Realizzazione di un
WebQuest
Il numero aureo
Matematica
Storia
3F
Architettura
a.s. 2009/10
Pittura
Musica
Biologia
Prof. Antonio Greco - Liceo Scientifico A.Vallone - Galatina
CARATTERI GENERALI
Si indica con sezione aurea il rapporto fra due grandezze disuguali, di cui la maggiore
è medio proporzionale tra la minore e la loro somma. In formule, indicando con a e b
le due lunghezze, vale la relazione: (a+b): a = a: b
Tale rapporto vale approssimativamente 1,618. Il numero esatto può essere ricavato
dalla formula:
1 5

 1,6180339887
2
Il numero ricavato che esprime la sezione aurea è un numero razionale, cioè
rappresentabile con infinite cifre decimali e può essere approssimato dai rapporti fra
due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è strettamente legato. Sia le
sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in svariati
contesti naturali hanno impressionato la mente dell'uomo. Testimonianza ne è forse la
storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" o
"divino", proprio a dimostrazione del fascino esercitato.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
La sezione aurea in algebra
Il rapporto aureo vale approssimativamente 1,618 ed è
esprimibile per mezzo della formula:

1 5
 1,6180339887
2
Sezione aurea
Simbolo
Ø
Valore
1,6180339887…
Frazione continua
Ø=(1+rad5)/2≈
Insieme
Numeri reali
Categoria
Costanti matematiche
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Particolarità matematiche
Il rapporto aureo è l'unico numero
non naturale il cui reciproco e il cui quadrato mantengono
inalterata la propria parte decimale.
1
,618033989
2
 2
,618033989
1
0
,618033989

Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Segmento aureo
Dato un segmento (AC), si ottiene una sezione aurea quando
BC: AB=AB: AC
Per avere l'idea della proporzione se consideriamo la misura del segmento pari
all'unità:
AB + BC= 1 e BC = AB*AB/AC quindi: BC = 1-AB e 1 - AB= AB2/1
che si risolve come equazione di secondo grado:
AB2 + AB -1= 0 AB=
 1 
e si ottiene: AB=  1 
5

1  4  
2
= (-1 + 2,236068) /2 = 0,618034...
2
e BC= 1-0,618034= 0,381966...
che corrisponde ad un rapporto uguale a: 0,618034/0,381966= 1,618034...
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Successione di Fibonacci
C'è un metodo per ottenere dei numeri che se rapportati tra loro
danno come risultato un numero che si avvicina sempre più al
numero d'oro man mano che i numeri diventano grandi.
Questi numeri sono quelli appartengono alla serie di Fibonacci una
serie in cui ogni termine si ottiene dalla somma dei due precedenti.
I primi elementi sono pertanto:
1 1 2 3 5 8 13
21 34 55 89 144 ...
A partire da tale successione, se formiamo una serie di tipo
frazionario, emergono i seguenti rapporti:
1
2
3
5
8
13
21
 1;  2;  1,5;  1, 6;  1,625;
 1,615;
 1,619;
1
1
2
3
5
8
13
an
lim
 1,6180339887
n  a
n 1
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Costruzione geometrica della sezione aurea
primo metodo
La sezione aurea può essere costruita geometricamente, con riga e
compasso, su qualsiasi segmento AB:
dato un segmento AB, si traccia la perpendicolare in B di lunghezza CB,
pari a AB/2, si traccia poi l'ipotenusa AC del triangolo rettangolo così
disegnato e su di essa si segna il punto E, ove passa la circonferenza di
centro C e raggio CB. Si riporta ora il segno con raggio AE su AB
definendo il segmento AE' medio proporzionale rispetto ad AB e E'B.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Dimostrazione
Per la dimostrazione si può procedere in due modi:
Primo metodo
Per il teorema delle tangenti e delle secanti si ha che AB è medio proporzionale
rispetto a AE e AD:
AD : AB = AB : AE
Per le proprietà delle proporzioni:
(AD - AB) : AB = (AB - AE): AE
da cui si ha, ricordando che AE = AE':
AE' : AB = E'B : AE'
AB : AE' = AE' : E'B
Secondo metodo
AB 1

Definendo AB = 1 e BC 
,si ha per il teorema di Pitagora
2
2
2
AC 
1
AB  BC  1    
 2
2
2
Quindi, AC - BC risulta
2
5 1
 
2 2
1
1

4
5
5

4
2
1
5 1
che equivale a
.
