LA RETTA
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Prof. Nunzio ZARIGNO
DEFINIZIONI
Un’equazione di primo grado nelle due incognite x e y nel
piano cartesiano definisce infiniti punti P(x;y) che formano
graficamente (diagramma) una retta.
Tale equazione, detta equazione della retta, può essere
scritta in due forme:
-Forma implicita:
ax  by  c  0
dove a, b , c sono i coefficienti numerici;
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DEFINIZIONI
e in forma esplicita:
y  mx  q
m e q si ricavano dalle relazioni: m   a
b
c
; q 
b
m è detto coefficiente angolare della retta (rappresenta
la pendenza, cioè rappresenta l’angolo tra l’asse x e la
retta)
q è il punto di intersezione della retta con l’asse y.
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ESEMPIO:
Data la retta di equazione
3x  2 y  4  0
con opportuni passaggi
 2 y  3x  4  2 y  3x  4

2
3
4
y  x
2
2
2
la sua forma esplicita sarà:
y
in cui
3
x2
2
m
3
; q  2
2
Se il coefficiente angolare è positivo la retta è crescente
(aumentando il valore della x, aumenta anche quello della y), se è
negativo la retta è decrescente (aumentando la x diminuisce la y).
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RETTE PARTICOLARI
a)
b)
c)
d)
se c = 0 (y = mx) la retta passa per l’origine (manca il termine noto);
se a = 0 (y = k) la retta è parallela all’asse x (manca il termine con la x);
se b = 0 (x = k) la retta è parallela all’asse y (manca il termine con la y);
bisettrice del 1° e del 3° quadrante; e) bisettrice del 2° e del 4° quadrante.
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RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
Per rappresentare una retta basta
individuare due punti (per due punti
passa una ed una sola retta); se
l’equazione è in forma esplicita uno dei
due punti è sempre (0 ; q).
ESEMPIO: Data la retta di equazione
3x  y  2  0
conviene portarla nella forma implicita
y  3x  2 e poi assegnare due valori
arbitrari alla x (ad esempio -1 e 1) per
ottenere i corrispondenti valori della y.
Esempio: y = 3x+2
X
y
-1
-1
f (-1) = 3(-1)+2 = -3 +2 = -1
+1
+5
f (+1) = 3(+1)+2 = +3 +2 = +5
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RETTE PARALLELE E
PERPENDICOLARI
Due rette di coefficienti angolari m1 e m2 sono:

parallele se m1  m2 (coefficienti angolari uguali);
2

; y   x  3 ; 2 x  3 y  1  0  ricordiamo
3

2 1
y  x
3
2

a
che m   
b
1
perpendicolari se m1  m2  1 oppure m1  
(coefficienti
m2
angolari uno l’antireciproco dell’altro).
2
1
y x
3
2
;
3
y x3
2
;
2x  3y  1  0
;
4x  6 y  5  0
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RETTA PASSANTE PER UN PUNTO
Per un punto passano infinite rette (ognuna delle quali avrà coefficiente
angolare diverso). L’equazione di tutte le rette passanti per un punto P x0 ; y0 
sarà: y  y 0  m  x  x0  ; conoscendo il coefficiente angolare, si può ricavare
l’equazione di una determinata retta.
ESEMPIO: Sono dati il punto P  2 ;  3 e il coefficiente angolare m  2
avremo y  3  2  x  2  y  3  2x  4  y  2x  7
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RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI
Per determinare l’equazione della retta passante per i generici punti A x1 ; y1 
e B x2 ; y2  si utilizza la formula: y  y1  x  x1 , escludendo il caso x1  x2
y 2  y1 x2  x1
(retta parallela all’asse y), e il caso y1  y 2 (retta parallela all’asse x).
ESEMPIO: Dati i punti A 1; 2 e B 3 ;  1 sostituendo nella formula si ottiene
y  2 x 1
y  2 x 1



 2  y  2  3 x  1 
1  2 3 1
3
2
2 y  4  3x  3  3x  2 y  7  0
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DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA
Nel caso in cui l’equazione della retta sia nella forma
y 0  mx0  q
d

esplicita si può utilizzare la formula:
.
2
1 m
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Per calcolare la distanza di un punto Px0 ; y 0  da una retta
a  x0  b  y 0  c
ax  by  c  0 si utilizza la formula: d 
.
2
2
a b
ESEMPIO: Dati il punto P  3 ;  1 e la retta di equazione
3x  4 y  1  0 sostituendo nella formula otterremo:
d
3  3  4   1  1
32  42

9  4 1
9  16

4
5
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INTERSEZIONE TRA DUE RETTE
Date due generiche rette y  m1 x  q1 e y  m2 x  q2 , la loro intersezione (il
punto che hanno in comune) si ottiene risolvendo il sistema formato dalle
equazioni delle due rette.
Se il sistema ammette una soluzione (determinato) le rette sono incidenti:
m1  m2  q1  q2
Se il sistema non ammette soluzioni (impossibile) le rette sono parallele:
m1  m2  q1  q 2
Se il sistema ammette infinite soluzioni (indeterminato) le rette sono coincidenti:
m1  m2  q1  q2
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INTERSEZIONE TRA DUE RETTE
ESEMPIO: Date le rette di equazioni 2 x  y  1  0 e x  y  7  0 risolviamo
il sistema
2 x  y  1  0
2 y  7   y  1  0
usando
il
metodo
di
sostituzio
ne
e risolvendo


x

y

7

0
x


y

7


 2 y  14  y  1  0
 2 y  y  14  1
 3 y  15
y  5







*
*
*
 x  5  7  2
il punto d’intersezione è: P  2 ;  5
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ESERCIZI
1) Rappresenta sul piano cartesiano le rette di equazioni
y  3x  1 e x  2 y  5  0
2) Trova l’equazione della retta passante per il punto P  2; 3
e parallela alla retta di equazione 2 x  y  1  0
 y  2 x  7
2x  y  7  0
4) Trova l’equazione della retta passante per il punti
2x  3 y  7  0
A  1; 3 , B 2 ;1
5) Calcola la distanza del punto P 3; 4 dalla retta di equazione
2x  y  6  0
6) Calcola in cm l’area del triangolo di vertici
A  4;  2 , B  3 ;  1 , C 1; 3
7) Trova le coordinate del punto d’intersezione, se esiste, tra le rette
2x  4 y  3  0 e
2x  y  2  0

8 
d



5

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3) Trova l’equazione della retta passante per il punto P 2 ;3
e perpendicolare alla retta di equazione 2 x  4 y  3  0
Area  1cm
1

1;


2 
13
.