Accademia dei Lincei
Gruppo di lavoro diretto dai Proff. Bernardi, Fioravanti, Tarallo
A.S. 2013-2014
Proposta di Luca Dragone
I.C. Via Giuliano da Sangallo
Classe Prima Sezione C
20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 210 211 212 213 214 215
216 217 218 219 220 221 222 223
224 225 226 227 228 229 230 231
232 233 234 235 236 237 238 239
240 241 242 243 244 245 246 247
248 249 250 251 252 253 254 255
256 257 258 259 260 261 262 263
Chicchi totali in 64 caselle
S2(64) = 264–1 = 18.446.744.073.709.551.615
(circa 1,84 × 1019)
DOMANDA:
Se dimezziamo le caselle (32 anziché 64) e
raddoppiamo la base (4 anziché 2) otteniamo
una quantità totale di riso maggiore o minore
di quella richiesta dal Bramino?
Obiettivi specifici
Riconoscere regolarità in sequenze di
numeri naturali.
Confrontare numeri grandi espressi in
notazione scientifica.
Individuare le potenze di 4 e di 8 nelle
potenze di 2.
Eseguire stime e valutare l’ordine di
grandezza di un numero.
Prerequisiti
Saper calcolare la potenza di un numero
naturale.
Conoscere e saper applicare le proprietà
delle potenze.
Conoscere e saper utilizzare la notazione
scientifica per esprimere numeri grandi.
Confrontare e convertire numeri espressi in
basi diverse.
Organizzazione e tempi
Attività matabel(chicchi di riso):
Sfida al Bramino:
Potenze e somme di potenze:
Confronto tra numeri grandi:
Le potenze di 2, 4 e 8:
Discussione finale:
Verifica finale:
5-6 ore
4 ore
1 ora
2 ore
1 ora
1 ora
Note metodologiche
Inquiry based learning.
Problem posing e problem solving.
Attività laboratoriale in piccoli gruppi.
Discussioni guidate.
Esposizione e discussione dei cartelloni.
Interazione tra pari.
(a-1)Sa(n) +1=an+1
Per a = 2
S2(n)+1 =2n+1
Per a = 3
2S3(n)+1 =3n+1
Per a = 4
3S4(n)+1 =4n+1
Dimostrazione algebrica (Secondaria di II grado)
Per la Secondaria di I grado:
Scoperta della regolarità per verifica empirica.
Sistemi multibase.
Scoperta della regolarità per verifica empirica:
Sistema binario:
11111 = 1×20 + 1×21 + 1×22 + 1×23 + 1×24 =31
100000 = 25 = 32
Sistema ternario:
22222 = 2×30 + 2×31 + 2×32 + 2×33 + 2×34 = 242
100000 = 35 = 243
Sistema quaternario:
33333 = 3×40 + 3×41 + 3×42 + 3×43 + 3×44 = 1023
100000 = 45 = 1024
Sistema decimale:
99999 = 9×100 + 9×101 + 9×102 + 9×103 +
9×104
100000 = 105
Più familiare, vero?
Le potenze di 4 sono potenze di 2 con
esponente pari.
Considerare solo 32 caselle e riempirle con le
potenze di 4 da 40 a 431 equivale a riempire
tutte le 64 caselle con le potenze di 2 da 20 a
264 e poi togliere quelle con esponente
dispari.
Perciò avremo:
S4(32) < S2 (64)
20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 210 211 212 213 214 215
216 217 218 219 220 221 222 223
224 225 226 227 228 229 230 231
232 233 234 235 236 237 238 239
240 241 242 243 244 245 246 247
248 249 250 251 252 253 254 255
256 257 258 259 260 261 262 263
20
28
216
224
232
240
248
256
22
210
218
226
234
242
250
258
24
212
220
228
236
244
252
260
26
214
222
230
238
246
254
262
40
44
48
412
416
420
424
428
41
45
49
413
417
421
425
429
42
46
410
414
418
422
426
430
43
47
411
315
419
423
427
431
S4(32) < S2 (64)
Minore sì, ma quanto minore?
Ricordiamo che:
Ma ciò vuol dire che la somma delle potenze
di 2 con esponente dispari è il doppio della
somma delle potenze di 2 con esponente pari!
Motivazione empirica: le caselle con gli
esponenti più elevati contano tantissimo.
La 64ma casella ha un numero di chicchi (263)
uguale alla somma di tutti i chicchi delle
restanti 63 caselle della scacchiera (a meno di
1, che ovviamente trascuriamo).
Quindi:
Proviamo a togliere l’ultima casella alla
somma delle potenze di esponente dispari:
20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 210 211 212 213 214 215
216 217 218 219 220 221 222 223
224 225 226 227 228 229 230 231
232 233 234 235 236 237 238 239
240 241 242 243 244 245 246 247
248 249 250 251 252 253 254 255
256 257 258 259 260 261 262 263
20
23
29
26
212
218
224
215
221
227
233
230
236
242
248
245
251
257
239
254
260
263
80
81
83
82
84
86
88
85
87
89
811
810
812
814
816
815
817
819
813
818
820
821
Potenze di 2 e di 4
Tutte le potenze di 4 sono anche potenze di 2.
Solo le potenze di 2 con esponente pari sono
anche potenze di 4.
Per ricavare una potenza di 4 a partire da una
potenza di 2 bisogna dividere per 2 l'esponente.
es. 43 = 26 perché 43 = (22)3 = 26
Potenze di 2 e di 8
Tutte le potenze di 8 sono anche potenze di 2.
Solo le potenze di 2 con esponente multiplo di
3 sono anche potenze di 8.
Per ricavare una potenza di 8 a partire da una
potenza di 2 bisogna dividere per 3 l'esponente.
es. 83 = 29 perché 83 = (23)3 = 29
Potenze di 4 e di 8
Solo le potenze di 8 con esponente pari sono
anche potenze di 4.
Solo le potenze di 4 con esponente multiplo di
3 sono anche potenze di 8.
Per ricavare una potenza di 8 a partire da una
potenza di 4 bisogna dividere per 3 l'esponente e
poi moltiplicarlo per 2.
es. 84 = 46 perché 84 = (4×2)4 = 44×24 = 44×42 = 46
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