2

Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Costruzione di un segmento
secondo metodo
Dato un segmento AB si traccia la perpendicolare DB di lunghezza pari
ad AB; da questo punto, quindi, si trova il punto medio C del segmento
interessato e puntandovi, con apertura pari all'ipotenusa CD, si riporta
la lunghezza sul prosieguo del segmento, trovando così BD', per il quale
AB rappresenta il medio proporzionale rispetto alla loro somma
AD‘,ovvero BD’:AB=AB:AD’
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Dimostrazione
Per un'agevole dimostrazione algebrica se attribuiamo al segmento AB valore
unitario, cioè 1;
AC 
1
2
Mentre DC similmente, per il teorema di Pitagora, vale:
1
12   
2
sommando i due si ricava:
2

5
2
1 5
2
che è la stessa soluzione dell'equazione generatrice del numero aureo.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Sezione aurea nella stella a cinque punte
All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali un
triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°. Ogni lato forma, con il
punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli
36°, 36°, 108°. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di
una sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide
ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Il rettangolo aureo e la sua sezione
Il rettangolo aureo è un rettangolo le cui proporzioni sono basate
sulla proporzione aurea. Ciò significa che il rapporto fra il lato
maggiore e quello minore, a : b, è identico a quello fra il lato minore e
il segmento ottenuto sottraendo quest'ultimo dal lato maggiore b : a-b
(il che implica che entrambi i rapporti siano φ ≅ 1,618).
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Successioni di rettangoli aurei e spirale
logaritmica
La particolarità saliente è la sua facile replicabilità: basta, infatti,
disegnarvi, all'interno, un quadrato basato sul lato minore, o altresì,
all'esterno, basato sul lato maggiore per ottenere col semplice compasso
un altro rettangolo, minore o maggiore, anch'esso di proporzioni auree.
Dalla proprietà del rettangolo aureo di potersi "rigenerare" infinite
volte, deriva la possibilità di creare al suo interno una successione
infinita di quadrati e quindi una spirale, detta spirale di Fibonacci, in
grado di approssimare la spirale aurea.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
NUMERO AUREO: STORIA
La civiltà ellenica fu la prima a definire il rapporto aureo. In Grecia
Euclide descrisse il rapporto

(phi), chiamandolo proporzione
estrema e media. Spetta alla scuola pitagorica il merito di una
teorizzazione matematica delle relazioni proporzionali contenute nel
pentagramma. Nel 1498, Luca Pacioli scrive il “De Divina Proporzione”
, mentre tra il 1100 e il periodo rinascimentale troviamo varie
applicazioni del rapporto aureo, ad esempio nel Palazzo Vecchio di
Firenze o nella cattedrale di St. Denis.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Fibonacci si interessò alla sezione aurea ed era noto come il “più
grande matematico europeo del Medioevo”. Come lui anche Andrea
Mantegna,Leon Battista Alberti, Giovanni Campano. Un artista che
fu molto influenzato da La Divina Proporzione fu Albrecht Durer. Nel
XVI secolo Keplero si interessò nuovamente al numero aureo. La
Cattedrale di Notre Dame a Parigi fu costruita su pianta aurea,
Stradivari aveva scoperto il rapporto aureo, applicandolo alla sua
musica.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Sempre in campo musicale troveremo la Primavera di Stravinsky,
opere di Bach, Debussy,Mozart e Beethoven. In arte Seurat e Van
Gogh fecero uso della divina proporzione, come anche Mondrian e
Carrà. Martin Ohm introduce in una sua opera, nel 1835, il termine
Goldener Schnitt: sezione aurea. La fama di cui la sezione aurea gode
ancora oggi è dovuta in larga parte a G. T. Fechner.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Nell’architettura ritroviamo Casa del fascio di Giuseppe Terragni a
Como ed il Palazzo di vetro, sede dell’ONU, a New York. Nella
cinematografia, in “La Corazzata Potëmkin”, di Sergej Ejzenštein,
le scene sono divise in sezione aurea a partire dalla lunghezza della
celluloide sulla quale sono incise.
