Dalle funzioni composte al caos deterministico:
le strane proprietà dei modelli dinamici non lineari
Gian Italo Bischi, Università di Urbino, Facoltà di Economia
[email protected]
http//www.econ.uniurb.it/bischi/bischiweb.htm
Caos Deterministico: un ossimoro
“deterministico” : regolare, prevedibile
“caos” : assenza di regole, imprevedibilità.
La scoperta del caos deterministico spezza
questa dicotomia:
modelli matematici deterministici non lineari
possono generare andamenti estremamente
complicati, quasi indistinguibili da processi
aleatori.
David Ruelle “Caso e Caos”, Bollati Boringhieri, 1992
James Gleick “Caos. La nascita di una nuova scienza”, Sansoni 1997, 3° edizione
(edizione inglese : “Chaos. The amazing science of the unpredictable”)
Ian Stewart “Dio gioca a dadi ? La nuova matematica del caos” Bollati Boringhieri, 1993
Angelo Vulpiani “Determinismo e caos” La Nuova Italia Scientifica, 1994.
Bertuglia e Vaio “Nonlinearità, caos, complessità. Le dinamiche dei sistemi naturali e sociali”,
Boringhieri 2003
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Douglas R. Hofstadter “Strani attrattori : schemi matematici collocati fra l’ordine e il
caos”
su “Le Scienze”, Febbraio 1982.
James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard, Robert S. Shaw “Il Caos”
“Le Scienze”, Febbraio 1987
A.K. Dewdney “Alla scoperta delle strane attrattive del caos” su “Le Scienze”, Settembre 1987.
F. Di Stefano “Il caos deterministico” in La Fisica nella scuola” n.6, 1991.
Alberto Rebaglia “Il Caos e i Frattali” inserto di “Scienza e Vita”, giugno 1993.
Marco dal Bosco “Comportamenti Casuali di un sistema deterministico”
in “La Fisica nella scuola” n.2, 1998.
Michele Fontana “Metti ordine nel caos” in Panorama del 21 febbraio 1988.
Pietro Greco “Il caos minaccia Newton” da “la Repubblica” del 7 febbraio 1990.
Giorgio Israel “Grande è la confusione sotto il cielo della scienza : il determinismo non è morto”
da “La Repubblica” del 11 dicembre 1991.
Franco Prattico “I sacerdoti del caos” da “La Repubblica” del 30 aprile 1993.
Giampiero Borrella “Avanti caos” in Panorama del 18 luglio 1993.
Carlo Bernardini “Finiremo tutti in un grande frattale”
da “La repubblica” del 3 dicembre 1986
Umberto Bottazzini “Il mondo del pressappoco” Il Sole 24 ore, 8 marzo 1987.
Omar Calabresi “Matematicamente belli” in Panorama del 17 gennaio 1988.
Pier Luigi Sacco “La finanza turbolenta si spiega coi frattali”
da Il sole 24 ore del 28 febbraio 1988.
Dal romanzo: Jurassic Park, di Michael Crichton
Un passo tratto dalla Seconda Iterazione
[…] Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella
nuova generazione di matematici che mostravano un vivo
interesse per i “meccanismi del mondo reale”. Questi studiosi,
sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione di isolamento
dei matematici.
Per prima cosa si servivano continuamente del computer,
cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio.
Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari,
nel campo emergente del cosiddetto caos.
Terza cosa, sembravano voler fare di tutto il possibile affinché i
loro sistemi matematici descrivessero qualcosa che di fatto
esisteva nel mondo reale.
Sistemi Dinamici non lineari





