Galileo, da “ Il Saggiatore”
Galileo Galilei 1564-1642
La filosofia è scritta in questo
grandissimo libro che continuamente
ci sta aperto innanzi agli occhi
(io dico l’Universo), ma non si può
intendere se prima non si impara a intender la lingua,
e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto.
Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son
triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza
i quali mezi è impossibile a intenderne manamente
parola; senza questi è un aggirarsi vanamente
per un oscuro laberinto.
Vito Volterra (1860-1940)
Il matematico si trova in possesso di uno strumento
mirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulati
per lungo andare di secoli dagli ingegni più acuti
e dalle menti più sublimi che siano mai vissute.
Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire il
varco a molti oscuri misteri dell’universo, ed un
mezzo per riassumere in pochi simboli una sintesi
che abbraccia e collega vasti e disparati risultati di
scienze diverse
[…]
Ma è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco
tempo hanno tentato d’introdursi, le scienze biologiche e sociali, che è più
intensa la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi
classici, i quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanicofisiche, sono suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi
ed inesplorati campi che si dischiudono loro dinanzi.
dal discorso inaugurale per l’anno accademico 1901-1902 dell’Università di Roma
Preda-predatore (Vito Volterra, 1926)
Densità prede
x1
Densità predatori x2

x 1  r x1  b x1x2

x 2   m x2 + c x1x2
x2

x1  0

x 1  x1 (r  b x2)

x 2  x2( m + c x1)

x1  0

x1  0


x2  0 x2  0

x2  0
x1
Matematica (pura) e Matematica Applicata
Modelli
gli oggetti astratti (platonici)
della matematica
gli oggetti del mondo reale
Applicazione dei teoremi, dimostrati per le entità matematiche,
agli oggetti reali
Applicazione dei fenomeni osservati nel mondo reale per ottenere
relazioni formali fra i corrispondenti “oggetti matematici”
Matematica per le decisioni
Problema del monopolista: Più produco e più guadagno?
Profitto = Ricavo – Costo = p q – c q = (p – c) q
Teorema.
Se p > c allora il profitto cresce ogniqualvolta cresce la produzione
Modelli matematici del mondo reale
e responsabilità sociale del matematico
… ma p è una funzione di q
qdom
p
Esempio: Funzione di domanda lineare
q=a–bp
p
p = a/b – (1/b) q = A – B q
profitto = p q – c q = (A – B q) q – cq =
= – B q2 + (A – C) q
q
profitto del monopolista = f (q) = – B q2 + (A – C) q
Profitto
è una parabola!
AC
2B
AC
B
quantità prodotta
Problema del duopolio di Cournot
A. Cournot, Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse, Paris (1838)
Due produttori, 1 e 2, che competono per vendere prodotti omogenei.
Il produttore 1 produce e immette nel mercato q1 con costi c1q1
Il produttore 2 produce e immette nel mercato q2 con costi c2q2
prezzo: p = A – B ( q1 + q2)
Profitto produttore 1: PRO1 = [ A – B ( q1 + q2)]q1 – c1q1
Profitto produttore 2: PRO2 = [ A – B ( q1 + q2)]q2 – c2q2
q2
Max PRO1 (q1 , q2 )
PRO1
0
q1
Max PRO2 (q1 , q2 )
PRO2
0
q2
q1
q2
 A  c1  2 Bq1  Bq 2  0

 A  c2  Bq1  2 Bq 2  0
1

q

r
(
q
)


