Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva
CURVE E SUPERFICIE 2
proipprietà proiettive e stereotomiche delle coniche
e classificazione proiettiva delle quadriche
1. La relazione tra
proprietà metriche
e proprietà
stereotomiche:
Teorema di Quetelet
e Dandelin
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4. Teorema di Quetelet e Dandelin.
In una superficie conica rotonda sezionata
con un piano  non // a una generatrice
(caso dell’ellisse e dell’iperbole) esistono
due sfere iscritte alla superficie conica e
tangenti al piano  nei fuochi F1 e F2 della
conica. Se  è // a una generatrice esiste
una sola sfera iscritta alla superficie e
tangente al piano  nel fuoco F della
parabola.
Inoltre i piani dei circoli di contatto delle
sfere iscritte con la superficie conica
intersecano il piano sezionante  nelle
direttrici della sezione conica.
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Per dimostrare questa
proposizione si consideri
la sezione con il piano 
 e che passa per l’asse
v della superficie conica;
esso taglia la superficie
secondo due generatrici
g1 e g2 e individua su 
l’asse principale A1 A2
della conica.
In quel piano le due
sfere
iscritte
alla
superficie
conica
e
tangenti a  risultano
tagliate in due cerchi
massimi che si possono
disegnare facilmente uno
come il circolo (di centro
C1) iscritto al triangolo
VA1A e l’altro come quel
circolo (di centro C2) exiscritto del trilatero VA1A2
che ha centro sull’asse v.
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È evidente che il
trilatero
VA1A2
rappresenta
le
tangenti
condotte
dai punti A1,e A2 ai
due circoli di centri
C1 e C2 nei punti
Q2, Q1, F2, F1, R2,
R1.
E
per
la
simmetria
del
cerchio
sono
ovviamente uguali i
due segmenti di
tangente che vanno
dai punti di contatto
R e Q ai punti
esterni A per i quali
si conducono tali
tangenti:
così A1Q1 = A1F1
A1F2 = A1R1.
e
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Si vede dunque come sia A1Q1 +
A1R1 = 2a (lunghezza dell’asse
focale A1A2 della conica) e quindi
come un qualsiasi segmento di
generatrice compreso tra i due
circoli di contatto delle sfere
iscritte abbia estensione uguale
all’asse focale A1A2.
Si immagini uno qualunque di
questi segmenti di generatrice
P1P2 compresi tra i due circoli di
contatto intersecare il piano 
nel punto P.
I segmenti PP1 e PP2 (distanze di
P dai circoli di contatto) sono i
segmenti di tangenti condotte da
P alle due sfere iscritte e per la
simmetria della sfera si può
constatare che PP1 = PF1 e PP2 =
PF2 e concludere che PF1 + PF2 =
A1A2 = 2a, cioè che tutti i
possibili punti P della sezione
individuano
un’ellisse
poiché
sono tali per cui resta costante
(= 2a)la somma delle loro
distanze da F1 e da F2.
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2. Coniche come trasformazioni
proiettive del circolo
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QUADRICHE
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3. Trasformazioni omografiche della
sfera
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PUNTO ELLITTICO
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ellissonide
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paraboloidi
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4. Trasformazione omografica della
superficie conica rotonda
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PUNTO
PARABOLICO
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P.L. Nervi: Aviorimesse a Orvieto
(1935)
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F. Dischinger:
Copertura del mercato di Lipsia
(1929
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Mole antonelliana
a Torino
(1863-80)
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5. iperboloidi
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PUNTO
IPERBOLICO
DIREZIONE ASINTOTICA
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Paraboloide iperbolico:
sezioni parabolociche
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Paraboloide iperbolico:
sezioni iperboliche
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Paraboloide iperbolico
come superficie rigata
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Iperboloide a una falda
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V. Choukhov:
Torre radio a Mosca
(1922),...........
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