DETERMINISMO E CAOS 1
Stava piovendo, una mattinata uggiosa, nordeuropea.
Venivano giù con la macchina, lei e Michele, per la via
Gregorio VII. La cupola di San Pietro si fece visibile
appena passato il ponte di porta Cavalleggeri.
“Hai mai visto”, domandò Sara, “secchi accanto al
baldacchino di Gian Lorenzo Bernini, o bagnato sul
pavimento, sotto la cupola?”.
“Non sono un campione significativo, perché la
statistica delle mie visite alle chiese è bassa. Però, ti
devo dire che non mi sembra”.
DETERMINISMO E CAOS 2
La rue de Rivoli, le venne in mente, e il rituale delle visite al
Louvre. Giornate quasi sempre piovose.
“Hai presente, al Luovre, l’ingresso nuovo al museo?” domandò.
“La biglietteria è sotto al cortile, dove sono le piramidi di Jeoh
Ming Pei”, si affrettò a precisare lui.
“Perfetto”, aggiunse Sara, “ È lì, sotto le piramidi, che ho visto
secchi d’acqua poggiati per terra a raccogliere copiosa acqua
piovana … ”
“Eppure”, continuò Sara, “le maestranze della Fabbrica di San
Pietro non possedevano i mezzi tecnici del gruppo di Jeoh Ming
Pei, che ha realizzato quelle piramidi, né avevano conoscenza dei
modelli matematici per sostenere la progettazione. A rigore, in tal
senso …”
“Mi vuoi dire che le piramidi di cristallo dovrebbero resistere
all’acqua meglio che non le finestre sulla cupola”
“Ti volevo dire … “
DETERMINISMO E CAOS 3
“Eh, ma lo sai come la penso, no?”
Sosteneva Michele, che le formule delle leggi fisiche o i modelli
matematici di alcuni fenomeni, che spesso sono frutto di
pregevoli intuizioni, e si prestano spesso a dare supporto alla
comprensione del mondo, talvolta possono fallire. Perché
qualcuno, nel modellizzare, dimentica che la natura non ha nessun
obbligo di seguire formule o modelli, e non tiene nel dovuto conto
i segni nelle cose, per scoprire meglio i principi che le regolano.
“È una iattura”, continuò Michele a sostegno della sua tesi, “che il
modello matematico dei moti pendolari, produca soluzioni che
forniscono comunque il comportamento dell’oscillatore, qualunque
sia la scelta dei valori dei parametri da cui dipende”
“Sarebbe a dire? …”
“A priori non c’è nessuna necessità che la stessa legge, spieghi
tutti i casi. Potrebbe succedere che, scegliendo un caso
specifico, si dovesse prendere un modello particolare, legato a
quella scelta”
DETERMINISMO E CAOS 4
“Ma non è che una legge è tale, quando spiega un
fenomeno nella sua globalità?”
“Si, finché il gioco vale la candela. Stressando questo
concetto, allora, si dovrebbe avere un’unica legge per
tutta la natura
“Ah … E allora?”
“Meglio due leggi semplici per due casi differenti, che
una legge complicata per tutt’e due i casi …”
“È bello sentirti dire”, continuò Sara entrando, “che
conoscere le formule non ti dà nessun senso di potere,
ma ti crea, piuttosto, l’imbarazzo di far attenzione a
usare quella giusta … “
“Mi spieghi?”
Fig. 1
Tracciati delle soluzioni del problema lineare
y’(t) = y(t),
y(t) =h e
t
Linee esponenziali,
evoluzione a trend positivo
y=3e
-1
Linea nulla, evoluzione statica
0
t
1
t
DETERMINISMO E CAOS 5
Riferendosi alla figura appena mostrata,
“Questo è il tracciato delle soluzioni di un modello
lineare. … “ disse Michele.
“La legge di Malthus … “, continuò, “che descrivere
l’evoluzione di un campione di popolazione, basandosi
sul principio che il suo accrescimento sia proporzionale
alla sua numerosità … “.
“E questi? “, interrogò Sara.
Si trattava di numerose curve flessuose ascendenti, e,
sotto, il disegno con altre curve. Una selezione, si
sarebbe detto, di quelle di sopra. In più c’erano aree
retinate.
“Sono i tracciati delle soluzioni di un modello non
lineare … “, rispose lui. Quelle mostrate nella pagina
che segue.
Fig. 2
Tracciati delle soluzioni del modello non lineare
y’(t) = y(t)2/3, y(t) = (t+c)
3
Soluzioni con
trend positivo
Asse
del tempo
Soluzione statica (nulla): interseca
tutti gli altri tracciati
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
sono evidenziate col celeste
le aree degli scenari ammissibili del ritorno al
passato o dell’evoluzione (o ritorno) al futuro,
10
DETERMINISMO E CAOS 6
“Mi sembra, a guardare, tutta un’altra cosa … “
“Eh no. Il modello lineare si scrive
y’(t) = y(t),
e si legge, l’accrescimento al tempo t, cioè la derivata, è
proporzionale alla popolazione in quello stesso momento.
Quello non lineare si scrive dando alla y(t) un esponente
frazionario, uguale ad un numero pari diviso per il suo successivo;
2/3, 4/5. Capisci. Se prendi un milione diviso per un milione e uno,
è praticamente uguale ad uno … “
DETERMINISMO E CAOS 7
“Ma i tracciati delle soluzioni sembrano molto diversi … “
“Si, lo sono. E, di più, c’è una particolarità che dà la differenza
concettuale”
“Sarebbe?”