Teoria Qualitativa dei Sistemi Dinamici
Non linearità
Stabilità
Biforcazioni
Attrattore (stazionario,periodico,strano o “caotico”)
Equazioni Differenziali
 Equazioni alle differenze
(funzioni iterate)
 Visione olistica (cioè non riduzionista)
 Importanza dei dettagli
 Scarsa prevedibilità anche in sistemi deterministici
governati da leggi semplici
 Possibilità di individuare leggi “deterministiche” che
regolano
sistemi apparentemente aleatori
Sistema Dinamico
Variabili di stato : X = (x1, x2, …, xn)
Operatore dell’evoluzione
xi (t )   i (t; x1 (0),..., xn (0))
i  1,..., n
t0
Leggi locali di evoluzione
Tempo continuo: equazioni differenziali
dxi (t )
 f i x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t ) 
dt
i  1,..., n
Tempo discreto: equazioni alle differenze (mappe iterate, induttive)
xi (t  1)  f i x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t ) i  1,...n
Modelli dinamici a tempo discreto
x (t + 1) = f ( x (t) )
x (0) assegnato
Legge di evoluzione “induttiva” : dallo stato al tempo t
permette di calcolare lo stato al tempo successivo, t+1 in modo
f
x(t)
x(t+1)
Per induzione, ossia iterando la f ...
x (0)
f
x (1)
f
x (2) ... x (t)
f
x (t+1) ...
… si ottiene una “traiettoria” del sistema dinamico
x(1) = f (x(0)) x(2) = f (x(1)) = f (f (x(0))) = f 2 (x(0)) … x(n) = f n (x(0))
x (t+1) = a x(t)
x1 = a x0
x2 = a x1 = a ( a x0 ) = a² x0
x3 = a x2 = a ( a² x0 ) = a³ x0
…
xn = a xn1 = a ( a n-1 ) x0 = a n x 0
...
progressione geometrica di valore iniziale x0 e di ragione a.
Capitalizzazione con interesse composto
C(t+1) = C(t) + r C(t) = (1+r) C(t)
Soluzione: C(t) = C(0) (1+r)t
Crescita esponenziale
Pierre-Simon Laplace 1749-1827
Nel 1776 Pierre-Simon Laplace scriveva :
“Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da
quello che era all’istante precedente e se noi immaginassimo
un’intelligenza che a un istante dato comprendesse tutte le relazioni
fra le entità di questo universo, essa potrebbe conoscere le rispettive
posizioni, i moti e le disposizioni generali di tutte quelle entità in
qualunque istante del futuro”
Nel 1903 Henry Poincaré scriveva:
Se conoscessimo esattamente le leggi della natura
e la situazione dell’universo all’istante iniziale,
potremmo prevedere esattamente la situazione
dello stesso universo in un instante successivo.
Ma se pure accadesse che le leggi naturali non
avessero più alcun segreto per noi, anche in tal
caso potremmo conoscere la situazione iniziale
solo approssimativamente.
Henry Poincaré, 1854-1912
Se questo ci permettesse di prevedere la situazione
successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e
dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto. Ma non è sempre così;
può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano
di grandissime nei fenomeni finali.
Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi”.
dx
 x  y
dt
dy
 Rx  y  xz
dt
dz
  Bz  xy
dt
Lorenz
Iterazione della funzione y = f(x) =x
x(t  1)  x(t )
x(t  1)  f ( x(t ))  x 2 (t )  b
x0
b all’incirca in (1.5 , 2)
x3
x1
x4
x2
x
n
x
n
x(t  1)  f ( x(t ))  x 2 (t )  c
calcolatrice tascabile
x2 – c
x
x(t  1)  f ( x(t ))  x 2 (t )  c
calcolatrice tascabile
x2 – c
x
x(t  1)  f ( x(t ))  x 2 (t )  c
calcolatrice tascabile
x2 – c
x
Legge di evoluzione:
x (t + 1) = f ( x (t) )
Se f (x(t)) > x(t) Allora
Se f (x(t)) < x(t) Allora
x (t + 1) > ( x (t) )
x (t + 1) < ( x (t) )
Se f (x(t)) = x(t) Allora
x (t + 1) = ( x (t) )
punto fisso
x0
stato stazionario
punto di equilibrio
x1
x2
x1
x1
x1 = f (x0)
x1
x3
x4
x2
x0
x0
x0
Mappe lineari: f ( x ) = a x.
x (t+1) = a x(t)
x1 = a x0
x2 = a x1 = a ( a x0 ) = a² x0
x3 = a x2 = a ( a² x0 ) = a³ x0
…
xn = a xn1 = a ( a n-1 ) x0 = a n x 0

| a | < 1 (cioè  1 < a < 1)
- se 0 < a < 1, successione monotona che
converge all’unico punto fisso x* = 0 (attrattivo
- se -1 < a < 0, la successione converge
al punto fisso, ma oscillando;

|a|>1
- se a < -1, la successione diverge oscillando;
- se a > 1, la successione diverge
in modo monotono
...
progressione geometrica
di valore iniziale x0 e di ragione a.
I valori particolari
a = 1 e a = 1
sono chiamati di biforcazione.
Attraversandoli si verifica un cambiamento
qualitativo nelle traiettorie
Equilibrio stabile
-1<f’(x*)<0
0<f’(x*)<1
Equilibrio instabile
f’(x*)>1
f’(x*)< -1
x(t  1)  x(t )
Iterazione della funzione (iperbole)
k  x2
f ( x) 
2x
k  xn2
xn 1 
2 xn
Punti fissi: x 
f '( x) 
1 k
 2
2 x
kx
2x

