LE PROPORZIONI
Torta Margherita
Ingredienti per 6 persone
• 4 uova
• 2 kg di farina
• 400 g di zucchero
• 6 noci di burro
Preparazione:
Separare i tuorli dalle chiare, unire i tuorli alla farina….
Ma
se dobbiamo preparare una cena per 9
persone?
Quante uova?
Quanti chili di farina?
Quanto burro?
Per questo (e non solo) ci sono le
proporzioni
La parola proporzione è nel linguaggio
comune
…la crescita demografica del paese è stata
proporzionale alla crescita economica…
Quella persona è proporzionata!
Luigi ha avuto una reazione sproporzionata
Per essere precisi…
Nell’esempio: La crescita demografica del paese
è stata proporzionale alla crescita economica
Avremmo dovuto scrivere:
La crescita demografica del paese è stata
direttamente proporzionale
alla crescita economica
Definizione (un po’ imprecisa) di
grandezze direttamente proporzionali
Due grandezze sono direttamente proporzionali
se all’aumentare dell’una aumenta anche l’altra
E che vuol dire?
In matematica possiamo e dobbiamo
essere più precisi!
Per farlo abbiamo bisogno della seguente:
Definizione di vettore:
un vettore è un insieme ordinato di numeri.
Esempi:
(3, 7, 22) è un vettore composto da 3 numeri
(5, 182) è un vettore composto da 2 numeri.
Ordinato significa che se cambio l’ordine dei
numeri ottengo un vettore diverso:
quindi (3, 5) è un vettore diverso da (5,3).
Adesso possiamo dare una definizione
precisa:
Due vettori si dicono direttamente proporzionali se il rapporto
(quoziente) fra i rispettivi elementi ordinati non cambia.
Esempio
I vettori (15,21) e (5,7) sono direttamente proporzionali?
Per vederlo mettiamoli “in colonna”:
15 5
21 7
15:5=3
21:7=3
Il rapporto è sempre 3 (quindi non cambia) quindi i 2 vettori sono
direttamente proporzionali
Adesso possiamo dare una definizione
precisa:
Due vettori si dicono direttamente proporzionali se il rapporto
(quoziente) fra i rispettivi elementi ordinati non cambia.
Esempio
I vettori (8,6) e (4,2) sono direttamente proporzionali?
Per vederlo mettiamoli “in colonna”:
8 4
6 2
8:4=2
6:2=3
Il rapporto è prima 2 poi 3 (quindi cambia). Quindi i 2 vettori
non sono direttamente proporzionali
Riprendiamo l’esempio dei vettori
(15,21) e (5,7)
Come si è visto sono direttamente proporzionali
perché:
15:5=21:7
Che si legge “quindici diviso cinque uguale
ventuno diviso sette”
… ma se leggiamo il simbolo : con “sta” e il
simbolo = con “come”, l’espressione si legge
15 sta a 5 come 21 sta a 7
Dal momento che
15:5=21:7
è un’uguaglianza vera,
si dice che tale espressione è una
proporzione
Un po’ di nomi…
15:5=21:7
Medi
Estremi
Primi termini
Secondi termini
Quindi, in questo esempio:
15 è il primo estremo, 5 il primo medio,
21 è il secondo medio e 7 è il secondo estremo
Proprietà fondamentale delle
proporzioni
In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al
prodotto degli estremi (quindi se il prodotto dei
medi è diverso da quello degli estremi, non è una
proporzione).
Ciò conferma che:
15:5=21:7
È una proporzione perché:
Prodotto degli estremi: 15x7=105
sono uguali
Prodotto dei medi:
5x21=105
Proprietà fondamentale delle
proporzioni
In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al
prodotto degli estremi (quindi se il prodotto dei
medi è diverso da quello degli estremi, non è una
proporzione).
Mentre:
3:7=4:9
Non è una proporzione perché:
Prodotto degli estremi: 3x9=27
non sono uguali
Prodotto dei medi:
7x4=28
Da una proporzione si ottengono altre
proporzioni…
Scambiando i medi:
Da una proporzione si ottengono altre
proporzioni…
Scambiando gli estremi:
Da una proporzione si ottengono altre
proporzioni…
Scambiando fra loro sia i primi termini
sia i secondi termini:
Questo basta per risolvere il problema
della ricetta?
No, ma….
Quasi.
Prima bisogna affrontare il problema della
determinazione del quarto proporzionale
Esso consiste, una volta assegnati 3 numeri, nel
determinarne un quarto in modo che i quattro
numeri formino una proporzione
Esempio: Determinare il numero da
sostituire a x in modo tale che
l’espressione:
8:x=6:3
sia una proporzione
Prodotto degli estremi: 8∙3=24.
Prodotto dei medi: x ∙6
Per essere una proporzione il prodotto dei medi deve essere
uguale al prodotto degli estremi. Quindi:
x ∙6 deve essere uguale a 24. Quindi:
x=24:6 cioè
x=4
Esempio: Determinare il numero da
sostituire a x in modo tale che
l’espressione:
20 : 12 = 25 : x
Sia una proporzione
Prodotto dei medi: 12∙25=300
Prodotto degli estremi: 20∙x
Per essere una proporzione il prodotto dei medi deve essere
uguale al prodotto degli estremi. Quindi:
20 ∙x deve essere uguale a 300. Quindi:
x=300:20 cioè
x=15
Ricapitolando…
Se la x è un medio per determinarla bisogna fare
il prodotto degli estremi e poi dividere per l’altro
Medio.
Se la x è un estremo per determinarla bisogna
fare il prodotto dei medi e poi dividere per l’altro
estremo.
Torniamo adesso alla nostra ricetta…..
Ricordiamo: 4 uova per 6 persone,
quante uova per 9 persone?
Intanto chiamiamo con la x il numero di uova per 9 persone. E
costruiamo la seguente tabella:
Uova
4
x
Perché 4 uova sono per 6
Persone e quindi vanno
Nella stessa riga
Persone
6
9 Perché x sono le uova
per 9 persone, e quindi x e 9
vanno nella stessa riga
Leggendo da sinistra a destra, affinché le quantità siano direttamente
Proporzionali deve risultare: 4:6=x:9
4:6=x:9
Che sappiamo tranquillamente risolvere:
x= 4∙9:6 = 36:6 = 6.
Quindi per 9 persone ci vogliono 6 uova.
Per esercizio determina anche i chili di farina e le
noci di burro necessarie per 9 persone.