Valutazione delle resistenze al
trasferimento di materia nei
processi biologici
Cinetica delle reazioni biologiche
Il principale obiettivo dei trattamenti biologici di depurazione è
la rimozione della sostanza organica contenuta nel substrato da
trattare tramite la crescita attiva dei microorganismi presenti,
generalmente batteri. L’effetto della depurazione si ottiene così
tramite un’associazione tra la crescita batterica e la rimozione del
substrato, cosicché la cinetica di entrambe le reazioni è
strettamente collegata.
La crescita batterica è definita dall’incremento del numero di
organismi vivi nel tempo ma spesso questo parametro è
difficilmente misurabile per cui si ricorre si ricorre a stime
associate al metabolismo. I vincoli associati al metabolismo si
dividono in anabolici e catabolici.
La descrizione cinetica può essere più o meno complicata dipendentemente
dalla complessità della situazione fisica in cui la crescita avviene e
dall’utilizzo che si vuole fare della cinetica stessa.
L’interazione che esiste tra l’ambiente (medium o mezzo) e la tipologia della
biomassa cellulare è indicata dallo schema seguente che evidenzia
l’interazione tra la popolazione cellulare e il mezzo che è multicomponente e
multifase. Esso è multicomponente perché contiene vari nutrienti e, in più, i
prodotti del metabolismo cellulare; è multifase poiché composto almeno da
una fase liquida e da una gas.
Un’ulteriore difficoltà da tenere in conto è relativa alla reologia del mezzo che
non è assimilabile a quella di un liquido newtoniano ma, in virtù dell’alta
viscosità e della varietà di fasi e componenti, è quella di un liquido nonnewtoniano.
Popolazione cellulare
trattata come un
mono-componente
con proprietà medie
Strutturato
Multicomponente;
descrizione della
popolazione cellulare
come media
Componente singola
Popolazione cellulare
eterogenea
“mediata”
bilanciata
cellula
cellula
crescita
“mediata”
Segregato
N on segregato
N on strutturato
Multicomponente;
Popolazione cellulare
eterogenea
crescita
bilanciata
La cinetica di crescita di popolazione a cui si farà
riferimento nel seguito è quella ottenuta nell’ipotesi di
modello non strutturato - ovvero la massa cellulare, o la
sua concentrazione, sono sufficienti a caratterizzare l’intera
fase biologica (cinetica di crescita bilanciata).
La velocità di crescita cellulare netta, ri, sarà espressa come
ri =mX dove m è la velocità di crescita specifica e X la
concentrazione di microorganismi.
Fase stazionaria
fase di crescita
esponenziale
or
im
“d
te”
lag
phase
se
Fa
log numero di cellule
Ponendo una piccola quantità di microrganismi in presenza di un
eccesso di substrato, la produzione di nuovo materiale cellulare segue
l’andamento qualitativo riportato in figura dal cui esame è possibile
individuare 5 distinte fasi di crescita.
tempo
1) fase di induzione e di crescita accelerata. Rappresenta il tempo
necessario ai microrganismi per acclimatarsi al nuovo ambiente e
per sintetizzare gli enzimi e i coenzimi specifici per i substrati da
metabolizzare. Tale periodo è ovviamente funzione delle condizioni
ambientali, e può essere praticamente annullato utilizzando, come
inoculo, cellule in crescita esponenziale provenienti dallo stesso
substrato;
2)
fase di crescita esponenziale. Durante questo periodo i substrati
sono ancora presenti in eccesso, la singola cellula si riproduce ad
una velocità determinata dal suo caratteristico tempo di generazione
e quindi la velocità di crescita della biomassa, dX/dt, dipende
soltanto dalla concentrazione X dei microrganismi.
dX
 mX
dt
1 dX
 m  m max
X dt
dove X è la concentrazione della biomassa e m è il suo tasso di
crescita.
Integrando questa equazione si ottiene:
X
ln
 m max  t
X0
X  X0  emmax t
dove mmax indica il massimo tasso di crescita della biomassa.
Il tempo di generazione (tg) che serve alla popolazione microbica
per raddoppiarsi è, pertanto,:
tg 
ln 2
m max
Il tempo di duplicazione oscilla in genere tra qualche decina di
minuti a diverse ore.
3) fase di crescita rallentata. Rappresenta il periodo dello sviluppo
della coltura microbica nel quale una delle sostanze nutritive cade in
