Dalle funzioni iterate al caos deterministico
Gian Italo Bischi, Università di Urbino “Carlo Bo”
[email protected]
http//www.econ.uniurb.it/bischi
25 marzo 2010
Caos Deterministico: un ossimoro
deterministico : regolare, prevedibile
fenomeni ordinati e pianificabili
caos : assenza di regole, irregolarità, imprevedibilità.
Il concetto di caos deterministico spezza questa dicotomia:
modelli matematici deterministici non lineari possono
generare andamenti quasi indistinguibili da processi
aleatori, ed estremamente sensibili a piccole perturbazioni
Outline
• Generare caos deterministico iterando semplici funzioni
• Un po’ di storia
• Le proprietà del caos deterministico e l’effetto farfalla
• Un po’ di ordine nel caos: gli attrattori
• Caos deterministico nella letteratura, cinema, arte ….
Concetto di funzione
y = f(x)
x→
f → y
Feed-back
Funzione iterata
Modelli dinamici a tempo discreto
x (t + 1) = f ( x (t) )
x (0) assegnato
Legge di evoluzione : dallo stato al tempo t permette di calcolare
lo stato al tempo successivo, t+1
f
x(t)
x(t+1)
Per induzione, ossia iterando la f ...
x (0)
f
x (1)
f
x (2) ... x (t)
f
x (t+1) ...
… si ottiene una “traiettoria” del sistema dinamico
x(1) = f (x(0)) x(2) = f (x(1)) = f (f (x(0))) = f 2 (x(0)) … x(t) = f t (x(0))
Funzioni (mappe) lineari:
 Se | a | < 1
iterazione di f ( x ) = a x.
legge evolutiva: xt+1 = a xt
(mappa contrattiva)
- se 0 < a < 1, successione monotona che
converge al punto fisso x* = 0 (attrattivo);
- se -1 < a < 0, la successione converge
al punto fisso x* = 0, ma oscillando;
x1 = a x0
| a | > 1
x2 = a x1 = a ( a x0 ) = a² x0
x3 = a x2 = a ( a² x0 ) = a³ x0
- se a < -1, la successione diverge oscillando;
…
- se a > 1, la successione diverge
xn = a xn1 = a ( a n-1 ) x0 = a n x 0
in modo monotono
...
progressione geometrica
di valore iniziale x0
e ragione a.
I valori particolari a = 1 e a = 1
sono detti di biforcazione.
Attraversandoli si verifica un cambiamento
qualitativo nelle traiettorie
Capitalizzazione (con interesse composto) interesse i%.
sia r = i/100
C(t+1) = C(t) + r C(t) = (1+r) C(t)
Soluzione: C(t) = C(0) (1+r)t
Crescita esponenziale
x(t  1)  x(t )
3
xn  xn 1
x0=3
xn
2
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
1
x0=0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
Pierre-Simon Laplace 1749-1827
Nel 1776 Laplace scriveva :
“Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente
da quello che era all’istante precedente e se noi immaginassimo
un’intelligenza che a un istante dato comprendesse tutte le relazioni
fra le entità di questo universo, essa potrebbe conoscere le rispettive
posizioni, i moti e le disposizioni generali di tutte quelle entità in
qualunque istante del futuro”
x(t  1)  f ( x(t ))  x (t )  c
2
calcolatrice tascabile
c=0
x1  x02  b
grado 2
x2  x12  b  ( x02  b) 2  b  x04  2bx0  b 2  b)
x3  x22  b  ( x04  2bx0  b 2  b) 2  b
.
.
.
x10 = ………
grado 210 = 1024 !!!!
grado 22 = 4
grado 23 = 8
x2 – c
x
xn  x
2
n 1
1
2
x0=1.5
xn
0
-2
0
10
20
30
40
n
x(t  1)  f ( x(t ))  x 2 (t )  1.3
x(t  1)  f ( x(t ))  x 2 (t )  b
x0
b all’incirca 1.7
x3
x1
x4
x2
x
n
x
n
xn  xn21  2
2
x0=0.5
xn
0
x1(t)-x2(t)
4
-2
0
10
20
30
400
50
60
t
2 x0=0.499
xn
-4
x1(0)=0.5
x2(0)=0.499
0
10
20
30
0
-2
0
10
20
30
40
50
60
t
40
50
60
t
Henry Poincaré (1903)
Se conoscessimo esattamente le leggi della natura
e la situazione dell’universo all’istante iniziale,
potremmo prevedere esattamente la situazione
dello stesso universo in un instante successivo.
Ma se pure accadesse che le leggi naturali non
avessero più alcun segreto per noi, anche in tal
caso potremmo conoscere la situazione iniziale
Henry Poincaré, 1854-1912
solo approssimativamente.
Se questo ci permettesse di prevedere la situazione
successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e
dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto.
Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle
condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali..
Teoria Qualitativa dei Sistemi Dinamici
Analisi qualitativa e Topologia (geometria dei fogli di gomma)
(Henry Poincaré, 1854-1912)
Analisi non lineare, Stabilità strutturale e Biforcazioni
Scuola russa: Lyapunov (’20) Kolmogorov (’30) Andronov (’50)
Pontriaguine (’60) Arnold, Sinai, Sharkovski, Shilnikov
Stati Uniti: Birkhoff (’30) Smale, Abraham, Yorke
Brasile:
Peixoto, Palis, Mora, Viana
Europa:
Julia (’20) Fatou (’20), Hadamard (’40), Mira, Ruelle, Takens
Teoria delle Singolarità (o catastrofi): Whitney, Mather (’60), Thom (’70)
Cibernetica (autoregolazione, feed-back, meccanismi adattivi):
Wiener, J. Von Neumann, dal 1946
Sinergetica (interazione cooperativa, auto-organizzazione,
processi autoalimentati): Hermann Haken, anni ’80
Geometria dei Frattali: Benoit Mandelbrot, anni ’80
Edward Lorenz
(May 23, 1917–April 16, 2008)
dx
 x  y
dt
dy
 Rx  y  xz
dt
dz
  Bz  xy
dt
Lorenz
Robert May, 1976
“Appello evangelico per l’introduzione di queste equazioni alle differenze
semplici in corsi elementari di matematica, cosicchè l’intuizione degli
studenti possa essere arricchita vedendo le cose bizzarre che succedono
con semplici equazioni non lineari. [...]”.
“Io vorrei sollecitare che sia presentata [l’equazione logistica] presto
nell’educazione matematica. Questa equazione può essere presentata
da un punto di vista fenomenologico iterandola con una calcolatrice,
o persino a mano. Il suo studio non richiede più sofisticazione di quanto
non richieda un corso elementare di matematica.
Tale studio potrebbe in generale arricchire l’intuito di uno studente circa
i sistemi non lineari. Non solo nella ricerca, ma anche nella vita politica
ed economica di ogni giorno, noi saremmo più ricchi se un numero
maggiore di persone si rendesse conto che semplici sistemi non lineari
non possiedono necessariamente semplici proprietà dinamiche.”
Legge di evoluzione:
x (t + 1) = f ( x (t) )
x (t + 1) = ( x (t) )
Se f (x(t)) = x(t) Allora
stato stazionario
punto di equilibrio
punto fisso
x0
x1
x2
x1
x1
x1 = f (x0)
x1
x3
x4
x2
x0
x0
x0
Iterazione della funzione (iperbole)
k  x2
f ( x) 
2x
k  xn2
xn 1 
2 xn
2
k

