Modelli dinamici per le scienze sociali:
razionalità (limitata), interazione, aspettative
Gian-Italo Bischi
Università di Urbino “Carlo Bo”
Dipartimento di Economia e Metodi Quantitativi.
[email protected]
XIII Scuola estiva di filosofia della Fisica,
Complessità e Riduzionismo
13 – 18 Settembre 2010
•Economia: da scienza morale a scienza formale (ipotetico-deduttiva)
•Il modello della meccanica razionale, l’equilibrio economico generale
•Decisions driven time (tempo discreto)
•Scienze morali e sociali vs scienze naturali: La mela di Newton e la
mela di Keynes
•Modelli con aspettative: from beliefs to realizations.
•L’agente razionale rappresentativo (homo oeconomicus)
•Caos deterministico vs razionalità perfetta
•Agenti limitatamente razionali: adattivi (trial&error), fondamentalisti,
trend followers (bandwagon) evolutivi.
•Le interazioni strategiche individuali e macrocomportamenti collettivi
(Game theory)
Vito Volterra (1860-1940)
Il matematico si trova in possesso di uno strumento
mirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulati
per lungo andare di secoli dagli ingegni più acuti
e dalle menti più sublimi che siano mai vissute.
Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire il
varco a molti oscuri misteri dell’universo, ed un
mezzo per riassumere in pochi simboli una sintesi
che abbraccia e collega vasti e disparati risultati di
scienze diverse
Vito Volterra (1860-1940)
[…]
Ma è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco
tempo hanno tentato d’introdursi, le scienze biologiche e sociali, che è più
intensa la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi
classici, i quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanicofisiche, sono suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi
ed inesplorati campi che si dischiudono loro dinanzi.
dal discorso inaugurale per l’anno accademico 1901-1902 dell’Università di Roma
Un precursore: A.A. Cournot (1838) a Parigi, “Récherches sur les principes
matématiques de la théorie de la richesse”
La rivoluzione marginalista:
1871 - “The Theory of Political Economy” di
W.S. Jevons a Londra;
1871- “Grundsätze der Volkswirtschaftslehre”
(Principles of Economics) di C.Menger a Vienna;
1874 - “Eléments d’économie politique pure”
di L.Walras a Losanna.
Massimizzare una funzione di utilità.
Walras sostenne l’esistenza di una stretta
analogia tra l’Economia le “scienze
Leon Walras (1834-1910)
fisico-matematiche”. Il principio di
minimizzazione permeava tutta la Fisica dell’epoca.
Anche se nessuno si sognerebbe di dire che le particelle stanno consapevolmente
minimizzando qualcosa, si dice che esse hanno un comportamento che può essere
descritto come se esse agissero in modo minimizzante. Viene inoltre introdotta la
nozione di energia potenziale come un’entità non osservabile che può essere inferita
soltanto dai suoi legami teorici con altre variabili.
Dalla corrisponenza fra Walras e Poncaré
“Ho pensato che all’inizio di ogni speculazione
matematica ci sono delle ipotesi e che, perché questa
speculazione sia fruttuosa, occorre, come del resto
nelle applicazioni della Fisica, che ci si renda conto
di queste ipotesi.
Per esempio, in Meccanica si trascura spesso
l’attrito e si guarda ai corpi come infinitamente lisci.
Lei guarda agli uomini come infinitamente egoisti ed
infinitamente perspicaci. La prima ipotesi può essere
accettata come prima approssimazione, ma la
seconda necessiterebbe forse di qualche cautela.”
Jules Henri Poincaré (1854–1912)
In Economia, il principio che si assume come forza motrice che agisce sugli individui è
quello della massimizzazione dell’utilità attesa, con funzioni di utilità di tipo ordinale
definite sulla base di certi assiomi di scelta. Ma per calcolare l’utilità attesa, gli agenti
economici hanno bisogno di qualche ipotesi sulla distribuzione di probabilità dei
possibili stati futuri dell’Economia. Il problema nasce proprio dal tentativo di Walras (e
più in generale del marginalismo) di “matematizzare” l’Economia introducendo ipotesi,
come quella della perfetta razionalità, col solo fine di ottenere risultati formali.
Studia matematica e si laurea in ingegneria a Torino.
Nel 1892 succede a Walras sulla cattedra di Losanna.
•Vuole “disinquinare” la scienza economica da politica e
filosofia, prendendo come modello la Meccanica Razionale.
•Famosi i suoi “specchietti” (in doppia colonna) che presentano
gli elementi alla base dello studio del fenomeno meccanico e i
loro corrispondenti per quello economico.
•L’economia non abbia timore di diventare un sistema
assiomatico-deduttivo, ipotizzando agenti e processi economici
Vilfredo Pareto (1848-1923) idealizzati, così come la fisica utilizza con grande profitto entità
come i corpi rigidi, i fili inestensibili e privi di massa, i gas
perfetti, le superfici prive di attrito…
Le polemiche.
•E’ possibile trasformare in quantitativa una scienza umana come l’Economia, i cui
