Impianti BioChimici
DOCENTE: PROF. ING. MARIA LAURA MASTELLONE
FACOLTÀ DI SCIENZE AMBIENTALI
SECONDA UNIVERSITÀ DI NAPOLI
Programma del corso
principi
dei
processi
biologici.
cenni
introduttivi
sugli
organismi e le colture cellulari. caratterizzazione dei substrati.
stechiometria ed esempi di calcolo
cinetica biologica.
principi
di
reattoristica
multistadio
in
serie.
biologica:
equazioni
reattori
di
ideali
progetto.
e
reattori
bioreattori
a
biomassa sospesa e a biomassa adesa. applicazioni (trattamento
delle acque).
processi
di
percolatori,
depurazione
stagni
biologica:
biologici,
fanghi
nitrificazione,
attivi,
letti
denitrificazione,
defosfatazione.
interventi
di
salvaguardia
degli
ambienti
naturali
impianti biologici (trattamento dei rifiuti solidi).
tramite
Introduzione
L’ingegneria biochimica
 La differenza tra l’ingegneria biochimica e l’ingegneria
chimica non risiede nei principi delle operazioni e dei processi
unitari bensì nella natura dei sistemi reagenti. Gli impianti
biochimici, infatti, convertono una materia vivente come le
cellule o gli enzimi estratti da queste ultime.
 L’utilizzo di tali sistemi viventi comporta una scelta dei
parametri di funzionamento degli impianti biochimici molto
ristretta in quanto essi devono coincidere con quelli della
biosfera. Parametri quali temperatura, pH, potenziale redox e
ambiente (medium) reagente sono quindi ben definiti.
Introduzione
Definizioni
 La cellula. Le cellule sono la più piccola unità di vita. Esse
possono interagire tra loro (organismi multicellulari) o essere
completamente indipendenti (o. unicellulari). Strutturalmente la
cellula può contenere il citoplasma (sistema colloidale formato da
molecole organiche più piccole e sali inorganici in soluzione
circondato da una membrana permeabile) attraverso cui si hanno
fenomeni di trasporto in-out. I cromosomi, che trasmettono le
informazioni genetiche da una generazione all’altra, sono, nella
maggior parte delle cellule, circondati da una membrana a formare
un nucleo. Le cellule in cui esiste tale nucleo sono definite
eucariote. Vi sono poi altre strutture intracellulari che servono per
attività specifiche.
 Nell’ambito dell’ing. biochimica sono molto importanti tre tipi di
microorganismi: batteri, alghe e funghi.
Definizioni
I batteri. I batteri sono organismi uni-cellulari le cui dimensioni
sono in media comprese tra 0.5 e 20 mm. La loro forma dipende da
quella delle pareti cellulari e può essere sferica, ovoidale, a spirale
o a filamento. Il citoplasma dei batteri spesso contiene materiale di
supporto come carboidrati e lipidi. Questi microorganismi si
muovono grazie ad uno o più flagelli. In condizioni ambientali
avverse molti batteri producono delle spore che possono resistere
in condizioni estremamente avverse e che possono germinare una
volta ripristinato un ambiente idoneo.
 Le alghe. Esse sono organismi fotosintetici la cui grandezza può
arrivare fino a diverse decine di metri. Sono organismi molto
importanti nei processi di depurazione biologica poiché
consumano nutrienti e forniscono ossigeno.

Definizioni
I funghi. Questi organismi non possiedono clorofilla per cui
hanno bisogno di molecole organiche complesse come
nutrienti. Essi sono parassiti oppure crescono su materiale
organico morto.
 I virus. Questi hanno dimensioni al di sotto della soglia dei
microscopi leggari, non possiedono una struttura cellulare e
sono composti prevalentemente da acidi nucleici circondati
da una guaina proteica. Essi vivono come parassiti all’interno
di altri organismi come i batteri. In questo caso essi sono
batteriofagi se portano alla morte della cellula ospite. Vi sono
casi in cui la cellula ospite vive e si riproduce per generazioni
prima che il virus l’attacchi.

