (1 + i)tn −tj ;
j=1
c
S=
n
X
Rj (1 + i)tn −tj ;
j=1
d
S(1 + i)
tn −t0
=
n
X
Rj (1 + i)−(tj −t0 ) .
j=1
Soluzione:
La condizione di equità finale di un ammortamento prevede che il montante del prestito S
sia uguale al montante della rendita [(R1 , . . . , Rn ) ; (t1 , . . . , tn )] costituita da tutte le rate
dell’ammortamento; pertanto, la risposta giusta è la b .
14. Nell’impostazione finanziaria dell’ammortamento di un prestito, la condizione di equità
iniziale è
n
X
S=
Rj (1 + i)−(tj −t0 ) ;
a
j=1
b
S(1 + i)
tn −t0
=
n
X
Rj (1 + i)tn −tj ;
j=1
c
S=
n
X
Rj (1 + i)tn −tj ;
j=1
d
S(1 + i)
tn −t0
=
n
X
Rj (1 + i)−(tj −t0 ) .
j=1
Soluzione:
La condizione di equità iniziale di un ammortamento prevede che il valore attuale del
52
prestito S sia uguale al valore attuale della rendita [(R1 , . . . , Rn ) ; (t1 , . . . , tn )] costituita
da tutte le rate dell’ammortamento; pertanto, la risposta giusta è la a .
15. Si consideri l’ammortamento di un debito S, con n rate R1 , . . . , Rn , alle scadenze t1 , . . . , tn ,
tasso di remunerazione i.
Si descrivano
•
l’equazione ricorrente (implicita) del debito residuo;
•
l’equazione esplicita retrospettiva del debito residuo;
•
l’equazione esplicita prospettiva del debito residuo.
Soluzione:
Si considera il mutuo S erogato in t0 e l’insieme delle rate Rk previste alle scadenze tk
(k = 0, 1, . . . , n). Il debito residuo inizialmente è uguale al mutuo
D0 = S;
alla scadenza successiva t1 , il debito residuo è uguale al debito precedente, capitalizzato
da t0 a t1 , dedotta però la rata pagata in t1 , quindi
D1 = D0 (1 + i)t1 −t0 − R1 ;
in generale, il debito residuo si aggiorna con la relazione
Dk = Dk−1 (1 + i)tk −tk−1 − Rk ;
questa relazione è detta equazione ricorrente (implicita) del debito residuo.
Dalla precedente, passando da k a k − 1, da k − 1 a k − 2, etc., fino a 0 e ricordando la
condizione iniziale D0 = S, si arriva a:
Dk = Dk−1 (1 + i)tk −tk−1 − Rk =
= Dk−2 (1 + i)tk−1 −tk−2 − Rk−1 (1 + i)tk −tk−1 − Rk =
= Dk−2 (1 + i)tk −tk−2 − Rk−1 (1 + i)tk −tk−1 − Rk = · · · =
= D0 (1 + i)tk −t0 − R1 (1 + i)tk −t1 − R2 (1 + i)tk −t2 − · · · − Rk
e quindi
tk −t0
Dk = S(1 + i)
−
k
X
Rj (1 + i)tk −tj ;
j=1
questa relazione è detta equazione esplicita retrospettiva del debito residuo (è detta retrospettiva perché coinvolge le rate fino a tk e non quelle dopo tk ).
Il debito residuo in tk è quindi uguale alla differenza fra il valore in tk del prestito ed il
valore in tk delle rate pagate fino a tk .
Ora, dimostriamo che il debito residuo in tk è uguale al valore in tk delle rate da versare
dopo tk : nell’equazione retrospettiva del debito residuo, ponendo k = n , si ottiene, dalla
condizione di chiusura Dn = 0,
0 = Dn = S(1 + i)tn −t0 −
n
X
j=1
53
Rj (1 + i)tn −tj
e quindi
S=
n
X
Rj (1 + i)−(tj −t0 )
j=1
a questo punto, sostituendo l’espressione cosı̀ trovata per S nell’equazione esplicita per Dk ,
si ottiene
Dk = S(1 + i)tk −t0 −
k
X
Rj (1 + i)tk −tj =
j=1
=
n
X
Rj (1 + i)−(tj −t0 ) (1 + i)tk −t0 −
j=1
=
n
X
k
X
Rj (1 + i)tk −tj =
j=1
tk −tj
Rj (1 + i)
−
j=1
k
X
Rj (1 + i)
tk −tj
j=1
=
n
X
Rj (1 + i)−(tj −tk )
j=k+1
quindi il debito residuo in tk è uguale al valore in tk delle rate da versare dopo tk ; questa
relazione è detta equazione esplicita prospettiva del debito residuo (l’aggettivo prospettivo
deriva dal fatto che coinvolge le rate scadenti dopo tk e non quelle fino a tk ).
16. Quale, delle seguenti, è l’equazione esplicita retrospettiva del debito residuo?
k
X
Rj (1 + i)tk −tj
Dk = S −
a
j=1
b
tk −t0
Dk = S(1 + i)
−
k
X
Rj (1 + i)tk −tj
j=1
c
d
Dk =
Dk =
k
X
j=1
k
X
Rj (1 + i)tk −tj
Rj (1 + i)tk −tj − S(1 + i)tk −t0
j=1
Soluzione:
Il debito residuo in tk è uguale alla differenza tra il valore in tk del prestito ed il valore in
tk delle rate pagate fino a tk ; quindi, la risposta giusta è la b .
17. Quale, delle seguenti, è l’equazione esplicita prospettiva del debito residuo?
n
X
Rj (1 + i)−(tj −tk )
a Dk =
b
c
Dk =
Dk =
j=k+1
n
X
j=k+1
n
X
Rj (1 + i)−(tj −tk ) − S
Rj (1 + i)−(tj −tk ) − S(1 + i)−(tn −t0 )
j=k+1
54
d
Dk =
n
X
Rj (1 + i)−(tj −tk )
j=k
Soluzione:
Il debito residuo in tk è uguale al valore in tk delle rate da pagare dopo tk ; quindi, la
risposta giusta è la a .
18. Al momento iniziale del prestito, il valore attuale delle rate di un piano di ammortamento
è maggiore del valore del capitale prestato; vero?
a no, mai;
b sı̀, sempre;
c sı̀, solo se le rate sono crescenti;
d non si può rispondere, perché dipende dal metodo di ammortamento.
Soluzione:
Dalla condizione di equità iniziale, sappiamo che il valore del prestito è uguale al valore
attuale di tutte le rate di ammortamento; pertanto, la risposta giusta è la a
19. In un ammortamento con scadenze tk = k, le quote interessi Ik soddisfano
a Ik+1 = Ck (1 + i);
b Ik+1 = Ik − iCk ;
c Ik = iDk+1 ;
d Ik = iDk .
Soluzione:
Ik+1 = iDk
Ik = iDk−1
⇒ Ik+1 − Ik = i (Dk − Dk−1 ) = iCk
La risposta giusta è quindi la b .
20.
Nel rimborso graduale di un prestito S, la condizione di equità iniziale prevede che il
montante delle rate sia uguale ad S; vero?
a sı̀;
b sı̀, ma solo nel francese;
c no, questa è la condizione di equità finale;
d no, la condizione è che il valore attuale della rate sia pari ad S.
Soluzione:
La risposta giusta à la d .
21. La somma del debito estinto e del debito residuo resta costante
a solo nell’ammortamento francese;
b solo nell’ammortamento italiano;
c solo nel caso di pagamento con un’unica rata;
55
d
per ogni ammortamento.
Soluzione:
Dalla definizione di debito residuo e di debito estinto, segue ovviamente la risposta d .
22. In un piano di ammortamento di un prestito il debito estinto è
a la somma delle quote interessi ancora da versare;
b la somma delle rate ancora da versare;
c la somma delle quote capitali già versate;
d la differenza tra il debito iniziale e la somma delle rate già versate.
Soluzione:
La definizione di debito estinto è la c .
23. Si completi il seguente piano di ammortamento di un debito di 100000 euro con 4 rate
posticipate, in regime composto al tasso periodale del 5%
k
tk
C
D
E
I
R
0
1
2
3
4
0
1
3
4
6
−−
40000
10000
30000
20000
100000
−−
0
−−
Soluzione:
Si tratta di redigere un piano di ammortamento in impostazione
elementare (vengono date
Pn
le quote capitali Ck , soddisfacenti l’ipotesi di equità k=1 Ck = S).
Si determinano subito le colonne dei debiti residui (Dk = Ck+1 + · · · + Cn ) e dei debiti
estinti (Ek = S − Dk ).
Noti i debiti residui Dk , si determina la colonna delle quote interessi, mediante
Ik+1 = Dk (1 + i)tk+1 −tk − 1 ;
attenzione alle scadenze non periodiche! (t2 − t1 = 3 − 1 = 2 e t4 − t3 = 6 − 4 = 2).
Da ultimo, si determina la colonna delle rate, mediante Rk = Ck + Ik .
k
tk
C
D
E
I
R
0
1
2
3
4
0
1
3
4
6
−−
40000
10000
30000
20000
100000
60000
50000
20000
0
0
40000
50000
80000
100000
−−
5000
6150
2500
2050
−−
45000
16150
32500
22050
24. Specificando i principali passaggi, si completi il seguente piano di ammortamento, di un
debito S = 62713 con 3 rate posticipate, in regime composto al tasso periodale d’interesse
del 5%.
56
k
tk
R
D
E
I
C
0
1
2
3
0
1
2
4
−−
20000
30000
20000
S
0
−−
−−
Soluzione:
Trattasi di impostazione finanziaria, perché ci danno le rate, che, si noti, soddisfano la
condizione di equità iniziale
3
X
S=
Rk (1.05)−tk
k=1
Utilizzando l’equazione ricorrente del debito residuo, ricavo, di volta in volta, Dk , e, di
conseguenza, nell’ordine, Ek , Ik , Ck :
D1 = 62713(1.05) − 20000 = 45849
t1 = 1
E1 = 62713 − 45849 = 16864
I1 = 62713 · 0.05 = 3136
C1 = 20000 − 3136 = 16864
D2 = 45849(1.05) − 30000 = 18141
t2 = 2
E2 = 62713 − 18141 = 44572
I2 = 45849 · 0.05 = 2292
C1 = 30000 − 2292 = 27708
D3 = 18141(1.05)2 − 20000 = 0
t3 = 4
E3 = 62713
I3 = 18141((1.05)2 − 1) = 1859
C3 = 20000 − 1859 = 18141
Attenzione al fatto che t3 − t2 = 2 (l’ammortamento non è periodico).
Si ha quindi il piano di ammortamento
k
tk
R
D
E
I
0
1
2
3
0
1
2
4
−−
20000
30000
20000
62713
45849
18141
0
0
16864
44572
62713
−−
3136
2292
1859
C
−−
16864
27708
18141
25. Un debito di 3000 deve essere rimborsato attraverso tre pagamenti; il primo, di 400, è
previsto tra un mese; il secondo, di 2000, tra due mesi; il terzo, di 648, all’epoca t. Si
determini t, osservando che il tasso di interesse semplice utilizzato è il 10% annuo.
57
Soluzione:
i
0.10
=
= 0.00833
12
12
400
2000
648
3000 =
+
+
⇒
1 + 0.00833 · 1 1 + 0.00833 · 2 1 + 0.00833 · t
⇒ t = 2.25
i = 0.10 ⇒ i12 =
26. Ho comprato casa, finalmente! Purtroppo, per questo monolocale, piccolo, ma panoramico,
devo pagare le rate del mutuo di 300000 euro . . .
Si completi il piano di ammortamento, che prevede 4 rate posticipate, in regime composto
al tasso periodale del 4%:
k
tk
C
D
E
I
R
0
1
2
3
4
0
1
2
4
6
−−
80000
50000
100000
70000
300000
0
−−
−−
Soluzione:
Si tratta di redigere un piano di ammortamento in impostazione
elementare (vengono date
Pn
le quote capitali Ck , soddisfacenti l’ipotesi di equità k=1 Ck = S).
Si determinano subito le colonne dei debiti residui (Dk = Ck+1 + · · · + Cn ) e dei debiti
estinti (Ek = S − Dk ).
Noti i debiti residui Dk , si determina la colonna delle quote interessi, mediante
Ik+1 = Dk (1 + i)tk+1 −tk − 1 ;
attenzione alle scadenze non periodiche! (t3 − t2 = 4 − 2 = 2 e t4 − t3 = 6 − 4 = 2).
Da ultimo, si determina la colonna delle rate, mediante Rk = Ck + Ik .
k
tk
C
D
E
I
R
0
1
2
3
4
0
1
2
4
6
−−
80000
50000
100000
70000
300000
220000
170000
70000
0
0
80000
130000
230000
300000
−−
12000
8800
13872
5712
−−
92000
58800
113872
75712
27. Si determini il valore della rata costante posticipata necessaria per ammortizzare in cinque
anni un prestito di 159000 euro, in capitalizzazione composta al tasso del 15.9%.
Soluzione:
R = Sαn|i = 159000α5|0.159 = 48448
58
28. Si determini la quinta quota capitale in un ammortamento a rate immediate annue posticipate costanti, sapendo che la quarta quota capitale è 1950 ed è il doppio della prima.
Soluzione:

