Riepiogo sull’algebra dei limiti di successioni
(i)
Se lim an = α e lim bn = β allora lim ( an + bn ) = α + β
(ii)
Se lim an = α e lim bn = β allora lim ( anbn ) = αβ
(iii)
Se lim an = α e lim bn = ±∞ allora lim ( an + bn ) = ±∞
(iv)
Se lim an = α ≠ 0 allora lim
(v)
Se lim an = α allora lim λan = λα (ove λ ∈ R )
(vi)
Se lim an = α ≠ 0 e lim bn = β allora lim
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
1
1
=
an
α
n →∞
n →∞
bn
n →∞
n →∞
an
=
β
α
Alcuni limiti fondamentali di successioni
(i)
Se a > 1 allora lim a n = +∞
(ii)
Se a < 1 allora lim a n = 0
(iii)
Se a = 1 allora lim a n = 1
(iv)
α
Se a > 1 e lim αn = +∞ allora lim a n = +∞
(v)
−α
Se a > 1 e lim αn = +∞ allora lim a n = 0
n →+∞
n →+∞
n →+∞
n →∞
n →+∞
n →∞
n →+∞
1n
(vi)
Se a > 0 allora lim a
(vii)
Se a > 0 e lim αn = 0 allora lim a
(viii)
Se a > 0 e lim αn = α allora lim a
(ix)
Se lim an = α e k ∈ N + allora lim k an = k α
(x)
Se an > 0 e 0 < an +1 an < α < 1 definitivamente per n ≥ ν allora lim an = 0
n →+∞
=1
αn
=1
αn
= aα
n →+∞
n →∞
n →+∞
n →∞
n →∞
n →∞
n →+∞
Se an > 0 e
(xi)
1n
( an )
< α < 1 defintivamente per n ≥ ν allora lim an = 0
n →+∞
α
(xii)
Se α > 0 allora lim n = +∞
(xiii)
Se α > 0 allora lim n −α = 0
n →+∞
n →+∞
n
(xiv)
lim n = 1
n →∞
Limiti notevoli e “gerarchie” degli infiniti
Nella tabella che segue:
{ xn }
è una successione tale che lim x n = ±∞ (solo +∞ in ⑫ e ⑬ );
{ an }
è una successione tale che lim an = 0 con an ≠ 0 definitivamente per n → ∞ ;
n →∞
n →∞
a > 1, α > 0 e β > 0;
λ ∈ R;
{ tn }
è una successione tale che lim tn = 0 con tn ≠ 0 definitivamente per n → ∞ ;
{ sn }
è una successione tale che lim sn = 0 con sn ≠ 0 definitivamente per n → ∞ .
n →∞
n →∞
n
⎛
1⎞
① ∃ lim ⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ = e
n →∞ ⎜
n ⎟⎠
⎝
⎛
1
② lim ⎜⎜⎜1 +
n →∞ ⎜
x
⎝
a
α n −1
= lg α
n →∞
an
⑤ lim
⑨ lim
arcsin sn
=1
sn
n →∞
x
⎞⎟ n
⎟⎟ = e
⎟
n⎠
⑥ lim
(1 + an )α −1
an
n →∞
⑩ lim
ar ctg tn
n →∞
tn
=α
=1
1 an
③ lim (1 + αan )
n →∞
⑦ lim
sinan
an
n →∞
⑪ lim
=1
1 − cosan
n →∞
=e α
an2
④ lim
lg (1 + αan )
an
n →∞
tgan
⑧ lim
an
n →∞
=
1
2
⑫ lim
n →∞
x nβ
a
xn
=α
=1
=0
α
⑬
(loga xn )
lim
=0
x nβ
n →∞
TEOREMA: data f : I → R con I ⊆ R* e a punto d’accumulazione di I abbiamo: f (x) →  per x → a se e
solo se ∀ {x n } ⊂ I − {a } convergente ad a f (x n ) →  per n → ∞ . Per I aperto possiamo anche dire : se e
solo se ∀ {x n } ⊂ (I − {a }) ∩ Q convergente ad a f (x n ) →  per n → ∞ .