Principi dei processi biologici. Cenni
introduttivi sugli organismi e le colture
cellulari. Caratterizzazione dei substrati.
Principi dei processi biologici
Processi metabolici: Classificazione dei microrganismi
 Gli esseri viventi microscopici con organizzazione biologica molto
semplificata rispetto a piante ed animali vengono raggruppati in un regno
proprio, detto dei protisti. Ad esso appartengono tutte le specie
monocellulari (ovvero con gli organismi composti da una unica cellula) o
pluricellulari ma con gli organismi composti da cellule tutte dello stesso
tipo. I microrganismi colonizzano praticamente ogni ambiente naturale e
sono inoltre caratterizzati da una intensa attività che si traduce in una
elevata velocità di crescita.
 I microrganismi all’interno del regno dei protisti si differenziano
essenzialmente sulla base della morfologia cellulare, del modo di
riprodursi e delle esigenze nutrizionali. Una prima classificazione divide, a
seconda della struttura della cellula, i protisti in procarioti ed eucarioti
 La cellula procariote è molto piccola (da 0.5 a 3 mm) e generalmente costituisce
da sola un organismo completo. Ha struttura molto semplice, è racchiusa in una
parete ed in una membrana cellulare, ma non presenta una membrana intorno al
nucleo; ha in genere forma di sfera, di spirale o di bastoncino. Sono procarioti i
batteri, i più diffusi tra i microrganismi ed i più utilizzati nelle attività umane,
che possiedono caratteristiche di alta attività e adattabilità molto spiccate.
 La cellula eucariote è molto più grande di quella procariote (da 1.000 a
10.000 volte), ha una struttura interna molto più complessa ed organizzata
con il nucleo racchiuso in una membrana porosa. È tipicamente la cellula
degli organismi superiori ma può esistere anche come singolo individuo. Tra gli
eucarioti molto diffusi sono i funghi, in genere in ambienti ad umidità relativa
più bassa che nel caso dei batteri. I funghi possono essere organismi a
morfologia complessa, come le muffe, o semplici e piccoli monocellulari, come
i lieviti. Altri importanti eucarioti sono i protozoi, strutture altamente
organizzate e sofisticate, che giocano un ruolo importante nel trattamento
biologico delle acque di scarico.
Principi dei processi biologici
Processi metabolici: Il metabolismo cellulare
La vita nel mondo dei protisti può essere ricondotta al
funzionamento della cellula.Una cellula è un sistema aperto
capace di ricavare dall’ambiente circostante l’energia e la
materia necessari a mantenersi in vita ed a riprodursi. A tal fine la
cellula è capace di far avvenire processi quali il trasporto di sostanze al suo interno e la
trasformazione di queste nei materiali cellulari necessari al mantenimento in vita ed alla
riproduzione. In generale le reazioni chimiche che presiedono a tali processi sono
energeticamente sfavorite (endoergoniche) e per guidarne lo svolgimento la cellula è in
grado di trasferire l’energia ricavata ed immagazzinata da altre reazioni caratterizzate da
diminuzione di energia libera (esoergoniche). L’insieme ordinato delle
reazioni chimiche (eso ed endoergoniche) che
presiedono alle funzioni di mantenimento e
riproduzione della cellula prende il nome di
metabolismo e comprende più di 1000 reazioni
indipendenti. A tale complesso sistema si applicano le
medesime restrizioni di bilancio materiale ed
energetico e le regole della termodinamica che
definiscono un processo chimico.
La biosintesi
Una cellula è composta di molti elementi
chimici, un piccolo numero dei quali sono in
netta predominanza rispetto a tutti gli altri.
La composizione elementare tipica di una
cellula microbica è riportata in tabella. Oltre
agli elementi elencati i microrganismi
contengono tracce di molti altri elementi
quali manganese, cobalto, rame, zinco, boro,
alluminio, vanadio, molibdeno, iodio, silicio,
fluoro e stagno. Tutti gli elementi citati
giocano un qualche ruolo nel metabolismo
cellulare: il primo requisito per sostenere
lo sviluppo e la riproduzione di una cellula
è che essi possano essere assunti dal mezzo
circostante in proporzione stechiometrica
rispetto alla composizione del nuovo
materiale cellulare.
Composizione
elementare di E.
coli
Carbonio
Peso secco
(%)
50
Azoto
14
Fosforo
3
Potassio
1
Calcio
0.5
Cloro
0.5
Ossigeno
20
Idrogeno
8
Zolfo
1
Sodio
1
Magnesio
0.5
Ferro
0.2
altri
0.3
I quattro elementi principali (carbonio, azoto, ossigeno ed idrogeno)
rappresentano più del 90% del peso secco della cellula; insieme con zolfo e
fosforo, concorrono alla formazione delle diverse classi di polimeri biologici
e sono presenti essenzialmente in questa forma nel materiale cellulare. La
maggior parte dei costituenti polimerici della cellula appartiene alla
categoria dei polisaccaridi (circa 6%), dei lipidi (circa 15%), delle proteine
(circa 60%) e degli acidi nucleici (circa 19%). Queste macromolecole sono
prodotte nella cellula a partire da un numero relativamente piccolo di
precursori (ovvero circa 15 monosaccaridi, 20 aminoacidi, 20 acidi grassi e
precursori dei lipidi e ribonucleotidi e deossiribonucleotidi) per un totale di
circa 70 diversi tipi di unità monomeriche. Alcuni di questi monomeri
possono o devono essere assunti direttamente dall’esterno mentre altri
possono essere sintetizzati da altri precursori. In generale i diversi elementi
costituenti la cellula entrano al suo interno sotto forma di molecole molto
semplici (spesso inorganiche) e subiscono una complessa serie di reazioni
chimiche prima di essere trasformati nei materiali cellulari. Ciò è anche
dovuto al fatto che solo molecole relativamente semplici e di piccole
dimensioni sono in grado di attraversare la membrana cellulare e partecipare
quindi alle attività metaboliche interne alla cellula.
L’attività biosintetica (anabolismo) è caratterizzata da una fitta rete di reazioni
interconnesse. I prodotti finali sono ottenuti in genere con una serie di passaggi
intermedi ed esistono spesso diversi percorsi possibili per ottenere lo stesso prodotto.
Questa complessa rete di reazioni chimiche viene diretta e controllata dalla cellula
attraverso gli enzimi (proteine con attività catalitica altamente specifica). Ciascun
passaggio di un percorso metabolico è accelerato dalla catalisi di uno o più enzimi
specifici e quindi la presenza, concentrazione ed attività dei diversi enzimi consente ed
orienta l’attività anabolica. Poiché gli enzimi stessi sono sintetizzati nell’attività
anabolica della cellula, in essi risiede uno dei principali meccanismi di autocontrollo
della cellula e di adattamento a modifiche dell’ambiente esterno.
Siccome solo molecole semplici e di piccole dimensioni sono in grado di attraversare la
membrana cellulare e poiché molto spesso i materiali a disposizione nell’ambiente
esterno sono più complessi ed addirittura simili al materiale cellulare stesso (quali
polimeri come polisaccaridi, proteine e grassi) e non possono quindi penetrare la
membrana cellulare, l’attività metabolica della cellula deve perciò estendersi al suo
esterno con il favorire (ancora mediante enzimi esocellulari) una prima degradazione di
tali materiali polimerici.
Processi metabolici: Il metabolismo energetico
La sintesi delle diverse sostanze richiede, oltre agli opportuni precursori, la
disponibilità di energia, essendo in generale le reazioni biosintetiche
energeticamente sfavorite. Inoltre l’attività biosintetica richiede la
disponibilità di un certo “potere riducente”. In entrambi i casi le cellule
ricavano tale disponibilità da reazioni chimiche (ossidazione
di sostanze) o fotochimiche (assorbimento di energia
radiante). In un sistema abiotico però le reazioni chimiche
normalmente sfruttate dalla cellula per ricavare energia avverrebbero
con modalità molto diverse. Esse sarebbero caratterizzate da meccanismi
di reazione con pochi stadi reattivi elementari, cinetica quasi nulla alle
basse temperature e dissipazione della differenza di energia tra stadi
iniziali e finali sotto forma di calore. Nel metabolismo cellulare il
cammino puramente chimico di tali reazioni è modificato mediante una
serie di enzimi, che favoriscono cineticamente determinate
trasformazioni intermedie dei reagenti. Nel far questo accelerano e
dirigono la velocità complessiva della reazione globale in una serie
precisa di stadi successivi caratterizzati da minori differenze energetiche.
Alcune delle reazioni suddette vengono mediate da composti cellulari che
immagazzinano parte del guadagno energetico della reazione mediante
la formazione di legami ricchi di energia ma facilmente
idrolizzabili (ovvero in grado di restituire facilmente l’energia
immagazzinata). Nella stessa serie di reazioni, altri composti cellulari si
riducono ed immagazzinano così potere riducente. Tale potere riducente
può poi essere utilizzato per produrre altra energia con reazioni di
ossidazione oppure per consentire la sintesi del materiale cellulare.
Anche se le reazioni coinvolte variano moltissimo a seconda del
microrganismo interessato e della sostanza di partenza, questa capacità
di trasferire energia e potere riducente da reazioni esoergoniche a
reazioni endoergoniche è del tutto generale della vita cellulare e quindi
della vita stessa. Il trasferimento di energia da reazioni esoergoniche a
reazioni endoergoniche avviene per il tramite dell’alternanza di
formazione ed idrolisi di un composto organico contenente fosfato,
l’acido adenosintrifosforico ed il suo anione derivato,
l’adenosintrifosfato (ATP).
L’idrolisi dell’ATP con il distacco di una molecola di fosfato e la formazione di
ADP (adenosindifosfato), secondo la: ATP + H2O ↔ ADP + Pi (dove Pi indica
fosfato inorganico) è energeticamente favorita. Nel sistema biologico tale
energia non è persa come calore ma viene utilizzata, con la mediazione
enzimatica, per consentire il contemporaneo svolgimento di reazioni
endoergoniche. In modo inverso, nei percorsi catabolici le reazioni
esoergoniche vengono guidate dagli enzimi in modo da avvenire in
contemporanea con la riformazione di ATP da ADP. La formazione di ATP può
derivare sia dal trasferimento di fosfato da composti organici con legami ad
ancora più alto contenuto energetico sia per diretta addizione di fosfato
inorganico. Il trasferimento di potere riducente è invece mediato da derivati
nucleotidici, in particolare dal nicotinamide adenindinucleotide (NAD) e dal
fosfato nicotinamide adenindinucleotide (NADP). Se la riduzione di una
sostanza organica avviene con la mediazione biologica, in genere, comporta
l’addizione di atomi di idrogeno (idrogenazione). All’inverso l’ossidazione
corrisponde ad una deidrogenazione. NAD e NADP contengono il gruppo
nicotinamide che subisce facilmente in maniera reversibile le reazioni di
idrogenazione e deidrogenazione. La reazione di NAD e NADP viene in genere
simbolizzata come:
NAD++2H↔NADH+H+
e
NADP+ + 2H ↔ NADPH + H+
Il potere riducente (ovvero elettroni o atomi di
idrogeno) viene perciò accumulato nel corso dei
percorsi catabolici nelle forme ridotte NADH e
NADPH, pronto ad essere rilasciato tornando alle
forme ossidate, ad esempio nei percorsi
anabolici.
Trasferimento di energia e di potere riducente sono
strettamente accoppiati. Parte del potere riducente
accumulato
può
contribuire
direttamente
all’immagazzinamento di energia: come si vedrà meglio
in seguito, nel caso di presenza di un accettore esterno di
elettroni, quale l’ossigeno, NADH e NADPH sono
direttamente ossidati con formazione di ATP da ADP e
fosfato inorganico (fosforilazione ossidativa).
Processi metabolici: Classificazioni metaboliche
Si è visto che per la vita cellulare è necessaria disponibilità dall’ambiente
esterno alla cellula di alcuni materiali e di energia. Una distinzione
importante nel tipo di metabolismo riguarda il modo
attraverso cui i diversi microrganismi si procurano il
carbonio (il principale costituente cellulare) per l’attività
anabolica. La fonte di carbonio può essere costituita da carbonio
inorganico (anidride carbonica) o carbonio organico (sostanze
organiche quali carboidrati, grassi, proteine ed altro). I
microrganismi che possono servirsi della sola anidride
carbonica quale fonte di carbonio vengono definiti autotrofi
mentre nel secondo caso vengono definiti eterotrofi. Per
quanto riguarda la fonte di energia, come già detto, esistono
microrganismi che derivano l’energia necessaria dalla luce
(fototrofi) e microrganismi che la derivano dalla ossidazione
di sostanze chimiche ridotte (chemotrofi). Come è riportato in