x
Punti fissi: x 
2x
f '( x) 
1
k
 2
2 2x

x2  k
x k
f '( k )  0
x
Supponiamo che ogni anno si riproduca una frazione r di insetti
e ne muoia una frazione m.
Nell’anno successivo la popolazione è
N t  1  N t   rN t   mN t 
 1  r  m N t 
r-m rappresenta il tasso netto di crescita della popolazione
Questa è una legge di evoluzione lineare
xt+1 = axt
Popolazione che vive in un ambiente limitato.
Si fa l’ipotesi che il tasso di mortalità m non sia costante, ma
aumenti al crescere della numerosità della popolazione
ad esempio m = sN(t),
termine di mortalità per sovraffollamento (carenza di cibo ecc.)
Con questa ipotesi la legge di evoluzione diventa non lineare:
N (t  1)  1  r N (t )  sN (t ) 2
Una funzione di secondo grado
Con un cambio di variabile diventa:
x(t  1)  ax(t )1  x(t )
logistica
x(t  1)  x(t )
Si dice che si è in presenza di dinamiche caotiche se:
(1) Sensitività rispetto alle condizioni iniziali
generando due traiettorie da diverse condizioni iniziali, ma arbitrariamente
vicine, esse si mantengono limitate ma la distanza fra esse cresce
esponenzialmente e dopo un tempo finito diventa dello stesso ordine di
grandezza delle variabili di stato.
(2) Transitività (o mixing):
i punti della traiettoria generata partendo da una generica condizione
iniziale ricoprono densamente una zona dello spazio delle fasi
cioè ciascun punto dell’intervallo su cui si muove tale traiettoria risulta
essere punto di accumulazione dei punti della traiettoria stessa.
(3) Esistenza di infiniti cicli repulsivi
con i punti periodici densi nella regione ricoperta dalle traiettorie caotiche.
Nota: (2) e (3) implicano (1)
La Geometria del Caos
Stretching & Folding (Stiramento e ripiegamento)
0.875
x’ = f(x) = ax (1-x)
Z0
if x’ < a/4 then
f 1 ( x' )  f11 ( x' )  f 21 ( x' )  x1, x2 
x1  f 1 1 ( x' ) 
1

