INDICE
1.
2.
3.
4.
5.
Storia del piano Cartesiano
Elementi del piano Cartesiano
Le funzioni
La retta nel piano Cartesiano
La parabola
1. Storia del piano Cartesiano
• Euclide
• Opere
• Teoremi ed Assiomi
• Dal piano Euclideo al piano Cartesiano
• Cartesio
• Opere
2. Elementi del piano Cartesiano
• Origine degli assi
• Quadranti
• Coordinate di un punto
• Segmenti
• Rette
3. Le funzioni
• Definizione di funzione
• Rappresentazione di una funzione
• Funzione sul piano Cartesiano
• Classificazione delle funzioni
• Riepilogo
4. La retta nel piano Cartesiano
• Definizione retta
• Equazione retta (forma implicita e forma
esplicita)
• Rette incidenti
• Rette parallele
• Situazioni problematiche
5. Parabola
• Introduzione
• Definizione
• Forma tipica
• Rappresentazione grafica
• Parabole particolari
• Studio del segno
• Parabola e disequazioni di 2° grado
Cardellini Mattia
Masetti Giovanni
De Luca Lorenzo
Morelli Davide
IL PIANO CARTESIANO
...e la sua storia
Le origini del piano Cartesiano
Il piano Euclideo
SOMMARIO
•
•
•
•
•
•
EUCLIDE
Opere
Teoremi ed Assiomi
Dal piano Euclideo al piano Cartesiano
CARTESIO
Opere
Euclide
Nasce ad Alessandria di Egitto intorno al 365a.C e
muore intorno al 275a.C.
Fu un matematico in Grecia.
Una minoranza di storici dubita della sua
esistenza.
Dall’aneddoto “in Geometria non esistono vie
regie” si intuisce il carattere riservato e rigoroso.
Da lui prendono il nome la geometria e gli spazi
Euclidei.
Opere di Euclide
• Elementi di geometria (13 libri).
• Legati alla matematica: Dati, Porismi,
Luoghi superficiali, Coniche, Ottica e
Catottrica.
• I fenomeni, trattato astronomico.
• Sezione del canone e Introduzione
armonica, trattati di musica.
Assiomi e teoremi di Euclide
• E' sempre possibile tracciare una retta tra due
punti qualunque.
A
B
• E' sempre possibile prolungare una linea retta.
H
K
• E' sempre possibile costruire una circonferenza
di centro e raggio qualunque.
C
D
E
α
µ=α=β=90°
µ
β
• Tutti gli angoli retti sono tra loro congruenti.
• Data una retta ed un punto esterno ad essa
esiste un'unica retta parallela passante per
detto punto.
p
r
A
C
AH:AC=AC:AB
A
H
B
• In un triangolo rettangolo il cateto è medio
proporzionale tra la sua proiezione
sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa.
• In un triangolo rettangolo l'altezza relativa
all'ipotenusa è media proporzionale tra le
proiezioni dei cateti dell’ipotenusa.
F
DK:FK=FK:KE
D
K
E
IL PIANO EUCLIDEO e i suoi
elementi
•
•
•
•
P
Il punto
La retta
Semiretta e segmento
L’angolo
r
a
B
A
R
V
A cosa mi servono gli elementi del
piano euclideo?
Un insieme di segmenti adiacenti tra loro, dei quali
l’estremo superiore dell’ultimo corrisponde all’estremo
inferiore del primo, formano i poligoni, che sono suddivisi
in base al numero dei loro lati:
• Triangoli (tre lati)
• Quadrilateri (quattro lati)
• Pentagoni (cinque lati)
E così via…
Ma...
Con il piano Euclideo si giunse ad una
situazione di stallo: come faccio a stabilire le
misure di determinati segmenti su un piano
dove non ci sono punti di riferimento?
Per questo Cartesio costruì un piano con
determinati punti di riferimento: il Piano
Cartesiano
CARTESIO
Nasce a La Haye in Turenna nel 1596 e
muore nel 1650, colpito da una grave
malattia polmonare.
Fu un matematico e filosofo francese
Il suo vero nome è René Descartes,
latinizzato in Cartesius.
Insegnò filosofia e matematica a molti
sovrani e principi.
Opere di Cartesio
• Discorso sul metodo
• Meditationes de prima
Philosophia
• Principia Philosophiae
• Compendium musicae
• Trattato delle passioni
“Cogito, ergo sum”
Elementi del piano
cartesiano
Creato da:
Bartolucci Filippo
Costantini Giacomo
Mattioli Giacomo
Sanchini Pierpaolo
Il Piano Cartesiano
Si può introdurre il piano cartesiano come
sistema di riferimento nel piano della
geometria euclidea costituito da due rette
perpendicolari, su ciascuna delle quali si
fissa un orientamento (rette orientate) e per
le quali si fissa anche una unità di misura che
consente di identificare qualsiasi punto del
piano mediante numeri reali.
Il Piano Cartesiano
Tra le due rette si distingue l’asse delle ascisse o asse delle x
(retta orizzontale) e l’asse delle ordinate o asse delle y
(retta verticale).
Elementi del piano cartesiano