q2 
 1 1 2
2

q  r (q )   1 q 
1
 2 2 1
2
A  c1
2B
A  c2
2B
Equilibrio di Nash
q1
Dilemmi sociali
•Interesse individuale
•Interesse collettivo
Dilemma del prigioniero
C
Tace
(si fida)
Accusa
(non si fida)
-1, -1
-4, 0
0,- 4
-3,-3
R
Tace
(si fida)
Accusa
(non si fida)
Interazione strategica
Dilemma del Pescatore
Fisherman
Fisherman C
R
Moderate
Intensive
exploitaton exploitation
(cooperative) (competitive)
Moderate
exploitaton
(cooperative)
3, 3
Intensive
exploitation
(competitive)
4, 1
1, 4
2, 2
Un tipico dilemma sociale
Hardin, G. “The tragedy of the commons”, Science (1968).
Modello dinamico
x(t+1) = x(t) + R x(t)
t : tempo
x(t) : popolazione (risorsa) disponibile al tempo t
R
: tasso di crescita specifico
(per unità di tempo, per unità di risorsa) R =
x(t  1)  x(t )
x(t )
Esempio. n := tasso di natalità ; m : = tasso di mortalità
R=n–m
x(t+1) = x(t) + (n – m) x(t) = (1 + n – m)x(t)
x(t+1) = (1 + n – m)x(t) = a x(t)
Dato x(0)
x(1) = a x(0)
x(2) = a x(1)=aax(0)=a2x(0)
x(3) = a x(2)=aa2x(0)=a3x(0)
..
.
x(t) = at x(0)
progressione geometrica di ragione a
a < 1 (ovvero n < m)  x(t)  0
a > 1 (ovvero n > m)  x(t)  
R(X)
Esempio m = sx : crescita logistica
R(x) = n – m = n – sx
n
Al crescere della densità di popolazione
cresce la mortalità per mancanza di cibo, spazio…)
Malthus (1798) An essay on the principle of population
0
K = n/s x
x(t+1) = (1 + n – sx(t))x(t) = (1+n) x(t) – s x(t)2
Parabola
x0 = 0 equilibrio di
estinzione
K
K = n/s
capacità portante
x = K : R(K) = 0
0
x
Modelli dinamici a tempo discreto
x (t + 1) = f ( x (t) )
x (0) assegnato
Legge di evoluzione “induttiva” : dallo stato al tempo t
permette di calcolare lo stato al tempo successivo, t+1
f
x(t)
x(t+1)
Per induzione, ossia iterando la f ...
x (0)
f
x (1)
f
x (2) . . .
… si ottiene una “traiettoria” del sistema dinamico
Legge di evoluzione:
x (t + 1) = f ( x (t) )
Se f (x(t)) > x(t) Allora
Se f (x(t)) < x(t) Allora
x (t + 1) > ( x (t) )
x (t + 1) < ( x (t) )
Se f (x(t)) = x(t) Allora
x (t + 1) = ( x (t) )
punto fisso
x(t+1)
stato stazionario
punto di equilibrio
x2
logistica
x3
x1 = f (x0)
x1
x0
x0
x(t)
Equazione dinamica di una popolazione naturale sfruttata
x(t+1) = x(t)(1+R)  H(t)
H(t): quota di risorsa prelevata nell’unità di tempo
(Harvesting)
Condizione di equilibrio:
x(t+1) = x(t) cioè H(t) = R(x)
Prelievo con quote costanti : H(t) = h
x(t+1) = f (x(t)) = (1 + n – sx(t))x  h
f (X)
0
.
.
Kh
Xh
-h
Due equilibri
n  n 2  4hs
Xh 
2s
Soglia di sopravvivenza
n  n 2  4hs
Kh 
2s
Equilibrio stabile
Aumentiamo la quota di prelievo
h > n2 / (4s)
f (X)
Kh
0
-h
Xh
0
-h
K
Kh
Xh
0
h
Prelievo con sforzo costante:
H(t) = q E x(t)
Coeff. Tecnol.
Sforzo
x(t+1) = f (x(t)) = x(t) (1 + n – qE  sx(t))
Se qE < n due equilibri:
KE =(n  qE) / s
X0 = 0;
f (x)
K
KE
E=Ee= n/q
K
KE
E=0
x 0
0<E<n/q
Ee
E
Prelievo con sforzo costante: H(t) = q E x(t)
Y= qEKE
Yield-Effort curve
MSY
0
EMSY
Ee
E
Uno sforzo crescente porta a una maggiore produzione immediata
ma può portare a una minore produzione (sostenibile) nel lungo periodo
E < EMSY sottosfruttamento
E > EMSY
sovrasfruttamento
I profitti: Introduciamo un po’ di Economia
Scott Gordon, 1954
p = prezzo di vendita
TR = pY Ricavo totale
TC = cE Costo totale
p  TR  TC profitto totale
TR = pY
Em EMSY E
b
Ee
E
E = somma degli sforzi individuali dei pescatori
E = Em fornisce il massimo profitto (unico proprietario o cooperazione)
Eb = Equilibrio bionomico Eb > EMSY (overexploitation, no profit)
Morale: se tutti vogliono guadagnare, nessuno guadagna
Vivere in comunità (branchi) : Crescita con depensazione
R(x)
Crescita ottimale per
valori intermedi
Sforzo Costante
K
0
f (X)
x
f (X)
K
KE
E=0
KE
XE
0
0 < E < E1
x
0
E1 < E < E2
x
f (x)
f (x)
KE
K
XE
0
E1 < E < E2
x
0
E > E2
Yield-Effort curve
KE
XE
0
E1
E2
E
x
K
A
XS
B
0
E
Irreversibilità !
Cournot Oligopoly Approach
n players, i = 1,…,n
each harvesting xi according to a profit maximization problem
xi  arg max i ( x1 ,..., xn , X ) i  1,..., n
xi
Strategic interaction is related to
i) All xi influence price through a given demand function
