Diamo i numeri ….
Ottobre 2007
Giuliana Catanese
Partiamo dai primi numeri che impariamo a
studiare a scuola e a usare nella vita, i
numeri naturali, quelli che Kronhecker
diceva "Dio fece i numeri naturali; tutto il
resto è opera dell'uomo" .
Gli studiosi di filosofia della matematica non
sono d’accordo con l’origine dei Naturali (N),
alcuni pensano che tutta la matematica, e
perciò anch’essi, sia una costruzione
dell’uomo, altri che i numeri naturali siano
un’idea innata dell’uomo e questa per
esempio era la posizione anche di Pitagora.
I numeri naturali
Il concetto di numero naturale è un concetto astratto e si è
formato a fatica nel corso dei secoli
Nella lingua thimsshian, popolazione della costiera pacifica del
Canada, si usano ben 7 vocaboli distinti per indicare i numeri,
uno per
- le misure
- per contare gli oggetti piatti e gli animali
- per contare gli oggetti rotondi e il tempo
- per contare gli oggetti lunghi e gli alberi
- per contare le canoe
- per contare gli uomini
- per il resto
Ma anche nella lingua giapponese i numeri hanno talvolta nomi
diversi e desinenze diverse a seconda dei contesti in cui
vengono utilizzati
Rappresentazione dei N
Quanti modi abbiamo per scrivere un numero
naturale, ad es. sette?
IIIIIII; seven, VII, ,….
• La realtà del numero è la stessa cambia la
rappresentazione
• Per rendere più agevoli i calcoli è comodo avere
un adeguato sistema di numerazione.
• Noi usiamo un sistema decimale, posizionale,
ma ugualmente bene potrebbero andare altri
Lo zero e il sistema posizionale
Nel sistema di numerazione greco e romano c’era la
necessità, per fare i calcoli pratici, di usare l’abaco.
La notazione Indù fu introdotta in Arabia nel 770 d.C.e
poi in Europa dopo il X sec, da parte degli arabi
Nel sistema posizionale ogni cifra ha un valore diverso a
seconda la posizione che occupa.
Fondamentale in esso è lo zero, introdotto forse, per la
prima volta, dagli indiani.
La cultura greca aveva sempre avuto infatti il terrore del
vuoto e del nulla e non aveva mai introdotto un
simbolo per rappresentarlo
Scrittura di un numero
in base diversa da 10
Per esempio il 7 in base 2 diventa 1112
in base 3 diventa 213
in base 5 diventa 125
Un esercizio sul valore della
posizione
Si prenda un numero qualsiasi di
4 cifre,
si scriva prima la cifra delle
migliaia,
poi il numero formato dalla cifra
delle migliaia e delle centinaia,
poi quello formato da migliaia
centinaia e decine
e si addizionino fra loro,
si moltiplichi il risultato per 9
a questo numero si aggiungano
le cifre del numero di partenza
•
•
•
•
•
•
•
2453
2
24
245
245+24+2=271
2439
2439+2+4+5+3=???
Qual è il risultato?
Proprio il numero di partenza
2453
giustificazione
Qualsiasi numero di 4 cifre può essere scritto
a*1000+b*100+c*10+d
a+ (a*10+b)+(a*100+b*10+c)= a*111+b*11+c
Moltiplichiamo per 9,avremo
a*999+b*99+c*9
Addizioniamo la somma delle cifre del numero di
partenza e avremo
a*999+b*99+c*9+a+b+c+d
a*1000+b*100+c*10+d
Le tabelline
Servono le tabelline?
Certo sono alla base
di ogni calcolo
*
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
0
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Osservando la tabellina della moltiplicazione,
possiamo scoprire alcune proprietà interessanti
come la commutativa, l’esistenza dell’elemento
neutro, lo strano comportamento dello zero …
Attenzione il fatto che la moltiplicazione sia
commutativa non è poi così banale pensate alla
sottrazione alla divisione.