tabella, la combinazione di questi due fattori porta a quattro categorie
principali di metabolismo.
Classificazione degli organismi sulla base delle fonti di carbonio ed energia
Fonte di carbonio
Fonte di energia
Chimica
Luce
Composti organici
Chemoeterotrofi (animali
Fotoeterotrofi (alcuni batteri, alsuperiori, protozoi, funghi e
cune alghe eucariote)
maggior parte dei batteri)
Anidride carbonica
Chemoautotrofi (alcuni batteri)
Fotoautotrofi (piante superiori,
alghe eucariote, alghe blu-verdi
ed alcuni batteri)
Dal punto di vista dell’utilizzo nei reattori biologici, i gruppi di maggior rilievo sono senz’altro i
chemotrofi e, in particolare, i chemoeterotrofi. Tra questi due gruppi e all’interno di essi
possono essere individuate altre importanti differenze che riguardano la natura dei composti
chimici da cui procurarsi l’energia necessaria alla crescita. I microrganismi chemoautotrofi
ricavano l’energia dalla ossidazione di sostanze inorganiche quali idrogeno, ammonio o
solfuro (e sono perciò detti anche litotrofi), mentre i microrganismi chemoeterotrofi
ricavano l’energia, come pure la fonte di carbonio, dall’ossidazione di sostanza organica. In
entrambi i gruppi, con il meccanismo della respirazione i microrganismi accoppiano
l’ossidazione della sostanza ridotta alla riduzione di un agente ossidante inorganico esterno.
Nel caso questo agente sia l’ossigeno si ha la respirazione aerobica mentre nel caso degli altri
agenti, quali nitrato o solfato o anidride carbonica, si ha la respirazione anaerobica. Tra i
chemoeterotrofi esistono inoltre organismi in grado di ossidare la sostanza organica a spese
di un altro agente organico prodotto internamente (operando in pratica una disproporzione
interna). In questo caso si è ugualmente di fronte ad un metabolismo anaerobio, che prende il
nome di fermentazione anaerobica.
Stechiometria ed esempi di calcolo
Energia (catabolismo) e sintesi (anabolismo)
Un microorganismo, nel corso della sua esistenza, cresce e si moltiplica. Per
espletare queste due funzioni ha a disposizione due processi: quello
energetico e quello sintetico. La sintesi gli permette di costruirsi quelle
molecole che sono necessarie per lo sviluppo e la riproduzione; si tratta
perciò di un processo che implica una richiesta di materiali ed un certo
lavoro e quindi una richiesta di energia. Questa energia viene ottenuta
attraverso reazioni di ossidazione biochimica od attraverso fotosintesi.
Nei trattamenti biologici degli scarichi vengono sfruttati ambedue i processi
che, simultaneamente, ma per vie diverse, utilizzano il materiale organico
presente nell’acqua. L’ossidazione di una parte della sostanza organica
infatti fornisce l’energia, mentre una seconda parte viene utilizzata come
elemento nutritizio.
Nella sintesi però i materiali rimossi vanno a costituire materia vivente dei
batteri, mentre nel processo energetico si ottengono dei materiali finali
stabilizzati che vengono estromessi come cataboliti gassosi, H2O, ecc.
Fenomeni di trasporto e reazione biochimica
Ogni reazione biochimica che avviene all’interno del batterio, a livello sia di
catabolismo che di anabolismo, necessita prima di un sistema di trasporto
dei substrati, ioni e gas che si trovano nell’ambiente liquido esterno affinché
essi attraversino le membrane che contornano e delimitano il batterio e
raggiungano i siti specifici di reazione all’interno di questi. Questo trasporto
può avvenire sostanzialmente in tre modi: trasporto passivo, trasporto attivo,
trasporto misto.
Trasporto passivo: è un fenomeno fisico spontaneo che non richiede un
apporto energetico da parte del batterio, con una velocità di trasporto
direttamente proporzionale al cosiddetto potenziale di trasferimento, dato
dalla differenza di concentrazione della specie chimica da trasferire tra
interno ed esterno (conc. esterna maggiore della conc. interna) e
inversamente proporzionale alla somma delle resistenze che si oppongono
al trasferimento (resistenza alla interfacie liquido/solido, alla superficie
batterica o resistenza all’interno dell’aggregato batterico).
dc
Queste relazioni sono espresse dalla legge di Fick:
vp  D A 
dy
Trasporto attivo:
è un fenomeno di trasferimento di materia che avviene mediante un
apporto energetico da parte del batterio in grado di agire anche contro il
potenziale naturale di trasferimento. Il fenomeno biologico che
interviene è un trasporto catalitico mediato da enzimi (permeasi)
trasportatori, in grado di trasportare le molecole interessate fino al sito
interno di reazione. Tali reazioni enzimatiche possono essere descritte
mediante la espressione di Monod:
v a max  c
va  A 
k sa  c
va=velocità di trasporto attivo; c=conc. specie chimica
all’esterno; vamax=vel. massima per unità di area; ksa=costante di
saturazione enzima/specie chimica
Trasporto misto: Analogamente al trasporto passivo esso agisce favorito
da un potenziale di trasferimento dc/dy in grado di attivare una
diffusione fisica attraverso le membrane ma spesso la velocità rilevata è
maggiore di quella relativa alla sola diffusione. È stato provato che in
questo caso interviene, oltre al fenomeno diffusivo, anche un trasporto
enzimatico attivo del tipo già visto.
Le forme di trasporto attivo e misto si rilevano generalmente nei
riguardi delle molecole più grosse e più complesse stericamente
alcune delle quali, prima di potersi legare all’enzima
trasportatore devono essere spezzate in molecole più piccole
dagli enzimi idrolitici extracellulari che il batterio stesso
estromette nelle immediate vicinanze della membrana esterna.
Quando la specie chimica che deve reagire è stata trasportata
all’interno della cellula, a livello del sito di reazione biochimica
vera e propria, la velocità di reazione di scomparsa della
suddetta specie è descrivibile in termini di reazione enzimatica
con l’espressione di Michaelis Menten:
v r max  C' vr=velocità di reazione enzimatica; V=volume del sito di
vr  V 
reazione; vamax=vel. massima per unità di volume di sito;
k sr  C'
C’=conc. della specie chimica nel sito di reazione
Energia
La crescita e la sopravvivenza dei microorganismi dipende dalla loro
possibilità di ottenere energia e materiali dall’ambiente circostante. Gli
organismi viventi hanno a disposizione solo due fonti di energia: l’energia
solare e le ossidazioni chimiche; le alghe utilizzano la prima fonte e sono
dette autotrofe, mentre la maggior parte dei batteri utilizza la seconda ed
ottiene l’energia dal metabolismo dei composti organici ed inorganici; sono
perciò chiamati organismi chemiotrofi.
Poiché il materiale organico negli scarichi è stabilizzato per ossidazione,
questa reazione risulta di grande importanza. Batteri ed altri
organismi, nei sisterni di depurazione sia aerobi che anaerobi
degli scarichi, non ossidano il materiale attraverso la azione
diretta dell’ossigeno, ma piuttosto attraverso uno schema
indiretto di rimozione enzimatica dell’idrogeno; questi,
attraverso molti passaggi intermedi, reagisce con l’ossidante
finale (od accettore di idrogeno) che può essere O2, C, S, N2.
Gli organismi litotrofi, che si trovano solo tra i batteri,
ottengono la loro energia dall’ossidazione di riducenti
inorganici come zolfo o ferro per mezzo di ossidanti
(accettori di idrogeno inorganici), come O2 e CO2 mentre
gli organismi organotrofi ossidano donatori di idrogeno
organici, usando come ossidanti accettori di idrogeno sia
organici che inorganici.
La fermentazione aerobica è un’ossidazione che produce
energia, nella quale l’ossidante finale è un composto
inorganico, O2; mentre la fermentazione anaerobica è una
ossidazione che produce energia, in cui l’ossidante finale è
prevalentemente organico e sia il riducente che l’elemento
nutritizio sono prevalentemente organici.
Nella tabella seguente è riportato un esempio di riducenti ed
ossidanti utilizzati nei vari tipi di fermentazioni batteriche.
Riducenti ed ossidanti nelle fermentazioni batteriche
Riducente
Ossidante
Prodotti
Organismo
H2
H2
Composti
organici
NH3
NO2Composti
organici
O2
SO42-
H2O
H2O + S2-
O2
CO2 + H2O
O2
O2
NO2-+H2O
NO3- + H2O
Idrogenobatteri
Desulfovibrio
Molti batteri, tutte le
piante e gli animali
Batteri nitrosanti
NO3-
N2 + CO2
Batteri denitrificanti
Fe2+
O2
Fe3+
S2-
O2
SO42- + H2O
Ferrobacillus
Thiobacillus
Batteri nitrificanti
I batteri anaerobi utilizzano così come ultimo accettore di idrogeno l’ossigeno
legato, il carbonio, l’azoto e lo zolfo, che trovano nelle molecole del substrato circostante. A seconda della loro specificità metabolica essi si
dividono in: riduttori di composti organici; produttori di metano; riduttori
di solfati; riduttori di nitrati e nitriti. I batteri riduttori di composti
organici rigenerano i loro coenzimi principalmente per mezzo dell’ossigeno
legato, in special modo, dagli zuccheri che ne sono i più ricchi. I prodotti
finali di un metabolismo di questo tipo sono costituiti da acidi, aldeidi,
chetoni, alcooli. I batteri produttori di metano sono una categoria poco
conosciuta del tutto particolare. Essi rigenerano i coenzimi utilizzando
unicamente il carbonio come accettore finale di idrogeno. Pare che il
metabolismo di questi microorganismi ignori la parte di substrato costituito
da zuccheri e proteine e metabolizzi solo gli acidi organici, più o meno
prontamente secondo la lunghezza delle catene. Sotto questo aspetto si può
riconoscere l’importanza del meccanismo di preparazione attuato dai batteri
del primo tipo, cioè dei produttori di acidi.
Un tempo si pensava che l’atomo di carbonio che va a formare il metano
provenisse dall’anidride carbonica; pare invece che il metano originato per
riduzione dell’anidride carbonica sia solo il 30% del totale ed in ogni caso la
reazione non avvenga direttamente, ma tramite carbossilazione degli acidi e
successive riduzioni degli stessi. Il seguente schema di reazione
fondamentale indica comunque che la maggior parte del metano proviene
dagli acidi volatili.
CH3COOH  CH4 +CO2
Un atomo di carbonio è l’accettore finale di idrogeno e produce il metano,
mentre l’altro atomo di carbonio va a costituire l’anidride carbonica.
In ogni caso questa non è una reazione unica, ma piuttosto il frutto di una
catena di trasporto enzimatica dell’idrogeno ancora sconosciuta. I batteri
riduttori di solfati (es. desulfovibrio) riducono i solfati con produzione di
acido solfidrico che, se presente in sufficienti quantità, si manifesta con la
emanazione di uno sgradevole odore di uova marce. La presenza di questi
batteri dipende notevolmente dal contenuto in zolfo o solfati dello scarico.
I batteri denitrificanti riducono i nitriti ed i nitrati con produzione di azoto
gassoso.
Finora, si è visto come viene rimosso l’idrogeno e qual è il suo utilizzo, ma non
come questo complesso meccanismo di reazioni ossidative riesca a fornire
energia al batterio. L’idrogeno legato alle molecole organiche possiede
una certa energia, detta energia di legame. Quando esso viene
rimosso, si libera l’energia che prima era impegnata a tenerlo unito
agli altri atomi della molecola. Contemporaneamente, poiché
l’idrogeno non può restare libero, ma viene trasportato dalla catena
enzimatica, esso si lega nuovamente con altri atomi, impiegando
però solo una parte dell’energia prima liberata, con un netto
guadagno da parte del microorganismo. La ripetizione della rottura e
della formazione dei legami fornisce continue frazioni di energia. Il batterio
può raccogliere e conservare questa energia ritrasformandola in energia
chimica di legame solo tramite due importanti coenzimi, l’ADP
(adenosindifosfato) e I’ATP (adenosintrifosfato). L’energia liberata durante il
trasporto dell’idrogeno viene così a trasformarsi in energia del legame fosfato
tramite l’unione di una molecola di fosfato inorganico all’ADP:
ADP + PO43- +18 kcal  ATP
Oltre al meccanismo di trasporto dell’idrogeno esistono altre reazioni
metaboliche che forniscono energia ma, in ogni caso, da qualsiasi fonte
provenga l’energia chimica che il batterio riesce ad ottenere, essa viene
trasformata in ATP. In questo modo i carboidrati, i grassi e le proteine sono
solo i combustibili grezzi, usati per generare un combustibile di alta qualità,
l’ATP, che è l’unica forma di energia che la cellula batterica è in grado di
utilizzare direttamente per mettere in moto tutti i suoi meccanismi vitali.
Nella fermentazione aerobica l’ambiente deve essere perciò mantenuto
rigorosamente aerobico tramite ossigenazione artificiale, cosicché la sostanza
organica contenuta nell’acqua possa subire una parziale ossidazione dovuta
