Capitolo 5
Le aberrazioni
5.1
Aberrazione sferica
In approssimazione di Gauss, i raggi parassiali prodotti da una sorgente puntiforme
posta sull’asse di un sistema ottico vanno a incontrarsi in un punto-immagine posto
anch’esso sull’asse (Fig. 5.1).
In generale questo non avviene, cioè i raggi si incontrano in punti diversi dell’asse a
seconda della loro distanza dall’asse stesso.
Riprendiamo la trattazione del diottro.
Figura 5.1:
53
54
CAPITOLO 5. LE ABERRAZIONI
Consideriamo i triangoli P SC e QSC. Applichiamo il teorema dei seni e la legge di
Snell:
sin α
sin (π − δ)
sin δ
=
=
R
p+R
p+R
sin δ 0
sin γ
=
q−R
R
sin δ
n0
=
sin δ 0
n
Dividendo le prime due equazioni si ottiene:
sin δ 0 p + R
sin γ
R
·
=
·
q − R sin δ
R
sin α
p+R
sin γ n0
n0 P S
=
=
q−R
sin α n
n QS
Utilizziamo ora il teorema dei coseni:
2
2
2
P S = P C + SC − 2P C · SC · cos β
2
P S = (p + R)2 + R2 − 2(p + R) · R · cos β
2
2
2
QS = SC + CQ − 2SC · CQ · cos (π − β)
2
QS = R2 + (q − R)2 + 2R · (q − R) · cos β
Se adesso β non è molto grande, possiamo esprimere cos β in serie:
cos β = 1 −
β2
2
e approssimare β alla sua tangente:
h
tan β ∼
=β=
R
5.1. ABERRAZIONE SFERICA
55
da cui:
√
) √
2
β
h2
= p2 + (p + R)
P S = (p + R)2 + R2 − 2(p + R) · R · 1 −
2
R
√
(
) √
β2
h2
2
2
QS = R + (q − R) + 2R · (q − R) · 1 −
= q 2 + (R − q)
2
R
(
A questo punto abbiamo che:
√
√
2
h
+ (p +
p+R
p 1 + (p + R) p2 R
√
= √
=
q−R
n q 2 + (R − q) h2
n q 1 + (R − q) h2
q2 R
R
n0
2
R) hR
p2
n0
Espandiamo in serie i due termini sotto radice quadrata, ricordando che:
1 + 12 x:
[
1
n0 p 1 + ( p +
p+R
=
q−R
n q 1 + (1 −
q
1 h2
R ) 2p
1 h2
R ) 2q
√
1+x ∼
=
]
Adesso, applicando la definizione di fuoco secondario del diottro sferico:
f=
n0 R
n0 − n
si ottiene la seguente relazione:
n n0
n0 − n
+
=
+
p
q
R
[(
h2 n2 R
2f n0
)(
1
1
+
p R
)2 (
1
n0 − n
+
R
np
)]
(5.1)
Tenendo conto che gli indici di rifrazione, il raggio di curvatura e la focale sono costanti,
una volta posizionata la sorgente a distanza p dal vertice, l’ immagine si formerà a
distanza q(h).
Consideriamo un fascio di raggi uscente da una sorgente puntiforme e vediamo che tipo
di immagine si forma. Già sappiamo che per effetto della diffrazione, l’immagine di
una sorgente puntiforme non è mai un punto geometrico, bensı̀ una figura di estensione finita, chiamata generalmente centrica, e formata da una zona centrale luminosa
attorniata da anelli chiari e scuri con intensità decrescente allontanandosi dal centro
(disco di Airy).
56
CAPITOLO 5. LE ABERRAZIONI
L’aberrazione di sfericità è causata dal fatto che raggi a distanze diverse dall’asse
ottico vanno a incontrarsi in punti diversi lungo l’asse stesso. In particolare, si ha aberrazione sferica longitudinale e trasversale, e nello spazio la composizione di queste
due produce una figura chiamata caustica (Fig. 5.2). L’aberrazione sferica è l’unica
delle aberrazioni monocromatiche che dipende solo dall’apertura.
