Prof. A. Di Muro
Moto circolare uniformemente accelerato
Nel M.C.U.A. il vettore velocità non ha più il modulo costante, è presente invece un’accelerazione detta
accelerazione tangenziale a T che si mantiene costante.
Ripensando alla circonferenza tagliata e disposta su una retta, il moto di P è un moto rettilineo
uniformemente accelerato dove l’accelerazione è proprio l’accelerazione tangenziale.
L’accelerazione è quindi diretta come la velocità, lungo la tangente ( da qui il nome accelerazione
tangenziale ), se è concorde con la velocità il moto è circolare uniformemente accelerato, se è discorde il
moto è circolare uniformemente decelerato.
Da questo moto discende che anche la velocità angolare non è più costante, ma varia in modo uniforme,
esisterà quindi un’accelerazione angolare  anch’essa costante.
L’accelerazione angolare media è quindi definita come:


rad
ed ha come unità di misura i 2 .
t
s
L’accelerazione angolare istantanea è invece  
d
.
dt
d
, visto che il vettore  può variare solo perpendicolarmente al
dt
piano della circonferenza, anche  sarà disposto nella stessa direzione di .
Il vettore accelerazione angolare è  
Se  aumenta,  ha lo stesso verso di  altrimenti avrà verso opposto.


aT
O
r

P


 fin
 iniz
 iniz
Determiniamo le accelerazioni del moto:
a
dv d
d
dr
   r  
 r  
  r   v
dt dt
dt
dt
 fin
v
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Sappiamo già che il termine   v è l’accelerazione centripeta o normale, per cui aN    v
Il primo termine è un’accelerazione diretta ( utilizzando la regola della mano sinistra ) come il vettore
velocità, e quindi proprio l’accelerazione tangenziale: aT    r il cui modulo vale
aT   r .
Il vettore accelerazione è quindi espresso dalla
relazione:
a  aT  aN
O
a
aN
aT
P
Ripensando alla circonferenza tagliata e disposta su una retta, abbiamo visto che il moto di P è un moto
rettilineo uniformemente accelerato e l’accelerazione è a T .
proprio l’accelerazione tangenziale.
Se indichiamo con s un tratto d’arco allora deve essere:
v  v 0  aT t
P

O
1
s  s 0  v0 t  aT t 2
2
2 aT (s  s 0 )  v 2  v02
2r
s
ricordando dalla geometria che l'arco di circonferenza s è dato dal prodotto del raggio per l’angolo sotteso
espresso in radianti s  r  , sostituendo anche v   r e aT   r si ricavano le leggi del moto circolare
uniformemente accelerato:
  0   t
x
1
   0  0 t   t 2
2
2  (   0 )  2  02
v
a
facili da ricordare perché del tutto simili alle leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato.
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Esercizio:
Un corpo si muove su una circonferenza di raggio 2.00 m con accelerazione angolare costante.
Ad un certo istante la sua velocità è di 1.00 m / s, e dopo 3.00 secondi ha percorso 5.00 m.
Determinare
a) l’accelerazione angolare
b) la velocità angolare dopo 5.00 secondi
c) l’accelerazione centripeta dopo 2.00 secondi
d) l’accelerazione tangenziale dopo 2.00 secondi
e) l’accelerazione dopo 2.00 secondi
f) il numero di giri fatti dopo 10.0 secondi
g)
h)
i)
i vettori accelerazione normale, accelerazione tangenziale ed accelerazione totale dopo 2.00
secondi
l’angolo in gradi sessagesimali che il vettore accelerazione totale forma con l’accelerazione
tangenziale dopo 2.00 secondi
i vettori ,
r , v,  dopo 2.00 secondi e verificare che a    r    v 
a) 0 
v0 1.00
rad
s 5.00
1
ma (3.00)  

 0.500
 2.50 rad quindi (3.00)  0 t   t 2
r 2.00
s
r 2.00
2
da cui
2
(3.00)  0t 2(2.50  0.500  3.00)
rad

