Compito di TEORIA DEI SEGNALI (a)
Siena, 17 Dicembre 2007
Modalità di svolgimento
Per lo svolgimento del compito i candidati hanno a disposizione 3 ore. Non è permesso consultare nessun tipo di appunti, libri, o
tavole matematiche. La somma dei punteggi degli esercizi ammonta a 33, i 3 punti in eccesso servono per l’assegnazione della lode. I
candidati sono pregati di indicare con chiarezza il risultato degli esercizi e di scrivere in maniera più chiara possibile. Il testo del
compito va riconsegnato insieme al compito stesso con indicato nome, cognome e numero di matricola del candidato
Segnali determinati
1. A partire dalla forma classica della serie di Fourier (somma di esponenziali complessi) si derivi la forma
in soli coseni (valida per segnali reali) (4 punti)
2. Si calcoli l’autocorrelazione del segnale riportato in figura e se ne disegni l’andamento grafico (5 punti)
2
-3
s(t
)
-1
1
3
-1
3. Si calcoli il valore del seguente integrale
. (3 punti)
4. Si studi la linearità e tempo invarianza definiti dalle seguenti relazioni ingresso uscita (4 punti)
a.
b.
5. Si calcoli la banda efficace del segnale s(t) = sinc(5t) (4 punti)
6. Il segnale x(t) = cos(100πt) viene campionato idealmente con passo di campionamento Tc = 0,04 s. Il
segnale campionato viene quindi fatto passare per un filtro passa basso avente banda [-30 Hz, 30Hz].
Si chiede di calcolare l’espressione del segnale in uscita al filtro passa basso. (4 punti)
Segnali aleatori
7. Dato un sistema LTI al cui ingresso è posto un processo stocastico stazionario in senso lato, si enunci
e si dimostri la relazione che lega l’autocorrelazione del processo in uscita con quella del processo in
ingresso. (3 punti)
.
8. Un rumore bianco viene fatto passare attraverso un sistema LTI avente risposta impulsiva h(t) =
sinc2(500t). Si chiede di calcolare la potenza media del processo in uscita al sistema all’interno della
banda [-100Hz, 100Hz]. (3 punti)
9. A partire da un processo stocastico stazionario x(k,t) viene costruito un nuovo processo y(k,t) = 2x(k,t)
+ x(k,t-5·10-3). Sapendo che la densità spettrale di potenza media di x(k,t) è Sxx(f) = sinc2(f/100), si
determini la potenza media del processo y(k,t). (3 punti)
Nome……………………………… Cognome …………………………… Matricola …………………………..
Compito di TEORIA DEI SEGNALI
(b)
Siena, 17 Dicembre 2007
Modalità di svolgimento
Per lo svolgimento del compito i candidati hanno a disposizione 3 ore. Non è permesso consultare nessun tipo di appunti, libri, o
tavole matematiche. La somma dei punteggi degli esercizi ammonta a 33, i 3 punti in eccesso servono per l’assegnazione della lode. I
candidati sono pregati di indicare con chiarezza il risultato degli esercizi e di scrivere in maniera più chiara possibile. Il testo del
compito va riconsegnato insieme al compito stesso con indicato nome, cognome e numero di matricola del candidato
Segnali determinati
1. A partire dalla forma classica della trasformata di Fourier si derivi la forma in soli coseni (valida per
segnali reali) (4 punti)
2. Si calcoli l’autocorrelazione del segnale riportato in figura e se ne disegni l’andamento grafico (5 punti)
1
s(t
)
-1
1
-3
3
-2
3. Si calcoli il valore del seguente integrale
. (3 punti)
4. Si studi la linearità e tempo invarianza definiti dalle seguenti relazioni ingresso uscita (4 punti)
a.
b.
5. Si calcoli la banda efficace del segnale s(t) = sinc(2t-1) (4 punti)
6. Il segnale x(t) = cos(200πt) viene campionato idealmente con passo di campionamento Tc = 0,02 s. Il
segnale campionato viene quindi fatto passare per un filtro passa basso avente banda [-60Hz, 60Hz].
Si chiede di calcolare l’espressione del segnale in uscita al filtro passa basso. (4 punti)
Segnali aleatori
7. Dato un sistema LTI al cui ingresso è posto un processo stocastico stazionario in senso lato, si enunci
e si dimostri la relazione che lega lo spettro di potenza del processo in uscita con quello del processo
in ingresso. (3 punti)
.
8. Un rumore bianco viene fatto passare attraverso un sistema LTI avente risposta impulsiva h(t) =
sinc2(300t). Si chiede di calcolare la potenza media del processo in uscita al sistema all’interno della
banda [-50Hz, 50Hz]. (3 punti)
9. A partire da un processo stocastico stazionario x(k,t) viene costruito un nuovo processo y(k,t) = x(k,t) +
x(k,t-15·10-3). Sapendo che la densità spettrale di potenza media di x(k,t) è Sxx(f) = sinc2(f/300), si
determini la potenza media del processo y(k,t). (3 punti)
Nome……………………………… Cognome …………………………… Matricola …………………………..