procedimenti e le cui conclusioni coinvolgono pesantemente pregiudizi storici, culturali
e politici?
•L’impiego della Matematica fornisce all’Economia una particolare autorevolezza, che
rischia di trasformarsi in presunta oggettività e che comunque rende difficile
l’individuazione dei suoi condizionamenti ideologici.
The Theory of Value (1959) ha fatto parlare
di bourbakismo in Economia.
Nella prefazione Debreu scrive:
“la teoria del valore è trattata qui secondo gli standard
di rigore dell’attuale scuola formalista di Matematica
La fedeltà all’esigenza del rigore impone all’analisi
una forma assiomatica in cui la vera e propria teoria
rimane completamente separata dalle sue
interpretazioni”.
Al calcolo differenziale e all’algebra delle matrici si
sono via via aggiunti l’Analisi convessa, la Teoria
degli insiemi, la Topologia, la Teoria della misura,
gli spazi vettoriali, l’Analisi globale.
Lo standard di rigore logico della matematica è
ormai la regola (non più l’eccezione)”.
Gerard Debreu (1921–2004)
Premio Nobel per l’economia nel 1983
Ma lo stesso Debreu scriveva anche
“la seduzione della forma matematica può diventare quasi irresistibile. Nel
perseguimento di tale forma, può darsi che il ricercatore sia tentato di dimenticare il
contenuto economico e di evitare quei problemi economici che non siano direttamente
assoggettabili a matematizzazione”
Non basta semplicemente adattare i metodi e i
ragionamenti della fisica alla modellizzazione
dell’economia perché
“[…] l’economia è una scienza morale […] essa ha a
che vedere con motivazioni, aspettative, incertezze
psicologiche. Si deve essere costantemente attenti a
non trattare questo materiale come se fosse costante ed
omogeneo.
È come se la caduta della mela al suolo dipendesse
dalle aspirazioni della mela, se per lei sia conveniente
o meno cadere a terra, se il suolo vuole che essa cada,
e se vi sono stati errori di calcolo da parte della mela
sulla sua reale distanza dal centro del pianeta”
John Maynard Keynes (1883–1946)
Aggiungiamo: come e quanto la mela si fa condizionare dal comportamento delle altre
mele dello stesso albero o di alberi vicini, le aspettative che la mela ha sugli esiti della
sua caduta e sulle cadute dalle altre mele, le informazioni che la mela ha sulle
decisioni delle altre mele e sulle condizioni del suolo su cui andrà a cadere, ecc.
Le scienze sociali hanno bisogno di modelli e schemi mentali che si
discostino da quelli della fisica
Spesso il tempo in economia è discreto (discontinuo) perché scandito da
decisioni che non possono essere continuamente rivedute
Event-driven time, Decision-driven time
Legge del moto xt+1 = T ( xt )
x = (x1 , x2 ,…,xn)  M  R n, T: MM
t = 1, 2, 3, … i.e
tN
Modello dinamico a tempo discreto:
x0 è dato, la legge del moto definisce induttivamente una unica
traiettoria: t (x0) = {xt  M | T t (x0)}
x1  T ( x0 )
x2  T ( x1 )  T (T ( x0 ))  T T ( x0 )  T 2 ( x0 )
..
.
xt  T T ... T ( x0 )  T t ( x0 )
Con modelli a t discreto è più facile avere oscillazioni, overshooting (over-reaction).
Caos anche in modelli semplici e a bassa dimensionalità
Determinismo Laplaciano
Laplace (1776) da Théorie analytique des probabilitiés
«Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da
quello che era all’istante precedente e se noi immaginassimo
un’intelligenza che a un istante dato comprendesse tutte le relazioni fra
le entità di questo universo, essa potrebbe conoscere le rispettive
posizioni, i moti e le disposizioni generali di tutte quelle entità in
qualunque istante del futuro».
Leibniz:
"Vediamo allora che ogni cosa procede in modo matematico - cioè
infallibilmente - nel mondo intero, in modo che se qualcuno avesse una
sufficiente capacità di conoscere a fondo le cose, e avesse abbastanza
intelligenza e memoria per considerare tutte le circostanze e tenerne
conto, questi potrebbe essere un profeta e potrebbe vedere il futuro nel
presente come in uno specchio".
Modelli con aspettative
In economia e nelle scienze sociali lo stato attuale consegue sì da
quelli del passato, ma dipende anche dalle decisioni degli individui
che lo compongono, decisioni che sono influenzate dalle aspettative
che essi hanno sul futuro.
xt+1 = f ( xt(e1) )
oppure
xt = f ( xt(e1) )
Le aspettative degli agenti sul futuro si riflettono sul modo in cui i
sistemi evolvono: mappings from beliefs to realizations.
Una delle 5 frasi riprodotte sul nuovo tappeto nello studio ovale di
Obama: «L'unica cosa di cui dobbiamo aver paura è la paura stessa»
(Roosvelt, a proposito della grande depressione del 29)
Come dire: “La paura (del futuro) condiziona le nostre decisioni (nel presente)”
Viceversa, vale il detto:
“Essere ottimisti sul futuro ci fa meglio vivere il presente”
Gli agenti economici dei modelli devono essere dotati della capacità fare congetture