difetto e diventa pertanto limitante per la crescita dei microrganismi;
una relazione che lega il tasso di crescita della biomassa alla
concentrazione S del substrato limitante è (Monod, 1942):
S
m  m max 
K S
dove S è la concentrazione del substrato e K è la costante di
semisaturazione (ovvero
la concentrazione del substrato
in corrispondenza della quale
la velocità di crescita è la metà
di quella massima).
La rappresentazione grafica della
equazione è riportata in figura.
4) fase di crescita stazionaria. In questa fase la popolazione
rimane costante (m = 0). Questo fatto può essere interpretato sia
considerando che in queste condizioni non c’è più crescita in quanto
il substrato è usato dai microrganismi come energia di
mantenimento, sia ipotizzando che la crescita dei nuovi
microrganismi è compensata dalla morte di altri più “vecchi”;
5) fase di declino. Questa fase è caratterizzata dalla diminuzione
della concentrazione dei microrganismi (m<0) e si verifica quando il
substrato è esaurito; la variazione di concentrazione dei
microrganismi è rappresentata da:
m  b
Dove b è il tasso di respirazione endogena che può essere
interpretato sia come costante di mantenimento che come tasso di
morte cellulare.
I sistemi microbici che operano negli impianti di depurazione si
trovano nelle fasi 1) e 2) durante l’avviamento degli impianti e nelle
fasi 3) 4) e 5)
nelle condizioni di marcia a regime. Pertanto
l’equazione cinetica che regola il processo biologico assume
l’espressione generale:
1 dX
S
 m  m max 
b
X dt
K S
A queste equazioni va aggiunta l’espressione del bilancio di materia:
dX
dS
 Y  bX
dt
dt
dove Y è il rendimento di crescita pari alla massa di microrganismi
prodotti per unità di substrato consumato.
In definitiva si ottiene:
m
1 dS
S
 v  max 
X dt
Y KS
dove v è il tasso di utilizzazione del substrato.
S
v k
KS
Quest’ultima espressione è nota come equazione di Michaelis e
Menten (dove k=mmax/Y).
Le equazioni appena illustrate descrivono il comportamento cinetico
di un sistema biomassa-substrato nel caso particolare che tale sistema
possa essere considerato omogeneo (cioè costituito da un’unica fase)
e quindi con resistenze diffusionali, dovute al trasporto del substrato,
praticamente nulle.
Tali resistenze, però, possono avere un ruolo molto importante in
quanto i microorganismi, se ben adattati, tendono ad aggregarsi
naturalmente in forma di biofiocco (sospeso nel bulk liquido) o di
biofilm (aderente ad un supporto solido).
Sebbene i biofiocchi e i biofilm abbiamo caratteristiche specifiche
differenti ciò che li accomuna è la presenza di un gradiente di
concentrazione del substrato causato dalla resistenza al trasporto di
materia dal bulk liquido al sito attivo. Questo gradiente di
concentrazione provoca una disuniformità spaziale tra la velocità di
utilizzazione del substrato e quella di crescita cellulare.
Schema delle resistenze incontrate dall’ossigeno per raggiungere i siti
attivi cellulari
IL BIOFIOCCO – controllo diffusionale esterno
In condizioni stazionarie la quantità di substrato trasportata dal bulk del
liquido alla superficie esterna della biomassa è uguale alla quantità di
substrato consumato tramite le reazioni biochimiche:
v  K L a i(SB-SS )
Dove KL è il coefficiente di trasporto
di materia in fase liquida e ai la
superficie esterna della biomassa per
unità di volume di bioreattore.
Ricordando l’espressione di v la
precedente equazione diviene:
m max
SS
X
 K L a i (SB  SS )
Y
K  SS
Questa
relazione
è
fondata
sull’assunzione che in ogni punto
all’interno
del
biofiocco
la
concentrazione del substrato sia pari
al valore SS.
Il numero di parametri può essere ridotto da 4 a 2 adimensionalizzando
l’equazione ottenuta nel caso precedente. I parametri adimensionali
introdotti sono: x=SS/SB; Da=mmax/(KLSB); k=K/SB.
Dove Da è il numero di Damköhler che rappresenta il rapporto tra la
massima velocità di reazione e la massima velocità di trasferimento di
materia. Quindi, ad esempio, se Da<<1 la resistenza è unicamente di
tipo cinetico. L’equazione di progetto ottenuta nel caso di controllo del
trasferimento di massa esterno al substrato diventa:
1 x
x