2
x 2  f 21 ( x' ) 
1

2
where:
Z2
aa  4 x'
2a
aa  4 x'
2a
R1
critical point c = a/4
c1  f 21 (c)  f 21 (c) 
Folding
R2
1
2
Unfolding
R1
R2
c-1
R1
R2
Kneading of the dough (impastare)
Mixing
c
f(c)
J
c
c2
I
c1
c3
c
c2=f(c1)
c3=f(c2)
c1=f(c)
Mappe iterate del piano
 x(t  1)  ax(t )  y (t )
T :
2
y
(
t

1)

x
(
t
)
b

y
T
T
T
T
x
 x(t  1)  ax(t )  y (t )
T :
2
 y (t  1)  x(t )  b
a = 1 b = -2
Mappa non invertibile
y
y
.
3
T
P1
2
.
.
P = T(P1) = T(P2)
1
3
T11 2
1
1
P
T
.
.
T21
1
-3
-2
1
-1
2
3
x
-3
-2
T
1
-1
-1
-1
-2
-2
2 inverse
1
1
 x   y 'b
:
 y  x' y 'b
.
P21
P2
x
P
T
1
2
 x  y 'b
:
 y  x' y 'b
2
3
Linear map T : (x,y)→(x’,y’)
 x '   a11 a12   x   b1 
 y '    a a   y   b 
   21 22     2 
area (F’) = |det A |area (F), i.e. |det A | < 1 (>1) contraction (expansion)
Meaning of the sign of |det A|
T is orientation preserving if det A > 0
T is orientation reversing if det A < 0
a11=2 a12= -1 a21=1 a22=1 b1= b2= 0 ; Det = 3
a11=1 a12=1.5 a21=1 a22 =1 b1= b2= 0; Det = - 0.5
C
y
y
T
C’
F
A
y
F’
B
C
B’
B’
y
T
B’
F’
F
A
B
A’
A’
x
C’
x
x
x
T is:
orientation preserving near points (x,y) such that det DT(x,y)>0
orientation reversing if det DT(x,y) < 0
If T is continuously differentiable LC-1 is included in the set where det DT(x,y) = 0
The critical set LC = T ( LC-1 )
 x'  ax  y
T :
2
y
'

x
b

 a 1
DT  
det DT = -2x =0 for x=0

 2 x 0

y 'b
1  x  
T1 : 

 y  x' y 'b

y 'b
1  x 
T2 : 

 y  x' y 'b
T({x=0}) = {y=b}
LC = {(x,y) | y = b }
LC-1 = {(x,y) | x = 0 }
Z2 = {(x,y) | y > b }
Z0 = {(x,y) | y < b }
T11
R1
LC-1
R2
1
2
T
SH1
SH2
Z2
x=0
LC
Z0
y=b
 x'  ax  y
T :
2
y
'

x
b

T:
x1 (t  1)  ax1 (t )  x2 (t )
x2 (t  1)  b  x12 (t )
T
F
F’= T(F)
LC -1
LC
LC-1
y
D
LC-1
C
y
C
B
A
B
A
O
B’
A’
LC
C’
A’
D’
B’
LC
C’
O’
x
x
LC-1
y
LC-1
y
B
B
A
C
C
A
C’
LC
B’
A’
(a)
A’
C’
B’
LC
x
(b)
x
f:
x1 (t  1)  ax1 (t )  x2 (t )
x2 (t  1)  b  x12 (t )
LC2
LC1
LC-1
LC3
LC
LC2
LC5
LC6
LC 1
L
C
LC4
LC
-1
LC3
 x'  ax  y
T :
2
y
'

x
b

Chaos and Symmetry
Martin Golubitsky, Mike Field
Due tipi di complessità … e due tipi di sensitività
k = 1; v1 = v2 = 0.852 ; b1= b2 =0.6 ; c1 = c2 = 3
k = 1; v1 = v2 = 0.851 ; b1= b2 =0.6 ; c1 = c2 = 3
1.5
1.5
y
y
E*
E*
0
0
0
(a)
x
1.5
0
(b)
x
Da: G.I. Bischi and M. Kopel
“Multistability and path dependence in a dynamic brand competition model”
Chaos, Solitons and Fractals, 2003
1.5
strutture complesse dei
bacini di attrazione nel caso
di più attrattori coesistenti
Coesistenza di equilibri
Bacini di attrazione
Stabilità pratica