sulla distribuzione di probabilità dei possibili stati futuri dell’Economia.
Ipotesi delle aspettative razionali (Muth, 1961, Lucas, 1972)
Gli agenti economici sono in grado di prevedere correttamente il futuro dei sistemi
che studiano, così come un fisico conosce le leggi della natura.
xt(e1)  xt 1
Così nasce l’agente economico rappresentativo razionale, in grado di effettuare
scelte ottimali in quanto è capace di calcolare tutte le grandezze necessarie.
Questo, associato all’ipotesi dei mercati efficienti è diventato il modello teorico
dominante (modello neoclassico) che prevede che l’economia raggiungerà un
equilibrio in cui tutte le relazioni economiche necessarie (come ad esempio i vincoli
di bilancio) saranno rispettate. Questo approccio, è fortemente radicato nei metodi
di ottimizzazione che portano alla “teoria dell’equilibrio generale”.
Il tema dell’efficienza dei mercati è sempre stato una specie di atto di fede
dell’economia neoclassica, con la convinzione che i mercati sono in grado di autocorreggersi e che il ruolo dei governi è tutt’al più quello di “regolatori dalla mano
leggera”.
Modelli con razionalità limitata
Già negli anni 50 Herbert Simon aveva parlato di
agenti economici limitatamente razionali:
“Non è empiricamente evidente che gli imprenditori
e i consumatori nel prendere decisioni seguano i
principi di massimizzazione dell’utilità richiesti dai
modelli dei marginalisti. In parte perché non hanno
informazioni sufficienti, o le necessarie capacità di
calcolo. Quindi nei modelli occorre prevedere che
gli agenti siano incerti sul futuro e occorre includere
i costi per reperire informazioni. Questi fattori
limitano le capacità degli agenti nel fare previsioni,
Herbert Simon (1916–2001)
Nobel per l’Economia 1978
They possess only “bounded rationality”.
They do not choose what is optimal but what will make them happy enough.
Rules of thumb, trial & errors in making decisions
Nonostante queste premesse l’ipotesi dell’agente rappresentativo razionale è diventata
dominante dagli anni 60 in poi: questo solleva molti dubbi anche logici, dato che
l'agente economico è parte del sistema che studia, un problema che i fisici hanno per
la prima incontrato nello studio della meccanica quantistica e che si è portato dietro
molte conseguenze, paradossi e interpretazioni che fanno tuttora discutere.
Modelli dinamici non lineari, oscillazioni endogene, caos
A partire dagli anni ’30, un tema ricorrente nella letteratura è stato il confronto fra
modelli deterministici e stocastici come possibili strumenti per descrivere le
oscillazioni irregolari e persistenti osservate nei sistemi economici, in netto contrasto
sia con la convergenza a un equilibrio stazionario prevista dai modelli lineari
dell’equilibrio economico, che con la periodicità delle oscillazioni endogene previste
dai primi modelli deterministici non lineari del ciclo economico.
Questo ha portato a una crescente popolarità dei modelli macroeconomici lineari
stabili arricchiti da termini stocastici, per rappresentare continui shock esogeni la cui
presenza è in grado di provocare le oscillazioni persistenti che si osservano nei dati
reali.
Nei modelli non lineari la perdita di stabilità locale non conduce necessariamente a
evoluzioni divergenti e quindi non accettabili. Ma i cicli limite attrattivi forniscono
andamenti troppo regolari rispetto a quelli osservati nella realtà.
La scoperta del caos deterministico ha riaperto la questione. La possibilità di generare
fluttuazioni irregolari senza bisogno di termini stocastici suggerisce che nei sistemi
economici ci possono essere meccanismi endogeni capaci di creare il disordine
osservato nell’economia reale, senza bisogno di continui shocks che scuotano i sistemi
dall’esterno.
Aspettative razionali e caos deterministico. Una evidente antinomia
Se si parte da un modello con aspettative razionali e si scopre che
esso genera caos deterministico, allora le previsioni non possono
essere razionali (cioè perfette) per definizione di dinamiche caotiche.
Un corollario che contraddice un’ipotesi del teorema!
Benhabib, Day (1982) “A characterization of erratic dynamics in the overlapping
generations model” Journal of Economic Dynamics and Control, 4, 37-55.
Boldrin, Montrucchio. (1986) “On the Indeterminacy of Capital Accumulation Paths.”
Journal of Economic Theory 40: 26—39.
Grandmont, J.M. (1985) “Endogenous Competitive Business Cycles” Econometrica
53: 995—1045.
Grandmont (Econometrica, 1985). E’ un modello OLG.
Nel periodo 1, i consumatori guadagnano w1, consumano c1(t) risparmiano m1(t);
nel periodo 2, la pensione, guadagnano w2 e consumano c2(t+1).
Funzione di utilità U=U1(c1(t))+U2(c2(t+1)).
Da giovani (periodo 1) decidono il piano dei consumi della vita in base a: Max U
con vincoli di bilancio:
p(t)c1(t)+m1(t)=p(t) w1
pe(t+1)c2(t+1)= m1(t)+pe(t+1)w2.
Grandmont dimostra che con la condizione di previsione perfetta pe(t+1)= p(t+1)) la