 0.2222  0.222 2
2
t
9.00
s
b) (5.00)  0   t  0.500  0.2222  5.00  1.611  1.61
rad
s
c) (2.00)  0   t  0.500  0.2222  2.00  0.9444  0.944
aN (2.00)  2 (2.00) r  (0.9444)2 2.00  1.784  1.78
d) aT   r  0.2222  2.0  0.4444  0.444
rad
quindi
s
m
s2
m
l’accelerazione tangenziale è costante.
s2
e) a(2.00)  aT2  aN2  (0.4444)2  (1.784)2  1.839  1.84
m
s2
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1
1
f) (10.0)  0 t   t 2  0.500 10.0  0.2222 10.02  16.11  16.1 rad quindi
2
2
(10) 16.11

 2.564  2.56 giri
2
6.283
aT
g) dopo due secondi il punto ha descritto un angolo
a
n giri 

P
aN
1
1
(2.0)  0 t   t 2  0.500  2.00  0.2222  4.00
2
2
 1.444  1.44 rad

O
nel 1° quadrante, di conseguenza il vettore a N forma con
l’asse x un angolo di    ed il vettore a T forma con

l’asse x un angolo di   .
2
Si ha:
aN  aN [cos(  ) i  sen(  ) j]
aN  1.784(cos 4.5856 i  sen 4.5856 j)  0.2256 i 1.770 j = 0.226 i  1.77 j


aT  aT [cos(  ) i  sen(  ) j ]
2
2
m
s2
aT  0.4444(cos3.0148 i  sen 3.0148 j)  0.4408 i  0.05620 j = 0.441 i  0.0562 j
m
s2
a  aN  aT  0.2256 i  1.770 j  0.4408 i  0.05620 j = 0.6664 i 1.714 j  0.666 i  1.71 j
Verifichiamo i moduli delle accelerazioni:
aN (2.00)  (0.2256)2  (1.770)2  1.784  1.78
m
s2
aT (2.00)  (0.4408)2  (0.05620)2  0.4444  0.444
a(2.00)  (0.6664)2  (1.714)2  1.839  1.84
m
s2
m
s2
h) ricaviamo l’angolo con il prodotto scalare tra i vettori:
cos  
a  aT (0.6664)(0.4408)  (1.714)(0.05620)

 0.24157
a aT
1.839  0.4444
da cui   cos1 (0.24157)  76 1' 15''
m
s2
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i ) dal punto precedente , la rotazione avviene in senso antiorario per cui  ha direzione e verso
dell’asse z,
 ( 2.00 ) = 0.9444 k = 0.944 k
r (2.00)  r (cos  i  sen  j)  2.00(cos1.444 i  sen1.444 j)  0.2529 i  1.984 j  0.253 i  1.98 j m
la velocità ha direzione e verso dell’accelerazione tangenziale, per cui è sufficiente moltiplicare il
versore dell’accelerazione tangenziale per il modulo della velocità:
aˆT 
0.4408 i  0.05620 j
m
= 0.9919 i  0.1265 j 2
0.4444
s
v(2.00)  (2.00) r  0.9444  2.00  1.888  1.89
e
m
s
v (2.00)  v aˆT  1.888(0.9919 i  0.1265 j)  1.873 i  0.2388 j  1.87 i  0.239 j
m
s2
Un altro modo per calcolare la velocità è dato dal prodotto vettoriale
v (2.00)    r  0.9444 k  (0.2529 i  1.984 j)  1.874 i  0.2388 j  1.87 i  0.239 j
m
s2
L’accelerazione angolare è diretta come la velocità angolare per cui   0.2222 k  0.222 k
Infine:
a    r    v  0.2222 k  (0.2529 i  1.984 j)  0.9444 k  ( 1.874 i  0.2388 j ) 
 0.05619 j  0.4408 i  1.770 j  0.2255 i  0.6663 i 1.714 j  0.666 i  1.71 j
m
s2
rad
s2