1950 = C4 = 2C1 

⇒ i = 25.99%
C4


= (1 + i)3
C1
⇒ C5 = C4 (1 + i) = 1950(1.2599) = 2457
29. Si determini la quarta quota capitale in un ammortamento a rate immediate posticipate
costanti annue, in regime composto al tasso nominale annuo convertibile trimestralmente
del 9.4%, sapendo che la seconda quota capitale è 18800.
Soluzione:
0.094 = j4 = 4i4 ⇒ i4 = 0.0235 ⇒ i = 0.0974
C4 = C2 (1 + i)2 = 18800(1.0974)2 = 22641
30. Un debito di 1200000 è ammortizzato tramite rate costanti posticipate annue, di importo
R, in 8 anni, in capitalizzazione composta al tasso annuo del 6%. Dopo il quarto anno, il
tasso viene aumentato al 9%, mantenendo la durata. Allora la nuova rata R̃ è
a 265644;
b 276640;
c 206687;
d nessuna delle altre tre risposte è giusta.
Soluzione:
R = Sαn|i = 1200000α8|0.06 = 193240
utilizzando l’equazione prospettiva del debito residuo, si determina il debito residuo al
tempo 4:
D4 = Ra4|0.06 = 193240a4|0.06 = 669600
pertanto la nuova rata R̃ si ottiene da
D4 = R̃a4|0.09 ⇒ R̃ = 206687
risposta c .
31. Un debito di 228800 è ammortizzabile in 10 anni col metodo a rate costanti. Sapendo
che il tasso composto annuo è il 14.3%, determinare l’importo del debito estinto dopo il
pagamento della terza rata.
Soluzione:
R = Sαn|i = 228800α10|0.143 = 44379
D3 = Ra7|0.143 = 44379a7|0.143 = 188580
E3 = S − D3 = 40220
32. Nell’ammortamento francese, le quote capitali Ck
59
a
b
c
d
crescono in progressione geometrica
crescono in progressione aritmetica
decrescono in progressione geometrica
decrescono in progressione aritmetica
Soluzione:
Le quote capitali nel metodo francese, con rata R, durata n e tasso i, sono date da
Ck = Rv n−k+1 =
R
(1 + i)n−k+1
e costituiscono quindi una progressione geometrica di primo termine C1 = Rv n , ragione
v −1 = 1 + i > 0 (quindi crescono) ed ultimo termine Cn = Rv.
La risposta giusta è pertanto la a .
33. In un ammortamento francese, di n rate annue costanti immediate posticipate, il rapporto
tra la sesta e la quarta quota capitale è 1.2; allora il tasso dell’ammortamento è
a i = 9.54%;
b i = 20%;
c non si può sapere, perché non si conosce n;
d nessuna delle altre.
Soluzione:
1.2 =
34.
C6
= (1 + i)2 ⇒ i = 0.0954
C4
Un prestito di 66000 viene ammortizzato con 6 rate annue costanti posticipate in capitalizzazione composta al tasso annuo del 4.04%; si calcoli l’importo della prima quota
capitale.
Soluzione:
66000 = Ra6|0.0404 ⇒ R = 12607
C1 = R(1 + i)−n = 12607(1.0404)−6 = 9941
oppure C1 = R − I1 = 12607 − 66000(0.0404) = 12607 − 2666.4 = 9941
35. Un prestito è ammortizzato mediante pagamento di 8 rate costanti annue di 1000 euro; la
quinta rata comprende una quota interesse pari a 16 della corrispondente quota capitale.
Si determini l’importo del prestito.
Soluzione:
1
7
C5 = 6000
7 = 857.14
1000 = R = C5 + I5 = C5 + C5 = C5 ⇒
1
I5 = 6 C5 = 1000
6
6
7 = 142.86
R
C5
1000
857.14
C1 =
=
⇒
=
⇒ i = 3.93%
8
4
8
(1 + i)
(1 + i)
(1 + i)
(1 + i)4
S = Ra8|0.0393 = 6752
60
36. Dieci anni fa è stato contratto un prestito di 168000 euro, ammortizzabile in 12 anni con
metodo francese al tasso annuo del 7%. Il debitore decide oggi, dopo aver versato la decima
rata, di sospendere le ultime due rate e di saldare il debito con un unico versamento tra 5
anni. Quanto deve pagare?
Soluzione:
R = Sαn|i = 168000α12|0.07 = 21151
D10 = R((1 + i)−1 + (1 + i)−2 ) = 21151(1.07−1 + 1.07−2 ) = 38241
il versamento da fare tra 5 anni è quindi 38241(1.07)5 = 53635.
37.
La seconda quota capitale nell’ammortamento francese di un prestito di 15 milioni di
franchi svizzeri, in 8 rate annue posticipate, al tasso dell’8%, è, arrotondando alle migliaia
a 1410000;
b 1644000;
c 1087000;
d 1523000.
Soluzione:
R = Sαn|i = 15000000α8|0.08 = 2611000
C2 =
R
2611000
=
= 1523500
n−k+1
(1 + i)
(1.08)7
risposta d .
38. Per comprarmi uno chalet a Gstaad, contraggo un debito di 1215000 euro, ammortizzabile
in 10 anni con rate costanti anticipate, al tasso annuo dell’8.1%. Per festeggiare il mio
pensionamento, i miei cari colleghi, mi regalano la sesta quota capitale; quanto mi danno?
Soluzione:
R = S α̈n|i = 1215000α̈10|0.081 = 168260
possiamo considerarlo come un ammortamento francese (posticipato, quindi) di importo
S̃ = 1215000 − 168260 = 1046700
La sesta quota capitale dell’ammortamento anticipato dato coincide con la quinta dell’ammortamento posticipato ora considerato, quindi
C5 =
R
168260
=
= 113986
9−5+1
(1 + i)
(1.081)5
accipicchia, che colleghi simpatici che ho . . .
39.
Si rediga il piano di ammortamento di un debito S = 200000, a rate annue costanti
posticipate, 6 annualità, in regime composto al tasso periodale d’interesse del 10%.
Soluzione:
61
Trattasi di ammortamento francese; fatti i dovuti conti, si ottiene:
k
tk
R
D
E
I
C
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
−−
45921
45921
45921
45921
45921
45921
200000
174079
145565
114200
79699
41748
0
0
25921
54435
85801
120302
158253
200000
−−
20000
17407
14556
11420
7970
4174
−−
25921
28514
31365
34501
37951
41748
40. Un prestito S viene ammortizzato in 6 anni, con rate annue costanti posticipate immediate,
in capitalizzazione composta; la prima quota capitale è 414, la terza quota capitale è 500.94.
Si determini l’importo del mutuo ed il debito estinto alla fine del quinto anno.
Soluzione:
C3
500.94
= (1 + i)2 ⇒
= (1 + i)2 ⇒ i = 10%
C1
414
C2 = C1 (1.1) = 455.4,
C4 = C3 (1.1) = 551.033,
C5 = C4 (1.1) = 606.137,
S=
6
X
C6 = C5 (1.1) = 666.75,
Ck = 3194.25,
k=1
E5 = S − C6 = 3194.25 − 666.75 = 2527.5
41. Nell’ammortamento italiano, le quote interessi Ik
a crescono in progressione geometrica
b crescono in progressione aritmetica
c decrescono in progressione geometrica
d nessuna delle altre tre risposte è giusta.
Soluzione:
Le quote interessi nel metodo italiano, di un debito S, durata n e tasso i, sono date da
Ik = iDk−1 =
n−k+1
Si
n
e costituiscono quindi una progressione aritmetica di primo termine I1 = iS, ragione
Si
− Si
n < 0 (quindi decrescono) ed ultimo termine In = n .
Ancor più semplicemente, basta osservare che la differenza tra due quote interessi successive,
Ik+1 − Ik
è data dagli interessi sulla quota capitale (costante) C =
La risposta giusta è pertanto la d .
62
S
n,
e quindi . . .
42.
Un mutuo viene estinto in 5 anni, con ammortamento a quote capitali annue costanti
posticipate. Se la prima rata è 300, e la seconda 278, si calcoli l’importo del prestito.
Soluzione:
S = 5C ⇒ C =
S
5
1
300 = R1 = C1 + I1 = C + iS = S( + i),
5
1
4
278 = R2 = C2 + I2 = C + iD1 = S( + i )
5
5
⇒ S = 950 e i = 11.579%
43.
Un prestito viene ammortizzato con rate semestrali costanti immediate posticipate, in
capitalizzazione composta; sapendo che la terza quota capitale è 7680 euro e che il costo
del denaro è al 5% annuo, si determini la prima quota capitale.
Soluzione:
i = 0.05 ⇒ i2 = 0.0247
7680
C3
=
= 7314.2
C1 =
2
(1 + i)
(1.0247)2
44. Un prestito di 64250 euro viene ammortizzato con 5 rate annue costanti posticipate in
capitalizzazione composta al tasso annuo del 12.9%; si determini la prima quota capitale.
Soluzione:
R = Sαn|i = 64250α5|0.129 = 18223
C1 =
R
18223
=
= 9935
n
(1 + i)
(1.129)5
45. Nell’ammortamento a quote capitali costanti in 5 anni di un prestito S, la differenza tra
due quote interessi successive è 22750; inoltre, il debito residuo dopo il versamento della
terza rata è 182000. Si determini S ed il tasso i.
Soluzione:
22750 = Ik − Ik+1 = iDk−1 − iDk = i(Dk−1 − Dk ) = iCk = i
182000 = D3 = C4 + C5 =
S
5
2
S
5
⇒ S = 455000 ∧ i = 0.25
46. A parità di importo del mutuo S, numero delle annualità n e tasso di remunerazione i,
è maggiore la rata di ammortamento del metodo americano rispetto a quella del metodo
francese. Vero?
a sı̀;
63
b
c
d
la risposta dipende da n;
la risposta dipende dal tasso di accumulazione j;
nessuna delle altre tre risposte è giusta.
Soluzione:
Nell’ammortamento americano il debitore (mutuatario) paga interessi sul mutuo al tasso
di remunerazione i e contemporaneamente fa versamenti (che fruttano al tasso di accumulazione j) per costituire S alla scadenza.
Nel caso di versamenti periodici e contemporanei, e di costituzione del capitale S a rate
costanti, il mutuatario deve quindi dare ad ogni scadenza
(∗)
Si + Sσn|j
Si è il rimborso periodico degli interessi, Sσn|j è la rata di costituzione per avere S alla
scadenza.
Se i = j, questo non è altro che l’ammortamento francese e la rata (∗) coincide con la rata
francese R = Sαn|i ;
se i > j (com’ è di solito), il debitore è trattato peggio nel tasso a lui attivo j di come
sia trattato nel tasso a lui passivo i, quindi la rata americana è maggiore della francese;
viceversa, se i < j, la rata americana è minore della francese.
Pertanto, la risposta giusta è la c .
47.
Sono un perfido mutuante e sto proponendo due tipi di ammortamento ad un povero
mutuatario. A parità di importo del mutuo e numero delle rate, fra un ammortamento
francese al tasso del 5% ed un ammortamento americano al tasso di remunerazione del 5%
e tasso di accumulazione del x%, quale devo cercare di affibbiare al mutuatario?