La letteratura di fine ‘800 ed inizio ‘900 applica il numero aureo in
“Le serpent qui danse” di Baudelaire, in “Sogni di Terre Lontane”
di Gabriele d’Annunzio, ed in “Nostalgia” di Umberto Saba. Il
secolo scorso, l’americano David Johnson e, nel 1927, Ralph Nelson
Elliott, utilizzarono la serie di fibonacci nei loro studi.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Ma il rapporto aureo è inserito nella nostra quotidianità più di
quanto noi immaginiamo:
la forma totale delle barrette di cioccolato Kit Kat è un rettangolo
aureo, così come le carte di credito Visa e Mastercard.
Una ricerca anatomica ha rivelato la strutturazione a nautilus
dell’organo di Corti nell’apparato uditivo umano.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Fechner
Nel 1875, effettuò diversi sondaggi ed esperimenti chiedendo a dei
soggetti quale fosse il rettangolo più gradevole tra quelli da lui mostrati.
Le sue conclusioni furono che esisteva una preferenza per la sezione
aurea. Una delle prime critiche che fu rivolta a Fechner riguardava la
possibile preferenza dell'occhio umano per rettangoli disposti con il
lato maggiore orizzontalmente. Un altro possibile problema era il
fattore della posizione media dei rettangoli presentati. Un’ ipotesi
suggerirebbe la scelta del rettangolo con il rapporto a metà tra quelli
presentati.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Architettura
L’arte si ottiene con molti numeri e badando ai minimi dettagli. Policleto
L’unico modo per documentare l’uso di teorie geometriche nell’arte è
quello di impugnare squadra e compasso per individuare se l’opera è
frutto di un sistema coerente. Il matematico crea inseguendo un suo
ideale estetico, che ritrova nell’ architettura. La matematica viene quindi
presentata attraverso un connubio con l'arte e l’ architettura in
particolare. Tuttavia sarebbe riduttivo pensare che solo i Greci
applicassero i rapporti del rettangolo aureo nelle loro opere scultoree;
gli Egiziani furono i primi fruitori di questo canone geometrico,
destinato a costituire un Leitmotiv nella concezione dell'arte
nell'Occidente.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
La stele del re Get
Nella stele del re Get in realtà il modulo
che informa la stele non è aureo, ma deriva
da un processo chiamato dinamizzazione
del quadrato: si tratta di una composizione
i cui rapporti vengono tutti stabiliti
mediante archi di cerchio e proiezioni dei
loro raggi. Tuttavia anche la proporzione
aurea vi svolge un ruolo non secondario: il
rettangolo in cui ondeggia il serpente è in
rapporto aureo col quadrato costituito dal
palazzo: il re è la parte ‘aurea’ della terra
regale.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Piramide di Cheope
Il rapporto aureo sussisterebbe in questo caso fra il semilato della
piramide e l'altezza della facciata triangolare costruibile sulla stessa.
Si tratta anche questa volta di valore molto vicino a quello teorico; risulta
comunque logico chiedersi se ciò può costituire una prova di una reale
conoscenza da parte degli egizi della sezione aurea o se tale risultato sia
stato un'inconsapevole conseguenza del modo in cui è stata costruita.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Partenone
Dovendo il Partenone “sottostare” ai canoni di bellezza policletiani non c’è da
meravigliarsi che esso sia “inscritto” in vari rettangoli aurei; c’è da sottolineare
che si può racchiudere in un rettangolo anche qualsiasi elemento decorativo dello
stesso. Un Esempio significativo è rappresentato dalle Korai dell'Eritteo, le quali
possono essere inscritte in una serie di rettangoli nei quali il rapporto tra altezza
e lunghezza è un rapporto aureo. Numerosi studi effettuati sul partenone
mostrano come, anche, la pianta del Partenone rappresenta un rettangolo radice
quadrata di 5, ossia che la lunghezza è radice di 5 volte la larghezza, quindi in
rapporto aureo.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Portale Castel Del Monte
Il portale scaturisce dal pentagono stellato e dalla sua scomposizione
secondo ϕ, le sue potenze e le sue radici. Esso ha dei punti salienti che
coincidono con i vertici di un pentagono. Nel perimetro esterno si
possono inscrivere rettangoli il cui rapporto dei lati è “aureo”. I punti
dove il sole sorge e tramonta ai solstizi formano un rettangolo in
proporzione aurea (questo avviene solo alla latitudine dove è situato il
castello).