alla respirazione batterica; i suoi principali costituenti, carboidrati, grassi e
proteine, vengono così sottoposti alla deidrogenazione, prima attraverso le
singole vie di degradazione (glicolisi-ossidazione, ecc.) ove si ottengono molte
molecole di coenzimi ridotti e poi attraverso il ciclo di Krebs, o via metabolica
dell’acido citrico, il quale è un intermedio comune e passaggio d’obbligo di
quasi tutte le molecole organiche, ove oltre ai coenzimi ridotti si ha la
produzione di CO2.
Si noti infine che la resa energetica per mole di sostanza organica è
molto più alta per il metabolismo aerobico che non per quello
anaerobico: a titolo di confronto si riportano i seguenti esempi
per il glucosio.
Aerobiosi
C6H12O6+6O2  6CO2+6H2O + 686 kcal/mole
Anaerobiosi
denitrificazione
5C6H12O6+24KNO3  30CO2+18H2O+24KOH+12N2 +570
kcal/mole
fermentazione metanica
C6H12O6  3CO2 + 3CH4 + 34,4 kcal/mole
Sintesi
La sintesi è il processo mediante il quale un batterio produce i materiali necessari
alla sua crescita e, dal momento che si moltiplica per scissione binaria, anche
per la riproduzione. Siccome il materiale protoplasmatico è di tipo organico, in
particolare ricco di atomi di carbonio, è necessario che i batteri siano in grado
di sintetizzarlo: gli autotrofi, lo possono fare utilizzando molecole inorganiche,
principalmente CO2, gli organotrofi, invece, possono utilizzare solo molecole
organiche. Per protoplasma batterico si intende tutto l’insieme dei componenti
chimici costituenti il batterio: ovvero, per la maggior parte, C, H, O, N, e alcuni
elementi quali: P, S, Na, K, Ca, Mg, Fe, Mo, Co, Mn, Zn, Cu. Tutti questi atomi
costituiscono i mattoni necessari alla costruzione delle macromolecole
biologiche di cui necessita il microorganismo; principalmente grassi,
carboidrati, proteine ed acidi nucleici, ma in primo luogo H2O. Tali composti
organici macromolecolari vengono prodotti all’interno delle cellule dalle
reazioni biochimiche le quali, sfruttando l’energia ottenuta col catabolismo e
trasformata in ATP, ne attuano la sintesi a partire da piccole molecole di
composti semplici presenti nel mezzo acquoso preventivamente degradati per
via enzimatica soprattutto per idrolisi, una reazione che ha la funzione di
ridurre grosse molecole polimeriche in monomeri.
Mentre le fonti di azoto possono essere varie (NO3, NO2, NH3, N organico) a
seconda del tipo di metabolismo batterico, il fosforo è sempre richiesto come
fosfato inorganico. Le proporzioni in cui tali elementi sono richiesti variano
al variare della velocità di crescita, in particolare sono alte in fase di crescita
attiva (N=12% del secco totale) e più basse invece man mano che ci si
avvicina ai livelli di respirazione endogena (N=5% del secco totale). Le
proporzioni BOD5 : N : P possono valere, per condizioni di intensa velocità di
crescita, e perciò alto carico organico: BOD5 : N : P=l00 : 5 : l
mentre per condizioni endogene si può porre: BOD5 : N : P=200 : 5 : l
Tali rapporti sono in genere largamente soddisfatti nel caso di liquami civili,
mentre sono deficienti in alcuni casi di scarichi industriali. Si provvede
allora a calcolare tale deficit ed a colmarlo immettendo nello scarico sali di N
e di P in genere, come NH4+ e PO43- evitando di usare i nitrati poiché
facilmente vanno soggetti a denitrificazione e produzione di N2 gassoso che
disturba la fase di sedimentazione. L’azoto può essere alimentato come gas
(NH3 anidro), come soluzione ammoniacale, o come sale d’ammonio secco
ed il fosforo come fosfato mono o diammonico, monosodico o trisodico.
Se confrontiamo l’ATP prodotto per respirazione
aerobica con quello prodotto per fermentazione
anaerobica da una mole di glucosio, vediamo che la
respirazione aerobica produce 5 volte più ATP che
non la fermentazione anaerobica. Siccome la quantità
di energia usata per formare una certa quantità di
protoplasma non dipende da come l’energia viene
ottenuta, più ATP viene prodotto da un
substrato e più materiale cellulare si forma.
Ne deriva che in condizioni anaerobiche il
carbonio disponibile nel substrato utilizzato
per la sintesi cellulare è minore che non in
condizioni aerobiche.
Stechiometria
I calcoli stechiometrici sono fondamentali per una valutazione
teorica dei prodotti di partenza e di risulta di un processo
batterico, quali la quantità di substrato reagito, la quantità di
cellule prodotte, la quantità di ossigeno, azoto e fosforo necessarie
alla crescita batterica, la quantità di prodotti ottenuti nonché la
quantità di energia scambiata e il calore sviluppato. Dalle stesse
reazioni è possibile inoltre, tramite sempre un bilancio di massa, calcolare
l’efficienza delle reazioni. L’unica informazione che non è possibile ottenere è
un’indicazione della velocità con la quale si compiranno le reazioni per cui
non è possibile sapere se le reazioni andranno a compimento in un secondo,
un’ora o un giorno. È inoltre evidente che le reazioni che coinvolgono
substrati specifici, ad esempio solo glucosio o glicina ecc., sono di significato
unicamente didattico, poiché in realtà i substrati con i quali ci si scontra sono
spesso miscugli eterogenei di zuccheri, grassi, proteine di produzione ignota.
Di fatto tali miscele verranno indicate con le formule brute Cx, Hy, Oa, Nz, Pb e
si intende che siano biodegradabili.
Deve essere inoltre chiaro che tali reazioni non
descrivono assolutamente la realtà delle reazioni
biochimiche che intervengono ma hanno l’unico
significato di un bilancio di massa.
Per operare calcoli stechiometrici occorre stabilire la
formula chimica che identifica sia il substrato che la
cellula. Entrambe le formule sono generalmente
empirche e si ricavano dall’analisi elementare del
substrato/cellula. La tabella seguente riporta esempi
di formule cellulari.
Ripartizione catabolismo/anabolismo
La base per le valutazioni teoriche è l’assunzione che una mole
di ATP fornisce l’energia per la sintesi di circa 10 g di cellule.
Possiamo ora valutare, a titolo di esempio, i coefficienti di crescita
batterica y (g batteri prodotti/g substrato utilizzato) o altri rapporti di
significato analogo come ad esempio fs (g carbonio destinati alla sintesi
batterica/g carbonio totali utilizzati) per una fermentazione aerobica del
glucosio e una fermentazione metanogena anaerobica dello stesso.
Fermentazione aerobica
Catabolismo
(energia)
C6H12O6 +6O2  6 CO2 +6 H2O +38 ATP
Anabolismo
(sintesi)
5 C6H12O6 + 6 NH3  6 C5H7O2N + 18 H2O
Peso di cellule producibili da ogni mole di glucosio catabolizzato:
Pcell=NATPPATP
Dove: Pcell=peso di cellule producibili da ogni mole di glucosio catabolizzato
(g cell/mole Gc); NATP=numero di moli di ATP producibili da ogni mole
di glucosio catabolizzato; PATP=peso di cellule prodotte da ogni mole di
ATP utilizzato. Da cui: Pcell= 38  10 = 380 (g cellule/g mole Gc)
La quantità di glucosio necessaria per produrre 380g di
cellule è ricavabile dalla reazione dell’anabolismo
assumendo che il rapporto tra le moli è uguale al rapporto
tra i coefficienti stechiometrici.
(Gs/PMG):(Pcell/PMcell)= nG : ncell
Gs=(nGPMGPcell)/(ncellPMcell)=(5180380)/(6113) = 504 g
Il coefficiente di crescita cellulare y sarà:
y=Pcell/(Gs+Gc)=380/(504+180)=0.56
La frazione di glucosio necessaria rispetto al totale è:
fs= Gs/(Gs+ Gc)=504/(504+180)=0.74
Fermentazione mista acido metanogena
Catabolismo
(energia)
C6H12O6  3 CH4 +3 CO2 +5.5 ATP
Anabolismo
(sintesi)
5 C6H12O6 + 6 NH3  6 C5H7O2N + 18 H2O
Peso di cellule producibili da ogni mole di glucosio
catabolizzato:
Pcell=NATP PATP=5.5 10= 55g cellule/mole Gc
Gs=5  180  55/(6 113)= 73g glucosio
fs=73/(73+180)= 0.29
y=55/(180+73)= 0.22
Si può ora scrivere la formula globale della sintesi e dell’energia sottraendo al
catabolismo la quota di substrato destinata all’anabolismo.
Cinetica biologica.
CINETICA DELLE REAZIONI BIOLOGICHE
Il principale obiettivo dei trattamenti biologici di depurazione è
la rimozione della sostanza organica contenuta nel substrato da
trattare tramite la crescita attiva dei microorganismi presenti,
generalmente batteri. L’effetto della depurazione si ottiene così
tramite un’associazione tra la crescita batterica e la rimozione
del substrato, cosicchè la cinetica di entrambe le reazioni è
strettamente collegata.
La crescita batterica è definita dall’incremento del numero di
organismi vivi nel tempo ma spesso questo parametro è
difficilmente misurabile per cui si ricorre si ricorre a stime
associate al metabolismo. I vincoli associati al metabolismo si
dividono in anabolici e catabolici.
Vincoli associati anabolici
Vincoli associati catabolici
 var. del numero di individui nel
 produzione di cataboliti specifici
tempo
 var. della massa di individui nel
tempo
 var. della massa secca
(individui+inerti) nel tempo
 var. della massa proteica nel
tempo
 var. della massa genetica (DNARNA) nel tempo
 var. della massa energetica (ATPADP) nel tempo
 var,. della massa enzimatica nel
tempo sintetica nel tempo
 scomparsa di substrati nel tempo
(specifici, COD, BOD, TOC)
nel tempo (CO2, O2, CH4, H2S, H2,
ecc.)
 var. della massa enzimatica
catabolica nel tempo (NADH2,
FADH2, ecc.)
 consumo di ossigeno respiratorio
nel tempo. del numero di individui
nel
La descrizione cinetica può essere più o meno complicata dipendentemente dalla
complessità della situazione fisica in cui la crescita avviene e dall’utilizzo che
si vuole fare della cinetica stessa.
L’interazione che esiste tra l’ambiente (medium o mezzo) e la tipologia della
biomassa cellulare è indicata dallo schema seguente che evidenzia
l’interazione tra la popolazione cellulare e il mezzo che è multicomponente
e multifase. Esso è multicomponente perché contiene vari nutrienti e, in più, i
prodotti del metabolismo cellulare; è multifase poiché composto almeno da una
fase liquida e da una gas.
Un’ulteriore difficoltà da tenere in conto è relativa alla reologia del mezzo che
non è assimilabile a quella di un liquido newtoniano ma, in virtù dell’alta
viscosità e della varietà di fasi e componenti, è quella di un liquido nonnewtoniano.
Ambiente (medium)
Multicomponente
Reazioni in soluzione
Equilibri acido-base
PH, T variabili
Proprietà reologiche variabili
Multifase (G-L, L-L, G-L-L)
Disuniformità spaziale
Nutrienti
Prodotti
Calore
Iterazioni
meccaniche
Popolazione cellulare
Multicomponente
Eterogeneità cellulare
Multireazioni
Controlli interni
Adattabilità
Stocastica
Drift genetico
In realtà non è spesso possibile utilizzare una modellazione cinetica che tenga in
conto tutti gli aspetti fisici, tutti i componenti e le fasi a cui si è accennato,
per cui si operano normalmente semplificazioni per giungere ad una
descrizione più applicabile. Le diverse possibilità di semplificazione del
modello cinetico sono riportate nella figura seguente dove si nota che un
modello realistico dovrebbe riferirsi ad una rappresentazione dell’ambiente
cellulare multicomponente (ossia strutturato) anziché prendere a riferimento
un unico componente la cui concentrazione può essere considerata
indipendente rispetto alle variazioni delle altre componenti (nonstrutturato). Inoltre la situazione reale è quella di un mezzo dove diverse
fasi sono segregate le une rispetto alle altre (spesso per una precisa volontà
del progettista) e non come prevede la massima semplificazione non
segregate.
Popolazione cellulare
trattata come un
mono-componente
con proprietà medie
Strutturato
Multicomponente;
descrizione della
popolazione cellulare
come media
Componente singola
Popolazione cellulare
eterogenea
“mediata”
bilanciata
cellula
cellula
crescita
“mediata”
Segregato
N on segregato
N on strutturato
Multicomponente;
Popolazione cellulare
eterogenea
crescita
bilanciata
Reattori ideali per misure cinetiche
Le informazioni sulla cinetica di crescita microbica si ottengono utilizzando reattori
dove ci sia perfetta miscelazione ossia non si vengano a creare disuniformità
spaziali delle concentrazioni.
Il primo tipo di reattore utilizzato è quello “Ideal Batch” ossia r. ideale a perfetta
miscelazione discontinuo.
In questo reattore si aggiunge al tempo t=0 un inoculo di cellule viventi in un mezzo
continuo perfettamente miscelato. Le concentrazioni della biomassa, dei nutrienti e
dei prodotti metabolici varieranno nel tempo descrivendo le curve di crescita (o
consumo). Il bilancio di materia va scritto considerando che il termine di accumulo
del generico componente i deve essere uguale, istante per istante, alla quantità
generata (o consumata) dello stesso componente i. In formule: d V  X  V  r
dt