Anzi il fatto che valgano certe proprietà per le
operazioni fondamentali sarà ciò che ci
consentirà più avanti di chiamare numeri anche
cose strane, molto, molto strane… ma questo è
argomento di prossime puntate.
Esercizio per casa
Se avete piacere e curiosità, provate a
costruire la tabellina o dell’addizione o
della moltiplicazione in qualche base
diversa da 10.
Potrebbe anche essere 12, ma attenzione
che allora avremmo bisogno di due cifre in
più, potrebbero essere T(ten) e E(eleven)
In base 5
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
11
13
3
0
3
11
14
22
4
0
4
13
22
31
Altra tecnica di moltiplicazione
Poniamo attenzione che le nostre tecniche di calcolo per
eseguire le operazioni non sono le sole possibili.
Vediamo un po’ come certe tribù etiopi che sanno solo
moltiplicare e dividere per 2 eseguono una moltiplicazione
ad es 25 *31
25
31
dimezzo il 1° senza tener conto del resto, e raddoppio il 2°
12
62
e così via
6
124
3
248
1
496
A questo punto cancello le righe che, a
sinistra, presentano un numero pari, e sommo
i numeri rimanenti delle colonne di destra
31+248+496 = 775 provare per credere…
Oltre a verificarlo su altri numeri, volete per la
prossima volta tentare di darne una
giustificazione?
Giustificazione
Dietro c’è in pratica la scrittura di un numero in
base 2 e la proprietà distributiva del prodotto
rispetto la somma
25= 1*24+1*23+0*22+0*21+1*20
Dunque
25*31=(1*24+1*23+0*22+0*21+1*20)*31
=(1*16+1*8+0*4+0*2+1*1)*31
=( 16+ 8 +
+ 1)*31
= 496 +248 + 31
I numeri naturali sono infiniti
I numeri naturali si possono ordinare uno di
seguito all’altro in modo molto intuitivo e la
successione non ha termine.
I numeri naturali sono il primo esempio di
infinito in matematica.
Ricordiamo il gioco di bambini dimmi un
numero grandissimo e io ti dirò un numero
ancora più grande. Vedi Spirito pag16 :Zavattini
Se vogliamo, come è ragionevole, che ogni
numero abbia il successivo siamo costretti
ad ammettere l’infinità dei numeri …
Tutte le volte che un insieme ha la stessa
‘numerosità’ dei i numeri naturali diremo
che è numerabile.
Potremmo pensare che tutti gli infiniti sono
uguali, invece …
Invece,per esempio, i numeri naturali pari
sono tanti quanti tutti i numeri naturali …
0
|
0
1
|
2
2 3
| |
4 6
4
|
8
5
|
10
6
|
12
7
|
14
ma anche questa è un’altra storia…..
8 …
|
16 …
• Notiamo che invece i numeri della calcolatrice
non sono infiniti,neppure quelli del più potente
calcolatore e infatti possono venir fuori anche
cose strane sommando numeri che vanno fuori
range.
• Quelli della calcolatrice sono numeri diversi da
quelli della matematica, ma per i calcoli usuali
possiamo operativamente usare quelli della
calcolatrice e vanno benissimo.
• Continuiamo a parlare di numeri naturali, che
pur studiati per secoli, nascondono ancora
tante domande, per il momento, senza risposta.
• Alcuni di questi problemi sono di importanza
fondamentale per intere branche della
matematica, altri sembrano pure curiosità, ma
potrebbero un domani rendere possibile la
soluzioni di problemi pratici ,ora non sospettati.
Una curiosa proprietà
La somma di numeri dispari successivi è
sempre uguale ad un quadrato perfetto
1+3+5+7=16
Con un simbolismo forse un po’ più raffinato dobbiamo
dimostrare che
1+3+5+….+(2n-1)= n2
ne daremo una giustificazione geometrica
7
5
3
1
Numeri perfetti
Sono quelli che sono uguali alla
somma dei loro divisori.
es. 6 = 1 + 2 +3
28=1 + 2 + 4 + 7 +14
I numeri pari perfetti sono stati studiati da
Eulero (sec.XVII).