2
x
0
r*
x*
p*
q*

1
(a)
(b)
fig.
4
Z0
.
c
x*
Z2
.
q*
.
z*
q *1
c
x0
.
q* 2
q *1
Z1
.
x*
cmax
Z3
Z1
Z1
.
x*
cmax
Z3
.
cmin
.
q*
q*
cmin
.
Z1
z*
.
z*
(a)
.
q* 2
r*
(b)
q *1
r*
David Ruelle “Caso e Caos”, Bollati Boringhieri, 1992
James Gleick “Caos. La nascita di una nuova scienza”, Sansoni 1997, 3° edizione
(edizione inglese : “Chaos. The amazing science of the unpredictable”)
Ian Stewart “Dio gioca a dadi ? La nuova matematica del caos” Bollati Boringhieri, 1993
Angelo Vulpiani “Determinismo e caos” La Nuova Italia Scientifica, 1994.
Douglas R. Hofstadter “Strani attrattori : schemi matematici collocati fra l’ordine e il
caos” su “Le Scienze”, Febbraio 1982.
James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard, Robert S. Shaw “Il Caos”
“Le Scienze”, Febbraio 1987
A.K. Dewdney “Alla scoperta delle strane attrattive del caos” su “Le Scienze” , Settembre
1987.
F. Di Stefano “Il caos deterministico” in La Fisica nella scuola” n.6, 1991.
Alberto Rebaglia “Il Caos e i Frattali” inserto di “Scienza e Vita”, giugno 1993.
Marco dal Bosco “Comportamenti Casuali di un sistema deterministico”
in “La Fisica nella scuola” n.2, 1998.
Michele Fontana “Metti ordine nel caos” in Panorama del 21 febbraio 1988.
Pietro Greco “Il caos minaccia Newton”
da “La Repubblica” del 7 febbraio 1990.
Giorgio Israel “Grande è la confusione sotto il cielo della scienza : il determinismo non è
morto” da “La Repubblica” del 11 dicembre 1991.
Franco Prattico “I sacerdoti del caos”
da “La Repubblica” del 30 aprile 1993.
Giampiero Borrella “Avanti caos” in Panorama del 18 luglio 1993.
Carlo Bernardini “Finiremo tutti in un grande frattale”
da “La repubblica” del 3 dicembre 1986
Umberto Bottazzini “Il mondo del pressappoco” Il Sole 24 ore, 8 marzo 1987.
Omar Calabresi “Matematicamente belli” in Panorama del 17 gennaio 1988.
Pier Luigi Sacco “La finanza turbolenta si spiega coi frattali”
da Il sole 24 ore del 28 febbraio 1988.
CAOS DETERMINISTICO E LETTERATURA
Dal romanzo: Jurassic Park,
di Michael Crichton (23 ottobre 1942, 4 novembre 2008)
Un passo tratto dalla Seconda Iterazione
[…] Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella
nuova generazione di matematici che mostravano un vivo
interesse per i “meccanismi del mondo reale”. Questi studiosi,
sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione di isolamento
dei matematici.
Per prima cosa si servivano continuamente del computer,
cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio.
Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari,
nel campo emergente del cosiddetto caos.
Terza cosa, sembravano voler fare di tutto il possibile affinché i
loro sistemi matematici descrivessero qualcosa che di fatto
esisteva nel mondo reale.
Ancora Ian Malcom, da Jurassic Park, terza iterazione.
“I computer vennero costruiti verso la fine degli anni 40, perché
matematici come John Von Neumann , il massimo matematico della sua
generazione, pensavano che avendo a disposizione una macchina
capace di gestire contemporaneamente molte variabili, si sarebbe stati
in grado di fare previsioni meteorologiche a lungo termine. […].
La teoria del caos manda all’aria tutto questo, non si può prevedere il
tempo se non per pochi giorni. […] Tutto il denaro speso per previsioni
meteorologiche lungo termine - circa mezzo miliardo di dollari negli
ultimi decenni- è buttato via. È un’impresa vana quanto cercare di
trasformare il piombo in oro. Oggi gli sforzi degli alchimisti ci fanno
ridere, ma generazioni future guarderanno noi e rideranno nello stesso
modo”.
Jurassic Park, terza iterazione:
