Prezzi Forward
e Prezzi Futures
Capitolo 3
Formule Conversione Tassi Interesse
- Rc un tasso d’interesse composto continuamente
- Rm il tasso d’interesse equivalente composto m
volte l’anno
Le formule di conversione sono:
Rm 

Rc  mln 1 


m
Rm  m e Rc / m  1
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3.1
Vendita allo Scoperto (short selling)
 La vendita allo scoperto consiste nel vendere
titoli che non si posseggono
 I titoli vengono presi in prestito attraverso un
broker e vengono venduti nel modo consueto
 Chi vende allo scoperto dovrà prima o poi
ricomprare i titoli per restituirli al broker da
cui li ha presi in prestito
 Deve pagare i dividendi e altri eventuali
proventi al legittimo proprietario dei titoli
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3.2
Tasso di Riporto (repo rate)
I contratti di riporto (repos o repurchase
agreements) sono accordi con i quali un’istituzione
finanziaria vende titoli spot ad un’altra istituzione
finanziaria e li riacquista a termine ad un prezzo
che in genere è lievemente più alto
La differenza tra il prezzo di riacquisto a termine
e il prezzo di vendita spot è l’interesse percepito
dalla controparte (tasso di riporto)
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3.3
Definizioni
F : prezzo forward
f : valore del contratto forward
K : prezzo di consegna del contratto forward
Prezzo forward osservato corrisponde al prezzo di
consegna che rende nullo il valore del contratto
Alla stipula contratto
 F=K e
f=0
Col passare del tempo sia f che F cambiano
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3.4
Contratti Forward su Titoli che
NON Offrono Redditi
Relazione tra prezzo forward F e prezzo spot S
affinché non vi sia arbitraggio
F  S ·e r · T  t
dove r è il tasso di interesse privo di rischio a
Tt anni composto continuamente
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3.5
Contro-esempio
F > S · e r ·T  t
Strategia cash and carry
 Prendere a prestito S per il periodo T-t al tasso r
 Acquistare spot l’attività sottostante
 Assumere posizione corta sul forward
t
+S
-S
T
- S · exp { r · (T-t) }
+F
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3.6
Contro-esempio
F < S · e r ·T  t
Strategia reverse cash and carry
 Assumere posizione lunga sul forward
 Vendita allo scoperto dell’attività sottostante
 Ricavato investito per il periodo T-t al tasso r
t
+S
-S
T
-F
+ S · exp { r · (T-t) }
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3.7
Dimostrazione formale
Portafoglio A
 Forward lungo  f
 Deposito bancario  K · exp { - r · (T - t) }
Portafoglio B
 Titolo senza reddito  S
Al tempo T entrambi i portafogli saranno
composti da una unità del titolo sottostante
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3.8

Condizione di non-arbitraggio
f + K · exp { - r · (T - t) } = S
Poiché in t , F = K e f = 0 , allora la condizione
di non-arbitraggio equivale a:
F  S ·e r · T  t
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3.9
Contratti Forward su Titoli che
Offrono Redditi Noti
Relazione tra prezzo forward F e prezzo spot S
affinché non vi sia arbitraggio
F  (S - I) ·e r · T  t
dove I è il valore attuale dei redditi che verranno
distribuiti in T (già noti in t)
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3.10
Dimostrazione formale
Portafoglio A
 Forward lungo  f
 Deposito bancario  K · exp { - r · (T - t) }
Portafoglio B
 Titolo con reddito noto  S
 Prestito bancario  - I
Al tempo T entrambi i portafogli saranno
composti da una unità del titolo sottostante
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3.11