i

dove V è il volume del mezzo di coltura. Se niente è aggiunto o sottratto esso è
costante e viene eliminato da entrambi i membri dell’equazione. ri è la velocità di
crescita per unità di volume di coltura ed è, in questo caso, l’incognita che deve
essere ottenuta tramite misure della Xi istante per istante.
i
Il reattore ideale a perfetta miscelazione continuo (CSTR) è invece
caratterizzato da un’alimentazione continua di mezzo di coltura e da una
continua miscelazione ottenuta grazie ad agitatori meccanici o a bolle di gas
che permeano il mezzo liquido. In questo caso, dopo un certo periodo di
tempo iniziale (transitorio), non ci sarà più variazione temporale delle
concentrazioni. Il bilancio a regime sarà:
FX i0  X i   V  ri  0
Dove il rapporto F/V è
la velocità di diluizione
o, all’inverso, il tempo di
residenza nel reattore.
te”
fase di crescita
esponenziale
or
im
“d
log numero di cellule
se
Fa
La cinetica di crescita di popolazione a cui si farà riferimento sarà quella
ottenuta nell’ipotesi di modello non strutturato cioè solo la massa
cellulare o la sua concentrazione saranno impiegate per caratterizzare
l’intera fase biologica (cinetica di crescita bilanciata).
La velocità di crescita cellulare netta, ri, sarà espressa come mX dove m è
la velocità di crescita specifica.
Ponendo una piccola quantità
Fase stazionaria
di microrganismi in presenza
di un eccesso di substrato, la
produzione di nuovo
materiale cellulare segue
l’andamento qualitativo
lag
phase
riportato in figura dal cui
esame è possibile individuare
5 distinte fasi di crescita.
tempo
1) fase di induzione e di crescita accelerata. Rappresenta il tempo
necessario ai microrganismi per acclimatarsi al nuovo ambiente e
per sintetizzare gli enzimi e i coenzimi specifici per i substrati da
metabolizzare. Tale periodo è ovviamente funzione delle condizioni
ambientali, e può essere praticamente annullato utilizzando, come
inoculo, cellule in crescita esponenziale provenienti dallo stesso
substrato;
2) fase di crescita esponenziale. Durante questo periodo i substrati
sono ancora presenti in eccesso, la singola cellula si riproduce ad
una velocità determinata dal suo caratteristico tempo di generazione
e quindi la velocità di crescita della biomassa, dX/dt, dipende
soltanto dalla concentrazione X dei microrganismi.
dX
 mX
dt
dove X è la concentrazione della biomassa e m è il suo
tasso di crescita. Integrando questa equazione si ottiene:
1 dX
 m  m max
X dt
X
dove mmax indica il massimo tasso di crescita della biomassa. ln
 m max  t
X0
Da questa espressione si ottiene:
(a t=0 X=X0) da cui:
X  X0  emmax t
Il tempo di generazione (tg) che serve alla popolazione microbica per
raddoppiarsi è, pertanto:
ln 2
tg 
m max
Il tempo di duplicazione oscilla tra qualche decina di minuti a diverse ore.
3) fase di crescita rallentata. Rappresenta il periodo dello sviluppo
della coltura microbica nel quale una delle sostanze nutritive cade
in difetto e diventa pertanto limitante per la crescita dei
microrganismi; una relazione che lega il tasso di crescita della
biomassa alla concentrazione S del substrato limitante è (Monod,
1942):
S
m  m max 
K S
dove S è la concentrazione del
substrato e K è la costante di
semisaturazione ovvero
la concentrazione del substrato
in corrispondenza della quale
la velocità di crescita è la metà
di quella massima.
4) fase di crescita stazionaria. In questa fase la popolazione rimane
costante (m = 0). Questo fatto può essere interpretato sia
considerando che in queste condizioni non c’è più crescita in quanto
il substrato è usato dai microrganismi come energia di
mantenimento, sia ipotizzando che la crescita dei nuovi
microrganismi è compensata dalla morte di altri più “vecchi”;
5) fase di declino. Questa fase è caratterizzata dalla diminuzione
della concentrazione dei microrganismi (m<0) e si verifica quando il
substrato è esaurito; la variazione di concentrazione dei
microrganismi è rappresentata da:
m  b
Dove b è il tasso di respirazione endogena che può essere
interpretato sia come costante di mantenimento che come tasso di
morte cellulare.
I sistemi microbici che operano negli impianti di
depurazione si trovano nelle fasi 1) e 2) durante
l’avviamento degli impianti e nelle fasi 3) 4) e 5)
nelle condizioni di marcia a regime. Pertanto
l’equazione cinetica che regola il processo
biologico assume l’espressione generale:
1 dX
S
 m  m max 
b
X dt
K S
A queste equazioni va aggiunta l’espressione del bilancio di
materia:
dX
dS
dt
Y
dt
 bX
dove Y è il rendimento di crescita pari alla massa di
microrganismi prodotti per unità di substrato consumato.
In definitiva si ottiene:
m max
1 dS
S
v