“I tracciati delle soluzioni del modello lineare, compresa la
funzione nulla, ossia l’asse orizzontale, non hanno alcuna
intersezione tra di loro. Nel caso non lineare, invece, tutte le
curve incontrano la soluzione nulla”
“E questo fa la differenza? … “
“Certamente … “
“E allora, la differenza?”
“Per esempio, il modello lineare non prevede né il caso di una
popolazione che si formi da zero, né quello di una che si estingua.
Casi che esistono in natura. Il modello non lineare li contempla
entrambi. E poi, c’è un altro fatto … “, e Michele si fermò.
Poi passò a un’altra pagina, dov’erano disegnati dei tridenti, così
poteva sembrare, con alcun annotazioni.
Fig. 3
Punti di biforcazione
biforcazione
numerosità ammissibili
nel passato,
tempo decrescente
biforcazione
numerosità ammissibili
nel futuro,
tempo crescente
DETERMINISMO E CAOS 8
“Tridenti?” chiese infatti lei.
“Punti di biforcazione … “, precisò lui
“È vero, c’è scritto … “
Lui continuò,
“Come vedi, in ognuna delle intersezioni, il modello può
scegliere tra due cammini: continuare a esser nullo o
decollare in su. E così, se vuoi fare un’estrapolazione al
passato, salvo il problema formale di dare significato
alla parte negativa delle curve, non potresti decidere
se la popolazione sia stata sempre nulla o se provenga
invece da una quantità significativa, diversa da zero. …
E poi … “. Qui Michele si fermò.
DETERMINISMO E CAOS 9
“E poi?”
“E poi, allora, se si potesse andare indietro nel tempo …”
“Come, indietro nel tempo? … “
Michele tornò al foglio con i tracciati del modello lineare.
“Vedi? “, e cominciò a fare segni con le dita, “se torni indietro nel
tempo, puoi conoscere la consistenza numerica della popolazione in
ogni istante del passato. E se poi si ritorna al futuro fino al
momento da cui si è partiti, si ritrova la stessa popolazione
lasciata. Cioè la stessa consistenza numerica”.
Michele ebbe qualche attimo di perplessità, ma continuò,
“Questo è forse quanto ci si aspetterebbe da un viaggio nel
tempo. Che si potesse, con qualche mezzo o supporto, riandare a
qualche episodio del proprio passato o a verificare la veridicità
della storia scritta, e che poi, soddisfatti o no, si potesse tornare
nella situazione di partenza”.
Ritornò alla seconda pagina delle figure, quella con le aree
retinate, e cominciò anche qui a fare segni con le dita.
DETERMINISMO E CAOS 10
“Qui, se torni indietro, quando incontri il primo punto di
biforcazione, puoi scegliere se scendere o no. Insomma, puoi
raggiungere un punto qualunque dell’area retinata. E così quando
ritorni in avanti, dopo la prima biforcazione, puoi scegliere se
salire o no. In somma puoi raggiungere ogni punto dell’area
retinata, qui, nella figura di destra. E se metti insieme le due cose
…“
“Zitto. Non me lo dire. Forse ho capito. Con opportuni viaggi nel
tempo puoi passare da un qualunque punto del passato a un
qualunque punto del futuro. È così?”
“Proprio così. Questo, capisci, è lo scenario che il viaggio nel tempo
potrebbe offrire nella realtà, e che verosimilmente contrasta con
i desideri dei più”.
La conclusione, così era stata in grado di esporre Sara, era dunque
che a un certo momento si potrebbe, attraverso un viaggio nel
tempo, raggiungere, secondo regole a lei sconosciute, un qualunque
altro momento. E però, il modello non garantirebbe né che si
ritroverebbero nel passato passaggi noti, né che, ritornando al
futuro, si ritroverebbe la situazione lasciata.
DETERMINISMO E CAOS 11
“Messa così … “, concluse Michele, “quale dei
due modelli è, secondo te, quello più aderente
alla realtà del fenomeno dell’evoluzione?”
“Te lo devo dire proprio io?”
“No. Dimmi invece sotto l’ipotesi di quale
modello, saresti disposta a tentare l’avventura
di un viaggio nel tempo … “.
DETERMINISMO E CAOS 12
Un modello caotico, avrebbe dire Michele. Cioè che non esprime
una legge deterministica.
Ma anche qui, ma se lo tenne per sé, si potrebbe migliorare.
Introducendo altre variabili, cioè modellizzando il fenomeno
dando evidenza ad altre circostanze, si potrebbe arrivare a una
legge. Ad un fenomeno deterministico. E dunque si potrebbe
fare avanti e indietro nel tempo, come su un’autostrada.
Fig. 4
Interpretazione della soluzione ponendo c = x come
ulteriore variabile di sistema
La soluzione si scrive
y(x,t) = (x + t) 3
e il modello diventa
y
 y( x , t ) 2/ 3
t
oppure
  y( x , t )  y( x , t )
2/ 3
Fig. 5
Il grafico della soluzione in due variabili
Diventa la superficie riportata (proiettata sul
piano ty fornisce le cubiche rappresentate a pag.
3, ed è unica, sotto opportune condizioni per i
dati). Essa rappresenta un sistema deterministico
A
Fig. 6
I contenuti esposti costituiscono sostanzialmente un
capitolo di un mio romanzo pubblicato nel 2004
Fulvio Bongiorno
Universi Paralleli
Manni