ESPERIMENTO DI
RÜCHARDT
MISURA DEL RAPPORTO DEI CALORI SPECIFICI
DELL’ARIA MEDIANTE VIDEO-MONITORAGGIO DI
OSCILLAZIONI DI PRESSIONE
LAUREANDO: Jacopo Lenkowicz
Introduzione
 In questa esposizione ci proponiamo di:
 Delineare un modello teorico guida con cui
confrontare i risultati sperimentali.
 Descrivere il metodo di misura con cui abbiamo
stimato il rapporto dei calori specifici dell’aria.
 Fornire la stima ottenuta per la suddetta quantità
ed analizzarne la validità in relazione alle
approssimazioni adottate.
Apparato sperimentale
 Serbatoio di vetro con
capacità di 10 litri.
 Tubo di vetro ad alta
precisione (lunghezza ~60
cm, diametro ~16 mm)
innestato sul serbatoio con
un supporto di gomma.
 Pallina di metallo (~16.5 g)
perfettamente aderente al
tubo.
 Videocamera digitale con
rate di acquisizione di 1
fotogramma = 0.04 s.
Esperimento di Rüchardt
 pressione di equilibrio della pallina:
p  p0 
mg
A
2
d
 variazione di pressione: m x  Ap
dt 2
p
dp  ( )dV
V
 Considerando variazioni finite di P e V
d 2 x pA2
(
)x  0
( V  Ax ) e sostituendo:
2
 Dall’equazione delle adiabatiche:
dt
 Effetto di smorzamento (urti con le
molecole del gas)  equazione del moto
della pallina:
mV
d 2 x  dx pA 2


x0
2
m dt mV
dt
Periodo delle oscillazioni
 Soluzione dell’equazione
differenziale  oscillazioni
smorzate
t
x(t )  A0 exp(  ) cos(t   )
 Frequenza oscillazioni:

  
2
0
2
4m 2
 Si ricava il periodo:
mV
4 2 mV
T  (1 
)
16pA2 2 pA2
 Regime di debole smorzamento
( mV  pA2 2 ) 
 4 2 m 
 (V0  Vl )
T  
2 
 pA 
 approssimazione da verificare a
posteriori dai risultati
sperimentali
2
2
m

2
Riepilogo approssimazioni
 Per ricavare il periodo delle oscillazioni abbiamo adottato le
seguenti approssimazioni la cui validità andrà verificata a posteriori:
 Oscillazioni adiabatiche: trascuriamo l’effetto della finita
conduttività termica delle pareti del contenitore e del gas  possibili
flussi di calore all’interno del gas durante l’oscillazione.
 Oscillazioni quasi-statiche: assumiamo che le molecole del gas
obbediscano alla distribuzione di velocità di Maxwell su scale
temporali trascurabili rispetto a quella del moto della pallina
(equivale a considerare la massa della pallina sufficientemente
grande).
 Debole smorzamento:
mV  pA2 2
Procedimento sperimentale
Come ottenere la traiettoria
della
pallina
con
buona
risoluzione
spaziale
e
temporale?
 Video - monitoraggio.
 Obbiettivo:
riprendere
le
oscillazioni della pallina con una
videocamera digitale per poterle
poi elaborare al computer e
ricavare la traiettoria.
 Procedimento:
abbiamo
posizionato un foglio di carta
semiopaca sul tubo di vetro ed
abbiamo illuminato l’apparato.
 Effetto: fondo bianco su cui la
pallina appare nera.
Analisi con matlab
 Matlab: programma di calcolo scientifico  possibilità
di lavorare sulla matrice dei pixel dell’immagine di un
video in formato .avi.
 Aviread(‘nome_file.avi’), la funzione permette di
importare un filmato.
 Il video viene assegnato ad una variabile matriciale
mov(f), f è un parametro che indica il frame.
 Per ogni frame, mov contiene tre matrici di pixel: una
per l’intensità del rosso, una per il blu ed una per il
giallo.
 Per come abbiamo preparato l’esperimento: posizione
della pallina come media pesta sui pixel (fissato il
fotogramma) con peso l’intensità del nero (somma
delle intensità dei colori fondamentali)  baricentro
della pallina.
 Ciclo su tutti i frame del video  traiettoria.
 Risoluzione temporale: 1 frame=0.04 s
 Risoluzione spaziale: 1 pixel
Risultati sperimentali I
 Equazione oraria. Due esempi:
volume di liquido (Vl ) = 2, 3 litri
 Fit con funzione di prova
t
x(t)  Aexp(- ) cos(t   )  t 

 Media cresta per cresta 
T  2
T   Ti
Due comportamenti osservati non
predetti dal modello:
 Attrito statico
 Perdite

i
Risultati sperimentali II
 Grafico
T
2
vs
Vl
 Dalla relazione
 4 2 m 
 (V0  Vl )
T  
2 

pA


2
tramite fit lineare (minimi quadrati)
otteniamo:
 Coefficiente angolare 
 exp = 1.376 ± 0.050
(valore aspettato:
 Intercetta
 = 1.4)

V0 (exp)= (10.30 ± 0.30) litri
(valore aspettato:
V0 =10.1 litri)
Conclusioni
 Cosa abbiamo ottenuto con la tecnica di videomonitoraggio:
 Ricostruzione traiettoria con buona risoluzione spaziale
e temporale.
 Buona stima del rapporto dei calori specifici (errore di
circa l’1%).
 Dove è possibile migliorare:
 Risoluzione temporale  utilizzare videocamere digitali
con rate di acquisizione maggiore del venticinquesimo di
secondo.
 Utilizzare un serbatoio di capacità maggiore.