(ovviamente, io mutuante penso al mio vantaggio . . .)
a sempre quello francese;
b sempre quello americano;
c quello francese se x > 5;
d quello americano se x > 5.
Soluzione:
Da quanto visto prima, si deduce che la risposta giusta è la c .
48. Prendo a prestito la cifra di 75000 euro, convenendo di restituirla mediante il versamento
di 3 quote capitali costanti, la prime due da versarsi rispettivamente tra uno e tra due
anni, la terza invece alla scadenza del prestito, cioè tra due anni e sei mesi; si conviene
inoltre di pagare gli interessi con 10 versamenti trimestrali posticipati, al tasso di interesse
del 2.5% trimestrale in regime composto.
(i) Si rediga il piano di ammortamento.
(ii) Subito dopo il versamento del sesto trimestre, il creditore mi chiede l’estinzione anticipata
del debito, proponendomi di valutare la nuda proprietà al tasso annuo del 12% e l’usufrutto
al tasso annuo nominale convertibile trimestralmente del 9%. Mi conviene accettare?
Soluzione:
64
(i) Ogni quota capitale vale 25000 euro; utilizzando come unità di misura del tempo il
trimestre, si ottiene il seguente piano di ammortamento, al tasso di interesse trimestrale
del 2.5%:
k
tk
C
D
E
I
R
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−−
0
0
0
25000
0
0
0
25000
0
25000
75000
75000
75000
75000
50000
50000
50000
50000
25000
25000
0
0
0
0
0
25000
25000
25000
25000
50000
50000
75000
−−
1875
1875
1875
1875
1250
1250
1250
1250
625
625
−−
1875
1875
1875
26875
1250
1250
1250
26250
625
25625
(ii) Subito dopo il versamento della rata in t6 = 6, la nuda proprietà, al tasso annuo del 12% è
1
P6 = 25000(1.12)− 2 + 25000(1.12)−1 = 45944
si osservi che la quota capitale di t8 = 8 deve essere attualizzata a t6 = 6, quindi per 2
trimestri, cioè mezzo anno, mentre la quota capitale di t10 = 10 deve essere attualizzata a
t6 = 6, quindi per 4 trimestri, cioè un anno.
Se il tasso annuo nominale convertibile trimestralmente j4 è il 9%, allora il tasso trimestrale
equivalente è i4 = j44 = 2.25%; l’usufrutto è quindi
U6 = 1250(1.0225)−1 + 1250(1.0225)−2 + 625(1.0225)−3 + 625(1.0225)−4 = 3574.5
In totale, dovrei pagare al creditore la cifra di
45944 + 3574.5 = 49518.5
Dal piano di ammortamento, noto che, al tempo t6 = 6, il mio debito residuo, invece, è
50000.
Ne consegue che mi conviene accettare di corsa, prima che il creditore si accorga che mi
sta facendo un favore . . .
49. In un piano di ammortamento (simil)americano, a durata 4 mensilità, contratto al tasso
annuo nominale convertibile mensilmente del 18%, si conviene di remunerare il fondo di
costituzione in regime semplice al tasso mensile dell’1%. Ogni mese, il debitore paga una
rata di 2613 dollari.
(i) Si determini l’importo del mutuo.
(ii) Si determini l’importo delle quote di costituzione.
65
(iii) Si determini quale sarebbe il montante delle quote di costituzione, se si usasse la capitalizzazione composta, allo stesso tasso. Il montante è maggiore o minore dell’importo
mutuato? Perché?
(iv) Si determini la rata di un ammortamento francese dello stesso debito, con lo stesso tasso
di remunerazione e lo stesso numero di rate.
Soluzione:
(i) Il tasso di remunerazione mensile è
i12 =
0.18
j12
=
= 0.015
12
12
Se chiamiamo X l’importo mutuato, allora deve valere
Ik = 0.015 · X
X
X
=
1 + 1.01 + 1.02 + 1.03
4.06
Ik + Qk = 2613
Qk =
k = 1, 2, 3, 4
da cui si ricava X = 10000.
(ii) Le quote di costituzione sono
Qk =
10000
= 2463.1
4.06
k = 1, 2, 3, 4
(iii) Se si usa la capitalizzazione composta, al tasso mensile del 1.5%, il montante delle quote
di costituzione risulta
M = Qs4|0.015 = 2463.1
(1.015)4 − 1
= 10076
0.015
che è leggermente superiore al debito iniziale di X = 10000; questo succede perché, come
noto, il montante in capitalizzazione composta, per periodi superiori a 1, è superiore al
montante in capitalizzazione semplice.
(iv) La rata di un ammortamento francese nelle stesse condizioni è
R = 10000α4|0.015 = X
0.015
= 2594.4
1 − (1.015)−4
50. Si consideri un ammortamento francese in 10 rate semestrali posticipate, in cui la seconda
quota capitale ammonta a 866226 euro e la quarta quota capitale a 936909 euro.
(i) Si determini il tasso semestrale di interesse composto i2 , la rata R e l’importo S del mutuo.
(ii) Si determini la nuda proprietà immediatamente dopo il versamento dell’ottava rata al tasso
di valutazione del 3.5% semestrale.
(iii) Si calcoli l’usufrutto alla stessa epoca e con lo stesso tasso di valutazione della nuda proprietà.
66
(iv) Si supponga che, immediatamente dopo l’ottavo versamento, le parti decidano di modificare
il tasso di interesse e di portarlo al 10% annuo nominale convertibile semestralmente. Come
si modificano le ultime due rate?
Soluzione:
(i)
C4
⇒ i2 = 4%
C2
C2
866226
C1 =
=
= 832910
1 + i2
1.04
R
⇒ R = 832910(1.04)10 = 1232910
C1 = Rv n =
n
(1 + i2 )
1 − (1.04)−10
S = Ra10|0.04 = 1232910
= 10000000
0.04
(1 + i2 )2 =
(ii)
P8 =
C1 (1 + i2 )8
C9
C10
C1 (1 + i2 )9
=
= 2208015
+
+
1.035 (1.035)2
1.035
(1.035)2
(iii)
U8 =
I9
R − C9
I10
R − C10
=
= 134137
+
+
2
1.035 (1.035)
1.035
(1.035)2
(iv) Modificando il tasso, abbiamo un nuovo ammortamento in 2 rate posticipate di un importo
pari a
1232910 1232910
D8 =
+
= 2325385
1.04
(1.04)2
La nuova rata è pertanto data da
R0 = 2325385α2|0.05 = 1250603
R0 è leggermente superiore a R, in quanto il tasso passivo è passato dal 4% al 5% semestrale.
67
Università degli studi di Milano Bicocca – Facoltà di Economia
Matematica Finanziaria
Esercizi con risoluzione dettagliata
Capitolo 4: Operazioni finanziarie. Criteri di scelta.
Elenco degli argomenti:
Operazioni finanziarie in generale:
investimenti in senso stretto (P.I.P.O, P.I.C.O., C.I.P.O., C.I.C.O); investimenti in senso
lato; investimenti in senso generale; investimenti puri.
Analoghe classificazioni per i finanziamenti.
Generalità sui criteri di scelta tra operazioni finanziarie. Indice di preferenza o utilità;
proprietà richieste.
I principali criteri di scelta:
• il criterio del r.e.a.;
• il criterio del t.i.r.;
studio della funzione r.e.a.(i) = V (i) in dipendenza del tasso di interesse, nei vari casi;
condizioni di esistenza / unicità per le radici della funzione r.e.a.(i) e segno di tali radici;
un caso particolare (Teorema di Levi).
Confronto tra il criterio del r.e.a. ed il criterio del t.i.r.; punto di rottura.
• il criterio del tempo di recupero o del pay-back time.
Riferimenti bibliografici:
(1) Stefani-Torriero-Zambruno, Elementi di Matematica finanziaria e cenni di Programmazione lineare, Giappichelli Editore, Torino, terza edizione, 2007.
(2) Carcano, Matematica finanziaria. Test, esercizi e temi d’esame, con svolgimenti e
richiami teorici. Datanova, Milano, 2001.
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1. Un’operazione finanziaria è detta finanziamento in senso stretto quando
a l’ultimo costo precede un ricavo;
b i costi sono maggiori dei ricavi;
c la scadenza media aritmetica dei ricavi precede la scadenza del primo costo;
d tutti i ricavi precedono tutti i costi.
Soluzione:
d .
2. Un’operazione è detta finanziamento in senso lato se e solo se
a i costi succedono ai ricavi;
b l’ultimo costo precede un ricavo;
c la scadenza media aritmetica dei ricavi precede la scadenza del primo costo;
d i ricavi precedono i costi.
Soluzione:
L’unica affermazione corretta è la c .
Si noti che, nella domanda, c’è il “se e solo se”; se i ricavi precedono i costi ( d ), allora
si ha un finanziamento in senso stretto, che è anche un finanziamento in senso lato, ma il
viceversa non vale (in un finanziamento in senso lato, non è detto che i ricavi precedano i
costi).
3. Un’operazione finanziaria è detta finanziamento in senso generale se e solo se
a i ricavi precedono i costi;
b i costi precedono i ricavi;
c l’ultimo ricavo precede un costo;
d la scadenza media dei ricavi è minore della scadenza media dei costi.
Soluzione:
La definizione giusta è la d . Si noti che la a corrisponde a finanziamento in senso
stretto; la b ad investimento in senso stretto e la c dice solo che l’ultima posta deve
essere negativa.
4. Tra l’operazione finanziaria A che ha r.e.a. = x, al tasso i, e l’operazione finanziaria B
che ha r.e.a. = 20000, allo stesso tasso i, conviene scegliere
a A, se x > 20000;
b A, se x < 20000;
c non si può rispondere, perché dipende dal valore di i;
d non si può rispondere, perché dipende dal tipo delle operazioni A e B.
Soluzione:
Il criterio del r.e.a. al tasso i impone di scegliere, tra due operazioni finanziarie, quella con
r.e.a. maggiore (sia che si tratti di due investimenti, sia che si tratti di due finanziamenti).
Pertanto, in questo caso, la risposta giusta è la a .
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5. Per l’acquisto di un’attrezzatura, un imprenditore riceve le seguenti proposte di vendita:
(a) pagamento di 42300 subito e di 84600, suddivisi in due rate di uguale importo, tra uno e
tra tre anni;
(b) pagamento di tre rate annue di importo R, 2R, 3R, di cui la prima scadente tra due anni.
Applicando il criterio del r.e.a. al tasso annuo composto del 5%, si calcoli R, affinché le