Figura 5.2:
Se h è la distanza del punto di incidenza del raggio sul diottro rispetto all’asse ottico e
fp il fuoco secondario del diottro nell’approssimazione di Gauss, abbiamo:
[(
)(
) (
)]
h2 n2 R
n
n0
n0 − n
1
1 2 1
n0 − n
+
=
+
+
+
(5.2)
p q(h)
R
2fp n0
p R
R
np
Poniamo adesso la sorgente luminosa all’infinito (p → ∞). Un raggio marginale, a
distanza h dall’asse ottico, si focalizza a distanza f 0 (h) 6= fp .
[( 2 2 )
]
n0 − n
h n R 1 1
n0
=
+
(5.3)
f 0 (h)
R
2fp n0 R2 R
n0
n0
h 2 n2
=
+
f 0 (h)
fp 2fp n0 R2
(5.4)
Da cui si ottiene l’equazione:
f 0 (h) =
fp
1+
n2
h2
2n02 R2
(5.5)
5.1. ABERRAZIONE SFERICA
57
che indica che la distanza focale decresce al crescere della distanza dei raggi marginali
dall’asse stesso.
Mettiamoci adesso nella condizione più semplice da trattare, cioè quella dello specchio
sferico (Fig. 5.3).
Figura 5.3:
0 = S ĈV = ω, per cui il triangolo CSF 0 è isoscele. Tracciamo la verP ŜC = C ŜFm
m
0 al raggio di curvatura CS, per cui CH = HS = R . Essendo CHF 0
ticale da Fm
m
2
0 e quindi F 0 V = f 0 < R . Quindi, in generale
un triangolo rettangolo, CH < CFm
m
2
possiamo dire che f 0 6= R2 e in particolare f 0 < R2 .
Calcoliamo ora la distanza fra i due fuochi F , dato dall’approssimazione gaussiana, e
0 .
Fm
0
F Fm
=
0
CFm
CH
R
R
− =
− CF =
cos ω
2
2
Espandiamo in serie il cos ω:
ω2
cos ω ∼
=1−
2
0
F Fm
R
=
2
(
)
1
1−
ω2
2
−1
(
1
−1
cos ω
)
58
CAPITOLO 5. LE ABERRAZIONI
Moltiplicando e dividendo per 1 +
secondo:
0 =
F Fm
ω2
2
R
2
e trascurando i termini di grado superiore al
(
1+
)
ω2
Rω 2
−1 =
2
4
Chiamiamo aberrazione sferica longitudinale principale (“principale” indica per
convenzione che il punto-oggetto è all’infinito) , la quantità:
l=
f ω2
2
Esprimiamo l in funzione di h.
h
h
sin ω =
=
R
2f
(
⇒
f
l=
2
[
ω = arcsin
h
1
+
2f
6
(
h
2f
h
2f
) 3 ]2
Figura 5.4:
)
h
1
∼
+
=
2f
6
h2
∼
=
8f
(
h
2f
)3
(5.6)
5.1. ABERRAZIONE SFERICA
59
Definiamo aberrazione sferica trasversale principale (Fig. 5.4), la quantità:
t = 2 · F J = 2l · tan 2ω
Espandiamo in serie la tangente, e otteniamo:
[
]
1
3
∼
F J = l 2ω + (2ω)
3
Sostituendo i valori di ω e di l trovati prima, si ha:
[ (
)
(
)3 ]
h2
1 h3
8 h
1 h3
h
t=2·
+
+
+
2
8f
2f
6 8f 3
3 2f
6 8f 3
E approssimando:
t∼
=2
5.1.1
h2 2h
h3
= 2
8f 2f
4f
(5.7)
Esempio
Consideriamo uno specchio sferico di diametro D = 100 mm e lunghezza focale f = 400
mm. La dimensione sul piano focale dell’immagine di una sorgente puntiforme in assenza di aberrazioni è data dalla diffrazione:
d=2·
1.22λ
·f
D
Assumiamo λ = 5500Å, e otteniamo d ' 5.4µ.