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Andrea Palladio
Andrea Palladio è oggi unanimemente riconosciuto come il
più importante architetto che il mondo occidentale abbia
mai prodotto. Nella maggior parte delle sue opere lui fa
utilizzo della sezione aurea. La troviamo ad esempio in
molte delle sue ville.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Altre costruzioni in Sezione Aurea
Nell'arco di Trionfo di Costantino a Roma l'altezza dell'arco divide l'altezza totale secondo
la sezione aurea, mentre i due archi più piccoli giocano lo stesso ruolo nella distanza tra la
base e il listello inferiore. La sezione aurea si riscontra non solo nell'architettura romana,
ma anche in quella gotica; anche nel Rinascimento ritroviamo proporzioni auree
nell'altezza (nella Certosa di Pavia per esempio). Esempi di questo genere non sono per
altro limitati all'Europa; compaiono soluzioni uguali anche nell'architettura del Medio
Oriente, confermandoci che fatti culturali così distanti nello spazio e nel tempo si sono
potuti verificare per l'esistenza di un principio naturale comune.
Altri famosi monumenti furono in seguito progettati seguendo le proporzioni del
rettangolo aureo. Basti pensare alla cattedrale di Notre Dame a Parigi e al palazzo di vetro
dell'ONU a New York.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Pittura
Charles Bouleau sostenne che la prima apparizione della
sezione aurea fu in autori prerinascimentali come Cimabue,
Duccio e Giotto. Notizie più certe le avremo con la De Divina
Proporzione di Luca Pacioli, frate minore francescano che
definì la sezione aurea come Divina Proporzione proprio
perché, da ecclesiastico quale era, riteneva che solo la mano di
Dio poteva creare una tale armonia. Questo libro influenzò gli
artisti ed architetti di tutti i tempi. Pacioli ricercò nella
proporzione dei numeri i principi ispiratori in architettura,
scienza e natura: la regola aurea introdotta fu in seguito
chiamata praxis italica. Tra i principali artisti che si creda
adottarono la sezione aurea troviamo: Leonardo Da Vinci, Piero
Della Francesca, Sandro Botticelli, Georges Seurat, Paul
Sérusier, Pierre Mondrian, Juan Gris,Gino severini,Mario
Merz, Anthony Hill, Yigal Tumarkin
Leonardo Da Vinci
L'italiano,inventore,fisico e matematico Leonardo da Vinci, creò
dei bozzetti tratti dalla lettura dello scritto di Pacioli, e riportò la
sezione aurea in molte delle sue opere. Scoprì, così, che guardando
le opere, si poteva creare un sentimento di ordine e di armonia. La
Mona Lisa, L'uomo Vitruviano, La Venere delle rocce, L'ultima
cena, St. Jerome, l’Annunciazione,nell'autoritratto di Leonardo Da
Vinci, ne La donna scapigliata, Belle Ferronnière, e nei disegni di
Leonardo sullo studio del volto umano. Alcuni dei dipinti citati
risultano di molto precedenti al periodo di collaborazione fra i due
umanisti a Milano, fatta eccezione per la Gioconda.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
La Monna Lisa
Molti ritengono che solo il volto sia inscrivibile in un rettangolo
aureo. Altri individuano rettangoli nel dipinto, nei quali ritornerebbe
la simbologia del numero 5. Notiamo anche che,se si disegna un
rettangolo la cui base si estende dal polso destro della donna la al
gomito sinistro e si amplia il rettangolo in verticale fino a
raggiungere la sommità della testa, si avrà un rettangolo aureo.
Disegnando quadrati all'interno di questo rettangolo d'oro,
scoprirete che i bordi di queste nuove sezioni hanno i vertici sui
punti focali della donna: il mento, il suo occhio, il naso, e l'angolo
della bocca all'insù misterioso. Ma è anche opportuno ricordare che
la forma della donna è un triangolo con le braccia come la base e la
testa come la punta..
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
L’Uomo Vitruviano
Leonardo fa convergere nell’uomo vitruviano i canoni della perfezione
anatomica umana enunciati da Vitruvio che conterrebbero rapporti aurei.
Leonardo stabilì che le proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico
divide l’uomo in modo aureo.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
La Venere Delle Rocce
La Vergine delle Rocce
è una delle poche
opere del soggiorno
milanese di Leonardo.