alternative si equivalgano.
Soluzione:
Posto v = 1.05−1 , deve essere
−42300 − 42300v − 42300v 3 = −Rv 2 − 2Rv 3 − 3Rv 4 ⇔ R = 23345
6. Tizio investe oggi 700 milioni di dollari in un’operazione finanziaria della durata di quattro
anni, le cui poste, al termine di ciascun anno, ammontano rispettivamente a 175, 35, 700
e x − 175 milioni.
Si determini qual è l’importo minimo x affinché l’operazione abbia r.e.a. non negativo
(tasso di valutazione del 4.5%).
Soluzione:
Posto v = 1.045−1 , si ha
r.e.a.(0.045) = −700 + 175v + 35v 2 + 700v 3 + (x − 175)v 4 =
= −33.8297 + 0.83856x ≥ 0 ⇔ x ≥ 40.338
pertanto, il minimo x affinché il r.e.a. sia non negativo è 40.338.
Vi stupisce il fatto che l’ultima posta possa essere negativa?
7. Si considerino i finanziamenti
A = [(3100, −620, −930, −2325); (0, 2, 4, 6)]
e
B = [(3100, −620, −620, −620, −620, −620, −620); (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)]
Utilizzando il criterio del r.e.a. in capitalizzazione composta al tasso i = 7%, si determini l’importo x da aggiungere sia al primo sia al secondo costo del finanziamento più
vantaggioso, affinché A e B risultino indifferenti.
Soluzione:
Prima si determina quale sia il finanziamento migliore, col criterio del r.e.a. al 7%; posto
v = 1.07−1 , si ha:
r.e.a.(A) = 3100 − 620v 2 − 930v 4 − 2325v 6 = 299.73
r.e.a.(B) = 3100 − 620a6|0.07 = 144.77
⇒ è più conveniente A.
A e B diventano indifferenti se x è tale che
3100 − (620 + x)v 2 − (930 + x)v 4 − 2325v 6 = 144.7
70
cioè x = 94.7.
8. Si determini il ricavo annuo costante posticipato prodotto da un impianto di costo iniziale
8800, costi di manutenzione annuali posticipati costanti 264 e tali che il r.e.a. dell’impianto,
calcolato al tasso del 17.6% sia uguale a 1760. La durata dell’impianto è stimata in 8 anni.
Soluzione:
1760 = −8800 + (R − 264)a8|0.176 = −8800 + (R − 264) · 4.1286 ⇔ R = 2821.8
9. Un investimento prevede un esborso iniziale di 130 e 5 flussi costanti positivi al termine
di ogni anno, di importo R. Si determini R in modo tale che il r.e.a. dell’investimento, in
regime composto al tasso dell’8%, sia pari a 75.
Soluzione:
75 = −130 + Ra5|0.08 = −130 + R · 3.9927 ⇔ R = 51.344
10. Si considerino le operazioni finanziarie
A = [(−1690, 1710, 5070); (0, 1, 2)]
B = [(−1690, 865, x); (0, 1, 2)]
e
(x > 0)
Si determini x affinché A e B siano indifferenti, secondo il criterio del r.e.a., al tasso
periodale del 16.9%,
Soluzione:
La prima posta, essendo uguale in entrambe le operazioni, può essere trascurata.
Posto v = 1.169−1 , si ha
1710v + 5070v 2 = 865v + xv 2 ⇔ 1710 + 5070v = 865 + xv ⇔ x = 6058
11. Si considerino le operazioni finanziarie
A = [(−215 − 3x, −129 − x, 860); (0, 1, 2)]
e
B = [(−129 − x, −86 + x, 860); (0, 1, 2)]
Si determini x affinché le funzioni r.e.a.(i) di A e di B abbiano lo stesso asintoto orizzontale
per i → +∞.
Soluzione:
Come noto, vale
lim r.e.a.(i) = P0
i→+∞
pertanto, si ha lo stesso asintoto orizzontale se e solo se
−215 − 3x = −129 − x ⇔ x = −43
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12. Per acquistare un pianoforte gran coda, del diciannovesimo secolo, posso scegliere fra le
seguenti modalità di pagamento:
(i) 29700 subito e 5 rate annue posticipate di 495 l’una;
(ii) 29700 subito, 693 tra un anno e 8 rate semestrali di 250 (la prima rata fra un anno e sei
mesi).
Si determini il pagamento scelto, in base al criterio del r.e.a. al tasso annuo del 13%.
Soluzione:
Possiamo evitare di considerare la posta 29700 al tempo t0 = 0, uguale per entrambe le
operazioni; si ha
i = 0.13 ⇒ i2 = 0.063
(i)
− 495a5|0.13 = −495 · 3.51723 = −1741
(ii)
−
693
250
= −1971
−
a
1.13 1.13 8|0.063
pertanto, si sceglie la modalità di pagamento (i).
13. Per comprare una collana di diamanti da regalare alla fidanzata, Tizio ha ricevuto due
offerte:
(1) pagare 10000 subito e 4000 tra 4 anni;
(2) pagare 4 rate costanti R, annue immediate posticipate.
Si determini R affinché le due offerte siano equivalenti, in base al criterio del r.e.a. al tasso
annuo del 4% (ovviamente, stiamo ipotizzando che la fidanzata non molli Tizio, prima di
4 anni . . .).
Soluzione:
10000 + 4000(1.04)−4 = Ra4|0.04 ⇔ R = 10000 + 4000(1.04)−4 ·
0.04
= 3697
1 − (1.04)−4
14. Sia X > 0 e si considerino le operazioni finanziarie
A = [(X, −100, −120); (0, 1, 2)]
e
B = [(X, −110, −105); (0, 1, 2)];
utilizzando il criterio del r.e.a. al tasso i = 5%, quale è preferibile?
a B, qualsiasi sia X;
b A, qualsiasi sia X;
c non si può rispondere, se non si conosce il valore di X;
d è indifferente, qualsiasi sia X.
Soluzione:
Dato che la prima posta è uguale, possiamo trascurarla; si ha
per A :
− 100(1.05)−1 − 120(1.05)−2 = −204
per B :
− 110(1.05)−1 − 105(1.05)−2 = −200
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è quindi preferibile B.
Si noti l’assurdità della c .
15. Sia C > 0 e si considerino le operazioni finanziarie
A = [(−C, 80, 100); (0, 1, 2)]
e
B = [(−C, 90, 85); (0, 1, 2)];
utilizzando il criterio del r.e.a. al tasso i = 3%, quale è preferibile?
a B, qualsiasi sia C;
b A, qualsiasi sia C;
c non si può rispondere, se non si conosce il valore di C;
d è indifferente, qualsiasi sia C.
Soluzione:
Dato che la prima posta è uguale, possiamo trascurarla; si ha
per A :
80(1.03)−1 + 100(1.03)−2 ∼ 171.92
per B :
90(1.03)−1 + 85(1.03)−2 ∼ 167.49
è quindi preferibile A.
16. Per il mio compleanno, posso scegliere tra due regali, consistenti nelle seguenti due rendite
annuali:
R1 = [(30000, 15000, 18000, 20000) ; (0, 1, 2, 3)]
R2 = [(30000, 10000, 22000, 25000) ; (0, 1, 2, 3)]
In dipendenza dal tasso d’interesse i, si determini quale regalo mi conviene scegliere, in
base al criterio del r.e.a. al tasso i.
Soluzione:
Due osservazioni che ci semplificano i conti:
(1) la prima posta è uguale in entrambe, quindi non la considero;
(2) la seconda rata è per entrambe al tempo 1, quindi confronto i valori delle due rendite
al tempo 1.
15000 + 18000(1 + i)−1 + 20000(1 + i)−2 > 10000 + 22000(1 + i)−1 + 25000(1 + i)−2 ⇔
⇔ 15 + 18v + 20v 2 > 10 + 22v + 25v 2 ⇔
√
−2 + 29
2
= 0.67732 . . . ⇔
⇔ 5v + 4v − 5 < 0 ⇔ 0 < v <
5
⇔ i > 0.477 . . .
Pertanto, a tasso maggiore del 47.7%, preferisco R1 , a tasso minore, preferisco R2 , a tasso
47.7%, è indifferente (e quindi, visti i tassi attuali, scelgo il regalo R2 ).
17. Nelle operazioni finanziarie del tipo investimento in senso stretto, il r.e.a.
a è sempre positivo;
73
b
c
d
è sempre negativo;
è positivo per i < i∗ e negativo per i > i∗ , ove i∗ = t.i.r.;
è positivo per i > i∗ e negativo per i < i∗ , ove i∗ = t.i.r. .
Soluzione:
Come visto ad esempio in (2), pagg.106-110, è noto che, in un investimento in senso stretto,
la funzione r.e.a.(i) = V (i) è tale che
lim V (i) = P0 < 0;
i→+∞
lim V (i) = +∞ poiché Pn > 0.
i→−1+
Ciò implica (dal teorema degli zeri per funzioni continue) che il grafico della funzione
attraversa almeno una volta l’asse delle ascisse (esistenza tasso implicito i∗ ).
Inoltre, la funzione V (i) gode delle seguenti due proprietà:
(1)
V (i) ≥ 0 ⇒ V 0 (i) < 0
∀i > −1
0
00
(2)
V (i) ≤ 0 ⇒ V (i) > 0 ∀i > −1
La (1) significa che la funzione è decrescente, in corrispondenza dei valori in cui è non
negativa; ciò implica che il grafico della funzione, una volta passato sotto l’asse delle
ascisse, non può più ritornare sopra (unicità tasso implicito i∗ ). La (2) significa che la
funzione è convessa, in corrispondenza dei punti ove è non crescente; ciò implica che la
funzione non possa avere punti di massimo.
Pertanto, la risposta giusta è la c .
18. L’operazione finanziaria
A = [P; t] = [(A, B, C); (0, 1, 2)],
A < 0, B, C > 0,
ha un unico tasso implicito. Vero?
a sı̀, ed è negativo se A < B + C;
b sı̀, ed è nullo se A < B + C;
c sı̀, ed è positivo se A + B + C > 0;
d no, esistono almeno due tassi impliciti.
Soluzione:
Trattasi di investimento in senso stretto, che ha pertanto un unico tasso implicito, positivo,
nullo o negativo, a seconda che la differenza tra la somma dei ricavi e la somma dei costi
sia positiva, nulla o negativa. Si conclude che l’unica affermazione corretta è la c .
19. Si consideri l’operazione finanziaria
A = [(−100, 40, 80), (0, 1, 2)].
Senza risolvere equazioni, ma utilizzando noti risultati teorici, si dimostri che A ha un
unico tasso implicito e che tale tasso è positivo; in seguito, si calcoli esplicitamente tale
tasso implicito.
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Soluzione:
Si nota che A è un investimento in senso stretto, in quanto i costi precedono i ricavi;
questo fatto già garantisce esistenza ed unicità del tasso implicito i∗ (si veda un esercizio
precedente). Inoltre, la somma dei ricavi di A, 120, è maggiore della somma dei costi
di A, 100, quindi r.e.a.(0) = 120 − 100 > 0, cioè l’ordinata all’origine della funzione
r.e.a.(i) è positiva; questo implica che la funzione r.e.a. attraversa l’asse delle ascisse in
corrispondenza dell’ascissa positiva i∗ . Si conclude che A ammette uno ed un solo tasso
implicito (t.i.r.) e che questo è positivo. Quanto detto sopra vale per qualsiasi investimento