soluzione di equilibrio questo problema è espressa da:
q(t) = G(q(t+1), dove q(t)=p(t)/p(t+1).
Con ipotesi economicamente plausibili sulle funzioni di utilità, che consistono
nell’assumere che gli anziani siano più avversi al rischio rispetto ai giovani, dimostra
che la mappa G è unimodale, quindi in grado di generare traiettorie caotiche.
Ma dal punto di vista del significato economico, che senso ha affermare che i
consumatori sono in grado di prevedere andamenti praticamente indistinguibili da
sequenze casuali?
Questa incompatibilità fra un’economia in equilibrio e l’ipotesi che gli agenti economici
siano in grado di fare previsioni corrette, fa crollare uno dei pilastri della modellistica
neoclassica.
Henry Poincaré (1903)
Se conoscessimo esattamente le leggi della natura
e la situazione dell’universo all’istante iniziale,
potremmo prevedere esattamente la situazione
dello stesso universo in un instante successivo.
Ma se pure accadesse che le leggi naturali non
avessero più alcun segreto per noi, anche in tal
caso potremmo conoscere la situazione iniziale
solo approssimativamente.
Henry Poincaré, 1854-1912
Se questo ci permettesse di prevedere la situazione
successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e
dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto.
Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizion
iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali..
Si arriva anche a dimostrare che fluttuazioni caotiche dell’economia
possono essere dotate di efficienza paretiana e quindi non è così scontato il
paradigma classico secondo il quale le politiche economiche debbano sempre
cercare di eliminarle o smorzarle.
A. Matsumoto. “Let it be: chaotic price instability can be beneficial” Chaos,
Solitons and Fractals vol. 18 (2003) pp. 745–758
Ovviamente ci possono essere altre considerazioni da fare, legate alle conseguenze
sociali delle fluttuazioni economiche, quando si devono decidere politiche da
applicare (es. il dramma della disoccupazione o del disagio sociale legato
all’instabilità economica).
Il punto di vista alternativo, basato sull’ipotesi degli agenti economici limitatamente
razionali, è invece una teoria del disequilibrio in quanto ammette un insieme molto più
ampio di situazioni asintotiche rispetto al solo punto fisso. Questo insieme più ampio
include cicli limite, attrattori strani e molteplicità di attrattori, ciascuno con il proprio
bacino di attrazione. Se si ammette anche la presenza di disturbi esogeni, allora si
ottengono altrettante versioni noisy di tutti queste possibilità. A livello matematico
abbiamo a che fare con sistemi dinamici non lineari stocastici (random non-linear
dynamical systems).
Esempi di aspettative limitatamente razionali:
Naive
Adattive
xte1  xt
xte1 = xte +( xt  xte ) = xt + (1 xte ,
Fondamentalisti
x = xt +( x  xt ) , 
e
t 1
Chartisti (trend followers)
*
xte1 = xt +( xt  xt 1 ) , 
01
Casi di crescita spinta dalle
aspettative di crescita
Bulls and Bears, ottimismo e
pessimismo degli operatori
Microcomportamenti
individuali vs
macrocomportamenti
emergenti, collettivi, sociali
Self-fulfilling expectations
Il caso dei tulipani in
olanda nel ‘600
La bolla speculativa dei
mercati del 1995-2000
…
Ruolo dei mezzi di
comunicazione
Modello della Ragnatela
Quantità richiesta al tempo t dai consumatori
Qd = D ( p )
funzione di domanda
Quantità che viene immessa sul mercato dai produttori
Qs = S ( p )
funzione di offerta
Esempio: funzioni di domanda e offerta lineari:
Q
D(p) = a  b p ;
S
D
S(p) =  c + d p
Equilibrio: Qd = Qs
a, b, c, d costanti positive
p*
p
Introduciamo il tempo.
Al tempo t i consumatori decidono in base al prezzo pt osservato, ma la merce nel
mercato al tempo t è stata prodotta in base a decisioni prese in un tempo precedente,
perché la produzione richiede un certo lasso di tempo.
Sia Dt = 1 il tempo di produzione che intercorre fra decisione e immissione nel mercato
•I consumatori decidono la quantità da acquistare in base a pt
• I produttori decidono in t1 la quantità da immettere nel mercato al tempo t in base al
att
prezzo atteso pt ;
D( pt )  S ( ptatt )
att
Introduciamo aspettative naive: pt
pt = D-1 (S(pt-1 )) = f (pt-1)
 pt 1
Con funzioni di domanda e offerta lineari: D(p) = a  b p ; S(p) =  c + d p
a  b pt =  c  d pt-1, da cui:
pt  
d
ac
pt 1 
b
b
Funzione di offerta non lineare:
D(p)=a-bp
S ( p ) = arctan (l(p - 1))
Q
QS = S ( p) = arctan (l(p1))
S
D
D(pt) = S(pt-1)
diventa
pe
a  bpt = arctan (l(pt-11))
da cui si ottiene il modello dinamico
pt = F(pt-1)= [a arctan (l (pt-1 1))]
La mappa F(p) è monotona decrescente
p
F
F
p2
pe
p1
5
p
p
0
0.3
p
l
0.4
Aspettative adattive
ptatt1 = p tatt + ( pt  p tatt )
con 0 <   1
Inserendo:
pt = F ( p tatt )
mapping from beliefs to realizations
nell'equazione delle aspettative adattive:
ptatt1 = p tatt + ( F ( p tatt )  p tatt ) = (1   p tatt + 