Ciò consente di importare i limiti precedenti alle funzioni reali di variabile reale (per a > 1 , α> 0 e β > 0 ):
x
x
①
②
αx −1
= lg α
x →0
x
⑥ lim
arcsin x
=1
x →0
x
⑩ lim
⑤ lim
⑨ lim
⑬
⎛
1⎞
lim ⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ = e
⎜
x →−∞ ⎝
x ⎟⎠
⎛
1⎞
lim ⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ = e
x →+∞ ⎜
x ⎟⎠
⎝
lim
(loga x)α
xβ
x →+∞
③
1x
lim (1 + αx ) = e α
x →0
(1 + x)α −1
=α
x →0
x
⑦ lim
artg x
=1
x →0
x
⑪ lim
x →0
sin x
=1
x
④ lim
lg (1 + αx)
=α
x
⑧ lim
tg x
=1
x
x →0
x →0
1 − cos x
1
=
x →0
2
x2
⑫
lim
x →+∞
xβ
ax
=0
=0
In termini di asintoticità possiamo anche scrivere:
x
⎛
⎞
⎜⎜1 + 1 ⎟⎟  e per x → ±∞
⎜⎝
x ⎟⎟⎠
1x
(1 + αx )
 e α per x → 0
αx −1  x lg α per x → 0
(1 + x)α −1  αx per x → 0
arcsin x  x per x → 0
arctg x  x per x → 0
Calcolare i seguenti limiti (sempre che esistano)
(i)
Ax − B x
A
= lg
x →0
x
B
lim
Traccia
Ax − B x
Ax −1 B x −1
=
−
etc. (vedi limite notevole 5)
x
x
x
lg (1 + αx)  αx per x → 0
sin x  x per x → 0
1 − cos x 
1 2
x per x → 0
2
lim
(ii)
x →0
sin(π + 4x)
= −4
x
sin(π + 4x) −sin(4x)
=
4 etc (vedi limite notevole 7)
x
4x
Traccia
(iii)
lim
)
cos π(1−x
2
cos
Traccia
(iv)
lim
x →0
=
x
x →0
π
2
π(1 − x)
π
πx
π
πx
πx
= cos cos
+ sin sin
= sin
etc (vedi limite notevole 7)
2
2
2
2
2
2
lg(2 − cos x) 1
=
2
sin 2 x
lg(2 − cos x) = lg[1 + (1 − cos x)]  1 − cos x etc (vedi limite notevole 4)
Traccia
lim x − sin 2x ⋅ lg x = +∞
(v)
x →+∞
⎛
lg x ⎞⎟
⎟  x (vedi limite notevole 13) , etc.
x − sin 2x ⋅ lg x = x ⎜⎜⎜1 − sin 2 x
⎝
x ⎟⎠
Traccia
(vi)
⎡ 1
1 ⎤⎥
1
lim ⎢
−
=−
⎥
x →0 ⎢ x tgx
x
sin
x
2
⎣
⎦
1
1
cos x −1 cos x −1 x
etc. (vedi limiti notevoli 11 e 7)
−
=
=
x tgx x sin x
x sin x
sin x
x2
Traccia
(vii)
5 + cos x
=0
x2 +1
lim
x →+∞
Traccia
5 + cos x ≤ 6 , il resto è banale…
(viii) lim
x →+∞
x + cos x
1
=
4x − sin x
4
Traccia
Dividere numeratore e denominatore per x , etc.
(ix)
lim
Traccia
2 arctg x −1 x 3
 3 lg 2 = lg 2
tg 3x
x
3
2 arctg x −1
= lg 2
x →0
tg 3x
3
lim
(x)
lg(tg 4x + 1)
x →0
e
2 sin 4 x
−1
=
1
2
tg 4x → 0 per x → 0 e sin 4 x → 0 per x → 0 quindi lg(tg 4x + 1)  tg 4x  x 4 e
Traccia
4
e 2 sin x −1  2 sin 4 x  2x 4 donde
(xi)
lg(tg 4x + 1)
4
e 2 sin x −1

x4
1
= .
2
2x 4
[1 − cos(1 x)]2
1
=
x →+∞ lg[1 + sin 4 (1 x)]
4
Traccia
lim
[1 − cos(1 x)]2  2−2 x
−4
e lg[1 + sin 4 (1 x)]  x −4
(xii)
nn
=0
x →+∞ n !2n
lim
Conviene applicare il limite fondamentale (x) o criterio del rapporto osservando che
Traccia
n
(n + 1)n +1 n !2n ⎛⎜
1⎞ 1
e
= ⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ → < 1 .
n +1
n
⎝
n⎠ 2
2
(n + 1)!2
n
n+2
(xiii) lim
2n n 4 + 1
x →+∞
=0
Conviene applicare il limite fondamentale (xi) o criterio della radice, osservando che
Traccia
1n
n
⎛ n + 2 ⎞⎟
n
⎜⎜
⎟⎟ 

⎜⎝ 2n n 4 + 1 ⎟⎠
1n
(2n n 4 + 1)
1
1n
(2 n )
n
4
=
2−1 2
1n
(n )
4
→ 2−1 2 < 1 .
n 2
(xiv)
⎛ 3n 3 + 1 ⎞⎟
⎟⎟ = 0
lim ⎜⎜⎜
x →+∞ ⎝1 + 4n 3 ⎠
Conviene applicare il limite fondamentale (xi) o criterio della radice, osservando che
Traccia
12
⎛ 3n 3 + 1 ⎞⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎝1 + 4n 3 ⎟⎠ →
(xiv)
3
< 1.
4
n ! en
=0
x →+∞
nn
lim
Traccia
Conviene applicare il limite fondamentale (x) o criterio del rapporto osservando che
n
⎛ n ⎞⎟
(n + 1)! en +1 n n
⎜⎜
=
⎜⎝ n + 1 ⎟⎟⎠
(n + 1)n +1 n ! en
e→
1
e
< 1.
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Riassunto schematico utile alla risoluzione di limiti ed