x2  k
x k
f '(  k )  
1
2
x
x(t  1)  f ( x(t ))  x 2 (t )  c
Biforcazione fold (o tangente) :
appaiono 2 punti fissi, uno stabile e uno instabile
x
x
x
f ’(x*)=1
Diagramma di
biforcazione
biforcazione pitchfork (supercritica)
f ’(x*)=1
biforcazione pitchfork (subcritica)
p >1
y
y
p=1
y
0<p<1
1
1
x
1
x
f ’(x*)=1
x
1
x1
0
a
x
biforcazione transcritica (o cambio di stabilità)
due punti fissi si uniscono, scambiandosi la stabilità
y
y
x-1
y
x0
x1
p
=p
-1/3
0.5
x-1
1
0.5
x
1
x
0.5
1
x0
x1
a=3/2
a=0.75
a=1
f ’(x*)=1
x*
x
p*
p*
x*
1
a
x
f ’(x*)= - 1
• Biforcazione flip (o del raddoppio del periodo):
– il punto fisso diventa instabile e appare un ciclo di periodo 2 attorno ad
esso. Corrisponde ad una biforcazione pitchfork dell’iterata seconda.
subcritica
supercritica
x
alfa
Supponiamo che ogni anno si riproduca una frazione r di insetti
e ne muoia una frazione m. Nell’anno successivo la popolazione è
N t  1  N t   rN t   mN t 
 1  r  m N t 
r-m rappresenta il tasso netto di crescita della popolazione
Questa è una legge di evoluzione lineare
Diagramma a scala (ragnatela)
xt+1 = axt
lineare
Popolazione che vive in un ambiente limitato.
Si fa l’ipotesi che il tasso di mortalità m non sia costante, ma
aumenti al crescere della numerosità della popolazione
ad esempio m = sN(t).
Questo può essere interpretato come un termine di mortalità
per sovraffollamento (carenza di cibo ecc.)
Con questa ipotesi la legge di evoluzione diventa non lineare:
N (t  1)  1  r N (t )  sN (t ) 2
Una funzione di secondo grado (una parabola).
Con un semplice cambio di variabile diventa
x(t  1)  ax(t )1  x(t )
logistica
y
a = 2.5
a=2
x
x
y
3
5
x
4
x*
x
3
x
*
2
x
x
x
1
p*
2
x
0.5
0
1
x
x
1
p*
a=2
x
0

a = 3.1
f ’(x*)=-1
y



f(x)
2
f(x)
0
x
0
0.5
F(x)=f (x)
1
x
a=3.1
1
x
a=2.5
2
F(x)=f (x)
x*
x*
0.5
biforcazione flip
Robert May, 1976
“Appello evangelico per l’introduzione di queste equazioni alle differenze
semplici in corsi elementari di matematica, cosicchè l’intuizione degli
studenti possa essere arricchita vedendo le cose bizzarre che succedono
con semplici equazioni non lineari. [...]”.
“Io vorrei sollecitare che sia presentata [l’equazione logistica] presto
nell’educazione matematica. Questa equazione può essere presentata
da un punto di vista fenomenologico iterandola con una calcolatrice,
o persino a mano.
Tale studio potrebbe in generale arricchire l’intuito di uno studente circa
i sistemi non lineari. Non solo nella ricerca, ma anche nella vita politica
ed economica di ogni giorno, noi saremmo più ricchi se un numero
maggiore di persone si rendesse conto che semplici sistemi non lineari
non possiedono necessariamente semplici proprietà dinamiche.”
xn
x0
n
yn
y0= x0+10 -6
n
|xn - yn|
n
Una definizione generale di caos deterministico non esiste ancora.
Si dice che si è in presenza di dinamiche caotiche se:
(1) Sensitività rispetto alle condizioni iniziali
generando due traiettorie da diverse condizioni iniziali, ma arbitrariamente
vicine, esse si mantengono limitate ma la distanza fra esse cresce
esponenzialmente e dopo un tempo finito diventa dello stesso ordine di
grandezza delle variabili di stato.
(2) Transitività (o mixing):
i punti della traiettoria generata partendo da una generica condizione
iniziale ricoprono densamente una zona dello spazio delle fasi
cioè ciascun punto dell’intervallo su cui si muove tale traiettoria risulta
essere punto di accumulazione dei punti della traiettoria stessa.
(3) Esistenza di infiniti cicli repulsivi
con i punti periodici densi nella regione ricoperta dalle traiettorie caotiche.
Nota: (2) e (3) implicano (1)
a = 3.61
a = 3.678574
c
c2
c2=c3=x*
c3
c1
a 2  a  a1
c
c1
a  a1
Self-similarity
(omotetia interna)
La Geometria del Caos
Stretching & Folding (Stiramento e ripiegamento)
0.875
Kneading of the dough (impastare)
J
c
c2
I
c1
c3
c
c2=f(c1)
c3=f(c2)
c1=f(c)
x1 (t  1)  ax1 (t )  x2 (t )
x2
f:
x2 (t  1)  b  x12 (t )
f
x2
f
x1
x1
x2
t
x1
 x'  ax  y
T :
2
y
'