in senso stretto con somma dei ricavi maggiore della somma dei costi. In questo caso, in
aggiunta a ciò, notiamo che A è addirittura un P.I.C.O. (point input-continuous output),
in quanto è costituita da un solo costo, seguito da vari ricavi. Per i P.I.C.O., come noto,
vale
d
(r.e.a.(i)) < 0
∀i > −1
di
e quindi la funzione r.e.a.(i) è strettamente decrescente su tutto l’insieme di definizione.
Per il calcolo esplicito del t.i.r., si ha:
n
<0
non accettabile
2
−100 + 40v + 80v = 0 ⇔ v =
0.8956 i = 0.1165
20. In un investimento in senso stretto il t.i.r. è uguale al 12%; allora il r.e.a. calcolato al
tasso del 18% è negativo. Vero?
a sı̀;
b no, è positivo;
c no, è nullo;
d non si può rispondere, perché dipende dall’investimento.
Soluzione:
Da quanto ricordato sull’argomento andamento della funzione r.e.a.(i), nel caso di investimento/finanziamento in senso stretto, deduciamo che la risposta esatta è la a .
21. Nelle operazioni finanziarie del tipo finanziamento in senso stretto, il r.e.a.
a è sempre positivo;
b è sempre negativo;
c è positivo per i < i∗ e negativo per i > i∗ , ove i∗ = t.i.r.;
d è positivo per i > i∗ e negativo per i < i∗ , ove i∗ = t.i.r.
Soluzione:
Da quanto ricordato prima, sull’andamento della funzione r.e.a.(i), nel caso di investimento in senso stretto, e non dimenticando che per i finanziamenti succede esattamente il
contrario, deduciamo che la risposta esatta è la d .
22. Si consideri un’operazione finanziaria
A = [(P; t)],
P0 < 0, Pk > 0 ∀k > 0
75
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
a A ha un unico tasso implicito positivo;
b A ha almeno un tasso implicito positivo;
c il r.e.a. di A (calcolato in regime composto al tasso i)
è funzione decrescente e convessa del tasso i;
d il r.e.a. di A è funzione decrescente di i, ma non è detto che sia convessa.
Soluzione:
Da quanto ricordato prima, deduciamo che la risposta corretta è la c .
23. Si consideri l’operazione finanziaria
A = [(−300, 150, 210), (0, 1, 2)].
Senza risolvere equazioni, ma utilizzando noti risultati teorici, si dimostri che A ha un unico
tasso implicito e che tale tasso è positivo; si calcoli esplicitamente tale tasso implicito.
Soluzione:
Trattasi di investimento in senso stretto (del tipo P.I.C.O.), con somma dei costi (300)
minore della somma dei ricavi (150 + 210), pertanto, esiste uno ed un solo tasso implicito,
ed esso è positivo:
n
0.890303 . . .
i = 0.1232 . . .
2
−300 + 150v + 210v = 0 ⇔ v =
<0
non accettabile
24. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
a un investimento in senso lato ha sempre uno ed un solo tasso implicito;
b un investimento in senso lato ha almeno un tasso implicito;
c un investimento in senso lato ha almeno un tasso implicito, se Pn > 0,
oppure se la somma dei ricavi è maggiore della somma dei costi;
d nessuna delle altre tre affermazioni è corretta.
Soluzione:
Come noto (si veda, ad esempio, (2), pagg.106-110), per un investimento in senso lato si
dimostra che vale la proprietà
V (i) ≥ 0 ⇒ V 0 (i) < 0
(1)
∀i ≥ 0
(ma solo per i ≥ 0), mentre non vale più, in generale, la
(2)
V 0 (i) ≤ 0 ⇒ V 00 (i) > 0
Pertanto, per un investimento in senso lato, è garantita l’unicità del tasso implicito non
negativo; possono però esserci più tassi impliciti, considerando quelli negativi.
Per quanto riguarda l’esistenza: poiché vale
tcosti < tprimo
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ricavo
segue che il primo importo, P0 , deve essere un costo, quindi
lim V (i) = P0 < 0.
i→+∞
Se la somma dei ricavi è maggiore della somma dei costi, allora V (0) > 0 e quindi è
garantita l’esistenza di una radice positiva.
Inoltre, se l’ultima posta è un ricavo, allora
lim V (i) = +∞,
se Pn > 0
i→−1
e quindi V (i) deve attraversare l’asse delle ascisse; c’è quindi almeno un tasso implicito in
(−1, +∞), ma non è garantita l’unicità, né si può dire nulla a priori sul segno.
Pertanto, l’unica risposta giusta è la c .
25. Un investimento in senso lato ha sempre almeno un tasso implicito positivo. Vero?
a no, può non avere tassi impliciti positivi;
b sı̀, sempre;
c sı̀, e ha anche un tasso implicito negativo;
d sı̀ e sono sempre più di uno.
Soluzione:
Da quanto ricordato sopra, si deduce che la risposta corretta à la a .
26. Un investimento in senso generale
a ha almeno un tasso implicito positivo, se la somma dei ricavi
è superiore alla somma dei costi;
b ha sempre almeno un tasso implicito positivo;
c ha un tasso implicito negativo, se l’ultima posta è un ricavo;
d ha un tasso implicito positivo, se l’ultima posta è un ricavo.
Soluzione:
Per gli investimenti in senso generale è ancora vero che il primo importo è un costo, cioè
P0 < 0; infatti, passando al limite per i → +∞, nella disuguaglianza
(z(i))costi < (z(i))ricavi ,
si ottiene
tprimo
costo
< tprimo
ricavo .
La funzione V (i) ha quindi asintoto orizzontale negativo per i → +∞; se la somma dei
ricavi supera la somma dei costi, segue V (0) > 0 e quindi è garantita l’esistenza di un
tasso implicito positivo.
Per gli investimenti in senso generale non è più valido però il fatto che, per i ≥ 0, la
funzione sia decrescente finché è non negativa, quindi non è assicurata l’unicità del tasso
implicito non negativo.
77
Inoltre, se la somma dei ricavi è uguale alla somma dei costi, allora V (0) = 0 e quindi c’è
almeno il tasso implicito nullo, mentre, se la somma dei ricavi è minore della somma dei
costi, non è garantita neanche l’esistenza.
Infine, se l’ultima posta è un ricavo, allora
lim V (i) = +∞,
se Pn > 0
i→−1
e quindi V (i) deve attraversare l’asse delle ascisse; c’è quindi almeno un tasso implicito in
(−1, +∞), ma non è garantita l’unicità, né si può dire nulla a priori sul segno.
In definitiva, la risposta giusta è la a .
27. Nei
a
b
c
d
finanziamenti in senso generale, il r.e.a.
può cambiare segno in funzione del tasso;
è nullo;
è sempre negativo;
è sempre positivo.
Soluzione:
Da quanto ricordato prima per gli investimenti in senso generale (e quindi, per i finanziamenti, cambiando i segni), si deduce che la risposta esatta è la a .
28. Si considerino le operazioni finanziarie
A = [(−1200, 480, 600, 1440); (0, 3, 4, 5)]
e
B = [(−1440, 480, 480, 480, 480); (0, 1, 2, 3, 4)]
Si determini, in base al criterio del r.e.a. al tasso del 6%, l’importo da aggiungere al primo
ed al secondo ricavo dell’investimento meno conveniente, affinché questo risulti indifferente
all’altro.
Soluzione:
Determiniamo l’investimento meno conveniente:
480
600
1440
+
+
= 754.33
1.063
1.064
1.065
r.e.a.B (0.06) = −1440 + 480a4|0.06 = −1440 + 480 · 3.4651 = 223.25
r.e.a.A (0.06) = −1200 +
il meno conveniente è B. I due investimenti diventano indifferenti tra loro se e solo se
x
x
+
= 754.33 − 223.25 ⇔ x = 289.67
1.06 1.062
29. Si considerino le operazioni finanziarie
A = [(−4000, 6800, 9000); (0, 1, 2)]
e
78
B = [(−4000, 9000, 5200); (0, 1, 2)];
si determini il tasso d’interesse per il quale i due progetti risultino indifferenti in base al
criterio del r.e.a.
Soluzione:
Posto v = (1 + i)−1 , deve essere
−4000 + 6800v + 9000v 2 = −4000 + 9000v + 5200v 2
cioè
3800v 2 − 2200v = 100v(38v − 22) = 0 ⇔ v =
11
= 0.5789
19
e quindi
i = 72.727%
si noti che, con il criterio del r.e.a., poste uguali ad uguali scadenze si possono eliminare,
quindi si poteva evitare di considerare −4000.
30. Per pagare un certo impianto, si può scegliere tra
(i) pagare 23700 alla consegna e 5 rate annue posticipate di 395 l’una;
(ii) pagare 19750 alla consegna, 553 dopo un anno e rate semestrali posticipate di 553 l’una, a
partire dal prossimo anno, per 4 anni.
Si determini il valore attuale del pagamento che conviene scegliere in base al criterio del
r.e.a., al tasso annuo del 13%.
Soluzione:
i = 0.13 ⇒ i2 =
(i)
(ii)
√
1.13 − 1 = 0.063
− 23700 − 395a5|0.13 = −23700 − 395 · 3.5172 = −25089
− 19750 −
553
553
−
a
= −23243
1.13 1.13 8|0.063
conviene scegliere la modalità di pagamento (ii), con valore attuale −23243.
31. Un investimento di 100 può produrre 50 tra un anno e 69.44 tra due anni; un investimento
alternativo può invece produrre 10 tra un anno e x tra due anni. Si determini x in modo
che le alternative siano indifferenti secondo il criterio del t.i.r..
Soluzione:
Si tratta di investimenti in senso stretto (del tipo P.I.C.O.), quindi ammettono entrambe
uno ed un solo tasso implicito. Determiniamo il t.i.r. del primo investimento:
−100 + 50v + 69.44v 2 = 0 ⇔ v =
25
= 0.8928 ⇔ i = 12%
28
Imponendo lo stesso t.i.r. al secondo, si ottiene:
−100 + 10v + xv 2 = −100 + 10
25
25
+ x( )2 = 0 ⇔ x = 114.24
28
28
79
32. Si considerino le seguenti operazioni finanziarie
A = [(−1016, 889, 635); (0, 1, 2)]
e
B = [(−1016, 381, 1270); (0, 1, 2)]
e si determini il loro punto di rottura i∗ .
Utilizzando questo tasso i∗ , si determini quale dovrebbe essere la seconda posta di A
affinché il r.e.a. di A sia il doppio del r.e.a. di B.
Soluzione:
Dato che la prima posta è uguale per entrambi, non consideriamola; indichiamo con V (i)
il valore attuale delle poste, esclusa la prima, al tasso i:
VA (i) = 889v + 635v 2 ,
VB (i) = 381v + 1270v 2 ,