Le quattro figure sacre
formano una
piramide, coronata
dalla testa di Maria. La
tela ha quindi i lati in
rapporto aureo tra
loro.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
L’Ultima Cena
La presenza di un rettangolo aureo che racchiude la figura di Gesù, al
centro del dipinto, è assai difficile da individuare e tutt’altro che
immediata. Probabilmente non era intenzione di Leonardo inserire la
sezione aurea anche in quest’opera, nonostante il fatto che la
proporzione divina sia la cornice di Cristo lascia diversi dubbi al
riguardo. Ma volendo riusciamo a costruire anche altri rettangoli aurei
sulla quale validità ci sarebbe comunque da discutere.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
St. Jerome
Leonardo, esperto
conoscitore della “divina
proportione”, dipinge San
Girolamo in procinto di
tagliarsi il braccio destro,
che risulta al di fuori del
rettangolo aureo costruito
intorno al suo corpo.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
L’Annunciazione
Nell'Annunciazione, la figura e la postura dell'angelo sono in
proporzione aurea rispetto alla sua distanza dalla Vergine.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Donna Scapigliata
Nella Donna scapigliata la testa è racchiusa in un rettangolo aureo ed il volto è in
proporzione aurea rispetto alla fascia dei capelli. Anche l'inclinazione del capo
non è casuale ma segue la diagonale del quadrato.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Belle Ferronnière
Nella Belle Ferronnière la
particolare inclinazione del
busto ed il taglio del
cornicione alla base fanno sì
che, oltre al capo, anche la
figura della dama rientri in
un rettangolo aureo.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Autoritratto di Leonardo Da Vinci e “bozzetti”
sul volto umano
In queste bozze notiamo come vengano costruiti dei rettangoli aurei sul
volto umano.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Piero Della Francesca
Nell’opera di Piero della Francesca, Flagellazione, appare evidente che la
struttura pittorica si ispira alla concezione della Sezione Aurea. Infatti se si
indicano con A e B, le mezzerie delle basi delle due colonne di primo piano del
riquadro della flagellazione di Gesù, e C, l'asse della colonna cui egli è legato,
nel punto della congiungente A con B, la distanza AC è proporzionata secondo
il valore della Sezione Aurea in rapporto alla distanza AB.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Sandro Botticelli
Botticelli rappresentò ne La Venere smisurate sezioni auree. Infatti
misurando l’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza complessiva il loro
rapporto risulterà 0.618, così anche il rapporto tra la distanza tra il collo
del femore e il ginocchio e la lunghezza dell’intera gamba o anche il
rapporto tra il gomito e la punta del dito medio e la lunghezza del braccio.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Georges Seurat
Georges Seurat è un pittore che utilizza spesso tratti verticali,
orizzontali e angoli retti nelle sue opere, ma non è mai certo l’uso della
sezione aurea. Tra le opere principali, nelle quali i critici l’hanno
individuata, troviamo La parade de cirque.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Pierre Mondrian
Importanti anche i dipinti del pittore ottocentesco Pierre
Mondrian,autore di numerosi quadri astratti in cui domina l'uso
di figure geometriche. In questo quadro è ben visibile
l'impostazione artistica di Mondrian che basa l'intero dipinto
sull'accostamento di quadrati e rettangoli, ciononostante non si
hanno riscontri diretti da parte dell'artista sull’uso o meno della
sezione aurea, ne dai suoi principali esperti, ad esempio il
critico Yve-Alain Bois ha escluso categoricamente tali ipotesi.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Musica
La musica ha numerosi legami con la matematica, e molti ritengono che
centrale in essa sia il ruolo della sezione aurea. A sostegno di tale tesi
vengono spesso richiamate alcune particolarità strutturali di
determinati strumenti come il violino e il piano. In passato si è fatto
notare, che molti degli intervalli musicali naturali sarebbero riducibili a
frazioni in termini di numeri di Fibonacci. Già Pitagora aveva osservato
che gli accordi musicali ottenuti da corde le cui lunghezze siano in
rapporto come numeri interi piccoli risultino particolarmente gradite
all'orecchio. In campo musicale però la percezione di questo rapporto
può essere meno esplicito rispetto alle arti figurative poiché in musica
subentra il fattore temporale: il brano deve mantenere una scansione
temporale costante per far in modo di avvertire distintamente le due
sezioni in proporzione aurea. Si inizierà però a parlare, nella
trattatistica musicale, dell'impiego della sezione aurea solo nella prima
metà del XX secolo.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
IL NUMERO D’ORO-BIOLOGIA
Il numero aureo non è solo un ente geometrico e matematico,
infatti in natura lo troviamo quasi ovunque. La crescita delle
foglie, la disposizione dei pianeti, l’albero genealogico di alcuni
animali e anche il corpo umano sono solo alcuni degli elementi
legati alla sequenza di Fibonacci e al numero aureo.
