“Il piano cartesiano e la retta”
Mappe, schemi riassuntivi ed esercitazioni
Docente: Donatiello Angela
MAPPA DEL MODULO
IL PIANO CARTESIANO
FUNZIONI LINEARI:
LE RETTE
PUNTI E SEGMENTI
APPLICAZIONI
ECONOMICHE
COEFFICIENTE
ANGOLARE
PROBLEMI
DI SCELTA
PROBLEMI
SULLE RETTE
RETTE PARALLELE
E PERPENDICOLARI
PUNTI NEL PIANO CARTESIANO
IN UN PIANO CONSIDERIAMO DUE RETTE PERPENDICOLARI CHE
CHIAMIAMO X E Y, ORIENTATE, NEL SENSO CHE STABILIAMO UN
VERSO DI CRESCENZA DEI NUMERI.
SOLITAMENTE, DISEGNIAMO LA RETTA X ORIZZONTALMENTE E
ORIENTATA DA SINISTRA A DESTRA, LA RETTA Y VERTICALMENTE E
ORIENTATA DAL BASSO VERSO L'ALTO. LE DUE RETTE SI CHIAMANO
ASSI COORDINATI E IL LORO PUNTO D'INTERSEZIONE O SI CHIAMA
ORIGINE.
STABILIAMO, INFINE, UNA UNITÀ DI MISURA, U CHE CI CONSENTE
DI MISURARE LE LUNGHEZZE SUI DUE ASSI.
IN MATEMATICA, SI PRENDE LA STESSA UNITÀ DI MISURA PER
L'ASSE X E PER L'ASSE Y. SI DICE CHE NEL PIANO È STATO FISSATO
UN SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO.
È POSSIBILE STABILIRE UNA CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA I PUNTI P
DEL PIANO E LE COPPIE DI NUMERI REALI (X,Y).
DAL PUNTO P SI TRACCIA LA PARALLELA PH ALL'ASSE Y E LA PARALLELA PK
ALL'ASSE X. LA LUNGHEZZA DI OH RAPPRESENTA L'ASCISSA DEL PUNTO P,
MENTRE LA LUNGHEZZA DI OK RAPPRESENTA L'ORDINATA DEL PUNTO P.
CHIAMIAMO X L’ASCISSA E Y L’ORDINATA. LA COPPIA DI NUMERI (X,Y)
VENGONO DETTE COORDINATE DEL PUNTO P.
VICEVERSA, ASSEGNATA UNA COPPIA DI NUMERI REALI (X,Y),
INDIVIDUIAMO PRIMA IL PUNTO H, POI IL PUNTO K, INFINE, TRACCIANDO
LE DUE PARALLELE AGLI ASSI, SI OTTIENE IL PUNTO P.
DISTANZA TRA DUE PUNTI
P (X1,Y1)
Q (X2,Y2)
PQ  (X 2  X1) 2  (Y2  Y1) 2
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
X1  X 2
XM 
2
Y1  Y2
YM 
2
ESERCITAZIONI
1. DATI I PUNTI A(3,-2) E B(-5,4):
A. RAPPRESENTARLI SUL PIANO;
B. CALCOLARE LA LORO DISTANZA;
C. CALCOLARE LE COORDINATE DEL PUNTO MEDIO.
2. DATI I PUNTI A(0,-7) E B(1,6):
A.
RAPPRESENTARLI SUL PIANO;
B.
CALCOLARE LA LORO DISTANZA;
C.
CALCOLARE LE COORDINATE DEL PUNTO MEDIO
EQUAZIONE DI UNA RETTA
FORMA ESPLICITA
FORMA IMPLICITA
y=mx+q
ax+by+c = 0
y=3x+5
3x – y + 5 = 0
COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA
FORMA ESPLICITA
FORMA IMPLICITA
y=mx+q
ax+by+c = 0
m
a