X dt
Y KS
dove v è il tasso di utilizzazione del substrato.
S
v k
KS
Quest’ultima espressione è nota come equazione di Michaelis
e Menten (dove k=mmax/Y).
Le equazioni appena illustrate descrivono il comportamento
cinetico di un sistema biomassa-substrato nel caso particolare
che tale sistema possa essere considerato omogeneo (cioè
costituito da un’unica fase) e quindi con resistenze diffusionali,
dovute al trasporto del substrato, praticamente nulle.
Tali resistenze, però, possono avere un ruolo molto importante e,
pertanto, il processo di degradazione di un substrato ad opera
della biomassa, nel caso più generale può essere schematizzato
come:
1. il trasporto dei substrati dalla massa del liquido (bulk)
all’interfaccia liquido-fiocco biologico;
2. la diffusione dei substrati attraverso la matrice biologica
porosa;
3. la reazione biochimica sui siti attivi del fiocco.
ILa
processi
1 e 2 sono
in di
serie mentre i processi 2 e 3 sono in
figura riporta
i profili
parallelo
concentrazione
del
substrato nella fase liquida,
all’interfaccia e all’interno
del biofiocco nel caso di
resistenze diffusionali nulle
e nei casi di influenza delle
resistenze (interne ed
esterne) al trasporto di
materia.
In condizioni stazionarie la quantità di substrato trasportata dal bulk
del liquido alla superficie esterna della biomassa è uguale alla
quantità di substrato consumato tramite le reazioni biochimiche:
v  K L a i(SB-SS )
Dove KL è il coefficiente di trasporto
di materia in fase liquida e ai la
superficie esterna della biomassa
per unità di volume di bioreattore.
Ricordando l’espressione di v la
precedente equazione diviene:
m max
SS
X
 K L a i (SB  SS )
Y
K  SS
Questa
relazione
è
fondata
sull’assunzione che in ogni punto
all’interno
del
biofiocco
la
concentrazione del substrato sia
pari al valore SS.
Il numero di parametri può essere ridotto da 4 a 2
adimensionalizzando l’equazione ottenuta nel caso precedente
nell’ipotesi di controllo del trasferimento di massa esterno. I
parametri adimensionali introdotti sono: x=SS/SB;
Da=mmax/(KLSB); k=K/SB. Dove Da è il numero di Damköhler che
rappresenta il rapporto tra la massima velocità di reazione e la
massima velocità di trasferimento di materia. Quindi se Da<<1 la
resistenza è unicamente di tipo cinetico. L’equazione di progetto
ottenuta nel caso di controllo del trasferimento di massa esterno al
1 substrato
x
x diventa:
Da

kx
dove 0  x  1
La soluzione analitica di tale equazione è:

b 
4k
x
 1  2  1 dove b  Da  k - 1

2 
b

dove il segno è + se b>0 e viceversa.
Si introduce a questo punto il fattore di efficienza h
definito hcome:
velocità della reazione effettivamente osservata

velocità che sarebbe ottenuta se non ci fosse
resistenza al trasferimento di materia (i.e. S B  SS )
x /( k  x )
h
Che diviene, nel nostro caso:
1/( k  1)
Quindi se h<1 l’attività catalitica è ridotta
dall’incremento della resistenza esterna. Se invece
m max S B
Da0 si ha: h  1; v 
K  SB
Per quanto riguarda la
diffusione dei substrati
attraverso la matrice
biologica porosa (così come
attraverso un supporto
poroso di enzimi
immobilizzati) si deve
assumere un sistema di
coordinate di riferimento
come quello in figura.
I simboli Des e v denotano il
coefficiente di diffusione
effettiva e la velocità locale di
utilizzazione del substrato,
risp. Si tenga presente che il
coefficiente Des è influenzato
dalla porosità ep del solido,
dalla tortuosità dei pori, t e,
nel caso di diametri molto
piccoli di questi ultimi
(micropori) dal parametro
Kp/Kr.
Quindi D D = e /t· K /K .
Il parametro Kp/Kr è ottenibile dalla:
Kp
 r

  1  substrato r

poro 
Kr 
4
Dove rsubstrato è il raggio molecolare equivalente del substrato e rporo
quello caratteristico del poro.
Il bilancio di materia scritto sull’anello sferico e riportato nella figura
precedente presuppone di conoscere la forma di v per la quale sarà
assunta valida l’equazione di Michaelis-Menten. Il parametro di
massima velocità sarà dato da:
m max  e imm  rp  q E, imm
Dove eimm [mmol/g supporto] rappresenta la concentrazione di enzima,
rp [g supporto/unità di volume di supporto] la densità e qE, imm [mmol
substrato convertito /( s mmol enzima)] l’attività specifica dell’enzima
immobilizzato.
Il bilancio materiale ottenuto in precedenza può essere risolto
accoppiando ad esso le due condizioni al contorno necessarie
(ds/dr=0 per r=0 e sr=R=sS).
La portata complessiva di utilizzazione del substrato v0 uguale al flusso
che diffonde
A p  nel
 (accumulo=0) per cui:
ds pellet
v0 
es
Vp 
dr

r R 
Dove Vp e Ap sono il volume della particella e la sua superficie esterna.
Anche in questo caso si definisce in modo analogo il coefficiente di
efficienza h.
L’equazione che rappresenta il bilancio di materia non può però essere
risolta in modo semplice essendo non lineare e, di conseguenza, v0
non è ottenibile in forma algebrica. La soluzione dovrebbe quindi
essere numerica ma, essendo
quest’ultima
difficoltosa,
si preferisce
Il quadrato
del numero
di Thiele
rappresenta il
m
/
K
R
s
parametri
da del
tale1° ordine e la
max
la velocitàderivati
di reazione
fadimensionalizzare

b l’equazione.
 B rapportoI tra
procedura
il numero
di Thiele,
f e il numero
b. di b indicano invece
3
sono:
K velocità
di diffusione.
Alti valori
es
che la reazione diventa di ordine 0.
La forma ottenuta di hff, b è però ancora di difficile
valutazione perché dipende da parametri quali mmax e K
difficile da ottenere. Per questo motivo si prosegue ad un
ulteriore manipolazione ottenendo, infine, la seguente:
h=f(, b) dove:2 In termini di questi parametri si ottiene
v 0  V p 

es  s 0  A p 
Come si evince
dalla figura:
Se <0.3 h=1
(controlla la reazione)
Se >3
h1
(controlla la diffusione)
h=g(, b) rappresentata in forma grafica dalla seguente
figura.
Nei precedenti due casi si è visto come risolvere il problema del bilancio
di massa in due casi: controllo della resistenza esterna o della
resistenza interna. Vediamo ora come si opera nel caso in cui
entrambe le resistenze devono essere considerate.
Si consideri ad esempio una piastra di enzima immobilizzato. Il
bilancio allo stazionario si scrive:
es
d 2s
dx
2
 ks  0 con le seguenti condizioni al contorno :
ds
ds
 0; -es
 k s s( L )  s B 
dx x 0
dx x L
Risolvendo tale equazione si ottiene:
tanh f
hs 
;
f1  f tanh f/ Bi 
kL
velocità di trasporto nel film
dove Bi  s 
es velocità di diffusione intraparticellare
1
1 f2


hs h
Bi
dove h  tanhf/f
Il coefficiente h rappresenta il fattore di efficienza in
assenza della resistenza al trasporto attraverso il film. Il
reciproco del fattore di efficienza può essere visto come
una misura della resistenza alla reazione del substrato a
causa dei limiti al trasporto del substrato stesso.
La seguente equazione consente di individuare la resistenza
controllante. Infatti se:
h 2  kL