Origine degli assi
Quadranti
Coordinate di un punto
Segmenti
Rette
Origine degli assi
Una retta si dice orientata o asse quando su di
essa è fissato un verso positivo. Si definisce un
sistema di riferimento scegliendo un punto sulla
retta detto origine O ed una unità di misura u.
Quadranti
Quadranti
Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro
regioni denominate quadranti, indicate
mediante numeri romani progressivi in senso
antiorario:
1° quadrante: comprende i punti aventi
ascissa ed ordinata positive;
2° quadrante: comprende i punti aventi
ascissa negativa ed ordinata positiva;
3° quadrante: simmetrico al 1°quadrante
rispetto all'origine;
4° quadrante: simmetrico al 2° quadrante
rispetto all'origine.
Coordinate di un punto
A questo punto è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del
piano P e le coppie di numeri reali (x,y). Dal punto P si tracciano le parallele PH
all'asse y e PK all'asse x. Misurando OH, con l'unità di misura u otteniamo il numero
x, l'ascissa; misurando OK, con la stessa unità di misura, otteniamo il numero y,
l'ordinata. La coppia di numeri (x,y) si chiamano coordinate del punto P.
Viceversa, assegnata una coppia di numeri reali (x,y), individuiamo prima il punto
H, poi il punto K, infine, tracciando le due parallele agli assi, si ottiene il punto P.
Lunghezza di un segmento
Per trovare la lunghezza di un
segmento si utilizza la seguente
formula:
A
AB = √(xa-xb)2 + (ya-yb)2
B
Punto medio di un segmento
Per trovare il punto medio di un
segmento si utilizza la
seguente formula:
xm = xa+xb
2
ym = ya+yb
2
A (Xa,, ya)
B (xb, yb)
Rette
All’interno del piano cartesiano si trovano anche rette particolari dette
rette fondamentali associabili ai luoghi geometrici della geometria
Euclidea (figure geometriche piane formate da punti che godono tutti di
una stessa proprietà):