Petali dei fiori
In natura uno degli esempi più
significativi di utilizzo della sezione
aurea è rappresentato dagli studi
sulla disposizione geometrica delle
foglie. In alcune piante le foglie si
dispongono sul fusto secondo una
spirale vegetativa, in cui l'angolo tra
due foglie successive è pressoché
costante ed è di circa 137.5°. Tale
angolo, corrispondente all‘ angolo
aureo, garantisce un utilizzo
ottimale della luce solare.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Crescita delle piante e pistilli dei fiori
La crescita di alcune piante
segue la sequenza di
Fibonacci. In particolare
l’Achillea ptarmica, in cui
ogni ramo impiega un mese
prima di potersi biforcare. Al
primo mese quindi abbiamo 1
ramo, al secondo ne abbiamo
2, al terzo 3, al quarto 5 e così
via, seguendo la sequenza di
Fibonacci.
Inoltre possiamo trovare il numero
aureo nei pistilli delle corolle dei
fiori. Essi spesso sono messi
secondo uno schema preciso
formato da spirali il cui numero
corrisponde ad uno della serie di
Fibonacci. Le spirali di solito sono
di 2 tipi: in senso orario e in senso
antiorario.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
La conchiglia del Nautilus
La conchiglia del
Nautilus Pompilius, ha
una forma che richiama
la spirale logaritmica
equiangolare. Nella
struttura della
conchiglia del Nautilus,
si può riconoscere la
presenza della sezione
aurea in quanto il
rapporto tra una spira
del Nautilus e quella
successiva è uguale al
rapporto tra due numeri
successivi di Fibonacci,
che è il numero aureo.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Le curve di pigne ed ananas
La fillotassi delle brattee delle pigne segue un andamento a spirale
aurea. Le brattee delle pigne si dispongono in due serie di spirali
dal ramo verso l'esterno, una in senso orario e l'altra in senso
antiorario. Ogni pigna contiene un numero di Fibonacci nelle
spirali che si diramano in ogni direzione.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Le curve delle ananas
Le scaglie dell'ananas presentano un'aderenza ancora più costante ai
fenomeni di Fibonacci. Nell’esempio si possono osservare tre insiemi
di spirali: un insieme composto da 5 spirali che salgono con
gradualità da sinistra a destra, un insieme di 8 spirali che salgono più
rapidamente da destra a sinistra, e un insieme di 13 spirali che
salgono quasi verticali da sinistra a destra.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
L’albero genealogico dei fuchi
L'albero genealogico di un fuco
presenta chiaramente la sequenza di
Fibonacci. Bisogna innanzitutto dire
che in uno sciame ci sono le api
(femmine) e i fuchi (maschi). I maschi
nascono dalle uova dell’ape regina.
Quindi possiamo dire che i fuchi
hanno un solo genitore: l’ape regina.
Prendiamo in esame l’albero
genealogico di un fuco: esso ha 1
genitore che ha sua volta ha 2 genitori
che a loro volta hanno 3 genitori che a
loro volta hanno 5 genitori e così via,
seguendo la sequenza di Fibonacci.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
L’albero genealogico dei conigli
Una coppia di conigli è in grado di generare una seconda coppia
di conigli già un mese dopo l’accoppiamento. Supponiamo di
avere un coppia di conigli che non muoiano mai. Dopo un mese
rimaniamo sempre con 1 coppia di conigli.
Dopo 2 mesi la femmina ha generato
un’altra coppia di conigli, quindi
nel recinto ne abbiamo 2. Al terzo mese
la prima coppia ne ha generata un’altra,
quindi nel recinto ci sono 3 coppie di
conigli. Passato un altro mese
le prime due coppie generano altre due
coppie mentre la terza non procrea,
quindi nel recinto ci sono 5 coppie di
conigli e cosi via di mese in mese,
sempre seguendo la serie di Fibonacci.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Il corpo umano
Prendiamo in considerazione ad esempio un
“bel” viso: troviamo che il rapporto tra la
lunghezza e la larghezza del viso, tra la
lunghezza e l’altezza del profilo della bocca,
tra la larghezza degli occhi e la loro
distanza, ecc.. sono tutti uguali al numero
aureo. Altri esempi di rapporti aurei sono le
misure delle dita della nostra mano, in cui i
rapporti tra le lunghezze delle falangi del
dito medio e anulare sono aurei. Così come
è aureo il rapporto tra la lunghezza del
braccio e l'avambraccio, tra la lunghezza
della gamba e la sua parte inferiore.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Galassie e pianeti
Nel nostro Sistema Solare i pianeti interni distano dal Sole nelle
proporzioni della successione di Fibonacci (Mercurio 1 Venere 2,
Terra 3, Marte 5) e quelli esterni distano ugualmente da Giove
(Saturno 1, Urano 2, Nettuno 3, Plutone 5).