x
b

x1 (t  1)  ax1 (t )  x2 (t )
f:
x2 (t  1)  b  x12 (t )
T
F
F’= T(F)
LC -1
LC
f:
x1 (t  1)  ax1 (t )  x2 (t )
x2 (t  1)  b  x12 (t )
LC2
LC1
LC-1
LC3
LC
LC2
LC5
LC6
LC 1
L
C
LC4
LC
-1
LC3
Due tipi di complessità … e due tipi di sensitività
k = 1; v1 = v2 = 0.852 ; 1= 2 =0.6 ; c1 = c2 = 3
k = 1; v1 = v2 = 0.851 ; 1= 2 =0.6 ; c1 = c2 = 3
1.5
1.5
y
y
E*
E*
0
0
0
(a)
x
1.5
0
(b)
x
Da: G.I. Bischi and M. Kopel
“Multistability and path dependence in a dynamic brand competition model”
Chaos, Solitons and Fractals, 2003
1.5
strutture complesse dei
bacini di attrazione nel caso
di più attrattori coesistenti
Coesistenza di equilibri
Bacini di attrazione
Stabilità pratica

2
x
0
r*
x*
p*
q*

1
(a)
(b)
fig.
4
m  3.8
1
1
c= m/4
m  4.05
1
.
c= m/4
1
x*
0
1
0
(a)
0
1
(b)
Z0
.
c
x*
Z2
.
q*
.
z*
q *1
c
x0
.
q* 2
q *1
Z1
.
x*
cmax
Z3
Z1
Z1
.
x*
cmax
Z3
.
cmin
.
q*
q*
cmin
.
Z1
z*
.
z*
(a)
.
q* 2
r*
(b)
q *1
r*
Supponiamo che ogni anno si riproduca una frazione r di insetti
e ne muoia una frazione m. Nell’anno successivo la popolazione è
N t  1  N t   rN t   mN t 
 1  r  m N t 
r-m rappresenta il tasso netto di crescita della popolazione
Questa è una legge di evoluzione lineare
Diagramma a scala (ragnatela)
xt+1 = axt
lineare
Popolazione che vive in un ambiente limitato.
Si fa l’ipotesi che il tasso di mortalità m non sia costante, ma
aumenti al crescere della numerosità della popolazione
ad esempio m = sN(t).
Questo può essere interpretato come un termine di mortalità
per sovraffollamento (carenza di cibo ecc.)
Con questa ipotesi la legge di evoluzione diventa non lineare:
N (t  1)  1  r N (t )  sN (t ) 2
Una funzione di secondo grado (una parabola).
Con un semplice cambio di variabile diventa
x(t  1)  ax(t )1  x(t )
logistica
Al crescere della densità di popolazione cresce la mortalità
per mancanza di cibo, spazio vitale ecc.)
Malthus (1798) An essay on the principle of population
R(x) = n – sx
x(t+1) = (1 + n – sx(t))x(t) = (1+n) x(t) – s x(t) 2
R(X)
F(X)
F(x(t))
Parabola
r
logistica
0
0
K
X
K
x0 = 0
equilibrio di estinzione
K = n/s capacità portante
x = K : R(K) = 0
x
F(K) = K
Equazione dinamica di una popolazione naturale sfruttata
(pesca commerciale, deforestazione)
x(t+1) = F(x(t))  H(t)
x(t)(1 + R)
H(t): quota di risorsa prelevata nell’unità di tempo
(Harvesting)
Condizione di equilibrio:
x(t+1) = x(t) cioè H(t) = R(x)
Prelievo con quote costanti : H(t) = h
x(t+1) = f (x(t)) = (1 + n – sx(t))x  h
f (X)
0
.
.
Kh
Xh
-h
Due equilibri
n  n 2  4hs
Xh 
2s
Soglia di sopravvivenza
n  n 2  4hs
Kh 
2s
Equilibrio stabile
Aumentiamo la quota di prelievo
h > n2 / (4s)
f (X)
Kh
0
-h
Xh
0
-h
K
Kh
Xh
0
h
Prelievo con sforzo costante:
H(t) = q E x(t)
Coeff. Tecnol.
Sforzo
x(t+1) = f (x(t)) = x(t) (1 + n – qE  sx(t))
Se qE < n due equilibri:
KE =(n  qE) / s
X0 = 0;
f (x)
K
KE
E=Ee= n/q
K
KE
E=0
x 0
0<E<n/q
Ee
E
Prelievo con sforzo costante: H(t) = q E x(t)
Y= qEKE
Yield-Effort curve
MSY
0
EMSY
Ee
E
Uno sforzo crescente porta a una maggiore produzione immediata
ma può portare a una minore produzione nel lungo periodo
E < EMSY sottosfruttamento
E > EMSY
sovrasfruttamento
Vivere in comunità (branchi) : Crescita con depensazione
R(x)
Crescita ottimale per
valori intermedi
Sforzo Costante
K
0
f (X)
x
f (X)
K
KE
E=0
KE
XE
0
0 < E < E1
x
0
E1 < E < E2
x
f (x)
f (x)
KE
K
XE
0
E1 < E < E 2
x
0
E > E2
Yield-Effort curve
KE
XE
0
E1
E2
E
x
Jurassic Park, terza iterazione:
“Un simile controllo è impossibile” dichiarò Ian Malcom
“Invece sì” disse Hammond
“Mi scusi, ma lei non sa quello che dice” ribattè Malcom
“Piccolo stronzo arrogante” disse Hammond. Si alzò e uscì.
“Mi spiace” disse Malcom “ma il punto è che ciò che definiamo
natura è di fatto un sistema complesso, non lineare.
Ci costruiamo una immagine lineare della natura e poi
combiniamo pasticci.
Io non sono uno di quegli ambientalisti dal cuore tenero, ma
dovete capire ciò che non capite. Quante volte bisogna sbattere
il muso contro l’evidenza dei fatti?
Abbiamo costruito la diga di Assuan sostenendo che avrebbe
rivitalizzato l’Egitto, e invece distrugge il fertile delta del Nilo,
produce infestazioni da parassiti e rovina l’economia.
Abbiamo costruito...
Modello della Ragnatela
Un prodotto al tempo t viene venduto al prezzo unitario pt.
Quantità richiesta al tempo t dai consumatori
Qd = D ( pt )
D funzione di domanda
La quantità che viene immessa sul mercato dai produttori
sia una funzione del prezzo
Qs = S ( pt )
Q
S funzione di offerta
D
Esempio.
funzioni di domanda e offerta lineari:
D(p) = a  b p ;
S(p) =  c + d p
a, b, c, d costanti positive
S
Equilibrio: Qd = Qs
p*
p
Problema: la produzione richiede un certo lasso di tempo,
• I produttori devono decidere in anticipo (in t -1) la quantità da immettere
nel mercato al tempo t ;
• I consumatori decidono la quantità da acquistare in base al prezzo corrente
D(pt) = S(pt-1)
da cui:
pt = D-1 (S(pt-1 )) = f (pt-1)
Con le funzioni lineari:
a  b pt =  c  d pt-1, da cui:
pt  
d
ac
pt 1 
b
b
Funzione di offerta non lineare:
D(p)=a-bp
S ( p ) = arctan (l (p - 1))
Q
Qoff = S ( p) = arctan (l(p1))
S
D
D(pt) = S(pt-1)
diventa
pe
a  bpt = arctan (l(pt-11))
p
da cui si ottiene il modello dinamico
pt = F(pt-1)= [a arctan (l (pt-1 1))]
La mappa F(p) è monotona decrescente,
F
F
p2
pe
p1
5
p
p
0
0.3
p
l
0.4
Aspettative adattive
con 0 <   1
ptatt1 = ptatt +  ( pt  ptatt )
Inserendo:
att
pt = F ( p t )
nell'equazione delle aspettative adattive
att
t 1
p
= p
att
t
+(F(p
att
t
) p
att
t
) = (1    p
att
t
1
att
+  [a arctan (l ( p t 1))]
b
F ( p att )
(1   ) p att  F ( p att )
p att
ptatt
pe
ptatt
l
Cournot Duopoly Games
q1 (t) and q2 (t)
outputs at time t of two quantity setting-firms
producing homogeneous goods.
p= f (q1+q2)
inverse demand function
ci (q1, q2)
cost functions,
So, the unit-time profit is: i qi f (q1+ q2) – ci (q1, q2)
At time period t firms 1, 2 decide (t+1)-outputs by solving
profit - maximization problems
max q1 1 q1 , q2 
max q2  2 q1 , q2 