Condizione di non-arbitraggio
f + K · exp { - r · (T - t) } = S - I
Poiché in t , F = K e f = 0 , allora la condizione
di non-arbitraggio equivale a:
F  (S - I) ·e r · T  t
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3.12
Contratti Forward su Titoli che
Offrono un Dividend Yield Noto
Relazione tra prezzo forward F e prezzo spot S
affinché non vi sia arbitraggio
F  S ·e (r - q) · T  t
dove q è il dividend yield (si ipotizza che vi sia un
flusso di dividendi continuo tra t e T e che tali
dividendi vengano distribuiti al tasso annuale q)
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3.13
Dimostrazione formale
Portafoglio A
 Forward lungo  f
 Deposito bancario  K · exp { - r · (T - t) }
Portafoglio B
 Titolo con dividend yield noto
 exp { - q · (T - t) } unità del titolo,
con reddito reinvestito nel titolo stesso
Al tempo T entrambi i portafogli saranno
composti da una unità del titolo sottostante
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3.14

Condizione di non-arbitraggio
f + K · exp { - r · (T - t)} = S · exp { - q · (T - t)}
Poiché in t , F = K e f = 0 , allora la condizione di
non-arbitraggio equivale a:
F  S ·e (r - q) · T  t
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3.15
Valore di un Contratto Forward
Contratto forward ha valore nullo al momento della
stipula. Può avere valore positivo o negativo
successivamente, durante la vita del contratto.

Valore al tempo t di un contratto forward lungo f
in funzione del prezzo di consegna K concordato alla
stipula (tempo 0) e del prezzo forward corrente F.
f  F  K  e  r · T  t
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3.16
 Si considerino i portafogli A e B nel caso di titolo
privo di reddito. Si ipotizzi che tali portafogli siano
stati formati al tempo 0 e che il contratto forward
allora stipulato scada al tempo T.
 Ad una data intermedia t, 0 < t < T, la condizione
di non-arbitraggio imporrà che valga la relazione:
f + K · exp { - r · (T - t) } = S
 Per un contratto forward stipulato al tempo t con
scadenza al tempo T, per la condizione di nonarbitraggio vista in precedenza, si ha:
S  F  e  r · T  t

Ne consegue il risultato
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3.17
Futures su Indici Azionari
Gli indici azionari possono essere considerati alla
stregua di titoli che offrono dividend yield continuo
La relazione tra prezzo futures e prezzo spot è:
F  S ·e (r - q) · T  t
dove q rappresenta il dividend yield del portafoglio
che è alla base dell’indice
Esercizio. Si verifichi tale relazione utilizzando dati
su MIB30, FIB30 e tasso risk-free, con differenti
dividend yield (per es., q = 3%)
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3.18
Futures su Valute (Currency Futures)
Valute estere sono simili a titoli che offrono un
dividend yield continuo, dove questo è dato dal tasso
d’interesse estero privo di rischio
Ne segue che:
F  S ·e (r - y) · T  t
dove y è il tasso d’interesse estero privo di rischio
Esercizio. Si verifichi tale relazione utilizzando dati
sul tasso di cambio dollaro/yen e sui tassi risk-free di
Stati Uniti e Giappone
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3.19
Futures su Merci (Commodity Futures)
Vale la relazione
F  (S  U  e r ·T  t
dove U è il valore attuale dei costi
immagazzinamento dell’attività sottostante
di
In alternativa,
F  S  e (r + u) ·T  t
dove u è il costo di immagazzinamento per unità di
tempo espresso in proporzione al valore
dell’attività sottostante
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3.20
Prezzi Futures e Futuri Prezzi Spot
Si supponga che il tasso di rendimento atteso dagli
investitori su una certa attività sia k
Si può investire al tempo t l’importo F · erT  t in
titoli privi di rischio e simultaneamente assumere
una posizione lunga su un contratto futures per
scadenza T in modo da avere ST alla scadenza del
contratto futures
Pertanto:
da cui:
F · erT  t  EST  e k · T  t
F  EST  e r  kT  t
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3.21

Se l’attività:
non ha rischio sistematico, si ha
k  r e F  E(ST
ha rischio sistematico positivo, si ha (normal
backwardation)
k  r e F  E(ST
ha rischio sistematico negativo, si ha (contango)
k  r e F  E(ST
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3.22