[a arctan (l ( p tatt 1))]
b
F ( p att )
(1   ) p att  F ( p att )
p att
ptatt
pe
ptatt
l
Le aspettative razionali semplificano i modelli ed evitano il verificarsi di errori
sistematici e ripetuti nel tempo, ovvero comportamenti ritenuti inconsistenti.
La razionalità limitata introduce il problema dell’eterogeneità: c’è un solo modo di
essere razionali (nel significato di prevedere l’unica evoluzione del sistema che si
realizzerà) mentre ci sono tanti modi diversi di essere limitatamente razionali
Scelta fra diverse aspettative attraverso meccanismi evolutivi
Es. Gli N produttori sono divisi in due frazioni n1 e n2= Nn1 che hanno due
modi diversi di formulare aspettative sui prezzi attesi
D( pt )  n1,t S ( p1e,t )  n2,t S ( p e2 ,t )
Le due frazioni evolvono nel tempo secondo una dinamica evolutiva, sulla base di
un “indice di performance” Pche misura la bontà delle previsioni fatte
Si introduce poi una dinamica evolutiva, ad esempio la “replicator dynamics”
n1,t 1  n1,t
P1,t
__
Pt
__
,
P t  n1,t P1,t  (1  n1,t )P 2,t
__
Quindi n1 cresce se P1,t  P t cioè P1,t  P 2,t
Cioè se l’aspettativa 1 è “più performante”
L’economia è una scienza?
Confronto tra previsioni dei modelli e realtà economica
Difficile fare osservazioni “sul campo”
Inoltre, se le leggi dipendono dalle aspettative, le quali dipendono
dalle informazioni possedute dagli agenti, allora fare misure
aggiunge informazioni e quindi cambia le aspettative e quindi
cambia le leggi del moto …
Esperimenti di laboratorio, in ambienti semplificati e controllati
(experimental economics)
Ma c’è differenza fra la vera utilità (es. i profitti) e quella finta, simulata.
Carl Chiarella “What’s beyond?” in Lettera Matematica Pristem (2010).
Il paradigma neoclassico (ipotesi di agente economico razionale e mercati efficienti)
prevale dopo il supposto fallimento del punto di vista keynesiano, dominante fra la fine
degli anni ’40 e gli anni ’60, accusato di essere stato inefficace nell’affrontare il periodo
di stagnazione economica.
Le idee keynesiane, a loro volta, avevano soppiantato il punto di vista classico
dominante negli anni ’30, perché questo era stato indicato come responsabile
delle politiche economiche che avevano portato alla grande crisi del ’29.
È ancora troppo presto per dire se l’attuale crisi economica avrà lo stesso profondo
impatto sulle ipotesi che stanno alla base dei modelli economici. Sembra comunque
probabile dato che le principali istituzioni economiche sono state costrette ad adottare
politiche con un forte sapore keynesiano.
Ogni cambio di paradigma economico porta con sé anche un cambio nel tipo di
modellistica adottato. Un programma di ricerca molto ambizioso, che si è sviluppato in
anni recenti, consiste poi nel considerare gli agenti economici come le particelle della
Fisica statistica, un tentativo di applicare all’Economia i metodi sviluppati nella
Meccanica statistica.
Interazione strategica
Altra frase riportata sul nuovo tappeto di Obama
«Il benessere di ciascuno di noi dipende fondamentalmente dal
benessere di tutti noi»
Di Theodore Roosevelt, presidente repubblicano, che come Obama ha vinto (nel
1906) il premio Nobel per la Pace.
Dall'oroscopo di Linda Wolf del 3 dicembre 2009
Ariete.
Anche se siete sicuri del fatto vostro
fate molta attenzione alle decisioni degli altri
Matematica per le decisioni
Problema del monopolista: Più produco e più guadagno?
Profitto = Ricavo – Costo = p q – c q = (p – c) q
Teorema.
Se p > c allora il profitto cresce ogniqualvolta cresce la produzione
… ma q (quantità prodotta) e p (prezzo di vendita)
non sono indipendenti
la quantità è funzione decrescente del prezzo,
ovvero il prezzo decresce al crescere della quantità
Esempio: Funzione di domanda lineare
funzione inversa di domanda
p
qdom
p
q=a–bp
q
p = a/b – (1/b) q = A – B q
profitto del monopolista = p q – c q = (A – B q) q – cq
P = f (q) = – B q2 + (A – c) q
è una parabola!
Profitto
Ac
2B
Ac
B
quantità prodotta
Problema del duopolio
A. Cournot, Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse, 1838.
Due produttori, 1 e 2, vendono lo stesso prodotto
Il produttore 1 produce e immette nel mercato q1 con costi c1q1
Il produttore 2 produce e immette nel mercato q2 con costi c2q2
prezzo: p = A – B QTOT = A – B ( q1 + q2)
Profitto produttore 1: P1 = pq1 – c1q1 = [ A – B ( q1 + q2 )]q1 – c1q1
Profitto produttore 2: P2 = pq2 – c2q2 = [ A – B ( q1 + q2 )]q2 – c2q2
P1 = [ A – B ( q1 + q2)]q1 – c1q1 = – Bq12 + (A – c1 –Bq2 )q1
A  c1  Bq 2
Max per q1  r1 (q2 ) 
2B
P2 = [ A – B ( q1 + q2)]q2 – c2q2 = – Bq22 + (A – c2 Bq1 )q2
A  c2  Bq1
Max per q2  r2 (q1 ) 
2B
 q1  r1 (q2 )
Equilibrio:
q2  r2 (q1 )
A  2c1  c2
q 
3B
*
1
q2
Equilibrio di Cournot-Nash
A  2c2  c1
q 
3B
*
2
q1
Duopolio di Cournot (trascuriamo i costi c1 = c2 = 0
libera concorrenza: equilibrio di Nash:
q1* 
prezzo all’equilibrio di Nash