 

 q (t  1), q   r q (t  1) 
q1 (t  1)  arg max q1 1 q1 , q2e (t  1)  r1 q2e (t  1)
q2 (t  1)  arg max q2
2
e
2
2
2
e
1
q2
q1 = r1(q2)
.
Cournot-Nash Equilibrium
q2 = r2(q1)
q1
Expectation of agent i about the rival’s choice q ej (t  1)
Perfect foresight: q ej (t  1)  q j (t  1) i  1,2
 q1 (t )  r1 (q 2 (t ))

q 2 (t )  r2 (q1 (t ))
t
 q1*  r1 (q2* )  r1 (r2 (q1* )
One-shot (static) game  *
*
*
q

r
(
q
)

r
(
r
(
q
2 1
2)
 2 2 1
The game goes to the intersection(s) of the reaction curves (Cournot-Nash equilibrium)
in one shot
Cournot (Naive) expectations: q ej (t  1)  qi (t ) i  1,2
 q1 (t  1)  r1 (q2 (t ))
T :
q2 (t  1)  r2 (q1 (t ))
t
Two-dimensional dynamical system:
given (q1(0),q2(0)) the repeated application of the map
T:(q1,q2) (r1(q2), r2(q1))
gives the time evolution of the duopoly game.
This repeated game may converge to a Cournot-Nash equilibrium in the
long run, i.e. boundedly rational players may achieve the same equilibrium
as fully rational players provided that the “myopic” game is played
several times
Evolutionary interpretation of Nash equilibrium (Nash’s concern)
Linear demand p = a – b (q1 + q2)
Linear cost
Ci = ci qi
i = 1,2
Quadratic Profit: i  a – b (q1 + q2))qi – ci qi
F.O.C.
S.O.C.
1
 a  2bq1  bq2  c1  0
q1