ii) Resource stock X influences costs (negative cost externality)
If ( x1* ,..., xn* )
is the unique Cournot-Nash equilibrim, then
n
H (X )   x (X )
*
i 1
*
i
Ipotesi economiche per il modello di oligopolio di Cournot
Esternalità economiche che introducono una autoregolamentazine
p(t) = a  b H(t)
2
x
C ( x, X )  
X
( xi )
 i  xi (a  bH )  
X
max i per
aX
x 
b(1  n) X  2
*
2
H ( X , s)  nx .
*
*
equazione dinamica con harvesting
X(t+1) = X(t) + R(X(t))  H*(X(t))
condizione di equilibrio
X    X   H  ( X )
X
Modello di oligopolio. libera competizione fra un numero
limitato di agenti che massimizzano il proprio profitto
X(t+1) = F(X(t) ) = X(t) (1 + R(X)) – H*(t)
f (X)
f (X)
K
K
K
Xs
0
x
0
x
f (X)
f (X)
K
Xs
0
X
0
x
(a)
(b)
F(X)
K
F(X)
K
K
E=0
Xs
X
0
X
0
F(X)
F(X)
(c)
(d)
K
Xs
0
X
0
irreversibility, hysteresis
X
Dal romanzo: Jurassic Park, di Michael Crichton
Un passo tratto dalla Seconda Iterazione
[…] Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella
nuova generazione di matematici che mostravano un vivo
interesse per i “meccanismi del mondo reale”. Questi studiosi,
sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione di isolamento
dei matematici.
Per prima cosa si servivano continuamente del computer,
cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio.
Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari,
nel campo emergente del cosiddetto caos.
Terza cosa, sembravano voler fare di tutto il possibile affinché i
loro sistemi matematici descrivessero qualcosa che di fatto
esisteva nel mondo reale.
Jurassic Park, terza iterazione:
“Un simile controllo è impossibile” dichiarò Ian Malcom
“Invece sì” disse Hammond
“Mi scusi, ma lei non sa quello che dice” ribattè Malcom
“Piccolo stronzo arrogante” disse Hammond. Si alzò e uscì.
“Mi spiace” disse Malcom “ma il punto è che ciò che definiamo
natura è di fatto un sistema complesso, non lineare.
Ci costruiamo una immagine lineare della natura e poi
combiniamo pasticci.
Io non sono uno di quegli ambientalisti dal cuore tenero, ma
dovete capire ciò che non capite. Quante volte bisogna sbattere
il muso contro l’evidenza dei fatti?
Abbiamo costruito la diga di Assuan sostenendo che avrebbe
rivitalizzato l’Egitto, e invece distrugge il fertile delta del Nilo,
produce infestazioni da parassiti e rovina l’economia.
Abbiamo costruito...
Modelli più sofisticati per includere altri elementi
Introdurre un fattore di complessità per volta
Pescatori eterogenei
cooperatori e competitori
rispettano/non rispettano le regole imposte
Spazio eterogeneo
zone caratterizzate da diverse conformazioni
zone caratterizzate da diverse regolamentazioni
Pesci eterogenei
per taglia
per età
per specie
per livello trofico
Modello della Ragnatela
Un prodotto al tempo t viene venduto al prezzo unitario pt.
Quantità richiesta al tempo t dai consumatori
Qd = D ( pt )
D funzione di domanda
La quantità che viene immessa sul mercato dai produttori
sia una funzione del prezzo
Qs = S ( pt )
Q
S funzione di offerta
D
Esempio.
funzioni di domanda e offerta lineari:
D(p) = a  b p ;
S(p) =  c + d p
a, b, c, d costanti positive
S
Equilibrio: Qd = Qs
p*
p
Problema: la produzione richiede un certo lasso di tempo,
• I produttori devono decidere in anticipo (in t -1) la quantità da immettere
nel mercato al tempo t ;
• I consumatori decidono la quantità da acquistare in base al prezzo corrente
D(pt) = S(pt-1)
da cui:
pt = D-1 (S(pt-1 )) = f (pt-1)
Con le funzioni lineari:
a  b pt =  c  d pt-1, da cui:
d
ac
pt   pt 1 
b
b
Funzione di offerta non lineare:
D(p)=a-bp
S ( p ) = arctan (l (p - 1))
Q
Qoff = S ( p) = arctan (l(p1))
S
D
D(pt) = S(pt-1)
diventa
pe
a  bpt = arctan (l(pt-11))
p
da cui si ottiene il modello dinamico
pt = F(pt-1)= [a arctan (l (pt-1 1))]
La mappa F(p) è monotona decrescente,
F
F
p2
pe
p1
5
p
p
0
0.3
p
l
0.4
Aspettative adattive
att
att
att
con 0 <   1
pt 1 = pt +  ( pt  pt )
Inserendo:
att
pt = F ( p t )
nell'equazione delle aspettative adattive
att
att
att
att
ptatt
p
p
p
p
=
+
(
F
(
)
)
=
(1