 VA (i) > VB (i) ⇔ v < 0.8
pertanto
V (i) = VB (i) ⇔ v = 0.8
 A
VA (i) < VB (i) ⇔ v > 0.8

 VA (i) > VB (i) ⇔ i > 25%
e quindi
V (i) = VB (i) ⇔ i = 25%
 A
VA (i) < VB (i) ⇔ i < 25%
il punto di rottura i∗ è quindi il 25%.
A questo tasso, imponiamo che il r.e.a. di A sia il doppio di quello di B:
635
x
+
= 2r.e.a.B (0.25) =
r.e.a.A (0.25) = −1016 +
1.25 1.252
381
1270
= 2 −1016 +
+
= 203.2
1.25 1.252
⇔ x = 1016
33. Alla banca Banda Bassotti, mutui e complotti perviene una richiesta di rimborso anticipato di un mutuo, dietro pagamento del r.e.a. al tasso del 20% composto annuo, delle rate
non ancora versate. Alla Banda Bassotti, mutui e complotti conviene accettare
a sempre;
b mai;
c se e solo se il t.i.r. dell’ammortamento è maggiore del 20%;
d se e solo se il t.i.r. dell’ammortamento è minore del 20%.
Soluzione:
Basta ricordarsi l’equazione esplicita prospettiva del debito residuo, per dedurre che la
risposta esatta è la d .
34.
Acquisto oggi, al prezzo di 98, un’obbligazione di valore nominale 100, scadente tra 2
anni e di cedola posticipata annua del 4%; quale è il tasso interno di rendimento di questa
operazione?
80
a
b
c
d
4%;
5.077%;
meno del 4%;
non si può rispondere, perché l’operazione ha più di un tasso implicito.
Soluzione:
L’operazione è cosı̀ schematizzata:
A = [(−98, 4, 104); (0, 1, 2)]
Trattasi di investimento in senso stretto, con somma dei ricavi (4 + 104) superiore alla
somma dei costi (98), quindi esiste uno ed un solo tasso implicito (t.i.r.), ed esso è positivo.
Si calcola il t.i.r.:
98 = 4(1 + i)−1 + 104(1 + i)−2 ⇔ i = 0.05077
35. Si considerino le seguenti due rendite annuali:
R1 = [(20000, 23000, 28000, 24000) ; (0, 1, 2, 3)]
R2 = [(27000, 18000, 25000, 24000) ; (0, 1, 2, 3)]
In dipendenza dal tasso d’interesse i, si determini quale rendita è preferibile, in base al
criterio del r.e.a. al tasso i.
Soluzione:
L’ultima posta è uguale in entrambe, quindi non la considero; confronto i valori delle due
rendite al tempo t = 0:
20000 + 23000(1 + i)−1 + 28000(1 + i)−2 > 27000 + 18000(1 + i)−1 + 25000(1 + i)−2 ⇔
⇔ 20 + 23v + 28v 2 > 27 + 18v + 25v 2 ⇔
√
−5
+
109
⇔ 3v 2 + 5v − 7 > 0 ⇔ v >
= 0.906717 . . . ⇔
6
⇔ i < 0.102879 . . .
Pertanto, a tasso minore del 10.29%, preferisco R1 , a tasso maggiore, preferisco R2 , a
tasso 10.29%, è indifferente.
36. Si consideri l’operazione finanziaria A = [(−70, 20, 40, 30); (0, 1, 2, 3)]; quale delle seguenti
affermazioni è vera?
a il t.i.r. di A è maggiore del 15%;
b il t.i.r. di A è compreso tra il 10% ed il 15%;
c il t.i.r. di A è minore del 10%;
d A ha più di un tasso implicito.
81
Soluzione:
Trattasi di un investimento in senso stretto, del tipo P.I.C.O., con somma dei ricavi maggiore del costo, quindi esiste uno ed un solo tasso implicito (t.i.r.), ed esso è positivo. La
funzione r.e.a.A (i) è monotona strettamente decrescente. Si ha
r.e.a.A (i) = −70 + 20(1 + i)−1 + 40(1 + i)−2 + 30(1 + i)−3
r.e.a.A (0.15) = −70 + 20(1.15)−1 + 40(1.15)−2 + 30(1.15)−3 = −2.63
r.e.a.A (0.1) = −70 + 20(1.1)−1 + 40(1.1)−2 + 30(1.1)−3 = 3.77
pertanto, il t.i.r. è compreso tra il 10% ed il 15% (verificare che è il 12.85%).
37. Nella scelta tra due finanziamenti con il criterio del tempo di recupero, si sceglie quello
a con il saldo di cassa negativo e minore in valore assoluto;
b la cui data di inversione nel saldo di cassa è più vicina;
c la cui data di inversione nel saldo di cassa è più lontana;
d con il saldo di cassa positivo maggiore.
Soluzione:
Il criterio del tempo di recupero del capitale (o pay-back time) impone di scegliere, tra due
finanziamenti, quello con tempo di recupero maggiore; la risposta giusta è quindi la c .
38. Valutando due investimenti con il criterio del tempo di recupero, scelgo quello
a con il saldo di cassa finale maggiore;
b con il saldo di cassa finale minore;
c la cui data di inversione nel saldo di cassa è più vicina;
d la cui data di inversione nel saldo di cassa è più lontana.
Soluzione:
Per quanto appena detto, la risposta corretta è la c .
39. Si considerino le seguenti operazioni finanziarie
A = [(90, −10, −90); (0, 1, 2)]
e
B = [(90, −90, −x); (0, 1, 2)]
(x > 0)
Utilizzando il criterio del tempo di recupero, si sceglie
a B, ∀x;
b A, se x > 90;
c B, se x > 90;
d A, ∀x.
Soluzione:
Il tempo di recupero di A è 2, di B è 1, ∀x > 0; trattandosi di finanziamenti, si sceglie
quindi la A (risposta d ).
40. Si consideri l’operazione finanziaria
A = [(200, −100, −140), (0, 1, 2)].
82
Senza risolvere equazioni, ma utilizzando noti risultati teorici, si dimostri che A ha un unico
tasso implicito e che tale tasso è positivo; si calcoli esplicitamente tale tasso implicito.
Soluzione:
Si tratta di un finanziamento in senso stretto (P.O.C.I. - Point Output Continuous Input),
con somma dei costi (240) maggiore della somma dei ricavi (200), quindi esiste uno ed un
solo tasso implicito ed esso è positivo, perché la funzione r.e.a.(i) è strettamente crescente
e
lim = −∞ ∧ V (0) = 200 − 100 − 140 < 0 ∧ lim = P0 = 200 > 0
i→+∞
i→−1+
Per il calcolo esplicito del t.i.r., si ha:
(
200 − 100v − 140v 2 = 0 ⇔ v =
√
−5− 305
14
√
−5+ 305
14
< 0 non accettabile
> 0 i = 0.1232
41. Si considerino le operazioni finanziarie
A = [(1000, 0, −550, −550); (0, 1, 2, 3)]
e B = [(1000, −250, −200, −550); (0, 1, 2, 3)]
(i) Si stabilisca quale delle due operazioni sia preferibile, in base al criterio del r.e.a., in
dipendenza dal tasso i.
(ii) Si determini di quanto deve variare l’ultimo costo dell’operazione meno conveniente, affinché le due operazioni risultino indifferenti, in base al criterio del r.e.a. al tasso del
20%.
(iii) Si determini il tasso di rendimento periodale dell’operazione A, in regime di sconto semplice.
Soluzione:
(i)
r.e.a.A (i) = 1000 − 550v 2 − 550v 3
r.e.a.B (i) = 1000 − 250v − 200v 2 − 550v 3
possiamo non considerare la prima posta, 1000, e l’ultima, −550, in quanto poste uguali a
scadenze uguali non influenzano la preferenza;
A B ⇔ 250v − 350v 2 > 0 ⇔ i ≥ 40%
(ii) Al tasso di valutazione del 20%, l’operazione meno conveniente è la A; variando l’ultimo
costo di A, di una quantità x, si ha
r.e.a.A0 (0.2) = 1000 − 550(1.2)−2 + (−550 + x)(1.2)−3 = 299.77 + 0.5787x
r.e.a.B (0.2) = 1000 − 250(1.2)−1 − 200(1.2)−2 − 550(1.2)−3 = 334.49
r.e.a.A0 = r.e.a.B ⇔ x = 59.997
83
quindi, affinché le due operazioni siano indifferenti, in base al criterio del r.e.a. al 20%,
occorre che A costi un po’ meno, in t = 3 (per la precisione, costi circa 60 in meno).
(iii) In regime semplice a tasso periodale i, si ha, per A:
1000 −
550
550
−
= 0 ⇔ 60i2 + 22.5i − 1 = 0 ⇔ i = 0.040146 . . .
1 + 2i 1 + 3i
pertanto, il tasso di rendimento periodale dell’operazione A, in regime di sconto semplice,
è di circa il 4%.
42. Tizio decide di investire oggi la somma di 20000 euro in un’operazione finanziaria che
produce 6000 euro dopo 6 mesi e 16000 euro dopo un anno.
(i) Si determini il tasso annuo implicito dell’operazione.
(ii) Tizio dispone oggi solo di 5000 euro; decide allora di farsi finanziare il rimanente presso
Caio, concordandone il rimborso in due rate, la prima da versarsi dopo 6 mesi e la seconda
dopo un anno. Sapendo che Caio applica il tasso del 5% composto semestrale e che Tizio
intende utilizzare i ricavi del primo investimento per rimborsare il prestito, si determini
l’importo che avanza dopo l’estinzione del debito.
(iii) A quale tasso composto annuo implicito è stata effettuata l’operazione complessiva (investimento + finanziamento)?
Soluzione:
(i) L’operazione è un investimento in senso stretto, quindi ammette un unico tasso implicito,
ed esso è positivo, perché la somma dei ricavi (22000) è maggiore del costo (20000). Il
tasso semestrale i2 è dato da
−20000 + 6000(1 + i2 )−1 + 16000(1 + i2 )−2 = 0 ⇔ i2 = 0.0569 . . .
cui corrisponde il tasso annuo
i = (1 + i2 )2 − 1 = 0.117
(ii) L’operazione di finanziamento prevede un’entrata di 15000, oggi; tra sei mesi, il debito
residuo sarà
15000(1.05) = 15750
Tizio, a quell’epoca, userà quindi i 6000 del primo ricavo dell’investimento per ripagare
parte del debito a Caio; gli resta il debito residuo di
15750 − 6000 = 9750
Tra un anno, il debito di Tizio verso Caio sarà diventato
9750(1.05) = 10237.5
84
Il secondo ricavo dell’investimento, 16000, sarà quindi sufficiente ad estinguere il debito di
Tizio verso Caio; a Tizio resteranno
16000 − 10237.5 = 5765.5
(iii) L’operazione complessiva è cosı̀ schematizzata (utilizzando l’anno, come unità temporale):
A = [(−5000, +5765.5); (0, 1)]
pertanto, il tasso annuo implicito dell’operazione è
5000(1 + i) = 5765.5 ⇔ i = 0.1531
43. Tizio vuole investire un milione e mezzo di euro. Si reca da Caio, il quale gli prospetta le
seguenti due alternative:
A: 750000 tra un anno e 1050000 tra due anni;
B: 1050000 tra un anno e x tra due anni.
(i) Si determini x affinché le due operazioni abbiano lo stesso t.i.r..
(ii) Si determini x affinché le due operazioni abbiano lo stesso r.e.a. al tasso annuo del 5%.
(iii) Si vuole che, al variare del tasso di valutazione tra lo zero ed il venti per cento annuo,
l’importo x vari in modo che le due operazioni abbiano lo stesso r.e.a.; si determini la
funzione x(i); quale è il suo grafico?
Soluzione:
(i) A e B sono investimenti in senso stretto, quindi hanno uno ed un solo tasso implicito.
Il t.i.r. di A è:
−1500000 + 750000v + 1050000v 2 = 0 ⇔ i = 0.1232
Imponiamo che B abbia questo t.i.r.:
− 1500000 + 1050000v + xv 2 = 0,
con v = (1.1232)−1
⇔ x = 713036
(ii)
r.e.a.A (0.05) = −150000 + 750000(1.05)−1 + 1050000(1.05)−2
r.e.a.B (0.05) = −150000 + 1050000(1.05)−1 + x(1.05)−2
r.e.a.A (0.05) = r.e.a.B (0.05) ⇔ x = 713007
(iii) Imponiamo l’uguaglianza dei due r.e.a., calcolati a tasso i:
750000(1 + i)−1 + 1050000(1 + i)−2 = 1050000(1 + i)−1 + x(1 + i)−2 ⇔
⇔ x(i) = 750000 − 300000i
Al variare di i nell’intervallo [0, 0.2], si ottiene i segmento che unisce i punti (0, 750000) e
(0.2, 690000).
85
Università degli studi di Milano Bicocca – Facoltà di Economia
Matematica Finanziaria
Esercizi con risoluzione dettagliata
Capitolo 5: Titoli obbligazionari e loro valutazione
Elenco degli argomenti:
Titoli obbligazionari.
La struttura per scadenza.
Duration e convessità.
Cenno all’immunizzazione.
Valutazioni di obbligazioni indicizzate.
Riferimenti bibliografici:
(1) Stefani-Torriero-Zambruno, Elementi di Matematica finanziaria e cenni di Programmazione lineare, Giappichelli Editore, Torino, terza edizione, 2007.
(2) Carcano, Matematica finanziaria. Test, esercizi e temi d’esame, con svolgimenti e
richiami teorici. Datanova, Milano, 2001.
86
1. Si considerino uno zero-coupon bond a due anni, prezzo tel quel di sottoscrizione 96/100,
valore nominale 10000, ed un coupon bond a due anni, prezzo tel quel di sottoscrizione
98/100, cedole annuali posticipate calcolate al 3%, valore nominale 10000.
Per ognuno di questi due titoli, si determini il tasso di rendimento interno (o yield to
maturity), il tasso di rendimento cedolare (o coupon return) e la componente relativa al
prezzo.
Soluzione:
I due titoli sono cosı̀ schematizzati:
A = [(−9600, 10000); (0, 2)] ,
B = [(−9800, 300, 10300); (0, 1, 2)]