1
a  c1
q1 (t  1)  r1 (q2 (t ))   q2 (t ) 
2
2b
 2
 a  2bq2  bq1  c2  0
q2

1
a  c2
q2 (t  1)  r2 (q1 (t ))   q1 (t ) 
2
2b
 2 1  2  2

 2b  0
q12
q22
R1
R1
R2
R2
Linear demand p = a – b (q1 + q2)
Quadratic cost Ci = ci qi –  i qi2 i = 1,2
Quadratic Profit: i  a – b (q1 + q2))qi – (ci qi –  i qi2 )
1
b
a  c1
 a  2(b  1 )q1  bq2  c1  0  q1 (t  1)  r1 (q2 (t ))  
q2 (t ) 
q1
2(b  1 )
2(b  1 )
 2
b
a  c2
 a  2(b   2 )q2  bq1  c2  0  q2 (t  1)  r2 (q1 (t ))  
q1 (t ) 
q2
2(b   2 )
2(b   2 )
eigenvalues:
z1, 2  
b
2
1
b  1 b   2 
stability if
2b 2
b

2 b  1
b
R
R21
R2
R1
Rand, D., 1978. Exotic Phenomena in games and duopoly models.
Journal of Mathematical Economics, 5, 173-184.
A Cournot tâtonnement is considered with unimodal (one-hump)
reaction functions, and he proves that chaotic dynamics arise,
i.e. bounded oscillations with sensitive dependence on initial
conditions etc..
Postom and Stewart "Catastrophe Theory and its Applications", Pitman 1978
“… not treat such phenomena as program bugs, and not to steer
their patameters or their model away from realism to eliminate them,
such explicit models “drawn from life” will become common…”
Book seller example:
“...If you start producing books, when no one else is, you will not sell many.
There will be no book habit among people, no distribution industry…
On the other hand if other producers exist producing books in huge numbers,
you will be invisible…and again you will sell rather few.
Your sales will be best when your competitors’ output will be intermediate…”
New mathematics
“… Adequate mathematics for planning in the presence of such
phenomena is a still far distant goal…”
Tonu Puu, 1991 “Chaos in Duopoly pricing” Chaos, Solitons & Fractals
Shows how an hill-shaped reaction function is quite simply obtained by
using linear costs and replacing the linear demand function by the
economists’ “second-favourite” demand curve, the constant elasticity demand
1
1
p 
Q q1  q2
i 
qi
 ci qi
q1  q2
qj
qj
 i


c

0
for
q


q

i
i
j
qi q1  q2 2
ci

q1 (t  1)  r1 (q2 (t ))  q2 (t ) 


 q (t  1)  r (q (t ))  q (t ) 
2
1
1
 2
q2
c1
q1
c1
–
+
Kopel, M., 1996. Simple and complex adjustment dynamics in Cournot Duopoly Models.
Chaos, Solitons, and Fractals, 7, 2031-2048.
Linear demand function, a particular kind of cost function Ci = Ci(q1,q2) with positive cost
externalities (some spillover effect which gives some advantages due to the presence of the
competitor, in the spirit of the book-seller example)
r1 q2   m1q2 1  q2 
r2 q1   m2 q1 1  q1 
where m1 and m2 represent measure the intensity of the positive externality the actions of one
player exert on the payoff of the other player
1
1
q2
r1
q2
r2
r2
r1
0
0
q1
1
0
0
q1 1
Non monotonic reaction functions may lead to the existence
of several coexisting equilibria
Problem of equilibrium selection
Which equilibrium is achieved as the result of an evolutive
(trial and error, boundedly rational) process?
Stability arguments are used to select among multiple equilibria
What happens when several coexisting stable Nash equilibia exist?
Cournot Duopoly with Adaptive expectations:
Cournot Game (from beliefs to realizations)
q1 (t )  r1 (q 2e (t ))
q 2 (t )  r2 (q1e (t ))
t
Adaptive expectations


(t )   q (t )  q (t ) 
q1e (t  1)  q1e (t )   q1 (t )  q1e (t )   q1 (t )  1   q1e (t )
q 2e (t  1)  q 2e
2
Dynamical system:
e
2

  q2 (t )  1   q 2e (t )
 