+



1
t
t
t
t
1
att
[a arctan (l ( p t 1))]
b
F ( p att )
(1   ) p att  F ( p att )
p att
ptatt
pe
ptatt
l
Cournot Duopoly Games
q1 (t) and q2 (t)
outputs at time t of two quantity setting-firms
producing homogeneous goods.
p= f (q1+q2)
inverse demand function
ci (q1, q2)
cost functions,
So, the unit-time profit is: i qi f (q1+ q2) – ci (q1, q2)
At time period t firms 1, 2 decide (t+1)-outputs by solving
profit - maximization problems
max q1 1 q1 , q2 
max q2  2 q1 , q2 

 

 q (t  1), q   r q (t  1) 
q1 (t  1)  arg max q1 1 q1 , q2e (t  1)  r1 q2e (t  1)
q2 (t  1)  arg max q2
2
e
2
2
2
e
1
q2
q1 = r1(q2)
.
Cournot-Nash Equilibrium
q2 = r2(q1)
q1
Expectation of agent i about the rival’s choice q ej (t  1)
Perfect foresight: q ej (t  1)  q j (t  1) i  1,2
 q1 (t )  r1 (q 2 (t ))

q 2 (t )  r2 (q1 (t ))
t
One-shot (static) game
 q1*  r1 (q2* )  r1 (r2 (q1* )
 *
*
*
q

r
(
q
)

r
(
r
(
q
2 1
2)
 2 2 1
The game goes to the intersection(s) of the reaction curves (Cournot-Nash equilibrium)
in one shot
Cournot (Naive) expectations: q ej (t  1)  qi (t ) i  1,2
 q1 (t  1)  r1 (q2 (t ))
T :
q2 (t  1)  r2 (q1 (t ))
t
Two-dimensional dynamical system:
given (q1(0),q2(0)) the repeated application of the map
T:(q1,q2) (r1(q2), r2(q1))
gives the time evolution of the duopoly game.
This repeated game may converge to a Cournot-Nash equilibrium in the
long run, i.e. boundedly rational players may achieve the same equilibrium
as fully rational players provided that the “myopic” game is played
several times
Evolutionary interpretation of Nash equilibrium (Nash’s concern)
Linear demand p = a – b (q1 + q2)
Linear cost
Ci = ci qi
i = 1,2
Quadratic Profit: i  a – b (q1 + q2))qi – ci qi
F.O.C.
S.O.C.
1
 a  2bq1  bq2  c1  0
q1

1
a  c1
q1 (t  1)  r1 (q2 (t ))   q2 (t ) 
2
2b
 2
 a  2bq2  bq1  c2  0
q2

1
a  c2
q2 (t  1)  r2 (q1 (t ))   q1 (t ) 
2
2b
 2 1  2  2

 2b  0
q12
q22
R1
R1
R2
R2
Linear demand p = a – b (q1 + q2)
Quadratic cost Ci = ci qi –  i qi2 i = 1,2
Quadratic Profit: i  a – b (q1 + q2))qi – (ci qi –  i qi2 )
1
b
a  c1
 a  2(b  1 )q1  bq2  c1  0  q1 (t  1)  r1 (q2 (t ))  
q2 (t ) 
q1
2(b  1 )
2(b  1 )
 2
b
a  c2
 a  2(b   2 )q2  bq1  c2  0  q2 (t  1)  r2 (q1 (t ))  
q1 (t ) 
q2
2(b   2 )
2(b   2 )
z1, 2  
eigenvalues:
b
2
1
b  1 b   2 
stability if
2b 2
b