A
3B

A
q 
3B
*
2
p*  A  B q1*  q2*  A  B
2A A

3B 3
A A A2
P q p 

3B 3 9 B
profitto individuale
*
i
*
i
*
Monopolio
produzione che massimizza il profitto
prezzo di monopolio
profitto di monopolio
Qm 
 
pm  A  B Qm  A  B
A A A2
P Q p 

2B 2 4B
m
i
m
m
A
2B
A
A

2B 2
A2 A2

!!!
8B 9 B
Possibili accordi:
1) uno solo produce e poi si divide il profitto a metà ,
2) concordiamo di produrre ciascuno Qm/2 = A/4B, cioè meno del Nash
The first duopoly model : Augustine Cournot (1838)
Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse
q1 (t) and q2 (t) outputs at time t of two firms producing homogeneous goods
p = f (q1+q2)
ci (qi )
inverse demand function
cost functions,
The profits of the two quantity-settimg firms are:
Pi= qi f (q1+ q2) – ci (qi) i=1,2
At time period t firms decide (t+1)-outputs by solving profit-maximization
problems

max q1 P1 q1 , q2e


max q2 P 2 q1e , q2
Each firm considers the output of its competitor as given


 

P q (t  1), q   r q (t  1) 
q1 (t  1)  arg max q1 P1 q1 , q2e (t  1)  r1 q2e (t  1)
q2 (t  1)  arg max q2
2
e
2
2
2
e
1
q2
Expectation of agent i about the rival’s choice
q (t  1)
e
j
Rational expectations (perfect foresight):
qej (t  1)  q j (t  1) i  1,2
 q1 (t )  r1 (q 2 (t ))

q 2 (t )  r2 (q1 (t ))
t
q1 = r1(q2)
.
Cournot-Nash Equilibrium
q2 = r2(q1)
q1
 q1*  r1 (q2* )  r1 (r2 (q1* )
One-shot (static) game  *
*
*
q

r
(
q
)