Calcoliamo adesso l’aberrazione sferica longitudinale e trasversale per raggi a distanza
h = 10, 20, 30, 40 mm dall’asse ottico della lente.
h (mm)
10
20
30
40
l (mm)
0.0312
0.1250
0.2812
0.5000
t (mm)
0.0015
0.0125
0.0422
0.1000
60
CAPITOLO 5. LE ABERRAZIONI
Come si vede, l’effetto dell’aberrazione sferica è sempre superiore a quello della diffrazione. E inoltre l’aberrazione sferica longitudinale è maggiore di quella trasversale. Infatti:
l>t
Poiché h ≤
5.1.2
D
2
⇒
h2
h3
> 2
8f
4f
⇒
h<
f
2
e sapendo che in genere le lenti hanno f /D ≥ 1, si ottiene che h < f2 .
Aberrazione sferica nella lente sottile
L’espressione dell’aberrazione sferica longitudinale nel caso della lente sottile è più complicata di quella relativa allo specchio sferico. In particolare vale:
R2 f 2 n − 1
l=
2
n2
{[
}
(
)] [
(
)]2
1
1
1
1
1
1
1
−
+ (n + 1)(n − 1)
−
−
+ (n − 1)
−
+ 3
R2
R1 R2
R2
R1 R2
R1
Il termine fra parentesi { } dipende dai raggi di curvatura della lente e dal suo indice
di rifrazione. È dunque una quantità constante, quindi conviene scrivere:
l=c
R2
f
dove c è una costante adimensionale ([L]3 · {[L]−1 · [L]−2 + [L]−3 }).
Figura 5.5:
(5.8)
5.1. ABERRAZIONE SFERICA
61
Dalla Fig. 5.5 si ottiene:
A0 B 0
F0 F
= m0
AB
OFm
t
l
= 0
2R
fm
2Rl ∼ 2Rl
R3
=
2c
=
0
fm
f
f2
t=
(
)
Dove f è il fuoco dei raggi parassiali f1p = (n − 1) R11 − R12 e c è una costante che
dipende dall’indice di rifrazione e dai raggi di curvatura, c(n(λ), |R1 |, |R2 |).
Se chiamiamo h la distanza dall’asse ottico della lente, possiamo esprimere la posizione
del fuoco al variare di h:
f (h) = fp − c
h2
fp
Definiamo ora, fattore di forma la quantità:
q=
R 2 + R1
=
R 2 − R1
R2
R1
R2
R1
+1
−1
da cui:
R2
q+1
=
R1
q−1
È possibile minimizzare l’aberrazione sferica trovando il valore di q che minimizza la
costante c:
dc
=0
dq
62
CAPITOLO 5. LE ABERRAZIONI
Vediamo alcuni casi (Fig. 5.6) in cui assumiamo che l’indice di rifrazione valga n = 1.5:
Figura 5.6:
1) |R1 | > R2
Siano R1 =-10 cm e R2 = −3.33 cm.
Si ottiene f = 10 cm, q ∼
= −2 e c = 9.66.
2) |R1 | → inf
Sia R2 =-5.0 cm.
Si ottiene f = 10 cm, q = −1 e c = 4.5.
3) |R1 | > R2
Siano R1 =20 cm e R2 = −6.66 cm.
Si ottiene f = 10 cm, q ∼
= −0.5 e c = 2.79.
4) R1 = |R2 |
Siano R1 =10 cm e R2 =-10 cm.
Si ottiene f = 10 cm, q = 0 e c = 1.7.
5) R2 → inf
Sia R1 =5.0 cm.
Si ottiene f = 10 cm, q = 1 e c ∼
= 1.17.
6) |R2 | > R1
Siano R1 =3.33 cm e R2 = 10 cm.
Si ottiene f = 10 cm, q ∼
=2ec∼
=3
5.2. ABERRAZIONE CROMATICA
63
Se confrontiamo l’espressione per l’aberrazione sferica longitudinale e trasversa dello
specchio sferico con quelle della lente sottile, abbiamo:
l=
h2
R2
=c
8f
f
t=
h3
R3
= 2c 2
2
4f
f
da cui, assumendo R = h si ricava che c = 1/8.