T : q1e (t ), q2e (t )  q1e (t  1), q2e (t  1)
q1e (t  1)  1   1 q1e (t )   1 r1 (q 2e (t ))
T : e
q 2 (t  1)  1   2 q 2e (t )   2 r2 (q1e (t ))

m1 = m2 = 3.4
1 = 2 = 0.2 < 1/(m+1)
2.3
y
Z0
LC
D
(1)
1
O
m1 = m2 = 3.4
1 = 2 = 0.5 > 1/(m+1)
1.4
y
( 1)
O1
Z0
LC ( a )
D
( 3)
O1
(a)
E2
E2
Z2
K
Z2
S
E1
0
E1
LC ( b )
O
0
0
x 2.3 Z4
O
LC ( b )
Z4
0
(2)
O1
x 1.4
m1 = m2 = 3.6
1 = 0.55
1.2
y
2 = 0.7
Z0
Z2
(1)
H2
E2
S
(2)
H2
E2
Z2
S
LC ( b )
Z4
H (11)
Z4
(b )
LC1
(b )
LC1
E1
H (12 )
H0
( 3)
H2
0
0
0
2 = 0.7
(a)
LC1
Z0
LC ( a )
LC ( b )
1 = 0.59
1.2
y
(a)
LC1
LC ( a )
m1 = m2 = 3.6
(a)
x 1.1
0
E1
( 4)
H2
x 1.1
m1 = m2 = 3.9
1 = 0.7
2 = 0.8
m1 = m2 = 3.95
1.1
y
1 = 0.7
2 = 0.8
1.1
y
A2
A2
S
A1
S
E1
0
0
0
x 1.1
0
x 1.1
Riduzionismo
Paradigma della scienza di Cartesio, Galileo, Newton, Laplace ...
- Pensiero analitico (Cartesio)
Scomporre un problema (un fenomeno, un sistema) in problemi
più semplici da studiare a parte (Galileo: riproducibilità in laboratorio)
Si mettono poi insieme queste conoscenze “locali” per capire
e prevedere il comportamento del tutto.
- Le leggi che governano i piccoli sistemi sono le stesse che
valgono in grande (la mela di Newton)
- Ricerca di leggi matematiche deterministiche (modelli)
Esempi: legge di gravità e problema dei 2 corpi. Ma se sono 3 ...
Linearità e sovrapposizione Proporzionalità x
causa
f (x + y) = f (x) + f (y)
Sovrapposizione delle cause
f(x)
effetto
f (kx) = kf (x)
Sovrapposizione degli effetti
Il successo del riduzionismo è legato alla linearità delle leggi
Lineare: può essere studiato scomponendolo il parti semplici,
capire le leggi che le governano, poi rimettere insieme il tutto (riduzionismo)
Non lineare: reciproca cancellazione o amplificazione
Necessità di uno studio globale (olismo)
Principio di ragion sufficiente (Leibniz)
Ogni effetto va associato a una causa tramite un legame diretto di
proporzionalità.
Un effetto piccolo viene associato a una causa piccola, mentre effetti grandi
hanno a monte cause grandi
Il riduzionismo mostra i suoi limiti nello studio di sistemi governati
da modelli non lineari, dove quindi non vale il principio
di sovrapposizione
Meccanica dei fluidi. Equazioni non lineari (NS)
Turbolenza
Ecologia. Relazioni che legano fra loro comunità di esseri viventi
le interazioni fra loro e con l’ambiente circostante
Scienze Sociali. Relazioni fra individuo e società, e relazioni fra
diversi gruppi sociali
Fisica Quantistica. Particelle rappresentate da funzioni d’onda
le cui proprietà sono determinate dalla
configurazione dell’intero sistema.
Non sono le parti a determinare il tutto ma viceversa
Paradigma della complessità
... il tutto non si riduce alla somma delle sue parti
Christian von Ehrenfest (1890)
dalla definizione di GESTALT (forma organica) contraposta a FORM (forma inorganica)
Fin dagli anni 20 i pionieri del pensiero sistemico si resero conto dell’esistenza
di diversi livelli di strutture, con leggi diversi che regolano la forma e
l’evoluzione delle strutture esistenti a diversi livelli.
A ciascuno di tali livelli si osservano fenomeni che non esistono
(e non possono essere rivelati) a livello inferiore
Singoli individui
Formiche
Molecole
Molecole del cibo
Alberi
società
formicaio
temperatura, pressione
sapore
foresta
Proprietà emergenti, si rivelano (emergono) a un certo livello,
e non esistono a livelli inferiori (più piccoli).
Proprietà di un sistema che non sono possedute a livello
di parti costituenti. Quindi si perdono quando il sistema viene
suddiviso, sezionato, analizzato mediante l’approccio riduzionista.
Reti di connessioni
Il pensiero sistemico non si concentra sui “mattini costituenti” ma
sulle connessioni, sui principi di relazioni e organizzazione fra le
parti.
Visione Olistica
•Anelli di retroazione (feed back positivi o negativi)
•Auto-organizzazione (creazione spontanea di strutture)
•Sistemi dissipativi lontani dall’equilibrio
•Caos Deterministico
Cibernetica
Anni 40: tentativi di sviluppare macchine autogovernate