b
Esempio:
Esempio:
y=3x+5
3x – y + 5 = 0
m=3
m= 
3
3
1
y=mx+q
RETTA PASSANTE
PER
L’ORIGINE
q=0
y=4x
RETTA NON
PASSANTE PER
L’ORIGINE
q
0
Y=6x+9
CASI PARTICOLARI DI RETTE
y=k
Rette parallele
all’asse x
X = 0 asse y
Y = 0 asse x
x=k
Rette parallele
all’asse y
y=x
y=-x
Bisettrice del I e III
quadrante
Bisettrice del II e IV
quadrante
Esempi:
Y=3
X=2
retta parallela all’asse x
retta parallela all’asse y
X=0
y
x=2
y=-x
y=x
y=3
x
Y=0
ESERCITAZIONI
1. DATE LE SEGUENTI RETTE
A. Y = 3X – 1
B. 3 X + 2 Y -5 = 0
C. X + 4 Y – 3 = 0
D. Y =
3
1
X4
4
E. Y = 5 X
F. 6X – Y = 0
•
INDICA QUALI TRA ESSE SONO IN FORMA IMPLICITA E
QUALI IN FORMA ESPLICITA;
•
CALCOLA IL COEFFICIENTE ANGOLARE DI OGNI RETTA;
•
INDICA QUALI TRA ESSE PASSANO PER L’ORIGINE;
•
RAPPRESENTALE NEL PIANO CARTESIANO.
RETTE PARALLELE
RETTE PERPENDICOLARI
HANNO LO STESSO
COEFFICIENTE ANGOLARE
Y=mx+q
Y = m1 x + q1
PARALLELE
m = m1
//
Y=mx+q
Y = m 1 x + q1
PERPENDICOLARI
m1 =  1
m

ESEMPI DI RETTE PARALLELE E
PERPENDICOLARI
1. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE Y = 3 X + 5 E Y = 3 X – 2
SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PARALLELE PERCHE’
HANNO LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE 3
1

2. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE Y = 5 X -1 E Y =
5 X
SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PERPENDICOLARI
3. DATE LE RETTE IN FORMA IMPLICITA
2X – 4 Y + 1 = 0 E X – 2 Y + 5 = 0
SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PARALLELE POICHE’ HANNO
LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE
M=
1
2
4. DATE LE RETTE IN FORMA IMPLICITA
3X–5Y+2=0
E
15 X + 9 Y – 2 = 0
SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PERPENDICOLARI POICHE’
I COEFFICIENTI SONO ANTIRECIPROCI:
M1 =
3
5
M2 =
5

3
ESERCITAZIONI
1. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE
X – 5Y + 1 = 0
2X – 4Y + 3 = 0
X -2Y = 0
3 X – 2Y = 5
4
Y= 8 X–6
1X–Y+2=0
5
3
INDIVIDUA TRA ESSE LE RETTE TRA LORO PARALLELE
2. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE
X–Y+1=0
Y+X–3=0
3X + Y = 2
6X – 2Y – 7 = 0
3X – Y + 5 = 0
X + 3Y – 1 = 0
INDIVIDUA TRA ESSE LE RETTE TRA LORO PERPENDICOLARI
EQUAZIONE DI UNA RETTA NOTO UN PUNTO E
IL COEFFICIENTE ANGOLARE
Y=MX+Q
DATO 1: IL COEFFICIENTE
ANGOLARE E’ M = 2
DATO 2: IL PUNTO P(3,4)
APPARTIENE
ALLA RETTA
1. SCRIVO IL VALORE DI M =2
NELL’EQUAZIONE:
Y=2X+Q
2. SOSTITUISCO
LE COORDINATE
DEL PUNTO NELL’EQUAZIONE
DELLA RETTA 4 = 2 · 3 + Q
3. TROVO IL VALORE DI Q:
4=6+Q
4–6=Q
Q = -2
4. SCRIVO L’EQUAZIONE DELLA
RETTA: Y = 2 X - 2
ESERCITAZIONI
SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO P
E AVENTE COEFFICIENTE ANGOLARE M
1. P(7, - 3)
M=-1
2. P(5, -1)
M=-4
2
M=
3
M=-7
3. P(2, 9)
4. P(0, 2)
ALCUNE VOLTE NEGLI ESERCIZI IL COEFFICIENTE ANGOLARE NON
VIENE FORNITO IN MANIERA DIRETTA, MA E’ NECESSARIO RICAVARLO
DAL COEFFICIENTE ANGOLARE DI ALTRE RETTE NOTE.
ESEMPIO
SCRIVI L’EQUAZIONE DELLE RETTA PASSANTE PER IL PUNTO
P(6,3) E PARALLELA ALLA RETTA DI EQUAZIONE 2X – 5Y +1 = 0
Y = MX + Q
IL COEFFICIENTE ANGOLARE DELLE DUE RETTE SARA’ LO
STESSO PERCHE’ SONO PARALLELE:
M=
2
5
IMPONGO LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA DEL PUNTO P ALLA
RETTA:
2
3
5
 6  Q  15  12  5Q
3
15  12  5Q  5Q  3  Q 
5
Y
2
3
X
5
5
COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI
y
B
A
m=
X
yB  yA
xB  xA
EQUAZIONE DI UNA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI
P(X1,Y1)
Q(X2,Y2)
Y  Y1
X  X1