Si calcola lo yield imponendo l’uguaglianza tra il prezzo d’acquisto del titolo e la somma
dei valori attuali di tutte le prestazioni future:
A : 9600 = 10000(1 + y)−2 ⇔ y = 0.02062
B : 9800 = 300(1 + y)−1 + 10300(1 + y)−2 ⇔ y = 0.04061
Il tasso di rendimento cedolare si calcola solo per il secondo titolo (dato che il primo non
porta cedole . . .):
300
= 0.0306122 ;
rc =
9800
la componente relativa al prezzo è
10000 − 9800 1
· = 0.0102040 ;
9800
2
la somma di queste due,
0.0306122 + 0.0102040 = 0.0408163
2.
(i)
(ii)
(iii)
fornisce una comoda e facile approssimazione dello yield di B, senza dover fare calcoli
complessi.
In un mercato, sono presenti due zero-coupon bond, scadenti rispettivamente tra uno e tra
due anni, quotati 94.34 e 87.34.
Determinare i tassi a pronti della corrispondente struttura a termine.
Determinare il prezzo e lo yield di un’obbligazione portante cedola annua del 5% a scadenza
biennale.
Determinare il tasso atteso del mercato per il prossimo anno.
Soluzione:
(i) I tassi spot (o tassi a pronti) Rk (k = 1, 2, . . .), in un certo istante t, servono per valutare
prestazioni finanziarie certe esigibili a future scadenze T (e quindi di durata k = T − t).
La struttura per scadenza dei tassi di rendimento (o term structure of interest rates) è data
da {Rk : k = 1, 2, . . .}.
In questo caso:
87
100
− 1 = 0.06
94.34
r
100
− 1 = 0.07
87.34 = 100(1 + R2 )−2 ⇔ R2 =
87.34
(ii) Utilizzando questa struttura per scadenza, l’obbligazione portante cedola annua del 5% a
scadenza biennale deve essere quotata
94.34 = 100(1 + R1 )−1 ⇔ R1 =
105
5
= 96.42
+
1.06 (1.07)2
Lo yield di tale obbligazione si ottiene uguagliando il prezzo ai valori attuali di tutte le
prestazioni future
96.42 = 5(1 + y)−1 + 105(1 + y)−2 ⇔ y = 0.0698
(iii) Il tasso forward (o tasso implicito, o tasso a termine) è il tasso d’interesse implicato dai
tassi spot per un periodo di tempo nel futuro.
In generale, indicando con Rk il tasso spot a k periodi e con s rp il tasso forward tra s
periodi per impegni che si protrarranno per ulteriori p periodi, si ha
"
s rp
=
s+p
(1 + Rs+p )
s
(1 + Rs )
# p1
−1
In questo caso, quindi:
"
(1 + R2 )
1 r1 =
1 + R1
2
#1
−1=
(1.07)2
− 1 = 0.08
1.06
3. Un titolo ha scadenza tra tre anni e porta cedole annuali calcolate al tasso nominale
d’interesse del 8%. Oggi, lo yield di tale titolo è pari al 5%.
(i) Si determini la quotazione, oggi, del titolo.
(ii) Supposto R1 = 4% e R2 = 4.5%, si determini R3 affinché il prezzo trovato al punto (i) sia
compatibile con tale struttura di tassi.
(iii) Si determinino i tassi impliciti del primo e del secondo periodo.
Soluzione:
(i) Il titolo è cosı̀ schematizzato
[(−X, 8, 8, 108); (0, 1, 2, 3)]
Il prezzo oggi, X, deve essere uguale al valore attuale dei flussi futuri, calcolato al tasso
dato del 5%:
8
8
108
X=
+
+
= 108.17
2
1.05 (1.05)
(1.05)3
88
(ii) Il tasso spot R3 , compatibile con i tassi spot dati R1 e R2 e con le prestazioni finanziarie
date, è dato da:
108.17 =
108
8
108
8
8
8
+
=
+
⇔
+
+
2
3
2
1 + R1
(1 + R2 )
(1 + R3 )
1.04 (1.045)
(1 + R3 )3
⇔ R3 = 0.0505
(iii) Conoscendo la struttura per scadenza dei tassi di rendimento {Rk : k = 1, 2, 3}, si ricavano
i tassi forward:
#1
s+p p
(1 + Rs+p )
−1
s rp =
s
(1 + Rs )
"
#
2 1
(1 + R2 )
(1.045)2
−1=
− 1 = 0.05
1 r1 =
1 + R1
1.04
"
#
3 1
(1.0505)3
(1 + R3 )
−
1
=
− 1 = 0.0616
r
=
2 1
(1 + R2 )2
(1.045)2
"
4.
(i) Un’obbligazione, scadente fra tre anni da oggi, porta cedole annuali X ed è quotata oggi
97.25. Se lo yield è del 4%, quale è il valore di ogni cedola?
(ii) Nel mercato finanziario viene rilevata la seguente struttura per scadenza dei tassi di rendimento
R1 = 5%,
R2 = 4%,
R3 = 6%.
Si determini il prezzo di un’obbligazione a scadenza triennale, con cedola annua del 4%.
(iii) Si supponga che R2 aumenti di un punto, mentre R1 e R3 restano come prima. Si modifica
qualche tasso forward?
Soluzione:
(i) Imponendo l’uguaglianza tra prezzo oggi e valore attuale, calcolato con lo yield del 4%, di
tutti i flussi, si ha
97.25 =
X
X
100 + X
+
+
⇔ X = 3.009
2
1.04 (1.04)
(1.04)3
(ii) Utilizzando la struttura per scadenza dei tassi d’interesse data, il prezzo P dell’obbligazione
[(−P, 4, 4, 104); (0, 1, 2, 3)] è dato da
P =
4
4
104
+
+
⇔ P = 94.83
2
(1.05 (1.04)
(1.06)3
89
(iii) I tassi impliciti sono dati da
"
s+p
(1 + Rs+p )
s rp =
s
(1 + Rs )
# p1
−1
pertanto, se cambia solo R2 (passando dal 4% al 5%), cambieranno solo i tassi forward in
cui compare R2 e quindi con s o s + p uguale a 2:
s=2 o s+p=2:
tassi
1 r1
e
2 r1
Prima della modifica, questi tassi forward sono
(1 + R2 )2
(1.04)2
−1=
− 1 = 3.01%
1 + R1
1.05
(1.06)3
(1 + R3 )3
−1=
− 1 = 10.1%
2 r1 =
(1 + R2 )2
(1.04)2
1 r1 =
dopo il cambiamento, questi tassi diventano
(1 + R2 )2
(1.05)2
−1=
− 1 = 5%
1 + R1
1.05
(1 + R3 )3
(1.06)3
−
1
=
− 1 = 8.02%
2 r1 =
(1 + R2 )2
(1.05)2
1 r1
=
Si può quindi affermare che l’aumento di un punto su R2 si riflette nell’aumento di circa
due punti su 1 r1 ed in una uguale diminuzione su 2 r1 .
5. Una obbligazione scade fra tre anni e porta cedole annue al 4%.
(i) Si determini il prezzo oggi di tale obbligazione, nell’ipotesi che il suo yield sia pari al 5%.
(ii) Nell’ipotesi che i tassi spot a 1 e 3 anni siano
R1 = 4%
e
R3 = 5%
si determini il tasso spot a 2 anni affinché tale obbligazione non dia luogo ad arbitraggi.
(iii) Si determinino i tassi forward implicati dai tassi spot del punto (ii).
(iv) Se compro oggi l’obbligazione al prezzo prima determinato e la rivendo tra un anno, quando
i tassi a pronti varranno 6% e 5.5%, rispettivamente ad un anno e a due anni, quale sarà
il rendimento complessivo dell’operazione?
Soluzione:
(i)
P =
4
4
104
+
+
= 97.27
2
1.05 (1.05)
(1.05)3
90
(ii)
97.27 =
104
4
104
4
4
4
+
=
+
+
+
2
3
2
1 + R1
(1 + R2 )
(1 + R3 )
1.04 (1 + R2 )
(1.05)3
⇒ R2 = 5.63%
(iii)
(1 + R2 )2
1.0563
−1=
− 1 = 7.29% ;
1 + R1
1.04
s
r
(1 + R3 )3
(1.05)3
−
1
=
− 1 = 5.5% ;
r
=
1 2
1 + R1
1.04
1 r1
=
2 r1 =
(1.05)3
(1 + R3 )3
−1=
− 1 = 3.75% .
1 + R2
1.0563
(iv) Tenendo conto dei tassi a pronti, che saranno rispettivamente il 6% ed il 5.5%, il prezzo di
vendita sarà
4
104
Pvendita =
= 97.21 ;
+
1.06 (1.055)2
Il rendimento complessivo, tenendo conto anche della cedola incassata, sarà quindi
97.21 + 4 − 97.27
Pvendita + cedola − Pacquisto
=
= 4.05%
Pacquisto
97.27
6. Si calcoli la duration della rendita R = [300, 500, 700); (1, 3, 5)], a tasso del 5.5%.
Soluzione:
La duration o durata media finanziaria, al tasso i, di una rendita R, è la media ponderata
delle scadenze tk , con pesi i valori attuali delle rate Rk , calcolati con legge composta
esponenziale a tasso i:
Pn
−tk
k=1 tk Rk (1 + i)
D(i) = P
n
−tk
k=1 rk (1 + i)
In questo caso:
D(0.055) =
1 · 300(1.055)−1 + 3 · 500(1.055)−3 + 5 · 700(1.055)−5
' 3.403
300(1.055)−1 + 500(1.055)−3 + 700(1.055)−5
7. Si consideri un’obbligazione, di valore nominale 100, portante 4 cedole annue posticipate
calcolate al 10%. Si determini la duration al tasso del 10%. Cosa succede, in corrispondenza
di una variazione del tasso di valutazione, dal 10% al 10.1%?
Soluzione:
La rendita è [(10, 10, 10, 110); (1, 2, 3, 4)]; la duration, calcolata al 10%, è
D(0.1) =
1 · 10(1.1)−1 + 2 · 10(1.1)−2 + 3 · 10(1.1)−3 + 4 · 110(1.1)−4
' 3.4868
10(1.1)−1 + 10(1.1)−2 + 10(1.1)−3 + 110(1.1)−4
91
Si noti che, al denominatore, c’è il corso del titolo, cioè il valore attuale delle cedole e del
rimborso:
10(1.1)−1 + 10(1.1)−2 + 10(1.1)−3 + 110(1.1)−4 = 10a4|0.1 + 100(1.1)−4 = 100 = P
Come già visto alla fine del cap.2, vale la relazione
P 0 (i)
D(i)
d(log(1 + i))
=−
= −D(i) ·
P (i)
1+i
di
cioè: piccole variazioni del tasso determinano una variazione percentuale del corso del
titolo, proporzionale alla variazione di log(1+i) (cioè alla variazione della forza di interesse),
ma di segno opposto, con costante di proporzionalità D(i).
Una piccola variazione del tasso provoca quindi una variazione relativa del corso del titolo
pari circa a
∆P
' −D(i) · ∆(log(1 + i))
P (i)
In questo caso, se il tasso passa dal 10% al 10.1%, si ha:
P (0.11) = 10a4|0.11 + 100(1.11)−4 ' 96.8975
∆P
' 96.8975 − 100100 ' −0.031024
P (0.1)
D · ∆(log(1 + i)) ' 3.4868 · (log(1.11) − log(1.1)) ' 0.0313
confermando la
∆P
' −D(i) · ∆(log(1 + i))
P (i)
8. Sul mercato esistono i titoli Titolo1, con duration D1 , e Titolo2, con duration D2 .
Investendo la cifra x1 nel Titolo1 e la cifra x2 nel Titolo2, si ottiene un portafoglio con
duration
a D1 + D2 ;
b il minimo tra D1 e D2 ;
c il massimo tra D1 e D2 ;
d la media ponderata delle duration, con pesi le cifre investite nei singoli titoli.
Soluzione:
Come noto, investendo x1 , x2 , . . . , xn in n titoli con duration D1 , D2 , . . . , Dn , si ha un
portafoglio con duration
Pn
k=1 xk Dk
;
D(i) = P
n
k=1 xk
in particolare, se le xi indicano le percentuali di investimento nei singoli titoli (cioè,
n
X
xk = 1), vale
k=1
D(i) =
n
X
k=1
92
xk Dk .
Pertanto, la risposta giusta è la d .
9. Si considerino tre titoli, con i seguenti flussi di cassa:
Titolo1 = [(100); (3)] ;
Titolo2 = [(50, 50, 100, 100); (1, 2, 4, 5)] ;
Titolo3 = [(100, 50, 50); (3, 4, 5)] .
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Investo i miei soldini in un portafoglio costituito al 25% dal Titolo1, al 30% dal Titolo2
ed al 45% dal Titolo3.
Si determini la duration di tale portafoglio, calcolata al tasso del 5%.
Si determini il valore del portafoglio, alla duration, nell’ipotesi che il tasso di mercato sia
il 5%.
Si determini il valore del portafoglio, alla duration, nell’ipotesi che il tasso di mercato entro
il primo anno scenda al 4% e poi rimanga costante.
In base ai risultati ottenuti ai punti (ii) e (iii), quale osservazione si può fare?
Soluzione:
(i) Dapprima, si calcolano le duration dei tre titoli:
Titolo1 :
D1 = 3 ∀i ;
Titolo2 :
D2 (0.05) ' 3.38797 ;
Titolo3 :
D3 (0.05) ' 3.71680 ;
la duration del portafoglio è quindi
D(0.05) = x1 D1 (0.05) + x2 D2 (0.05) + x3 D3 (0.05) '
' 0.25 · 3 + 0.3 · 3.38797 + 0.45 · 3.71680 ' 3.43895
(ii) Si calcola il valore di Titolo1 alla duration, a tasso 5%:
V1 = 100(1.05)D−3 = 100(1.05).43895 ' 102.16475
Idem, per Titolo2:
V2 = 50(1.05)D−1 + 50(1.05)D−2 + 100(1.05)D−4 + 100(1.05)D−5 ' 299.92102
Idem, per Titolo3:
V3 = 100(1.05)D−3 + 50(1.05)D−4 + 50(1.05)D−5 ' 197.14785
Di conseguenza, per il portafoglio, vale:
Vportaf oglio = 0.25 · 102.16475 + 0.30 · 299.92102 + 0.45 · 197.14785 ' 204.23403
93
(iii) Nell’ipotesi che il tasso scenda al 4% nel primo anno e poi resti costante, si ha:
V1 = 100(1.04)D−3 = 100(1.04).43895 ' 101.73651 ;
V2 = 50(1.04)D−1 + 50(1.04)D−2 + 100(1.04)D−4 + 100(1.04)D−5 ' 299.80677 ;
V3 = 100(1.04)D−3 + 50(1.04)D−4 + 50(1.04)D−5 ' 197.67885 ;
Vportaf oglio = 0.25 · 101.73651 + 0.30 · 299.80677 + 0.45 · 197.67885 ' 204.33164 .
(iv) Il valore del portafoglio è rimasto pressocché invariato al variare del tasso, perché esso
risulta immunizzato dal rischio di tasso, se trattenuto fino alla duration.
10. Si supponga che, sul mercato, esistano titoli con duration 1, 3 e 5; si determini almeno un
portafoglio costruito con questi titoli, che sia immunizzato contro il rischio di tasso per la
scadenza 4.
Soluzione:
Dette x1 , x2 e x3 le percentuali dei tre titoli, dovrà essere