Da osservazioni sperimentali si è
riscontrato che alcune Galassie, tra
cui anche la via Lattea, presentano
bracci luminosi di formazione stellare
che si estendono dal centro seguendo
il tracciato di una spirale aurea.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
MATEMATICI
ARTISTI
Tundo Andrea
(Architettura, Pittura e Musica)
Persichino Pierfrancesco
Leopizzi Alessia
Ciaccia Vincenzo
Leo Aurora
Natale Alberto
Esposito Lorenzo
Esposito Mattia
Andrea Tundo
Manni Angelo
Pisanello Elisa
Rizzo Danilo
Alberto Paladini
Alessia Leopizzi
ARCHITETTI
Musarò Edoardo
Assemblaggio
Presentazioni
BIOLOGI
Dalila De Pirro
Paladini Alberto
Erroi Federico
Sitografia
Paladini Stefano
STORICI
Tumolo Gabriele
De Pirro Dalila
Il docente
Prof. Antonio Greco
Colazzo Emanuela
Sponziello Mattia
THE END
Dollorenzo Claudia
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Sitografia
SOS Studenti
www.magiadeinumeri.it/BIOLOGIA.htm
150.146.3.132/402/01/Nardelli14.pdf
archiviostorico.corriere.it/2010/gennaio/12/Cosi_occhio_mente_colgono_bellezza_co_9_10
0112038.shtml
it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea#Botanica
www.sectioaurea.com/sectioaurea/sectio_aurea2.htm#NATURA
www.liceoberchet.it/ricerche/sezioneaurea/sez3.htm
www.mat.uniroma1.it/didattica/ssis/laboratorio-diinformatica/0809/BrunoBrunottiCrocenziLama/file_html/scienze_naturali.html
thepiraz.interfree.it
www.mathematicianspictures.com
www.ilsentiero.net
www.liceoberchet.it
it.wikipedia.org
www.magiadeinumeri.it
www.webalice.it/agesal
www.bloggers.it
www.aton-ra.com
aethernia.altervista.org
ricerchediunavita.splinder.com
areeweb.polito.it
THE END
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Questa attività è la realizzazione di un
WebQuest che ha coinvolto tutta la classe
suddivisa in Matematici, Architetti, Storici,
Artisti e Biologi per scoprire nei vari aspetti
della realtà uno dei numeri matematici più
famoso e, a volte, meno conosciuto tra gli
studenti.
Tante curiosità che spingono a conoscere ed
approfondire molti aspetti delle varie discipline
interessate.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Più nuclei tematici vengono coinvolti: dai
NUMERI alla GEOMETRIA fino alle
RELAZIONI E FUNZIONI nel pieno rispetto
della filosofia [email protected]
metodologia laboratoriale, problem solving,
curiosità, interesse, partecipazione attiva degli
allievi e collegamento con il mondo reale.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Numeri razionali e numeri irrazionali,
Successioni, rapporti, segmenti, costruzioni
geometriche, dimostrazioni, figure piane e
curve piane sono alcuni esempi di argomenti
di matematica che si possono introdurre dopo
aver suscitato nei ragazzi una forte
motivazione con questa attività.
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)
Questa attività può essere affrontata anche
interessando tutto il consiglio di classe
suddividendo i ragazzi in gruppi associati alle
materie di insegnamento con i rispettivi docenti
che li seguono in attività laboratoriali.
“Il numero d’oro” infatti non è solo matematica
ma anche disegno, arte, storia, biologia,
architettura, pittura, musica come si può evincere
dalle slide di questa presentazione.
Prof. Antonio Greco
Classe 3F - a.s. 2009/10 - Liceo Scientifico
di Galatina (LE)