Mentre per la lente sottile simmetrica, in cui R1 = |R2 | = R e
f3 n − 1
c=
2 n2
{[
1
2
+ (n2 − 1)
R
R
][
1
2
+ (n − 1)
R
R
1
f
]2
=
2(n−1)
R ,
1
+ 3
R
avremo:
}
Sviluppando e semplificando si ottiene la seguente relazione:
c=
4n3 − 4n2 − n + 2
8n(n − 1)2
(5.9)
Se assumiamo che n = 1.5, otteniamo c ∼
= 1.7.
5.2
Aberrazione cromatica
Riprendiamo il concetto di indice di rifrazione n. Come abbiamo visto nel Cap. 1, n è
il rapporto fra la velocità della luce nel vuoto e nel mezzo, e dipende dalla lunghezza
d’onda della radiazione che attraversa il mezzo. In particolare, per mezzi trasparenti
come il vetro, si osserva che n decresce al crescere della lunghezza d’onda:
dn
<0
dλ
Questo implica che quando consideriamo una lente e un fascio di raggi che l’attraversano, l’effetto della rifrazione sui raggi dipenderà dall’indice di rifrazione. In particolare,
verranno deviati maggiormente i raggi a lunghezza d’onda minore, rispetto a quelli a
lunghezza d’onda maggiore. Questo meccanismo è alla base dell’effetto di aberrazione
cromatica (Fig. 5.7).
64
CAPITOLO 5. LE ABERRAZIONI
Figura 5.7:
Per studiare questa aberrazione abbiamo bisogno di un set di tre filtri interferenziali. I
filtri sono sistemi ottici in grado di selezionare un certo intervallo di lunghezze d’onda,
bloccando tutte le altre. In particolare i filtri interferenziali consentono di fare passare
radiazione centrata ad una certa λ ma con un intervallo molto stretto (50 − 60Å o
meno).
Il set di filtri utilizzato è il seguente: λF = 4861Å (riga Hβ dell’idrogeno), λD = 5892Å
(doppietto del sodio), λC = 6563Å (riga Hα dell’idrogeno). Le lettere F, D, C corrispondono alla notazione di Frauhnofer. Più in generale si parla di filtro Hα, Hβ, ecc.
Dalla definzione di lunghezza focale della lente, possiamo scrivere:
)
(
)
1
1
1
1
1
−
= (nC − 1)
−
R1 R2
fC
R1 R2
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
−
= (nF − 1 − nC + 1)
−
= (nF − nC )
−
fF
fC
R1 R2
R1 R2
1
= (nF − 1)
fF
(
Per poter eliminare il termine contenente i raggi di curvatura utilizziamo il filtro D:
1
= (nD − 1)
fD
(
1
1
−
R1 R2
)
⇒
1
1
1
−
=
R1 R2
fD (nD − 1)
Da cui:
1
1
1 nF − nC
−
=
fF
fC
fD nD − 1
fC − fF
1 nF − nC
=
fF fC
fD nD − 1
5.2. ABERRAZIONE CROMATICA
65
Definiamo quindi aberrazione cromatica longitudinale (principale) la quantità:
A = fC − fF = f (λC ) − f (λF )
Chiamiamo potere dispersivo ω del materiale la quantità:
ω=
nF − nC
nD − 1
e numero di Abbe ν la quantità:
ν=
1
nD − 1
=
ω
nF − nC
I vetri ottici possono essere raggruppati in due grandi famiglie: 1) Crown, aventi n ≈ 1.5
e ν ≈ 60 (basso potere dispersivo), 2) Flint, aventi n ≈ 1.6 e ν ≈ 30 (alto potere dispersivo). Ad esempio, consideriamo un vetro Schott BK7 avente:
nF = 1.52238
nD = 1.51680
nC = 1.51342
⇒
⇒
ω = 0.0156
ν = 64
Dalla definizione di aberrazione cromatica otteniamo:
fF fC nF − nC
fD nD − 1
2 , abbiamo:
Se assumiamo la seguente approssimazione: fF fC ∼
= fD
A=
fD
ν
Cerchiamo ora di comprendere il significato del numero di Abbe.
