Orazio Muscato Dipartimento di Matematica e Informatica Università degli studi di Catania Le successioni di Fibonacci Complementi al corso di Istituzioni di Matematiche , Corso di Laurea Specialistica quinquennale in Architettura, Facoltà di Architettura con sede in Siracusa AA 2004-2005 Le successioni di Fibonacci Un po di st oria. Leonardo Pisano det t o filio Bonacci o Fibonacci, fu un famoso matematico italiano (Pisa 1175 circa - 1240 circa). Figlio di un commerciante pisano che trafficava nel mediterraneo, visse fin da piccolo ad Algeri dove apprese i principi dell algebra da m aest ri arabi. Più t ardi, esercit ando sem pre il m est iere di mercante, viaggiò in Siria, Egitto, Grecia conoscendo i più importanti matematici musulmani. Da questi contatti ed anche dalla necessità pratica di usare le regole di numerazione in uso localmente, nacque la sua opera fondamentale il Liber Abaci ( I l libro dell Abaco ) , in cui si int roduceva per la prim a volt a nella cultura occidentale le regole di calcolo note nel mondo arabo, cioè la numerazione decimale. Veniva introdotto per la prima volta il numero zero( dall arabo zefiro, cioè un soffio di vent o) , che era sconosciut o sia agli antichi greci e romani. L opera di Fibonacci si completa con due altri libri Pratica Geometriae ("La Pratica della Geometria"), in cui si espone esaustivamente concetti di geometria e trigonometria e il Liber Quadratorum ("Il Libro dei Quadrati") in cui si espone un metodo per approssimare le radici quadrate e cubiche con una precisione di nove cifre. Le successioni di Fibonacci. Quest a successione nacque da un problem a concret o, propost o dall Imperatore Federico II di Svevia a Pisa nel 1223 in un torneo di matematici. Il problema era il seguente Quant e coppie di conigli si ot t engono in un anno , salvo i casi di m ort e, supponendo che ogni coppia dia alla luce un alt ra coppia ogni m ese e che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo m ese di vit a ? . Fibonacci diede una risposta così rapida al test, che qualcuno pensò male: 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , dove ogni numero della successione si ottiene prendendo la somma dei due che lo precedono ( con l esclusione dei prim i due) . La serie di Fibonacci è una successione di interi definita a partire dalla coppia 1, 1 in cui l elem ent o successivo è calcolat o com e som m a degli ult im i due. Una definizione più formale è: a0 = 1 a1 = 1 a n+1 = an + an-1 se n>2 (1) si osservi che il valore della funzione a n è definito in termini della funzione stessa. Funzioni di questo tipo sono dette ricorsive e vengono definite da equazioni dette ricorrenti o alle differenze. Proviamo a calcolare i primi numeri della serie a partire dalla definizione inform ale, in cui cost ruiam o l elem ent o successivo per som m a degli ult im i due, iniziando dalla coppia 1, 1: a 0 = 1 (primo numero iniziale) a 1 = 1 (secondo numero iniziale) a 2 = 2 = 1+ 1 (somma degli ultimi due) a 3 = 3 = 2 +1 ( .... come sopra ... ) a4 = 5 = 3 + 2 a 5 = 8 = 5 + 3 ( .... come sopra ... ) ... Teorema 1. La successione (1) è crescente ed illimitata, quindi divergente positivamente. Risposta al problema di Federico II Supponiamo di avere a n coppie di conigli dopo n mesi. Il numero di coppie in n+1 mesi sarà a n (in questo problema (i conigli non muoiono mai) più il numero di nuove coppie nate. Ma queste nuove coppie sono nate solamente a coppie che hanno almeno un mese, così ci saranno a n-1 nuove coppie, cioè a n+1 = an + an-1 che é la regola per generare i numeri di Fibonacci. Le sezione aurea Un valore numerico speciale correlato alla successione di Fibonacci è la sezione aurea. Quest o num ero si ot t iene prendendo il rapport o di t erm ini successivi della successione per n molto grande ovvero, usando il concetto di limite, lim an 1 n an (2) In pratica se prendo il rapporto tra termini successivi della successione ottengo , , 32 , 53 , 85 ,....... 1 2 1 1 e se faccio un grafico si ottiene Sezione aurea Rapporto 2,5 2,0 1,5 Rapporto Fibonacci 1,0 0,5 0,0 1 2 3 5 8 13 21 34 55 Numeri di Fibonacci Si osservi come, per n molto grande, il rapporto tende ad un valore limite. Teorema 2 Vale il limite (2). Dimostrazione. Supponiamo che il limite dato dalla (2) esista (ciò può essere dimostrato rigorosamente). Siano a n+1 e a n due termini successivi della serie di Fibonacci. Allora a a n 1 n a a a n n 1 1 n a a n 1 (3) n Per n molto grande avremo che a a , an n 1 a n 1 1 n da cui la ( 3) divent a un equazione di secondo grado nell incognit a 1 1 (4) da cui 2 -1 = 0 la cui soluzione positiva è 1 5 2 1.618 (5) Osservazione 1 La sezione aurea si può ottenere anche geometricamente. In un segmento AC si fissi un punto intermedio B in modo che lo divida in parti diseguali con la seguente caratteristica: la parte più corta è proporzionale alla più lunga allo stesso modo della parte lunga rispet t o all int ero segm ent o. Ne segue la seguente proporzione: AB BC BC (6) AC ovvero se AB=x e BC=y e definendo sezione aurea y x dalla (6) si ottiene ancora l equazione (5) . Osservazione 2 I l num ero è irrazionale (con infinite cifre decimali aperiodiche). Il metodo geometrico permette quindi di calcolare la radice quadrata di 5. Osservazione 3 (com e calcolare in m odo sem plice) Usando una calcolatrice scientifica si può facilmente calcolare seguente procedimento: 1. 