attraverso meccanismi di retroazione (Feed back)
Meccanismi adattivi
Kybernetes (pilota, timoniere):
valutazione della rotta ==> (-) correzione della direzione ==> valutazione della rotta...
L’effetto agisce sulla causa inibendola (-) o amplificandola (+)
Vasca da bagno
Sciacquone
 (flusso)
 (flusso)
L (livello)
t0
fuoco
+
t
L (livello)
t
acqua che bolle + acqua che trabocca
–
Regolatore centrifugo di James Watt
Stabilizzanti (-) Autoregolazione
Sciacquone
è il livello dell’acqua che fa diminuire
il flusso in entrata fino ad arrestarlo
(effetto inibisce la causa)
Termostato:
si avvia il riscaldamento, cresce la temperatura,
si dilata una molla, apre il circuito, si arresta il riscaldamento, cala la temperatura...
Destabilizzanti (+)
Riscaldamento della Terra ==>(-) ghiacci ==> (-) albedo
==> (+) radiazione assorbita ==> (+) riscaldamento della Terra...
Raffreddamento della Terra ==> (+) ghiacci ==> (+) albedo
==> (-) radiazione assorbita ==> (+) raffreddamento della Terra...
Bolle speculative: Comprano azioni ==> (+) cresce domanda ==> (+) crescono prezzi
==>(+) trend positivo ==>(+) comprano azioni …
Epidemie:
infetto ==> incontra sano ==> sano diventa infetto ==> altri contagi...
Autoorganizzazione
Sistemi aperti (flusso di energia)
Connessioni non lineari fra le parti del sistema
anelli di retroazione
relazioni non lineari
Sistemi lontani da un equilibrio stazionario
Comparsa di schemi attrattivi non stazionari
con formazione endogena (spontanea) di strutture ordinate
Un esempio di autoorganizzazione:
la convezione nei fluidi
La Dissipazione di energia, che era vista
come degradazione da ordine a disordine
in un sistema complesso può diventare
fonte di creazione spontanea ordine.
Sinergetica (“lavorare insieme”).
Neologismo coniato negli anni 80 da Herman Haken.
Descrive l’interazione cooperativa fra sottosistemi che partendo
da una situazione di instabilità innescano un processo che si
autoalimenta (attraverso feed-back positivi) e genera un effetto
macroscopico che diventa poi “ordinatore”, cioè asservisce
ad esso un numero via via crescente di sottosistemi
LASER
Light Amplification through Stimulated Emission of Radiation
Fenomeno previsto da Einstein agli albori della meccanica quantistica:
se nel tubo sono già presenti delle onde luminose esse possono obbligare
degli elettroni a oscillare alla stessa frequenza
•Gli atomi eccitati cedono la propria energia a certe onde privilegiate
•Uno di tali “modi” prende il sopravvento e fa oscillare elettroni alla
stessa frequenza (ordinatore) .
•Questi a loro volta rafforzano il modo che fa da ordinatore (occorre energia)
Il tutto e le parti
Un ordinatore asservisce, forza, induce le parti
che compongono il sistema al proprio
comportamento.
E sono le parti che si comportano in quel modo
a mantenere in vita l’ordinatore.
Scelte, conflitti.
Talvolta ci sono più ordinatori possibili e allora la scelta può avvenire a causa
di una piccola fluttuazione iniziale.
Paradigma della sinergetica per altri fenomeni in ambiti diversi
•Individuo e società (“clima sociale” di una città)
•Creazione di uno standard (tecnologico, di vita ecc.)
•Dittature e rivoluzioni
•Ferromagnetismo e inversioni del campo magnetico terrestre
I modelli simulativi di sistemi non lineari
Modelli dinamici non lineari che permettono una rappresentazione
olistica dei sistemi diventano il nuovo laboratorio su cui
sperimentare (esperimenti virtuali, numerici)
Ovviamente nei modelli non possiamo includere tutto !
Inoltre occorre considerare il livello appropriato
yin & yang
Non linearità e libero arbitrio
If you think you are too small to make a difference,
try sleeping with a mosquito
H.H. the Dalai Lama
U. Eco, Il pendolo di Foucault, 1988
Il mondo si muove in modo apparentemente
disordinato mentre c’è un disegno ‘dietro’.
(Tipico del Caos deterministico: I modelli caotici
mostrano come una legge deterministica possa
generare un’apparente aleatorietà)