Ripartiamo dalla definizione di lunghezza focale della lente e differenziamo ambo i
membri:
A∼
= ωfD =
1
= (n − 1)
f
(
1
1
−
R1 R2
)
(
=
1
1
−
R1 R2
)
(
n−
1
1
−
R1 R2
)
66
CAPITOLO 5. LE ABERRAZIONI
)
1
1
−
dn
R1 R2
(
)
df
1
1
2
= −f
−
dn
R1 R2
1
− 2 df =
f
(
Assumendo f = fD , cioè la focale corrispondente alla lunghezza d’onda del doppietto
del sodio, come rappresentativa della focale della lente:
1
= (nD − 1)
fD
(
1
1
−
R1 R2
)
E poi approssimando: dn ∼
= ∆n = nC − nF , df ∼
= ∆f , si ottiene:
(
)
∆f
1
1
2
= −fD
−
∆n
R1 R2
[ (
)]
1
1
∆f
= −fD fD
−
∆n
R1 R2
∆f
−fD
=
∆n
nD − 1
∆f
nF − nC
1
=
= =ω
fD
nD − 1
ν
Essendo ν > 0 per i vetri ottici, il numero di Abbe è inversamente proporzionale alla
dispersione cromatica della lunghezza focale.
Vediamo adesso cosa accade quando la sorgente puntiforme non si trova all’infinito ma
a distanza finita p. Ovviamente applichiamo la legge dei punti coniugati per calcolare
l’effetto dell’aberrazione cromatica sulla misura di q.
1
1
nF − 1
+
=
p qF
fD (nD − 1)
Sottraendo membro a membro:
1
1
nC − 1
+
=
p qC
fD (nD − 1)
5.2. ABERRAZIONE CROMATICA
67
1
1
nF − 1 − nC + 1
nF − nC 1
1
−
=
=
=
qF
qC
fD (nD − 1)
nD − 1 fD
νfD
qC − qF
1
qF qC
=
⇒ qC − qF =
qF qC
νfD
νfD
Esplicitiamo qF e qC usando l’equazione dei punti coniugati:
qF = (
(
Se approssimiamo
nC −1
nD −1
nF −1
nD −1
)
1
)
1
fD
−
qC = (
1
p
nC −1
nD −1
1
)
1
fD
−
1
p
∼
= 1, abbiamo:
qC − qF ∼
=
(
νfD
1
1
fD
−
1
p
)2
Sappiamo che:
1
1
1
+
=
p qD
fD
Quindi l’aberrazione cromatica qC − qF vale:
qC − qF =
2
qD
fD
=
νfD
ν
(
qD
fD
)2
Da questa relazione si ricava che:
2 ;
• qC − qF ∝ qD
• qD > fD ⇒ fqD
> 1, cioè l’aberrazione cromatica cresce rapidamente con il
D
crescere della distanza dell’immagine dalla lente;
• qD < fD ⇒ fqD
< 1, cioè l’aberrazione cromatica decresce rapidamente con il
D
decrescere della distanza dell’immagine dalla lente.
Come si nota dalla Fig. 5.8, possiamo definire anche l’aberrazione cromatica trasversa d.
68
CAPITOLO 5. LE ABERRAZIONI
Figura 5.8:
d
D
=
fC − fD
fC
Applicando le seguenti approssimazioni: fC ≈ fD e fC − fD ≈
d
fC −fF
2
fC −fF
2
, si ottiene:
D
∼
=
fD
da cui:
d=
5.2.1
1 fC − fF ∼ 1 D
D=
2 fD
2ν
Esempio
Consideriamo una lente in vetro Schott FK5, avente diametro D = 50 mm e lunghezza
focale F = 150 mm.