2 b  1
b
R1
R2
R2
R1
Rand, D., 1978. Exotic Phenomena in games and duopoly models.
Journal of Mathematical Economics, 5, 173-184.
A Cournot tâtonnement is considered with unimodal (one-hump)
reaction functions, and he proves that chaotic dynamics arise,
i.e. bounded oscillations with sensitive dependence on initial
conditions etc..
Postom and Stewart "Catastrophe Theory and its Applications", Pitman 1978
“… not treat such phenomena as program bugs, and not to steer
their patameters or their model away from realism to eliminate them,
such explicit models “drawn from life” will become common…”
Book seller example:
“...If you start producing books, when no one else is, you will not sell many.
There will be no book habit among people, no distribution industry…
On the other hand if other producers exist producing books in huge numbers,
you will be invisible…and again you will sell rather few.
Your sales will be best when your competitors’ output will be intermediate…”
New mathematics
“… Adequate mathematics for planning in the presence of such
phenomena is a still far distant goal…”
Tonu Puu, 1991 “Chaos in Duopoly pricing” Chaos, Solitons & Fractals
Shows how an hill-shaped reaction function is quite simply obtained by
using linear costs and replacing the linear demand function by the
economists’ “second-favourite” demand curve, the constant elasticity demand
1
1
p 
Q q1  q2
qi
i 
 ci qi
q1  q2
qj
qj
 i


c

0
for
q


q

i
i
j
qi q1  q2 2
ci

q1 (t  1)  r1 (q2 (t ))  q2 (t ) 


 q (t  1)  r (q (t ))  q (t ) 
2
1
1
 2
q2
c1
q1
c1
–
+
Kopel, M., 1996. Simple and complex adjustment dynamics in Cournot Duopoly Models.
Chaos, Solitons, and Fractals, 7, 2031-2048.
Linear demand function, a particular kind of cost function Ci = Ci(q1,q2) with positive cost
externalities (some spillover effect which gives some advantages due to the presence of the
competitor, in the spirit of the book-seller example)
r1 q2   1q2 1  q2 
r2 q1   2 q1 1  q1 
where 1 and 2 represent measure the intensity of the positive externality the actions of one
player exert on the payoff of the other player
1
1
q2
r1
q2
r2
r2
r1
0
0
q1
1
0
0
q1 1
Non monotonic reaction functions may lead to the existence
of several coexisting equilibria
Problem of equilibrium selection
Which equilibrium is achieved as the result of an evolutive
(trial and error, boundedly rational) process?
Stability arguments are used to select among multiple equilibria
What happens when several coexisting stable Nash equilibia exist?
Cournot Duopoly with Adaptive expectations:
Cournot Game (from beliefs to realizations)
q1 (t )  r1 (q 2e (t ))
q 2 (t )  r2 (q1e (t ))
t
Adaptive expectations


(t )   q (t )  q (t ) 
q1e (t  1)  q1e (t )   q1 (t )  q1e (t )   q1 (t )  1   q1e (t )
q2e (t  1)  q 2e
2
Dynamical system:
e
2

  q2 (t )  1   q 2e (t )
 
T : q1e (t ), q2e (t )  q1e (t  1), q2e (t  1)
q1e (t  1)  1   1 q1e (t )   1 r1 (q 2e (t ))
T : e
q 2 (t  1)  1   2 q 2e (t )   2 r2 (q1e (t ))

1 = 2 = 3.4
1 = 2 = 0.2 < 1/(+1)
O
2.3
y
Z0
LC
(1)
1
D
1 = 2 = 3.4
1 = 2 = 0.5 > 1/(+1)
1.4
y
(1)
O1
Z0
LC ( a )
D
( 3)
O1
(a)
E2
E2
Z2
K
S
E1
0
LC
E1
Z2
LC ( b )
O
0
0
x 2.3 Z4
O
(b )
Z4
0
(2)
O1
x 1.4
1 = 2 = 3.6
1 = 0.55 2 = 0.7
1.2
y
Z0
Z2
(1)
H2
E2
S
E2
Z2
S
LC ( b )
Z4
H (11)
Z4
(b )
LC1
(b )
LC1
E1
H (12 )
H0
( 3)
H2
0
0
0
(2)
H2
(a)
LC1
Z0
LC ( a )
LC ( b )
1 = 0.59 2 = 0.7
1.2
y
(a)
LC1
LC ( a )
1 = 2 = 3.6
(a)
x 1.1
0
E1
( 4)
H2
x 1.1
1 = 2 = 3.9
1 = 0.7
2 = 0.8
1 = 2 = 3.95
1.1
y
1 = 0.7
2 = 0.8
1.1
y
A2
A2
S
A1
S
E1
0
0
0
x 1.1
0
x 1.1