I numeri perfetti, da 1 a 100.000 sono
soltanto 4 …
Problema aperto invece è se esistano o no
numeri dispari perfetti
Numeri figurati
• Gli antichi greci non avevano un buon
rapporto con l’aritmetica,mentre erano dei
gran maestri con la geometria.
• Questo fatto li spinse a sviluppare una
serie di osservazioni sulle proprietà dei
numeri naturali a partire dalle regolarità
delle figure corrispondenti a quei numeri
Numeri triangolari
Sono quelli composti da unità che si possono disporre in
modo da formare triangoli
Sono infiniti, disegniamo soltanto i primi che sono i
seguenti ...
1, 3, 6, 10, 15, 21….
Osservando le configurazioni dei primi quattro,
si può scoprire una interessante regolarità
• Il secondo si ha dal primo aggiungendo 2
• Il terzo dal secondo aggiungendo 3
• Il quarto aggiungendo 4
• ovvero l’ n-esimo numero si ottiene come
somma di n con il triangolare precedente
Tn = n+ Tn-1
• C’è un’altra stranezza il sesto numero
triangolare, coincide con la somma dei primi 6
numeri naturali ….
21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
• ma anche questa è un’altra storia …..
I numeri primi
• Sono i numeri naturali, maggiori di 1,
divisibili solo per se stessi e per 1.
• Anche i numeri primi sono infiniti e sono numerabili
• La dimostrazione che i numeri primi sono infiniti
fu data per la prima volta da Euclide
• Procede per assurdo,ovvero si tenta di dimostrare che
il teorema è falso, cioè nel nostro caso si suppone che
esista un numero finito, anche se grandissimo, di
numeri primi
dimostrazione
Per esempio siano
p1 ,p2,p3,………. pn-1,pn.
Ogni altro numero dovrà essere divisibile per uno o più
di essi.
Considero adesso il numero
A= p1*p2 *p3*………..pn-1*pn+1
Esso è certamente maggiore di tutti i primi considerati,
ma non è divisibile per nessuno di essi
Dunque l’ipotesi iniziale che esista solo un numero finito
di primi porta ad una contraddizione,dunque essa è
assurda e deve essere vera la sua contraria, ovvero
che sono infiniti.
• Molti sono stati i tentativi per scrivere tutti i
numeri primi minori di un certo numero
assegnato
• Il più antico è certamente il crivello di
Eratostene
Eratostene di Cirene
• Eratostene di Cirene (Έρατοσθένης)
(Cirene 276 a.C. – Alessandria d’Egitto, 194 a.C.) è
stato un matematico, astronomo, geografo e poeta
greco.
Fu probabilmente l'intellettuale più versatile della
sua epoca.
• Bibliotecario della Biblioteca di Alessandria, è oggi
ricordato soprattutto per aver misurato per primo
con grande precisione le dimensioni della Terra.
Calcolò la misura della circonferenza massima in
39.400 Km contro i 40.000 reali !!!!
Per misurare la lunghezza del meridiano terrestre
ebbe come riferimento due città: Alessandria e Siene,
l’odierna Assuan. Partendo dall’ipotesi che fossero
sullo stesso meridiano (in realtà sono separate da 3°
di longitudine), misurò dapprima la distanza tra le due
città, ponendo concettualmente i raggi solari paralleli
tra loro: questa situazione è possibile in alcuni giorni
dell’anno; il giorno del solstizio d’estate infatti a Siene
il sole è allo zenit e i raggi risultano verticali, mentre
ad Alessandria formano un certo angolo α.
Questo angolo corrisponde all’angolo posto
ipoteticamente al centro della Terra tra le rette che
congiungono le due città. Il suo valore era di 1/50 di
giro (ancora i gradi sessagesimali non erano stati
ufficialmente introdotti) che equivaleva a 250.000
stadi, quindi 39.400 Km contro i 40.000 reali.