“Un simile controllo è impossibile” dichiarò Ian Malcom
“Invece sì” disse Hammond
“Mi scusi, ma lei non sa quello che dice” ribattè Malcom
“Piccolo stronzo arrogante” disse Hammond. Si alzò e uscì.
“Mi spiace” disse Malcom “ma il punto è che ciò che definiamo
natura è di fatto un sistema complesso, non lineare.
Ci costruiamo una immagine lineare della natura e poi
combiniamo pasticci.
Io non sono uno di quegli ambientalisti dal cuore tenero, ma
dovete capire ciò che non capite. Quante volte bisogna sbattere
il muso contro l’evidenza dei fatti?
Abbiamo costruito la diga di Assuan sostenendo che avrebbe
rivitalizzato l’Egitto, e invece distrugge il fertile delta del Nilo,
produce infestazioni da parassiti e rovina l’economia.
Abbiamo costruito...
“…il più delle volte è il genio intuitivo delle arti belle che precede la
scienza, e questa non arriva che più tardi, a spiegare e illuminare le
ispirazioni di quello.”
Filippo Lussana (1820-1897)
Da "Il mistero di Marie Rogêt", Edgar Allan Poe, 1842.
Per quanto riguarda l’ultima parte della supposizione, si
dovrà considerare che la più insignificante differenza nei
fatti delle due vicende potrebbe dar luogo ai più importanti
errori di calcolo, facendo divergere radicalmente le due
sequenze dei fatti; proprio come in aritmetica un errore che
in sé non ha valore, alla fine, moltiplicandosi da un punto
all’altro del procedimento, produce un risultato lontanissimo
dal vero.”
Dal racconto “La notte dei numeri” di Italo Calvino.
Questi sono tutti i libri maestri della ditta – dice il ragioniere, nei cent’anni della sua esistenza [...] non c’è mai stato un
ragioniere come Annibale De Canis, eppure quest’uomo
infallibile , questo genio, vedi, il 16 novembre 1884, ... ecco, qui
c’è un errore di quattrocentodieci lire. Nessuno se n’è mai
accorto, io solo lo so, e sei la prima persona a cui lo dico:
tientelo per te e non lo dimenticare! E poi se anche lo andrai a
dire in giro, sei un ragazzo e nessuno ti darà retta... Ma adesso
sai che tutto è sbagliato. In tanti anni, quell’errore di
quattrocentosedici lire sai quant’è diventato? Miliardi! Miliardi!
Hanno un bel girare le macchine calcolatrici, i cervelli
elettronici e tutto il resto! L’errore è al fondo, al fondo di tutti i
numeri, e cresce, cresce, cresce!
Caos deterministico e filosofia.
Contrapposizione fra:
•completa e rigida regolamentazione e
totale casualità degli eventi
•predeterminazione e il libero arbitrio
Anche in un mondo così rigido un
piccolo evento, una minuscola azione,
può provocare una rivoluzione.
Questo risulta perfettamente compatibile
anche nell'ambito di un sistema
governato da un rigido e predeterminato
modello matematico.
If you think you are too small to make a
difference, try sleeping with a mosquito
the Dalai Lama
Caos e psicanalisi
U. Eco, Il pendolo di Foucault, 1988
Il mondo si muove in modo apparentemente disordinato mentre c’è un
disegno ‘dietro’.
In Psicopatologia della vita quotidiana Freud definisce:
- Paranoico: colui che è ossessionato dall'idea che le persone che lo
circondano siano coalizzate per danneggiarlo, non vede casualità negli
eventi, ad essi sottende sempre una sorta di predeterminazione.
- Ossessioni paranoiche: nulla è dovuto al caso, tutto segue un disegno
preordinato, e a ogni evento deve sempre potersi associare un colpevole.
Le teorie psicanalitiche, fanno risalire importanti tratti della personalità di
un adulto a piccoli traumi dell'infanzia, talvolta in apparenza insignificanti
(tanto da essere rimossi, quindi non ricordati), idea molto vicina alla
filosofia dell'effetto farfalla.
Caos deterministico al cinema