Asse x e parallele
Asse y e parallele
Bisettrice del I° e III° quadrante
Bisettrice del II° e IV° quadrante
Asse x
L’asse x è il luogo geometrico dei punti nel piano cartesiano che
hanno la distanza assoluta dall’asse y uguale a zero. Quindi tutti i
punti sull’asse x hanno ordinata uguale a 0 (y=0).
Parallele all’asse x
Le rette parallele all’asse x sono gli insiemi di punti che hanno tutti
la stessa distanza assoluta dall’asse x, quindi avranno tutti la
stessa ordinata. I loro grafici sono :
Asse y
L’asse y è il luogo geometrico dei punti nel piano cartesiano che hanno
la distanza assoluta dall’asse x uguale a zero. Quindi tutti i punti
sull’asse y hanno ascissa uguale a 0 (x=0).
Parallele all’asse y
Le rette parallele all’asse y sono gli insiemi di punti che hanno tutti la stessa
distanza assoluta dall’asse y, quindi avranno tutti la stessa ascissa. I loro
grafici sono :
Bisettrice del 1° e 3° quadrante:
L’ equazione della bisettrice del 1° e 3° quadrante è y = x perché, essendo la
bisettrice il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dai lati dell’angolo,
ogni punto appartenente alla retta avrà ascissa e ordinata uguali.
Bisettrice del 2° e 4°
quadrante
L’equazione della bisettrice del 2° e 4° quadrante è y = -x perché, essendo la
bisettrice il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dai lati dell’angolo,
ogni punto appartenente alla retta avrà ascissa e ordinata opposte tra loro.
Alex Angelini, Teo Brandi, Alessia Farinelli, Gloria Nicolini
Argomenti trattati
Definizione di funzione
Rappresentazione di una funzione
Funzione sul piano cartesiano
Classificazione delle funzioni
Riepilogo
Definizione di funzione
Una funzione è una relazione matematica
tra due grandezze variabili X e Y, tali
che ad ogni valore di X corrisponde uno
ed un solo valore di Y.
X
Y
Variabile indipendente
Variabile dipendente
Rappresentazione di una
funzione
FORMA IMPLICITA
FORMA ESPLICITA
F(x,y) = 0
y = F(x)
Per rappresentare sul piano cartesiano una funzione,
questa deve essere in forma esplicita
Funzione sul piano cartesiano
Per rappresentare graficamente una funzione si utilizza
la tabella dei valori e si attribuisce un qualsiasi valore
numerico alla X ottenendo il corrispondente valore della
Y. In questo modo si ricavano le coordinate del punto da
posizionare sul piano cartesiano. Infine si uniscono i
punti da sinistra verso destra.
y = F (x)
x
y
x1
y1
x2
y2  B(x , y )
2
2
y3  C(x , y )
3
3
x3
 A(x1, y1)
Riportiamo i
valori sul
grafico
y
x
Classificazione delle funzioni
Funzioni algebriche
Una funzione si dice
algebrica se il legame che
esprime y in funzione di x si
può ridurre ad un’equazione
algebrica di grado qualsiasi
nelle due incognite x e y.
Funzioni trascendenti
Una funzione trascendente è
una funzione non algebrica.
Le funzioni algebriche
Si classificano in:
Funzioni razionali intere
Funzioni razionali fratte
Funzioni irrazionali
Funzioni razionali intere
Funzioni di primo grado
Una funzione di primo grado, o lineare, viene
rappresentata sul piano cartesiano da una RETTA
Funzioni di grado superiore al primo
Funzione di secondo
grado
Funzione di grado superiore
al secondo
È rappresentato da una
È rappresentata da una
PARABOLA
CURVA
Funzioni razionali fratte
N ( x)
f ( x) 
D( x)
La funzione si dirà funzione razionale fratta nella variabile x.
Una funzione razionale fratta in una variabile è definibile in un
qualsiasi insieme di numeri reali o complessi che non contenga gli
zeri del denominatore.
Funzioni irrazionali
Le funzioni irrazionali sono quelle per cui, fissato il
valore della variabile indipendente x, è possibile
determinare il rispettivo valore della y.
Una funzione irrazionale è del tipo
f ( x)  n g ( x)
dove g(x) è una funzione razionale definita nell’insieme
dei numeri reali.
Il dominio D della funzione dipende dall'indice n della
radice.
Il dominio della funzione irrazionale può essere:
• se n è dispari allora il dominio della funzione
appartiene all’insieme dei numeri irrazionali.
• se n è pari allora il dominio D della funzione è dato
dall'insieme degli elementi che soddisfano la funzione
Le funzioni irrazionali possono essere a loro volta intere
e fratte.
Le funzioni trascendenti
Si classificano in:
Funzioni goniometriche
Funzioni logaritmiche
Funzioni esponenziali
Riepilogo
Funzioni
Algebriche
Razionali
Intere
Irrazionali
Fratte
Trascendenti
Logaritmiche
Goniometriche
Esponenziali
La retta nel piano
cartesiano
Indice:
• Definizione retta
• Rappresentazione di una retta
• Equazione retta (forma implicita e forma
esplicita)
• Rette incidenti
• Rette parallele
• Situazioni problematiche
Definizione di retta
La retta è una funzione
algebrica razionale,
intera di primo grado.
indice
Rappresentazione di una retta
r) y=mx+q
x y
a m*a+q=b
c m*c+q=d
P(a, b)
Z (c, d)
b
P
a
c
d
Si riportano i P e Z sul piano
cartesiano e si uniscono
trovando la retta dell’equazione
data.
Z
r
indice
Equazione della retta
Forma implicita:
Forma esplicita:
coefficiente
angolare
m=-a/b
ax+by+c=0
y=mx+q
Intercetta
q=-c/b
indice
Coefficiente angolare
Il coefficiente angolare indica il tipo di angolo che la retta forma con
il semiasse positivo delle ascisse.
Se m<0
l’ angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle
ascisse è ottuso.
Se m>0
l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle
ascisse è acuto.
Se m=0
l’angolo non esiste e la retta è parallela all’asse x.
indice
m<0
y= - 1/3 x+q
m= -1/3
-1/3 <0
l’angolo che la retta forma con
il semiasse positivo delle
ascisse è ottuso
indice
m>0
y=4x+q
m=4
y=4x+q
4>0
l’angolo che la retta
forma con il
semiasse positivo
delle ascisse è acuto
indice
m=0
y=0x+q
y=q
Q
r
l’angolo che la retta forma con
il semiasse positivo delle
ascisse non esiste poiché la
retta è parallela all’asse x
indice
Intercetta
L’intercetta è l’ordinata del punto di
intersezione della retta con l’asse y.
Se q=0
la retta passa
per l’origine
degli assi
Se q≠0
la retta interseca
l’asse y in q
indice
Rette incidenti
Due rette sono incidenti se si incontrano in
un punto.
s
Rette perpendicolari.
indice
Rette perpendicolari
Due rette sono perpendicolari se
incidendosi formano 4 angoli retti.
s) y=m1x-1
r
s
r) y=m2x+1
Se r) ┴ s)
m1*m2 =-1 v m1=-1/m2
indice
Rette parallele
Due rette sono parallele quando hanno
uguali coefficienti angolari.
r
r) y=m1x+1
s
s) y=m2+3
r) // s)
m1=m2
indice
Situazioni problematiche
Come trovare il punto di intersezione fra due
rette.
Come trovare l’equazione di una retta passante
per due punti.
indice
Punto di intersezione tra due rette
Per trovare le coordinate del
punto di intersezione bisogna
risolvere il sistema fra le equazioni
delle due rette
r) y=m1x+q1
x=xp
s) y=m2+q2
y=yp
r
s
P
indice
L’equazione di una retta passante
per due punti
Per trovare l’equazione di una retta
passante per due punti bisogna
trovare il coefficiente numerico e
l’intercetta dell’equazione della
retta risolvendo il seguente
sistema:
ya = mxa + q
yb = mxb + q
A
m
q
B
xa è l’ascissa del punto A
ya è l’ordinata del punto A
xb è l’ascissa del punto B
yb è l’ordinata del punto B
indice
La
Parabola
Mariana De
Biagi
Laura Di
Lena
Martina
Tombari
Federica
Ugolini
• Introduzione
• Definizione
• Forma tipica
• Rappresentazione grafica
• Parabole particolari
• Studio del segno
• Parabola e disequazioni di
2° grado
Introduzione
F(x)
Espressione algebrica in x
fratta: l’incognita
si trova solo o
anche al
denominatore
intera: l’incognita
si trova solo al
numeratore
Lineare o di primo
grado: RETTA
Y=mx+q
m,q