Crivello di Eratostene
Il procedimento è il seguente:
si scrivono tutti i naturali a partire da 2 fino
n in un elenco detto setaccio. Poi si
cancellano tutti i multipli del primo numero
del setaccio (escluso lui stesso). Si
prosegue così fino ad arrivare in fondo. I
numeri che restano sono i numeri primi
minori od uguali a n. È come se si
utilizzassero dei setacci a maglie via via più
larghe: il primo lascia passare solo i multipli
di 2, il secondo solo i multipli di 3, e così via
• Pensate che ci vorrà molto tempo per
utilizzarlo per i primi minori di 100?
• Ipotizzate e poi provate
• In realtà ce li troviamo già pronti dopo aver
eliminato i multipli di 7.
• Perché?
• Possiamo generalizzare la cosa?
dimostrazione
Nel caso n = 50, ad esempio, il procedimento di setacciatura si
conclude con il numero 7 perché 7 è il massimo intero il cui
quadrato non supera 50 .
Si può provare che il procedimento di setacciatura per ricercare
i primi fino ad un certo numero n cessa sempre quando si
supera la radice quadrata di n.
Infatti ogni numero a del setaccio iniziale, contenente tutti i
numeri naturali non superiori ad un dato n, cade dal setaccio
che corrisponde al più piccolo dei suoi divisori primi.
Se indichiamo con p il più piccolo divisore primo di a si ha:
a= p*r ≥ con r>p .
Se ne deduce che
a= p*r ≥p*p = p2
da cui p è sempre minore o uguale alla radice quadrata di a.
Una espressione che dà luogo a molti numeri
primi è
F(n) = n2 –n +41
Il guaio è che fino a 40 funziona ,ma per n=41 dà 412
che non è primo…
Vedete perciò perché i matematici hanno il vizio di
dimostrare tutto e di non fidarsi delle apparenze…
C’è un’altra stranezza il sesto numero triangolare,
coincide con la somma dei primi 6 numeri
naturali ….
21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
ma anche questa è un’altra storia …..
Congettura di Goldbach
• Nel sec.XVII Golbach ipotizzò che ogni
numero pari maggiore di 2 si potesse scrivere
come somma di due numeri primi
18= 11+7 =13 +5
• Nel 1931 un matematico russo sconosciuto
dimostrò che ogni numero intero positivo può
essere rappresentato come la somma di non più di
300.000 primi.
• Più recentemente un altro russo è riuscito a ridurre il
numero a 4, ma ancora c’è da lavorare…
Congettura delle coppie di
primi gemelli
Dall’osservazione che i numeri primi si
presentano a coppie p e p+2 ,
come 3 e 5, 11 e 13, 29 e 31,
Si ritiene che tali coppie siano infinite, ma
ancora nessuno è riuscito a dimostrarlo
Giochino di magia
• scegliere due numeri a caso non
eccessivamente elevati
• poi sommarli,
• a questa somma aggiungere poi il
maggiore
• e cosi via, sommando sempre alla nuova
somma, il valore della precedente per 7
volte
• Fare il rapporto degli ultimi due numeri
Il valore del rapporto è
0,618…
Numeri di Fibonacci
La successione di Fibonacci è una
sequenza di numeri naturali definibile
assegnando i valori dei due primi
termini, e chiedendo che ogni
successivo sia la somma dei due
precedenti
• La sequenza prende il nome dal matematico
pisano del XIII sec Leonardo Fibonacci,
l’autore del Liber Abbaci (1202).
• Fibonacci li trovò, mentre cercava una legge
che descrivesse la crescita di una popolazione
di conigli. Assumendo che: la prima coppia
diventi fertile al compimento del primo mese e
dia alla luce una nuova coppia al compimento
del secondo mese e che le nuove coppie nate
si comportino in modo analogo…
• La prima serie di numeri di Fibonacci è:
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8, 13 , 21,…
• Tante sono le particolarità di questi numeri :
quella da noi usata è che il rapporto tra due
termini successivi si avvicina molto
rapidamente al numero decimale 0,618..:
1:2=0,500
2:3=0,667
3:5=0,6
5:8=0,625
8:13 = 0,615
...