Y2  Y1 X 2  X1
Y 2 X 3

0  2 1 3
P(3,2)
Q(1,0)
Y 2 X 3

2
2
Y 2  X 3
Y  X 3 2
Y  X 1
ESERCITAZIONI
1. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO
P(4,-6) E PARALLELA ALLA RETTA DI EQUAZIONE 2Y – 9 =0
R: [Y + 6 = 0]
2. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO
P(3, -2) E PERPENDICOLARE ALLA RETTA DI EQUAZIONE Y  3 X  9
4
R:[4X+3Y-6=0]
3. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER I PUNTI
A(2,2) E B(-3,-1)
4. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER I PUNTI
A  3 1  E B(-2, -1)
 , 
 5 2
4
INTERSEZIONE TRA RETTE
L’INTERSEZIONE TRA DUE RETTE E’ UN PUNTO
LE CUI COORDINATE SI OTTENGONO RISOLVENDO
IL SISTEMA LINEARE TRA LE EQUAZIONI DELLE DUE RETTE
RETTE:
3X - 2Y - 5= 0
X+Y–5=0
3X - 2Y - 5  0

 XY –50
Y  X  5  3X  2(X  5)  5  0
3X  2X  10  5  0
5X  15  0  X  3  Y  3  5  2
3,2
ESERCITAZIONI
1. DETERMINA L’INTERSEZIONE TRA LE RETTE
X + 2Y = 3 E X – Y = 0
R:[(1,1)]
2. DETERMINA L’INTERSEZIONE DELLE RETTE
2X + Y = 5 E Y = 1
R:[(2,1)]
FASCI DI RETTE
FASCIO
IMPROPRIO
FASCIO
PROPRIO
L’INSIEME DELLE INFINITE
RETTE DEL PIANO AVENTI
TUTTE LA STESSA
DIREZIONE, OVVERO L’INSIEME
DI TUTTE LE INFINITE RETTE
DEL PIANO PARALLELE AD UNA
STESSA RETTA, DETTA
RETTA BASE CHE PASSA PER
L’ORIGINE DEGLI ASSI
L’INSIEME DELLE INFINITE
RETTE DEL PIANO PASSANTI
TUTTE PER UNO STESSO
PUNTO DETTO
CENTRO DEL FASCIO
FASCIO IMPROPRIO
Y
Equazione di un fascio improprio
RETTA BASE
y = mx + K
X
fisso
variabile
FASCIO PROPRIO
C(x0 ; y0) centro del fascio
Y
C
Centro del fascio
Equazione di un fascio proprio
X
y – y0 = m (x – x0)
variabile
Equazione della retta passante per un punto
P(x0 ; y0)
y – y0 = m (x – x0)
L’equazione di un fascio proprio di rette di centro P
coincide con l’equazione di una generica retta passante
per P. L’unica retta esclusa da tale fascio è quella
passante per P e parallela all’asse y, in quanto le rette
parallele all’asse y non hanno coefficiente angolare.
APPLICAZIONE DELLA RETTA ALL’ECONOMIA:
COSTI, RICAVI, PROFITTI
UN’AZIENDA PER PRODURRE SCATOLE REGALO SOSTIENE
DEI COSTI FISSI MENSILI DI 5.164€ E UN COSTO PER
UNITA’ DI PRODOTTO PARI A 2€. OGNI SCATOLA VIENE
POI RIVENDUTA AD UN PREZZO DI 10€. DETTO X IL
NUMERO DI SCATOLE PRODOTTE E VENDUTE, DETERMINA
LE FUNZIONI COSTO, RICAVO E PROFITTO ED INDIVIDUA
NEL GRAFICO LA ZONA DI PERDITA E LA ZONA DI
GUADAGNO.
COSTO UNITARIO = 2€
COSTO FISSO = 5.164€
PREZZO DI VENDITA UNITARIO =10€
COSTO TOTALE = COSTI FISSI + COSTO UNITARIO · QUANTITA’ PRODOTTA
CTOT = CFISSI + CUNITARIO · X
CTOT = 5.164 + 2X
RICAVO = PREZZO UNITARIO DI VENDITA · QUANTITA’ PRODOTTA
R = PUNITARIO · X
R = 10X
PROFITTO = RICAVO – COSTO
P=R–C
P = 10X – 2X – 5.164 = 8X – 5.164
RICAVO
€
GUADAGNO
COSTO
COSTO
5000
PERDITA
RICAVO
PUNTO DI EQUILIBRIO
1000
100
SE RICAVO < COSTO
SE RICAVO = COSTO
SE RICAVO > COSTO



PERDITA
EQUILIBRIO
GUADAGNO
APPLICAZIONE DELLE RETTA ALL’ECONOMIA:
PROBLEMI DI SCELTA
IN COSTRUZIONE