 x1 + 3x2 + 5x3 = 4
x1 + x2 + x3 = 1


0 ≤ xi ≤ 1
Si nota che, poiché la duration del portafoglio è compresa tra quella del secondo e quella
del terzo titolo, occorrerà mettere in portafoglio il terzo titolo, mentre si potrebbe fare a
meno del primo o del secondo.
Considerando solo il primo ed il terzo titolo, si ha


 x1 + 5x3 = 4
x1 = 43 = 75%
x1 + x3 = 1
⇒
x2 = 41 = 25%


0 ≤ xi ≤ 1
Considerando solo il secondo ed il terzo titolo, si ha


 3x2 + 5x3 = 4
x2 =
x2 + x3 = 1
⇒
x3 =


0 ≤ xi ≤ 1
1
2
1
2
= 50%
= 50%
Volendo considerare tutti e tre i titoli, si ottengono (risolvendo il sistema di due equazioni
in tre variabili e tenendo conto dei vincoli 0 ≤ xi ≤ 1) i portafogli associati alle percentuali
x1 =
−1 + 2t
,
2
x2 =
3 − 4t
,
2
94
x3 = t,
1
3
≤t≤
2
4
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INTERESSE COMPOSTO Montanti di rendite

M = C (1 + i)

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INTERESSE COMPOSTO Montanti di rendite

M = C (1 + i)

Lezione 04

Richiami preliminari

rendite - Istituto Fermi Polo Montale

Avviso rendita IMU - Comune di Borgio Verezzi

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