Calcoliamo prima il diametro del disco di Airy alla lunghezza d’onda λ = 5500Å:
φ=2
1.22λ
F = 4µ
D
Supponiamo che la lente abbia i seguenti indici di rifrazione: nC = 1.48535, nD =
1.48749, nF = 1.49227. Il valore del numero di Abbe sarà ν ∼
= 70. Allora l’aberrazione
∼
cromatica longitudinale vale: A = 150
2.15
mm,
mentre
quella
trasversa vale: d =
=
70
50 ∼
2·70 = 0.35 mm.
5.2. ABERRAZIONE CROMATICA
5.2.2
69
Doppietto acromatico
È possibile combinare lenti con caratteristiche diverse per annullare l’aberrazione cromatica?
Sappiamo che addossando lenti sottili, il potere diottrico risultante è la somma dei poteri diottrici delle singole lenti:
Dtot =
∑
Di
i
Prendiamo due lenti con lunghezze focali f e f 0 , avremo:
1
1
1
=
+ 0
FF
fF
fF
1
1
1
=
+ 0
FC
fC
fC
Sottraendo membro a membro:
1
1
FC − FF
1
1
1
1
−
=
=
+ 0 −
− 0 =
FF
FC
FF FC
fF
fF
fC
fC
(
1
1
−
fF
fC
)
(
+
1
1
− 0
fF0
fC
)
L’aberrazione cromatica del doppietto sarà Atot = FC − FF , per cui:
Atot
A
A0
=
+ 0 0
FF FC
fF fC
fF fC
Atot ∼ A
A0
= 2 + 02
FF FC
fD
fD
Atot
1
1
=
+ 0 0
FF FC
νfD
ν fD
Imponiamo ora la condizione di acromatizzazione: Atot = 0.
0
νfD + ν 0 fD
=0
Se ν = ν 0 , cioè se le due lenti hanno lo stesso potere dispersivo, la condizione implica
0 , cioè serve una lente convergente e una divergente. Purtroppo il potere
che: fD = −fD
diottrico di un tale doppietto è Dtot = 0, cioè la lente non ha nessun poter di convergenza.
70
CAPITOLO 5. LE ABERRAZIONI
Se invece ν 6= ν 0 , si ha:
segni opposti.
1
νfD
= − ν 01f 0 . Poiché ν, ν 0 > 0, le focali delle due lenti hanno
D
È chiaro quindi che non basta semplicemente addossare una lente positiva a una negativa per avere un doppietto acromatico,bisogna essere certi che le due lenti siano
composte di un materiale diverso.
Se ad esempio la lente convergente è un vetro Crown, il doppietto ha potere diottrico
positivo quando f < f 0 , ed è acromatico quando ν > ν 0 , e quindi quando il vetro della
lente divergente è un Flint.
5.2.3
Oculare acromatico
È possibile ottenere un sistema acromatico utilizzando due o più lenti spaziate?
Sappiamo che il potere diottrico risultante di due lenti sottili separate da una distanza
d è:
1
1
1
d
=
+
−
f
f1 f2 f1 f2
Da cui, differenziando membro a membro:
−
)
(
)
d
1
d
1
+
df
+
−
+
df2
1
f12 f12 f2
f22 f1 f22
)
)
(
(
df
df2
df1
d
d
− 2 =− 2 1−
− 2 1−
f
f2
f1
f1
f2
df
=
f2
(
−
Facciamo la seguente approssimazione:
∆f1
1
df1
≈
=
f1
f1
ν1
[ (
)
(
)]
df ∼ 1 1
d
1
d
1−
+
1−
=
f2
ν f1
f2
f2
f1
Imponiamo adesso la condizione di acromatizzazione:
f2 − d + f1 − d
=0
f1 f2
f1 + f2 − 2d = 0
df
f2
= 0,
5.2. ABERRAZIONE CROMATICA
71
f1 + f2
2
Quindi per avere un sistema acromatico bisogna che le due lenti siano separate di una
distanza pari alla media delle due focali.
d=
Infine:
1
1
1
=
+
−
f
f1 f2
(
f1 + f2
2
)
1
1
1
1
1
1
=
+
−
−
=
f1 f2
f1 f2 2f1 2f2
2
(
1
1
+
f1 f2
)
72
CAPITOLO 5. LE ABERRAZIONI