irrazionale:
l’incognita si
trova sotto il
segno di radice
Di secondo grado: PARABOLA
y  ax 2  bx  c a, b, c  
a0
Definizione
La parabola è il luogo
geometrico dei
punti equidistanti
da un punto fisso
detto FUOCO e da
una retta fissa
detta
DIRETTRICE
Non ci soffermeremo sulla definizione di
fuoco e direttrice per analizzare in modo più
approfondito altri aspetti della parabola
Forma Tipica
y  ax  bx  c
2
a , b, c  
a0
STUDIO dei COEFFICIENTI:
>0 la parabola ha la concavità rivolta verso il semiasse positivo
delle ordinate.
a
<0 la parabola ha la concavità rivolta verso il semiasse negativo
delle ordinate
b
ci consente di conoscere l’asse di simmetria della parabola
c
ordinata del punto di intersezione della parabola con l’asse y
Asse di Simmetria (nella parabola): retta che
divide la parabola in due rami simmetrici
Rappresentazione Grafica
2
y

ax
 bx  c
Data una funzione del tipo:
1)
>0 

a
<0  
2) c  P(0,c)
3) Punti di intersezione con l’asse x:

y  ax  bx  c
2
y0
Equazione
dell’asse x
Equazione risolvente
sostituzione
ax 2  bx  c  0
x1
x2
Esempio
y=2x2+3x-2
1)a=2>0  
2)c=-2  P(0,-2)
3)
y=2x2+3x-2
y=0

2x2+3x-2=0
x1 =-2
y
-2
½
0
-2
x2 =½
x
Parabole Particolari
Possiamo individuare tre tipi di parabole particolari:
1.
y=ax2
la parabola avrà il vertice coincidente
con l’origine degli assi
2.
y= ax2+bx
La parabola avrà un punto di
intersezione con l’asse x
coincidente con l’origine degli assi
3. y= ax2+bx+c dove il trinomio ax2+bx+c è un
quadrato perfetto. La parabola
avrà allora un solo punto in
comune con l’asse x
Studio del segno
Data una funzione del tipo: y  ax  bx  c
Il trinomio ax2+bx+c assume valori diversi al variare della x:
>0
prenderemo in considerazione i rami
di parabola sopra l’asse x
y>0
=0
prenderemo in considerazione i valori
ax2+bx+c
sull’asse x, ovvero x1 e x2.
y=0
<0
prenderemo in considerazione i rami di
parabola sotto l’asse x
y<0
2
Di conseguenza possiamo dire che:
ax2+bx+c>0
disequazioni
ax2+bx+c=0
ax2+bx+c<0
Parabola e
disequazioni di 2° grado
Data una disequazione di secondo grado del tipo:
ax2 + bx + c >0
1. Prendiamo la parabola associata: y= ax2 + bx + c
2. Disegniamo la relativa parabola
3. In base al segno richiesto dal testo della
disequazione prendiamo in considerazione i rami di
parabola
4. Troviamo gli intervalli richiesti
Esempio
2x2+3x-2>0
1) y=2x2+3x-2
2) a=2>0
U
c=-2
P(0,-2)
y=2x2+3x-2
y=0

2x2+3x-2=0
y
x1 =-2
x2=½
3) Il segno è > quindi
prendiamo in
considerazione i rami di
parabola sopra l’asse x
-2
0
½
-2
x
4) I valori di x che
determinano tali rami
appartengono agli
intervalli:
x<-2 V x> ½