r
(
r
(
q
2 1
2)
 2 2 1
The game directly goes to the intersection(s) of the reaction curves (Cournot-Nash
equilibrium) in one shot
Cournot (Naive) expectations:
 q1 (t  1)  r1 (q2 (t ))
T :
q2 (t  1)  r2 (q1 (t ))
q ej (t  1)  q j (t ) i  1,2
t
Two-dimensional dynamical system:
given (q1(0),q2(0)) the repeated application of the map T:(q1,q2) (r1(q2), r2(q1))
gives the time evolution of the duopoly game.
This repeated game may converge to a Cournot-Nash equilibrium in the long run,
i.e. boundedly rational players may achieve the same equilibrium
as fully rational players provided that the “myopic” game is played several times
Evolutionary interpretation of Nash equilibrium (Nash’s concern)
Linear/linear Cournot game and best reply dynamics with naive expectations
1
a  c1
q1 (t  1)  r1 (q2 (t ))   q2 (t ) 
2
2b
1
a  c2
q2 (t  1)  r2 (q1 (t ))   q1 (t ) 
2
2b
r1
q2
r2
Reaction function of firm 1
q1  r1  q2 
r1
Reaction function of firm 2
q*2
q2  r2  q1 
q*1
r2
q1
Developments and complexities
The firms in the Cournot model (mineral water producers) decide quantities, then the
price at each time period is obtained from the inverse demand finction.
Bertrand (1883) criticized this approach and preferred to assume that firms compete
by deciding prices, and assumed differentiated products, each with its price.
The problem is mathematically equivalent.
Edgeworth (1925) considered the case of homogeneous products and stated that
oligopoly markets, in contrasts with the cases of monopoly and perfect
competition, may be indeterminate, i.e. uniqueness of equilibrim is not ensured.
Moreover, assuming quadratic costs, prices may never reach an equilibrium
position and continue to oscillate ciclycally forever.
Teocharis (1960) proves that the linear/linear discrete time Cournot model is only
stable in the case of duopoly.
McManus & Quandt (1961), Hahn (1962), Okuguchi (1964) show that this statement
depends on the kind of adjustment considered and the kind of expectations formation.
However, Fisher (1961) stresses that in general “the tendency to instability does rise
with the number of sellers for most of the processes considered”
Linear demand: p = a – b (q1 + q2)
Quadratic cost: Ci = ci qi + ei qi2
i = 1,2
Quadratic Profit: Pi a – b (q1 + q2))qi – (ci qi + ei qi2 )
Linear reaction functions:
P1
b
a  c1
 a  2(b  e1 )q1  bq2  c1  0  q1 (t  1)  r1 (q2 (t ))  
q2 (t ) 
q1
2(b  e1 )
2(b  e1 )
P 2
b
a  c2
 a  2(b  e1 )q2  bq1  c2  0  q2 (t  1)  r2 (q1 (t ))  
q1 (t ) 
q2
2(b  e2 )
2(b  e2 )
eigenvalues: z1,2  
b
2
1
b  1 b   2 
b2 < 4(b+e1)(b+e2)
(Stable)
stability if
b2 < 4(b+e1)(b+e2)
b2 > 4(b+e1)(b+e2)
(Unstable)
Linear demand, quadratic costs, case b2 > 4(b+e1)(b+e2)
E unstable, E1 , E2 , stable
L2
basin of E1
x2
basin of E2
E2
R2
R1
0
c2
c1
0
basin of 2-cycle (c1,c2)
E
R2
R1
E1
x1
L1
Non monotonic reaction curves
Rand, D., 1978. Exotic Phenomena in games and duopoly models.
Journal of Mathematical Economics, 5, 173-184.
A Cournot tâtonnement is considered with unimodal (one-hump)
reaction functions, and he proves that chaotic dynamics arise, i.e.
bounded oscillations with sensitive dependence on initial conditions etc..
Postom and Stewart (1978 ) "Catastrophe Theory and its Applications",
Book seller example:
“...If you start producing books, when no one else is, you will not sell many.
There will be no book habit among people, no distribution industry…
On the other hand if other producers exist producing books in huge numbers, you
will be invisible…and again you will sell rather few.
Your sales will be best when your competitors’ output will be intermediate…”
New mathematics
“… Adequate mathematics for planning in the presence of such
phenomena is a still far distant goal…”
Tonu Puu (1991) “Chaos in Duopoly pricing” Chaos, Solitons & Fractals
Shows how an hill-shaped reaction function is quite simply obtained by
using linear costs and replacing the linear demand function by the
economists’ “second-favourite” demand curve, the constant elasticity demand
1
1
p 
Q q1  q2
qi
Pi 
 ci qi
q1  q2
qj
qj
P i


c

0
for
q


q

i
i
j
qi q1  q2 2
ci

q1 (t  1)  r1 (q2 (t ))  q2 (t ) 


 q (t  1)  r (q (t ))  q (t ) 
2
1
1
 2
q2
c1
q1
c1
–
+
Van Witteloostuijn, A., Van Lier, A. (1990) Chaotic patterns in Cournot competition.
Metroeconomica.
Van Huyck, J., Cook, J., & Battalio, R. (1984). Selection dynamics, asymptotic stability,
and adaptive behavior. Journal of Political Economy, 102, 975–1005.
Dana, R.A., & Montrucchio, L. (1986). Dynamic complexity in duopoly games.
Journal of Economic Theory, 40, 40–56.
Everything goes !
Kopel, M. (1996) Simple and complex adjustment dynamics in Cournot Duopoly
Models. Chaos, Solitons, and Fractals.
Linear demand function, cost function Ci = Ci(q1,q2) with positive cost externalities
(spillover effect which gives some advantages due to the presence of the competitor)
r1 q2   1q2 1  q2 
r2 q1   2 q1 1  q1 
1 and 2 represent the intensity of the positive externality
Adaptive adjustment (inertia, or anchoring )
q1 (t  1)  1  l1  q1 (t )  l1 r1 (q2 (t ))
T :
q2 (t  1)  1  l2  q2 (t )  l2 r2 (q1 (t ))
Bischi, G.I., C. Mammana and L. Gardini (2000) «Multistability and cyclic attractors
in duopoly games», Chaos, Solitons and Fractals.
 q1 (t  1)  r1 (q2 (t ))
Cournot with naive expectations (Best reply dynamics): T : 
q2 (t  1)  r2 (q1 (t ))
And reaction functions r1 q2   1q2 1  q2  ; r2 q1   2 q1 1  q1 
1 = 2 = 3.4
1 = 2 = 1
1
y
E2
C2( 2 )
ES
C2(1)
E1
0
0
x
1
Bischi, G.I. and M. Kopel (2001) «Equilibrium Selection in a Nonlinear Duopoly
Game with Adaptive Expectations» Journal of Economic Behavior and Organization
Problem of equilibrium selection:
•Which equilibrium is achieved through an evolutive
(boundedly rational) process?
•What happens when several coexisting stable Nash
equilibia exist?
Cournot Game (from beliefs to realizations)
q1 (t )  r1 (q2e (t ))
q2 (t )  r2 (q1e (t ))
Adaptive expectations