2. 3. 4. 5. , con il inserire 1 per iniziare prendere il suo reciproco ( il bottone 1/x) . Aggiungere 1 prendere il suo reciproco . Aggiungere 1 prendere il suo reciproco . Aggiungere 1 ripetere il procedimento fino a quando il display non dà un numero costante Questo procedimento si basa sulla formula (4). Natura estetica della sezione aurea Il matematico greco Euclide (300 a.c.) fu il primo a scoprire il suo significat o e gli archit et t i greci usarono il rapport o 1: com e part e integrale delle loro progettazioni, di cui la più famosa è il Partenone di Atene. Anche il famoso scultore greco Fidia usò questa proporzione nei suoi lavori. Prima dei greci anche gli egiziani usarono questa proporzione per progettare la piramide di Giza (4600 a.c.) . Un matematico americano usò la lettera numero, dalle iniziali dello scultore Fidia. per rappresent are quest o Leonardo da Vinci chiam ò quest o num ero la divina proporzione . I suoi studi sul corpo umano hanno indicato come Rapporto Aureo il rapporto esteticamente più piacevole tra le lunghezze del corpo umano (ad esempio tronco/gambe). Anche il viso del famoso quadro raffigurante Monna Lisa fu t racciat o seguendo quest e proporzioni. In un pentagono regolare tracciando le sue diagonali, si ottiene una stella a pentagramma i cui lati sono in rapporto con la sezione aurea. Questa stella forma molte delle bandiere del mondo I rettangoli di Fibonacci e le conchiglie a spirale I numeri di Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,.. possono essere usati per tracciare opportuni quadrati. Com inciam o con due piccoli quadrat i di lat o 1 uno vicino all alt ro, quindi sopra di questi tracciamo un quadrato di lato 2 (=1+1). Possiamo adesso tracciare un nuovo quadrato, che tocca sia il quadro di lato uno che l ult im o di lat o 2 ( così avent e lat i 3) ; quindi un alt ro che t occa entrambi irettangoli di lati 2 e 3 ( che ha adesso lato 5). Si può così continuare aggiungendo quadrati attorno alla figura, ogni nuovo quadrato avente un lato che ha una lunghezza pari alla somma dei lati dei due quadrati più vicini. Questo insieme di rettangoli i cui lati hanno lunghezze pari a numeri di Fibonacci successivi e che sono composti da quadrati con lati che sono numeri di Fibonacci sono chiamati Rettangoli di Fibonacci. Se adesso in ogni quadrato si traccia in quarto di cerchio, si ottiene una spirale (detta logaritmica). Questa spirale è fatta di parti di circonferenza e quindi è un approssim azione di una vera spirale. Si può provare che t ale spirale form a una linea dal centro che si incrementa di un fattore pari alla sezione aurea in ogni quadrato. Così i punti sulla spirale sono 1,618 volte distanti dal centro dopo un quarto di giro. Queste spirali sono osservate in natura nelle forme delle conchiglie, come nella conchiglia marina Nautilus Le piante e i numeri di Fibonacci Molte piante hanno un numero di petali pari ai numeri di Fibonacci. Il lilium e l iris ne hanno 3, la rosa selvaggia e l aquilegia 5, il delphinium 8, la cineraria 13 etc. I numeri di Fibonacci si possono anche vedere nel numero di semi presenti in alcuni fiori. La figura che segue è un fiore che vive nelle prat erie dell I llinois, chiam at o Echinacea purpura Ecco una vista frontale del fiore Si vede che i petali arancioni sembrino formare delle spirali che si curvano sia sulla destra che sulla sinistra. Partendo dal bordo della foto, si possono contare 55 spirali che curvano verso destra; se si va verso il centro si contano circa 34 spirali e così via, cioè si ottengono i numeri di Fibonacci. Ciò accade anche in molti fiori con semi (per es. i girasole). Il numero di spirali in ogni direzione sono all incirca num eri di Fibonacci. Il motivo di questo fenomeno sembra dovuto al fatto che questa disposizione forma un impacchettamento ottimale dei semi, supposto che tutti abbiano la stessa dimensione. Le pigne mostrano anche delle spirali di Fibonacci. Quest a è una pigna vist a dal basso, dove il picciolo si connet t e all albero. L insiem e di spirali che si vedono sono connesse ai num eri di Fibonacci. Simile fenomeno si ha nel cavolfiore. I numeri di Fibonacci si ritrovano anche nel numero di foglie che ci sono attorno al fusto di una pianta. Partendo dalla foglia più in basso nel fusto della pianta, il numero di foglie che si incontrano fin quando si incontra una foglia direttamente sopra quella di partenza è un numero della successione di Fibonacci. This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com. The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.