Tasso nominale
ed istantaneo
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1
I 3 regimi finanziari
rs (t ) = 1 + it
semplice
1+ i
ri (t ) =
1 − (t − 1)i
iperbolica
rc (t ) = (1 + i )t
composta
rs (0) = ri (0) = rc (0) = 1
rs (1) = ri (1) = rc (1) = 1 + i
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2
I 3 regimi finanziari
rs (t ) > rc (t ) > ri (t ) per 0 < t < 1
rs (t ) < rc (t ) < ri (t ) per 1<t < 1/ d
rs (t ) < rc (t ) per t > 1/ d
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3
La capitalizzazione mista
t = f +n+ f '
f<1
f’<1
numero intero
di anni
(1 + if )(1 + i ) (1 + if ')
n
semplice
composta
f +n+ f '
semplice
(1 + i ) = (1 + i )
= (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )
f
(1 + if ) > (1 + i )
f'
(1 + if ') > (1 + i )
t
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f
n
f'
4
Esercizio
Calcolare il valore attuale del capitale C=10.000 esigibile
tra 18 mesi al tasso annuo del 6%, in regime di capitalizzazione
mista.
18 mesi = 1 anno + 6 mesi
cap. composta
cap. semplice
−1
(1
+
0,
06)
V = C (1 + i ) − n (1 + if ) −1 = 10.000
= 9.159, 25
6
1 + 0, 06 ×
12
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5
Tasso nominale
il capitale C=1 è investito, nel regime
dell’interesse composto, al tasso annuo i, ma gli
interessi vengono corrisposti, con una
periodicità fissata, nel corso dell’anno
C=1
1
m
2
m
3
m
...
m
m
i1
i1
i1
...
i1
m
m
m
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m
6
Tasso nominale
j(m ) = m i 1
m
somma degli interessi staccati:
tasso nominale annuo di interesse
convertibile m volte l’anno equivalente ad i
j (m) ⎞
⎛
1 + i = ⎜1 +
⎟
m ⎠
⎝
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m
7
Tasso istantaneo
1
⎡
⎤
m
1
+
i
−
1
(
)
1
⎢
⎥⎦
⎡
⎤
⎣
lim j ( m ) = lim m ⎢ (1 + i ) m − 1 ⎥ = lim
m → +∞
m → +∞
1
⎣
⎦ m1 → 0
m
ax −1
per il limite notevole:
lim
= ln ( a )
x→ 0
x
δ : = lim j ( m ) = lo g (1 + i )
m → +∞
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8
Il tasso istantaneo
δ = ln(1 + i ) = lim j ( m)
m →+∞
Tasso nominale annuo rinnovabile infinite volte nell’anno
o tasso istantaneo di interesse
δ
e = 1+ i
i = exp(δ ) − 1
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9
Esercizio
Sia dato un tasso di interesse trimestrale effettivo del 3%.
Calcolare, in regime composto:
• il tasso nominale convertibile 2 volte l’anno ad esso equivalente;
• il tasso istantaneo di interesse δ.
i1 = 0, 03
4
4
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜ 1 + i1 ⎟ = ⎜ 1 + i1 ⎟
⎝
⎝
4 ⎠
2 ⎠
j (2) = 2 × 0, 0609 = 0,1218
2
2
⎛
⎞
2
i1 = ⎜1 + i1 ⎟ − 1 = (1 + 0, 03) − 1 = 0, 0609
⎝
2
4 ⎠
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10
Esercizio
Sia dato un tasso di interesse trimestrale effettivo del 3%.
Calcolare, in regime composto:
• il tasso nominale convertibile 2 volte l’anno ad esso equivalente
• il tasso istantaneo di interesse δ.
4
⎛
⎞
4
i = ⎜1 + i1 ⎟ − 1 = (1 + 0, 03) − 1 = 0,12550881
⎝
4 ⎠
δ = ln(1 + 0,12550881) = 0,118235
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11
Capitalizzazione esponenziale
Il montante di un capitale C in regime di capitalizzazione
composta è
M (t ) = C (1 + i )t
δt
= Ce
Analogamente
P(t ) = K (1 + i )
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−t
= Ke
−δ t
12
Capitalizzazione esponenziale
¾fattore montante annuo:
u=e
δ
¾fattore di sconto annuo:
v=e
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−δ
1
=
u
13
Tassi equivalenti
1+ i = e
δ
m
⎛
⎞
⎜1 + i 1 ⎟ = 1 + i
m ⎠
⎝
( )
e
δ1
m
m
=e
δ
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δ1 =
m
δ
m
14
Esercizio
0
8
1.000 €
M
?
3.000 €
Capitalizzazione composta
Capitalizzazione composta
Tasso annuo nominale convertibile Tasso annuo effettivo del 6,50%
quadrimestralmente 6%
i1
m
1
=
j(m )
m
1
i1 = 0 , 0 6 = 0 , 0 2 = 2 %
3
3
M = C (1 + i ) t = 1 .0 0 0 × (1 + 0 , 0 2 ) 8 × 3 = 1 .6 0 8, 4 3 7
1 .6 0 8, 4 3 7 × (1 + 0 , 0 6 5 ) t = 3 .0 0 0
(1, 0 6 5 ) t = 1, 8 6 5 2
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t ln (1, 0 6 5 ) = ln (1, 8 6 5 2 )
15
Esercizio
0
1.000 €
8
M
?
3.000 €
Capitalizzazione composta
Capitalizzazione composta
Tasso annuo nominale convertibile Tasso annuo effettivo del 6,50%
quadrimestralmente 6%
t = 9, 89838 = 9 + 0, 89838
x
= 0 , 8 9 8 3 8 ⇒ x = 1 0 ,7 8 0 6 = 1 0 + 0 ,7 8 0 6
12
x
= 0 ,7 8 0 6 ⇒ x = 2 3 ,4 1 8 0
30
9 anni 10 mesi 24 giorni
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16
Esercizio
Dato un capitale di 155,33 € determinare il montante prodotto
in 13 mesi al tasso di interesse istantaneo su base annua del 5%.
Calcolare quale tasso d’interesse effettivo annuo produrrebbe
nello stesso tempo lo stesso montante
M = Ceδ t
δ = ln(1 + i )
M = 155,33e
i = exp(δ ) − 1 = e
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0,05
13
0,05×
12
= 163,98
− 1 = 0, 051271096
17
Tasso nominale di sconto
1
⎡
⎤
m
σ (m) = md 1 = m ⎢1 − (1 − d ) ⎥
⎣
⎦
m
Tasso nominale annuo di sconto
convertibile m volte l’anno
σ = lim σ (m) = − ln(1 − d )
m →∞
Tasso istantaneo di sconto
Tasso nominale annuo di sconto rinnovabile infinite volte
δ = ln(1 + i ) = ln(1 − d ) −1= − log(1 − d ) = σ
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