 1
Bi
Bi k s
Allora l’influenza del film esterno è trascurabile. Se, al
contrario, è >>1 la resistenza interna può essere ignorata.
La grande densità cellulare che si realizza nei bioreattori può portare ad
un incremento delle resistenze diffusionali di trasporto di materia con
conseguenti valori del modulo di Thiele diversi da 1. In questi casi
occorre valutare anche il parametro di saturazione per descrivere
completamente il funzionamento dell’enzima.
Il caso più ricorrente nei bioreattori è il trasferimento gas-liquido anche
se si incontrano anche situazioni di contatto liquido-liquido.
In particolare, il contatto
dell’ossigeno con un substrato
contenuto in fase liquida può
essere
rappresentato
dallo
schema accanto.
L’assorbimento dell’ossigeno in soluzioni acquose a temperatura e
pressione ambiente è dell’ordine di 10ppm. Assumendo che la
respirazione cellulare richieda 0.3gO2/h·gdry cell, che la densità
cellulare sia di 109cellule/ml e che una cellula abbia un volume di 1010ml si ottiene un consumo orario specifico di ossigeno pari a:
0.3·109·10-10 ·(1-0.8)=6 ·10-3g/(ml ·h)=6gO2/(l ·h)
Ottenuto considerando che la cellula ha un contenuto di acqua pari al
80%.
Ciò significa che l’ossigeno occorrente è circa 750volte maggiore di
quello di saturazione e che quindi occorre aumentarne la solubilità e
fornirlo con elevata efficienza.
Di seguito sono riportate varie soluzioni impiantistiche adottate per
incrementare tale valore.
Espressioni di progetto per CSTR e PFR nel caso di
diverse reazioni enzimatiche
Processi di depurazione biologica in
BIOREATTORI
Dal punto di vista tecnico i processi di depurazione biologica sono
sistemi biologici controllati e pilotati tecnologicamente al fine di
ottenere determinati obiettivi. Tali obiettivi sono, per i liquami
organici, la rimozione di alcune forme di inquinanti definibili in
termini di sostanza organica, solidi sospesi, e disciolti, azoto,
fosforo, parte dei metalli, enterobatteri e virus. Le sostanze
inquinanti rimosse dalla linea liquami vanno a concentrarsi nella
biomassa batterica e nei fanghi che si vanno producendo i quali
possono a loro volta essere sottoposti a processi biologici per
risolvere alcuni problemi da essi posti come la riduzione del loro
volume, della putrescibilità, del contenuto di enterobatteri e virus. I
principi di base della depurazione biologica (detta anche
biotecnologia ambientale) si fondano sia su un fenomeno fisicobiologico (bioflocculazione o bioassorbimento) e su un
La bioflocculazione è un’aggregazione di particelle finemente
sospese nel mezzo liquido originario a formare fiocchi o
pellicole di dimensioni e peso specifico sufficienti per poter
essere separate per decantazione. Questo fenomeno rende
quindi sedimentabili particelle sospese che originariamente
non lo sono senza cambiarne la struttura chimica. Ciò accade
grazie a un non ben definito effetto di flocculazione favorito
dai prodotti metabolici che popolano i fiocchi stessi. Si ritiene
che ciò sia dovuto all’azione di sostanze polisaccaridiche
estromesse dai batteri che si comportano come un
polielettrolita cationico.
Il fenomeno è particolarmente evidente nella formazione di
fiocchi delle colonie sospese aerobiche (fanghi attivi) o
anaerobiche.
Nel caso di processi a biomassa adesa ad un supporto solido si
tratta di un processo di adsorbimento del tutto analoga al
Il metabolismo batterico è un insieme di reazioni biochimiche
operate dai batteri sia per ottenere energia utilizzando
l’inquinamento come combustibile (catabolismo) sia per
produrre biomassa (anabolismo). Il catabolismo può avvenire
CO2+H2O+NO3- -+SO4- sia in ambiente aerobico che anaerobico.
CxHyOzNaPb
CO2+CH4+H2S+NH3+H2O
L’anabolismo è l’insieme di reazioni chimiche di trasformazione
di substrati inquinanti solubili prevalentemente organici in
biomassa batteriche viventi che colonizzano i fiocchi e le le
pellicole adese.
In conclusione si sfruttano la bioflocculazione per rimuovere le
sostanze sospese e il metabolismo batterico per l’eliminazione
delle sostanze solubili.
Equazioni di progetto:
reattori senza ricircolo della biomassa
La figura riporta lo
schema di un sistema
biologico costituito da
un
reattore
a
mescolamento totale
senza ricircolo della
biomassa.
Essendo completo il grado di mescolamento, la concentrazione
del substrato è uguale in ogni punto del reattore ed è pari al
valore SU riferito alla corrente effluente, pertanto il tasso di
crescita della biomassa m assume lo stesso valore in tutti i
punti del reattore e l’equazione di bilancio della biomassa
riferitaVdx
al tempo
infinitesimo
 vVXdt
 QXdtdt è data dalla relazione:
dove V è il volume del bioreattore, t il tempo e Q la portata
volumetrica che attraversa il reattore.
In condizioni stazionarie l’accumulo è nullo e quindi:
v  Q/ V  D
dove D, fattore di diluizione, è uguale all’inverso del tempo di residenza
idraulico, q= V/Q. Per questi reattori il tempo di residenza idraulico, q,
coincide con l’età della biomassa qc=VX/(QX).
Ricordando l’espressione per v, si ottiene:
D  m max
SU
K  SU  b
Dalla equazione ottenuta, nella ipotesi semplificativa di trascurare la
respirazione endogena, risulta che in condizioni stazionarie:
DK
SU 
m max  D
In condizioni stazionarie l’equazione di bilancio della biomassa può anche
essere scritta nella forma:
Q(S0— SU)Y= QX
dove S0 è la concentrazione di substrato nella corrente entrante nel
reattore e Y il rendimento di crescita. Dalle due equazioni precedenti si
ottiene:

DK 

X  Y S 0 

m

D
max


La quantità di biomassa prodotta nell’unità di tempo e per unità di
volume di reattore, cioè la produttività P è data da:
QX
P
 DX
V
Le suddette equazioni esprimono l’andamento di S0, X e P in
funzione del parametro operativo D.
Risulta che X è massimo (pari a YS0) per D = 0 e diminuisce al
crescere di D; si ha lo svuotamento del reattore (cioè X diventa
nullo) quando D raggiunge il valore critico (Dc) in
corrispondenza al quale SU=S0 (cioè cessa la biodegradazione del
S 0 reattore):
D csubstrato
 m max nel
K  S0
La concentrazione di substrato è nulla per D=0 e raggiunge il suo
massimo valore (S0) per D maggiore o uguale a Dc. La
produttività della biomassa è nulla per D=0 e per D=Dc; la
produttività
K è massima in corrispondenza del valore D* che
D*  m max
rende nulla
derivata dP/dD:
K  Sla
0
Da cui risulta che attraverso il controllo del rapporto di ricircolo R
si può modificare la concentrazione di biomassa X dentro al
bioreattore (per R che tende ad infinito, X tende a XR). Se si fa un
bilancio
confine più esterno:
mVX
 R' Qsul
F X R (1  R ' )Q F X U
dove R’QF=QW è la portata di spurgo.
Se la concentrazione di biomassa
VX è costante si ha che l’età del fango
è (per def.):qc  Q X  (1  R ' )Q X
W R
F U
1 (dalla 1a eq.) si ha:
Quindi
m
qc
ovvero (per S=SU):
SU
1
 m max
b
qc
K  SU

1 
K  b  
qc 

SU 

1 
m max   b  
qc 

In molti casi S0>>K e, pertanto, risulta D* = Dc
=mmax cioè la produttività massima viene ottenuta
in corrispondenza di un valore del fattore di
diluizione molto vicino alle condizioni di
svuotamento del reattore. In queste condizioni di
elevata instabilità è sufficiente una modesta
variazione dalle condizioni stazionarie per
determinare lo svuotamento del reattore. Nel
caso più generale di considerare anche la
respirazione endogena, accanto al rendimento
mY
Y“termodinamico”
di crescita della biomassa Y
N 
m

b
coesiste il rendimento “netto” di crescita della
DY Y dato dalla relazione:
biomassa
N
YN 
Db
(per b→0, YN→Y), ovvero:
Equazioni di progetto:
Reattori con ricircolo della biomassa
Di maggiore interesse nei
trattamenti depurativi è
uno schema di processo
in cui è previsto un
sedimentatore a valle del
bioreattore.
Nel
sedimentatore
avviene la separazione
del liquido depurato dalla
biomassa ispessita che
viene ricircolata nel
bioreattore.
L’equazione di bilancio di biomassa riferita al reattore, assumendo
che l’alimentazione sia priva di biomassa (X0=0), assume


SU
l’espressione:
RQ F X R   m max
 b XV  1  R Q F X
K  SU


dove RQF=QR è la portata volumetrica del ricircolo.
R
Trascurando in prima approssimazione
X  la
X Rproduzione di biomassa
R che:
1
rispetto agli altri termini del bilancio, si ha
Quindi la concentrazione
di substrato
nell’effluente è funzione
della sola età dei fanghi
una volta fissati i
parametri caratteristici.
L’età minima della
biomassa per cui si ha lo
svuotamento del
bioreattore con
conseguente
perdita
S 0 di
1
 mdepurativa
capacità
è b
max
(ponendo
K ):S 0
c min
SU=S
0

SU 
 m max S >>K allora:
VX  YQ F ( S 0  S U )
Quando


0
K

S
U 

Lo svuotamento del reattore non è più legato al tempo di residenza
idraulico bensì all’età dei fanghi: si ha svuotamento quando qc=qc
min.
La quantità di substrato consumato nel bioreattore è correlata alla
quantità totale di biomassa prodotta 1tramite
il Srendimento
di
U
 m max
b
crescita Y:
qc
K  SU
Inserendo
equazione nella
S 0precedente
 SU )
1 YQ F (la

b
si
ha:
q
VX
c
q c YQ F ( S 0 S U )
da
cui:
VX 
1  bq c
Note le caratteristiche dello scarico (QF, S0) e fissato un valore di qc
adeguatamente superiore, tramite un fattore di sicurezza, al valore
minimo qcmin e, di conseguenza, determinato il valore di SU resta
univocamente determinata la quantità di biomassa, VX, presente
nel reattore biologico; fissato X sulla base delle caratteristiche di
sedimentabilità dei fanghi si risale alla valutazione di V cioè al
Nel caso in cui il bioreattore sia del tipo con flusso a pistone (cioè a
mescolamento assiale nullo), lo schema di calcolo è lo stesso di
quello applicabile a un reattore a mescolamento totale, con
l’eccezione che la concentrazione del substrato all’uscita dal
reattore viene valutata tramite una espressione diversa. Infatti
assumendo l’ipotesi semplificativa che la concentrazione della
S lungo il reattore rimanga costante, dalla
biomassa
Uk
K S
risulta
cheSla velocità di utilizzazione del substrato può essere così
dS
 k
X
espressa:
dt
KS
SI
XV
(S I  S U )  K ln
k
SU
Q F (1  R )
che integrata fornisce:
dove:
SI 
RS U  S 0
1 R
1 YQ F (S 0  S U )