dove 0  x  1
Da k  x
La soluzione analitica di tale equazione è:

b 
4k
x
 1  2  1 dove b  Da  k - 1

2 
b

dove il segno è + se b>0 e viceversa.
Si introduce a questo punto il fattore di efficienza h definito come:
h
velocità della reazione effettivamente osservata
velocità che sarebbe ottenuta se non ci fosse
resistenza al trasferimento di materia (i.e. S B  SS )
Che diviene, nel nostro caso:
x /( k  x )
h
1/( k  1)
Quindi se h<1 l’attività catalitica è ridotta dall’incremento della
resistenza esterna. Se invece Da0 si ha:
h  1;
m max S B
v
K  SB
IL BIOFIOCCO – controllo diffusionale interno
Riferiamoci ora alla diffusione dei
substrati attraverso la matrice
biologica porosa (così come
attraverso un supporto poroso di
enzimi immobilizzati).
I simboli Des e v denotano,
rispettivamente, il coefficiente di
diffusione effettiva e la velocità
locale di utilizzazione del substrato.
Si tenga presente che il coefficiente
Des è influenzato dalla porosità ep del
solido, dalla tortuosità dei pori, t e,
nel caso di diametri molto piccoli di
questi ultimi (micropori) dal
parametro Kp/Kr.
Quindi Des = Ds0 = ep /t· Kp/Kr.
Dove Ds0 è la diffusività nel bulk.
t è in genere compreso tra 1.4 e 7.
Il parametro Kp/Kr è ottenibile dalla:
Kp
 r

  1  substrato r

poro
Kr 

4
Dove rsubstrato è il raggio molecolare equivalente del substrato e rporo quello
caratteristico del poro.
Il bilancio di materia scritto sull’anello sferico e riportato nella
figura precedente presuppone di conoscere la forma di v per la
quale sarà assunta valida l’equazione di Michaelis-Menten. Il
parametro di massima velocità sarà dato da:
m max  e imm  rp  q E, imm
Dove eimm [mmol/g supporto] rappresenta la concentrazione di enzima, rp [g
supporto/unità di volume di supporto] la densità e qE, imm [mmol substrato
convertito /( s mmol enzima)] l’attività specifica dell’enzima immobilizzato.
Le due condizioni al contorno necessarie sono: (ds/dr)r=0=0 e
sr=R=sS.
La portata complessiva di utilizzazione del substrato v0 uguale al flusso
che diffonde nel pellet (accumulo=0) per cui:
Ap 

ds
es

v0 
Vp 
dr r R 
Dove Vp e Ap sono il volume della particella e la sua superficie esterna.
Anche in questo caso si definisce in modo analogo il coefficiente di
efficienza h.
L’equazione che rappresenta il bilancio di materia non può però essere
risolta in modo semplice essendo non lineare e, di conseguenza, v0 non è
ottenibile in forma algebrica. La soluzione dovrebbe quindi essere
numerica ma, essendo quest’ultima difficoltosa, si preferisce
adimensionalizzare l’equazione. I parametri derivati da tale procedura
sono: il numero di Thiele f e il numero b.
R
f
3
m max / K
es
sB
b
K
Il quadrato del numero di Thiele rappresenta il
rapporto tra la velocità di reazione del 1° ordine e la
velocità di diffusione. Alti valori di b indicano invece
che la reazione diventa di ordine 0.
La forma ottenuta di hf(f, b) è però ancora di difficile valutazione perché
dipende da parametri quali mmax e K difficile da ottenere. Per questo motivo si
prosegue ad un’ulteriore manipolazione ottenendo, infine,: h=f(, b) dove:
v 0  V p 

es  s 0  A p 
Come si evince
dalla figura:
Se <0.3 h=1
(controlla la reazione)
Se >3
h1
(controlla la diffusione)
2
La h=g(, b) è rappresentata in forma grafica dalla
seguente figura.
Si è appena visto come risolvere il problema del bilancio di massa in
due casi: controllo della resistenza esterna o della resistenza interna.
Vediamo ora come si opera nel caso in cui entrambe le resistenze
devono essere considerate.
Si consideri ad esempio una piastra di enzima immobilizzato. Il
bilancio allo stazionario si scrive:
es
d 2s
dx
2
 ks  0 con le seguenti condizioni al contorno :
ds
ds
 0; -es
 k s s( L )  s B 
dx x 0
dx x L
Risolvendo tale equazione si ottiene:
tanh f
hs 
;
f1  (f tanh f)/ Bi 
kL
velocità di trasporto nel film
dove Bi  s 
es velocità di diffusione intraparticellare
1
1 f2


hs h
Bi
dove h  tanhf/f
Il coefficiente h rappresenta il fattore di efficienza in assenza della
resistenza al trasporto attraverso il film. Il reciproco del fattore di
efficienza può essere visto come una misura della resistenza alla
reazione del substrato a causa dei limiti al trasporto del substrato stesso.
La seguente equazione consente di individuare la resistenza
controllante. Infatti se:
h 2  kL


 1
Bi
Bi k s
allora l’influenza del film esterno è trascurabile.
Se, al contrario, è >>1 la resistenza interna può essere ignorata.