Limite di successioni
Ricordiamo che:
• una successione è una funzione a : n 5 N :$ a (n) 5 R
• si pone an = a (n) e la successione stessa viene indicata con
(an )nD0
oppure
a0 , a1 , a2 , a3 , ...
• è ammesso che sia dom a = {n 5 N : n n0 }, n0 5 N, nel qual caso
la successione sarà ovviamente (an )nDn0 ovvero an0 , an0 +1 , an0 +2 , ... .
La nozione di limite (finito o infinito) a +4 ha senso anche per una successione (an )nDn0 :
lim an = significa
n<"
;I () ,
<N > 0,
n > N , an 5 I () .
Posso sempre supporre N 5 N ed N > n0 .
Vediamo in dettaglio i vari casi, usando l’e!cace terminologia seguente:
diciamo che un predicato p (n) dipendente da una variabile n 5 N vale
definitivamente se <N 5 N tale che p (n) è vera per ogni n > N
(ad esempio 2n > 100 vale definitivamente, perché equivale a n > log2 100 * 6.6 e quindi
vale per tutti gli n maggiori di N = [log2 100] = 6).
Una successione (an )nDn0 è:
• convergente ad 5 R ( lim an = ) se ;0 > 0 risulta
n<"
|an | < 0 definitivamente
(cioè <N 5 N, ;n > N, |an | < 0)
• divergente a +4 ( lim an = +4) se ;M > 0 risulta
n<"
an > M definitivamente
(cioè <N 5 N, ;n > N, an > M)
• divergente a 4 ( lim an = 4) se ;M > 0 risulta
n<"
an < M definitivamente
(cioè <N 5 N, ;n > N, an < M)
• regolare se è convergente o divergente
• irregolare (o oscillante o indeterminata) se non è regolare.
I teoremi sui limiti ed i principi di equivalenza e di eliminazione valgono anche per le
successioni (per un compendio testo o dispensa ).
–––––
Per il carattere locale del limite: se an = bn definitivamente, allora an è regolare se e solo
se bn è regolare; in tal caso, lim an = lim bn
n<"
n<"
=, il carattere di una successione (= il suo essere convergente, divergente o irregolare)
ed il valore del suo limite, se esiste, non cambiano alterandone un numero finito di termini.
Per questo, l’indice iniziale n0 è spesso irrilevante e si scrive solo (an ).
Teorema (sostituzione). Sia lim cn = c (finito o infinito) e sia f una funzione definita
n<"
in un I W (c) (anche solo unilaterale se c = x±
0 ). Supponiamo inoltre che:
i) lim f (x) = esista (finito o infinito)
x<c
ii) f sia continua in c (anche solo da un lato se c = x±
0 ) oppure sia cn 9= c definitivamente.
Allora il limite di f (cn ) esiste e risulta
lim f (cn ) = .
n<"
Conseguenza: data an = a (n), se a (x) ha senso per x variabile in tutto un I W (+4) e
lim a (x) esiste, allora lim an = lim a (x)
x<+"
n<"
x<+"
[basta applicare il teorema con cn = n]
Questo fornisce ad esempio i limiti delle successioni nk , loga n, an (k 5 R, a > 0, a 9= 1).
Esempio. Provare che lim
n<"
s
n
n=1.
Non è sempre risolutivo “immaginare x al posto di n”:
• lim an può esistere anche se C lim a (x) (C lim sin (Zx), ma lim sin (Zn) = 0);
n<"
x<+"
x<+"
n<"
• ci sono operazioni sui naturali che non hanno senso sui reali qualsiasi: ad esempio
+
(1)n ,
n! =
1
se n = 0
n (n 1) (n 2) · · · 3 · 2 · 1 = n (n 1)! se n 1
.
In questi casi si deve ragionare direttamente tramite teoremi e principi sui limiti.
n
(1)
Esempi. Calcolare lim n! , lim
e lim (1)n n log 1 +
.
n
n<"
n<" (1) + n!
n<"
n
1
È utile la seguente graduatoria di infiniti notevoli: le successioni
(log n) ,
(nk ) ,
(an ) ,
(n!) ,
(nn )
con k > 0 ed a > 1 fissati
divergono tutte positivamente e sono elencate in ordine crescente di velocità di divergenza.
In altri termini, ciasuna è trascurabile rispetto alla successiva:
log n = o (nk ) ,
nk = o (an ) ,
en log (n2 + n)
Esempio. Calcolare lim
.
n
n<" (1) n3 n!
an = o (n!) ,
n! = o (nn ) .
Corollario al teorema di sostituzione (non esistenza del limite). Siano (an ) e (bn )
due successioni che tendono a c restando definitivamente 9= c e sia f una funzione definita
in un I W (c). Allora
lim f (an ) 9= lim f (bn ) =, lim f (x) non esiste.
n<"
Dimostrazione.
n<"
x<c
Per contronominale: se lim f (x) esistesse, allora dovrebbe essere
x<c
lim f (an ) = lim f (bn ) = lim f (x) per il teorema di sostituzione precedente.
n<"
n<"
x<c
–––––
Esempio. lim cos x non esiste, perché lim cos (2Zn) = 1 e lim cos
x<+"
n<"
n<"
Z
2
+ nZ = 0.
Teorema (successioni monotone). Ogni successione monotona è regolare e si ha
;
A
? sup an (finito o +4) se an crescente
n
lim an =
.
n<"
A
= inf an (finito o 4) se an decrescente
n
È molto utile osservare che la crescenza (decrescenza) di una successione (an ) equivale a
;n,
an an+1
(an an+1 )
(cioè è su!ciente confrontare il generico termine con il successivo).
Esempio. Verificare che an =
n!
, n 1, è strettamente crescente.
n+1
Sottosuccessioni
Sia n0 < n1 < n2 < ... una successione a valori in N.
Data una successione qualsiasi (an ),
a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , ...
possiamo considerarne solo i termini di indici nk :
an0 , an1 , an2 , ...
La successione ottenuta è detta sottosuccessione estratta da (an ).
In sostanza, si tratta della successione composta k :$ nk :$ ank , cioè (ank ).
2
Esempi. 1) Se nk = k2 e an = ne3n , allora ank = ak2 = k2 e3k .
2) Data (an )nD0 , le sottosuccessioni (a2k )kD0 e (a2k+1 )kD0 sono a0 , a2 , a4 , ... e a1 , a3 , a5 , ....
Ad esempio, se an = (1)n , allora a2k = (1)2k = 1 e a2k+1 = (1)2k+1 = 1.
Teorema (limite di sottosuccessioni). Se (an ) è regolare, ogni sua sottosuccessione
(ank ) è regolare e risulta
lim ank = lim an .
k<"
n<"
Corollario (successioni irregolari). Siano (ank ) e ank due sottosuccessioni regolari
di una successione (an ). Allora
lim ank 9= lim ank =, lim an non esiste.
k<"
n<"
k<"
Dimostrazione. Per contronominale: se lim an esistesse, allora dovrebbe essere
n<"
lim ank = lim ank = lim an per il teorema precedente.
k<"
k<"
n<"
Esempi. 1) lim (1)n non esiste, perché lim (1)2k = 1 e lim (1)2k+1 = 1.
n<"
k<"
k<"
s
2) lim (1)n n non esiste, perché
n<"
s
s
lim (1)2k 2k = lim 2k = +4 e
k<"
lim (1)2k+1
k<"
k<"
s
s
2k + 1 = lim 2k + 1 = 4.
k<"