Riepiogo sull’algebra dei limiti di successioni (i) Se lim an = α e lim bn = β allora lim ( an + bn ) = α + β (ii) Se lim an = α e lim bn = β allora lim ( anbn ) = αβ (iii) Se lim an = α e lim bn = ±∞ allora lim ( an + bn ) = ±∞ (iv) Se lim an = α ≠ 0 allora lim (v) Se lim an = α allora lim λan = λα (ove λ ∈ R ) (vi) Se lim an = α ≠ 0 e lim bn = β allora lim n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ 1 1 = an α n →∞ n →∞ bn n →∞ n →∞ an = β α Alcuni limiti fondamentali di successioni (i) Se a > 1 allora lim a n = +∞ (ii) Se a < 1 allora lim a n = 0 (iii) Se a = 1 allora lim a n = 1 (iv) α Se a > 1 e lim αn = +∞ allora lim a n = +∞ (v) −α Se a > 1 e lim αn = +∞ allora lim a n = 0 n →+∞ n →+∞ n →+∞ n →∞ n →+∞ n →∞ n →+∞ 1n (vi) Se a > 0 allora lim a (vii) Se a > 0 e lim αn = 0 allora lim a (viii) Se a > 0 e lim αn = α allora lim a (ix) Se lim an = α e k ∈ N + allora lim k an = k α (x) Se an > 0 e 0 < an +1 an < α < 1 definitivamente per n ≥ ν allora lim an = 0 n →+∞ =1 αn =1 αn = aα n →+∞ n →∞ n →+∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →+∞ Se an > 0 e (xi) 1n ( an ) < α < 1 defintivamente per n ≥ ν allora lim an = 0 n →+∞ α (xii) Se α > 0 allora lim n = +∞ (xiii) Se α > 0 allora lim n −α = 0 n →+∞ n →+∞ n (xiv) lim n = 1 n →∞ Limiti notevoli e “gerarchie” degli infiniti Nella tabella che segue: { xn } è una successione tale che lim x n = ±∞ (solo +∞ in ⑫ e ⑬ ); { an } è una successione tale che lim an = 0 con an ≠ 0 definitivamente per n → ∞ ; n →∞ n →∞ a > 1, α > 0 e β > 0; λ ∈ R; { tn } è una successione tale che lim tn = 0 con tn ≠ 0 definitivamente per n → ∞ ; { sn } è una successione tale che lim sn = 0 con sn ≠ 0 definitivamente per n → ∞ . n →∞ n →∞ n ⎛ 1⎞ ① ∃ lim ⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ = e n →∞ ⎜ n ⎟⎠ ⎝ ⎛ 1 ② lim ⎜⎜⎜1 + n →∞ ⎜ x ⎝ a α n −1 = lg α n →∞ an ⑤ lim ⑨ lim arcsin sn =1 sn n →∞ x ⎞⎟ n ⎟⎟ = e ⎟ n⎠ ⑥ lim (1 + an )α −1 an n →∞ ⑩ lim ar ctg tn n →∞ tn =α =1 1 an ③ lim (1 + αan ) n →∞ ⑦ lim sinan an n →∞ ⑪ lim =1 1 − cosan n →∞ =e α an2 ④ lim lg (1 + αan ) an n →∞ tgan ⑧ lim an n →∞ = 1 2 ⑫ lim n →∞ x nβ a xn =α =1 =0 α ⑬ (loga xn ) lim =0 x nβ n →∞ TEOREMA: data f : I → R con I ⊆ R* e a punto d’accumulazione di I abbiamo: f (x) → per x → a se e solo se ∀ {x n } ⊂ I − {a } convergente ad a f (x n ) → per n → ∞ . Per I aperto possiamo anche dire : se e solo se ∀ {x n } ⊂ (I − {a }) ∩ Q convergente ad a f (x n ) → per n → ∞ . Ciò consente di importare i limiti precedenti alle funzioni reali di variabile reale (per a > 1 , α> 0 e β > 0 ): x x ① ② αx −1 = lg α x →0 x ⑥ lim arcsin x =1 x →0 x ⑩ lim ⑤ lim ⑨ lim ⑬ ⎛ 1⎞ lim ⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ = e ⎜ x →−∞ ⎝ x ⎟⎠ ⎛ 1⎞ lim ⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ = e x →+∞ ⎜ x ⎟⎠ ⎝ lim (loga x)α xβ x →+∞ ③ 1x lim (1 + αx ) = e α x →0 (1 + x)α −1 =α x →0 x ⑦ lim artg x =1 x →0 x ⑪ lim x →0 sin x =1 x ④ lim lg (1 + αx) =α x ⑧ lim tg x =1 x x →0 x →0 1 − cos x 1 = x →0 2 x2 ⑫ lim x →+∞ xβ ax =0 =0 In termini di asintoticità possiamo anche scrivere: x ⎛ ⎞ ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ e per x → ±∞ ⎜⎝ x ⎟⎟⎠ 1x (1 + αx ) e α per x → 0 αx −1 x lg α per x → 0 (1 + x)α −1 αx per x → 0 arcsin x x per x → 0 arctg x x per x → 0 Calcolare i seguenti limiti (sempre che esistano) (i) Ax − B x A = lg x →0 x B lim Traccia Ax − B x Ax −1 B x −1 = − etc. (vedi limite notevole 5) x x x lg (1 + αx) αx per x → 0 sin x x per x → 0 1 − cos x 1 2 x per x → 0 2 lim (ii) x →0 sin(π + 4x) = −4 x sin(π + 4x) −sin(4x) = 4 etc (vedi limite notevole 7) x 4x Traccia (iii) lim ) cos π(1−x 2 cos Traccia (iv) lim x →0 = x x →0 π 2 π(1 − x) π πx π πx πx = cos cos + sin sin = sin etc (vedi limite notevole 7) 2 2 2 2 2 2 lg(2 − cos x) 1 = 2 sin 2 x lg(2 − cos x) = lg[1 + (1 − cos x)] 1 − cos x etc (vedi limite notevole 4) Traccia lim x − sin 2x ⋅ lg x = +∞ (v) x →+∞ ⎛ lg x ⎞⎟ ⎟ x (vedi limite notevole 13) , etc. x − sin 2x ⋅ lg x = x ⎜⎜⎜1 − sin 2 x ⎝ x ⎟⎠ Traccia (vi) ⎡ 1 1 ⎤⎥ 1 lim ⎢ − =− ⎥ x →0 ⎢ x tgx x sin x 2 ⎣ ⎦ 1 1 cos x −1 cos x −1 x etc. (vedi limiti notevoli 11 e 7) − = = x tgx x sin x x sin x sin x x2 Traccia (vii) 5 + cos x =0 x2 +1 lim x →+∞ Traccia 5 + cos x ≤ 6 , il resto è banale… (viii) lim x →+∞ x + cos x 1 = 4x − sin x 4 Traccia Dividere numeratore e denominatore per x , etc. (ix) lim Traccia 2 arctg x −1 x 3 3 lg 2 = lg 2 tg 3x x 3 2 arctg x −1 = lg 2 x →0 tg 3x 3 lim (x) lg(tg 4x + 1) x →0 e 2 sin 4 x −1 = 1 2 tg 4x → 0 per x → 0 e sin 4 x → 0 per x → 0 quindi lg(tg 4x + 1) tg 4x x 4 e Traccia 4 e 2 sin x −1 2 sin 4 x 2x 4 donde (xi) lg(tg 4x + 1) 4 e 2 sin x −1 x4 1 = . 2 2x 4 [1 − cos(1 x)]2 1 = x →+∞ lg[1 + sin 4 (1 x)] 4 Traccia lim [1 − cos(1 x)]2 2−2 x −4 e lg[1 + sin 4 (1 x)] x −4 (xii) nn =0 x →+∞ n !2n lim Conviene applicare il limite fondamentale (x) o criterio del rapporto osservando che Traccia n (n + 1)n +1 n !2n ⎛⎜ 1⎞ 1 e = ⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ → < 1 . n +1 n ⎝ n⎠ 2 2 (n + 1)!2 n n+2 (xiii) lim 2n n 4 + 1 x →+∞ =0 Conviene applicare il limite fondamentale (xi) o criterio della radice, osservando che Traccia 1n n ⎛ n + 2 ⎞⎟ n ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ 2n n 4 + 1 ⎟⎠ 1n (2n n 4 + 1) 1 1n (2 n ) n 4 = 2−1 2 1n (n ) 4 → 2−1 2 < 1 . n 2 (xiv) ⎛ 3n 3 + 1 ⎞⎟ ⎟⎟ = 0 lim ⎜⎜⎜ x →+∞ ⎝1 + 4n 3 ⎠ Conviene applicare il limite fondamentale (xi) o criterio della radice, osservando che Traccia 12 ⎛ 3n 3 + 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝1 + 4n 3 ⎟⎠ → (xiv) 3 < 1. 4 n ! en =0 x →+∞ nn lim Traccia Conviene applicare il limite fondamentale (x) o criterio del rapporto osservando che n ⎛ n ⎞⎟ (n + 1)! en +1 n n ⎜⎜ = ⎜⎝ n + 1 ⎟⎟⎠ (n + 1)n +1 n ! en e→ 1 e < 1.