(t )   q (t )  q (t ) 
q1e (t  1)  q1e (t )   q1 (t )  q1e (t )   q1 (t )  1   q1e (t )
q2e (t  1)  q 2e

2
e
2
 
  q2 (t )  1   q 2e (t )
Dynamical system: T : q1e (t ), q2e (t )  q1e (t  1), q2e (t  1)
q1e (t  1)  1   1 q1e (t )   1 r1 (q 2e (t ))
T : e
q 2 (t  1)  1   2 q 2e (t )   2 r2 (q1e (t ))

Existence and local stability of the equilibria
in the case of homogeneous expectations 1 2 
3
1
1 6
1
WsEi,C2

 p 
1
 1
transcritical O = S
WsS
WsO
0
0
pitchfork E1 = E1 = S

1
2
  h 
6  12   2
3  2   2
2
 2  2  3
WsEi
3 1 5
4
5

1 = 2 = 3.4
1 = 2 = 0.2 < 1/(+1)
( 1)
1
O 1.4
y
2.3
y
Z0
LC
D
LC ( a )
1 = 2 = 3.4
1 = 2 = 0.5 > 1/(+1)
( 1)
O1
Z0
D
( 3)
O1
(a)
E2
E2
Z2
K
S
LC ( b )
E1
0
LC
E1
Z2
Z4
0
O
O
(b )
Z4
0
(a)
x 2.3
0
(b)
(2)
O1
x 1.4
Noninvertible (“Many-to-One”) map
.
.
T
p1
Distinct points are mapped into the same point
p2
.
p’
T
Folding action of T
p1
Equivalently, we say that p’ has several rank-1 preimages
p2
.
.
T1-1
T2-1
SH2
y
LC-1
U-1,2
SH1
T21
1
1
T
U-1,1
y’
Z2
U
R1 R2
x
Unfolding action of T-1
Z0
LC
x’
.
p’
Critical curves separate regions Zk , Zk+2 characterized by different numbers of
preimages. Each region Zk can be seen as the superposition of k sheets om which the k
distinct “inverses” are defined, so the critical lines LC represent foldings, and the
inverses “unfold” sheets along LC.

LC1  ( x, y ) 
2

| det DT ( x, y )  0
LC  T ( LC1 ).
 1  1
11 1  2 y  
DT ( x, y )  



1

2
x
1




2
 2 2

LC1 :
1 
1  1  1  1   2 

x

y


 

2 
2
41 2 12

In the homogeneous case
LC(b1)  D  K 1   k1 , k1 
    1  1
2
LC-1
with k1 
LC (b)  T ( LC(b1) )
K   k , k  , where
has a cusp point in
LC
    1  1   3(1   ) 

k
4
Theorem (Homogeneous behavior)
If 12, 12, and the bounded trajectories converge to one
of the stable Nash equilibria E1 or E2, then the common boundary 
B(E1)  B(E2) which separates the basin B(E1)from the basin B(E2) is
given by the stable set WS(S) of the saddle point S.
If 1<1 then the two basins are simply connected sets;
if 11 then the two basins are non connected sets, formed by
infinitely many simply connected components.
Case of heterogenous players
1 = 2 = 3.6
1 = 0.55
1.2
y
2 = 0.7
LC
Z0
Z2
(1)
H2
E2
S
S
H (11)
Z4
(b)
1
LC
E1
H (12)
0
0
Theorem …
LC
E2
Z2
H0
( 3)
H2
0
(2)
H 2
LC ( b )
Z4
(b)
LC1
2 = 0.7
(a)
1
Z0
LC ( a )
LC ( b )
1 = 0.59
1.2
y
(a)
LC1
(a)
1 = 2 = 3.6
x 1.1
0
E1
(4)
H2
x 1.1
1 = 2 = 3.9
1 = 0.7
2 = 0.8
1 = 2 = 3.95
1.1
y
1 = 0.7
2 = 0.8
1.1
y
A2
A2
S
A1
S
E1
0
0
0
x 1.1
0
x 1.1
Agiza, H.N., Bischi, G.I. and M. Kopel (1999) «Multistability in a Dynamic Cournot
Game with Three Oligopolists», Mathematics and Computers in Simulation.
Bischi, G.I., L. Mroz and H. Hauser (2001) «Studying basin bifurcations in nonlinear
triopoly games by using 3D visualization» Nonlinear Analysis, Theory, Methods and
Applications.
q1  1  l1  q1  l11  q2 1  q2   q3 1  q3  


T : q2  1  l2  q2  l2 2  q3 1  q3   q1 1  q1  
 

q3  1  l3  q3  l3 3  q1 1  q1   q2 1  q2  