b
qc
VX
Yk ( S 0  S U )
1
Combinandole precedenti dueequazioni
conela 1  R ln  ( RS U  S 0 ) 
b


q c ( S 0  S U )  eK
(
1

R
)
S
U 

dove:
L’equazione:
Yk ( S 0  S U )
1

b
q c ( S 0  S U )  eK
fornisce SU nel caso di bioreattore con flusso a
pistone ed è importante sottolineare come, a
differenza del reattore a mescolamento totale, in
questo caso la concentrazione del substrato in
uscita dal bioreattore è funzione anche della
concentrazione di substrato in ingresso.
Sono disponibili in letteratura procedure di
dimensionamento più recenti che tengono conto del fatto
che, in un impianto a fanghi attivi, applicato alla
depurazione di liquami di tipo civile, il substrato
carbonioso è presente nel liquame sotto varie forme.
Questo fatto ha delle ripercussioni anche sulla natura
della biomassa presente nel reattore biologico che è
costituita anche da una frazione non attiva. In particolare,
il substrato carbonioso è differenziato in una componente
biodegradabile e in una non biodegradabile, ognuna
ulteriormente suddivisa in una frazione solubile e in una
particellare. La frazione solubile biodegradabile, viene
prontamente utilizzata dalla biomassa mentre la frazione
biodegradabile solida viene istantaneamente adsorbita
dalla biomassa e poi lentamente trasformata da enzimi
extracellulari che ne permettono il trasferimento
all’interno della cellula e quindi la sua successiva
utilizzazione. La frazione solubile non biodegradabile esce
inalterata con l’effluente, mentre quella solida si accumula
BIOREATTORI A BIOMASSA ADESA
Nei reattori a biomassa adesa i microrganismi responsabili
della depurazione sono presenti in massima parte sotto
forma di biofilm aderente ad un supporto, fisso o mobile,
caratterizzato da elevate superfici specifiche. E così
possibile ottenere concentrazioni di biomassa nei reattori
particolarmente elevate. Rispetto ai reattori con biomassa
dispersa quelli a film biologico presentano il vantaggio di
non richiedere il ricircolo della biomassa che, invece, i
reattori con biomassa in fase dispersa devono adottare al
fine di mantenere sufficientemente elevata la
concentrazione di biomassa nell’ambiente di reazione;
pertanto nei reattori a film biologico l’efficienza
del processo non è vincolata dalle caratteristiche
Modello del biofilm
Fondamentale per la comprensione dei processi che hanno luogo in
un reattore a film biologico è la messa a punto di un modello che
descriva il comportamento cinetico del biofilm; al riguardo un
valido approccio è rappresentato dal modello di Williamson e Mc
Carty (1976).
Assunzioni a base del modello sono:
 le condizioni sono stazionarie;
 il biofilm è adeso su una superficie piana
 il biofilm è omogeneo e di spessore uniforme
 i parametri biocinetici e la diffusività si mantengono costanti
dentro al biofilm
 la cinetica intrinseca della reazione biologica è del tipo Monod (o
Michaelis e Menten)
 il biofilm è parzialmente penetrato, cioè soltanto una parte del
biofilm di spessore Le, è attiva
 la stessa specie chimica è limitante dal punto di vista sia
biocinetico che diffusjonale.
La relazione fra concentrazione S del substrato limitante dentro al
biofilm e coordinata geometrica z (con origine in corrispondenza
dell’interfaccia liquido-biofilm) deriva dalla combinazione della
legge di Fick con l’equazione di Michaelis e Menten; L’equazione
di Fick descrive infatti il trasporto di materia dentro al biofilm:
 dS 
J  D f  
 dz  z
dove J è il flusso diffusionale dentro al biofilm e Df il corrispondente
coefficiente di diffusione. Scrivendo il bilancio di materia sul film
di dz si ottiene:
a) substrato entrante tramite il flusso
 dS 
J z A S  A S D f  
 dz  z
dove Jz è il flusso diffusionale in corrispondenza della generica
coordinata geometrica z, AS la superficie dell’interfaccia liquidobiofilm, (dS/dz)z è il gradiente di concentrazione in
corrispondenza del generico valore z della coordinata geometrica.
b) substrato uscente tramite il flusso diffusionale:
 dS   d 2 S  
 dS 
J z  dz A S  A S D f  
 A S D f    2  
 dz  z  dz
 dz  z  dz  dz 
dove il flusso e il gradiente di concentrazione sono riferiti al valore
z+dz della coordinata geometrica;
c) substrato consumato dalla reazione biologica:
m max
S
Xc
A S dz
Y
S K
dove Xc è la concentrazione della biomassa nel biofilm. Di
conseguenza, l’equazione di bilancio del substrato riferita
all’elemento infinitesimo di biofilm di spessore dz è:
m max
S
 dS 
 dS 
 ASDf  
 A S D f  

Xc
A S dz
Y
S K
 dz  z  dz
 dz  z  dz
ovvero:
m max X C S
d 2S

2
YD f ( K  S)
dz
Le condizioni al contorno sono:
per z=0  S = SS;
per z=Le  dS/dz = 0 e S = Si
dove SS è la concentrazione di substrato in corrispondenza
dell’interfaccia liquido-biofilm e Si è la concentrazione di substrato
in corrispondenza della quale si annulla l’attività metabolica.
L’equazione è differenziale ordinaria del 2° ordine non lineare e non
è risolvibile analiticamente. La soluzione può essere ottenuta
tramite la seguente procedura iterativa:
a) sono noti i parametri S0 (=SB), KL, mmax, Y, K, Xc, Df;
b) viene fissato arbitrariamente un valore di SS
c) si calcola il flusso materiale attraverso il film liquido aderente al
biofilm tramite la relazione:
J L  K L  S 0  SS 
d) partendo dalle condizioni al contorno in corrispondenza di z=Le
(dS/dz=0 e S=Si, essendo Si un valore molto basso) si procede
all’integrazione numerica usando un metodo di Runge-Kutta alle
differenze finite; ad ogni step si ottiene il gradiente di
concentrazione del substrato e la corrispondente concentrazione
del substrato; il calcolo termina quando S uguaglia il prefissato
valore di SS (in corrispondenza cioè del raggiungimento
b) determinato così il gradiente di concentrazione di substrato
all’interfaccia liquido-biofilm, si calcola il corrispondente flusso
diffusionale
tramite
 dS
 la relazione:
J z(1)


D

0
f
 dz 
z 0
J L  K L  S 0  SS 
b) si confrontano i valori dei due flussi, JL dato dalla
e Jz=0 dato dalla (1); il processo è ripetuto (cambiando il valore di SS) fino
alla verifica della uguaglianza dei due flussi; la profondità di biofilm
percorsa nell’ultima iterazione della procedura corrisponde all’effettivo
spessore attivo Le..
Ottenuto così il profilo di concentrazione del substrato limitante dentro al
biofilm, la quantità di substrato rimossa da parte della biomassa
Wcomplessiva
 A S  J L adesa sul supporto piano nell’unità di tempo data da:
Il fattore di efficienza h, definito come il rapporto fra l’effettiva velocità di
rimozione del substrato da parte della biomassa e la velocità ottenibile nel
W trascurabili le resistenze sia interne che esterne al
caso in cui siano
h trasporto di substrato, è dato da:
 S

0

m max YX C A S L T 

 K  S0 
Procedura di dimensionamento
Con riferimento alla schematizzazione del reattore riportata nella
figura seguente, la procedura di dimensionamento si basa su un
procedimento di calcolo articolato in più fasi:
1.Valutazione del flusso di substrato dalla soluzione all’interno del
biofilm in corrispondenza della sezione di fondo del reattore (Jn). Il
calcolo di Jn richiede la determinazione del profilo di substrato
2
m max X C Sricavare integrando la :
S è possibile
all’interno del biofilm, profilodche

2
YD f ( K  S)
dz
2.Nell’ipotesi semplificativa di considerare il reattore come un unico
stadio a mescolamento completo è possibile il calcolo del volume da
un semplice bilancio di materia:
( S  S n )Q F
V F
Jna
dove SF è la concentrazione del substrato in ingresso al reattore; Sn è
la concentrazione del substrato in uscita al reattore; QF è la portata
in ingresso al reattore; Jn è il flusso di substrato e a è la superficie
specifica per unità di volume del reattore.
3. Suddivisione del volume totale così ottenuto in una serie di n
volumi a mescolamento completo assumendo, in prima
approssimazione, il volume di ogni segmento (V) pari al 3% del
volume totale.
aV J
4. Partendo dal fondo del reattore l’equazione di bilancio del subS n 1  S n  i n
strato riferito all’ n-esimo stadio fornisce il valore di Sn-1;
Q
F
5. Noto Sn-1 è possibile, applicando la procedura di integrazioneaV
i J n 1
S n  2  S n 1 Sn-2
presentata al punto 1, calcolare Jn-1 e Sn-1, successivamente,
QF
dalla:
6. Si procede nel calcolo valutando coppieVsuccessive
 n  Vi di J e S sino ad
T
ottenere un valore di SSF. A questo punto il calcolo si arresta ed è
possibile valutare il volume totale del reattore dalla:
7. È necessario effettuare una ulteriore verifica al fine di escludere la
dipendenza di VT dal numero di segmenti considerato; a partire
dal punto 3 si effettua una diversa suddivisione del volume totale
VT, diminuendo il volume Vi del singolo stadio e ripetendo la
procedura presentata. Il calcolo si arresta quando due valori dei
volumi totali ottenuti per due valori diversi di n non differiscano