34:55=0,618
• Il suo reciproco è noto con il nome di numero
Aureo, e viene definito come il rapporto della
sezione aurea, o proporzione aurea e si indica
con φ (iniziale di Fidia)
• la sezione aurea di un segmento è quella sua
parte che è media proporzionale tra l’intero
segmento e la parte rimanente
A
B
C
AC : AB = AB : BC
• Tale rapporto è stato considerato, sin dalla sua
scoperta, come rappresentazione della legge
universale dell'armonia.
φ è anche l'unico numero non naturale il cui reciproco e
quadrato mantengono inalterata la propria parte
decimale.
φ = 1, 618033989…
φ2 = 2, 618033989…
1/φ= 0, 618033989…
infatti
1/φ = φ -1
Spirale logaritmica
Si costruisce una serie di quadrati in cui il lato di ognuno di questi è dato dalla somma
delle misure dei lati dei due precedenti
la sequenza "converge" verso un punto di fuga che non raggiungerà mai, denominato
dal matematico C.A.Pickover L’occhio di Dio,
nautilus
La spirale logaritmica della lumaca (chiocciola)
risponde principalmente ad esigenze di crescita
all’interno della stessa..
Infatti la lumaca esce dall’uovo con già la chiocciola e
questa è una parte non separabile del gasteropode
senza provocarne lesioni e probabilmente la
morte. Crescendo la lumaca costruisce strati
superiori sul bordo della chiocciola che va ad
occupare con la nuova massa corporea.
La spirale logaritmica ha la proprietà di allargarsi man
mano che ci si allontana dal centro e di conseguenza
il volume aumenta.
Il rettangolo aureo ha questo rapporto fra il lato corto e
quello lungo .
Il Partenone è un esempio dell’uso in Architettura del
rettangolo aureo
Gli andamenti del mercato azionario,
l'accrescimento biologico di alcune specie, la
spaziatura tra le foglie lungo uno stelo e la
disposizione dei petali e dei semi in alcuni tipi di
fiori quali il girasole, spesso presentano schemi
riconducibili a quello dei numeri di Fibonacci.
La sequenza di Fibonacci è abbondantemente
rappresentata anche in musica, ad esempio
nelle fughe di Johann Sebastian Bach,
nelle sonate di Mozart,
nella Quinta Sinfonia di Beethoven,
nella Sonata in la D 959 di Schubert;
nella Sagra della Primavera di Strawinski.
nella Cathedrale Engloutie di Debussy.
• Anche la musica Rock, ed in special modo il così
detto rock progressivo, si è confrontata con la
relazione esistente fra musica e matematica,
soprattutto per ciò che riguarda gli aspetti misticoesoterici della sezione aurea.
• L’esempio più emblematico per quanto riguarda
questo genere musicale, è la musica dei Genesis, i
quali hanno usato assiduamente la serie di
Fibonacci per i loro brani: uno di essi, più
significativo in questo senso, è Firth of Fifth, tutto
basato su numeri aurei, nel quale, ad esempio ci
sono assolo di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni
sono formati da 144 note, etc.
E per concludere giochi con i numeri che
diventano arte:
di Alighiero Boetti
Il volo dei numeri di Mario Merz un'installazione luminosa sulla Mole Antonelliana,
rappresenta la successione di Fibonacci
Bibliografia
• Spirito Grammatica dei numeri Editori riuniti
• Courrant-Robbins Che cos’è la matematica
Boringhieri
• Higgins Divertirsi con la matematica Dedalo
• Honsell L’algoritmo del parcheggio Mondadori
• Glenn-Johnson Divertimenti matematici Zanichelli
• http://www.magiadeinumeri.it/Fibonacci.htm