LA GEOMETRIA EUCLIDEA
Un modello per interpretare,
interagire e descrivere
la realtà
Le Trasformazioni Geometriche
• Vogliamo conoscere le
relazioni che sussistono tra
gli oggetti geometrici
quando subiscono
trasformazioni
Nota Storica
• Le trasformazioni (e i loro gruppi) furono
introdotte da Felix Klein (1849 - 1925) per
caratterizzare le varie branche in cui si
suddividevano gli studi di geometria
ottocenteschi
Nella visione gli oggetti subiscono
trasformazioni.
Pensate a come il cervello cattura l’immagine,
capovolgendola e rimpicciolendola nella retina.
Siamo in grado di riconoscerlo e di descriverne
le caratteristiche perché l’oggetto e l’immagine,
hanno molti elementi invariati.
Nel disegno gli oggetti subiscono
trasformazioni.
Il disegno ‘dal vero’ di una bottiglia, di un frutto è
una rappresentazione a due dimensioni di un
oggetto tridimensionale, quindi diverso da
quello reale, tuttavia, affinché risulti realistico,
deve conservare molte delle caratteristiche di
quello reale.
Trasformazioni Geometriche
• Si chiama trasformazione geometrica una
corrispondenza biunivoca fra i punti di un
piano
• Una trasformazione geometrica è quindi una
funzione che può essere rappresentata con la
simbologia G’=f(G)
Trasformazioni geometriche
• La trasformazione Identica o Identità è
quella che associa ad ogni punto se stesso
• Si dice involutoria una trasformazione che,
applicata due volte, coincide con la
trasformazione identità
Trasformazioni geometriche
• Si chiamano Invarianti le caratteristiche che
rimangono inalterate
• Varianti le caratteristiche che si modificano
• Elementi Uniti gli elementi che hanno per
trasformati se stessi
Gioco del Tangram:
• In questo antico gioco cinese, si realizzano
trasformazioni spezzettando una figura
geometrica;
• Due figure diverse ottenute con il Tangram si
scompongono negli stessi pezzi
(Equiscomponibili) e quindi hanno come
elemento invariato l’area.
Esempio di Tangram
Gli Invarianti
Le principali caratteristiche che una
trasformazione può lasciare invariate sono:
• La Lunghezza dei segmenti
• L’ampiezza degli angoli
• Il parallelismo
• Le direzioni
• Il rapporto tra i segmenti
• L’orientamento dei punti del piano
Gli Invarianti: Lunghezza dei segmenti
Una trasformazione presenta tale invariante se TUTTI i
segmenti che si possono tracciare in una figura rimangono
della stessa lunghezza dopo la trasformazione
Dalla F alla F’ la
lunghezza dei segmenti è
invariante
(rotazione)
Dalla F alla F’’ la
lunghezza dei segmenti
non è invariante
(schiacciamento)
Gli Invarianti: L’ampiezza degli angoli
Una trasformazione presenta tale invariante se TUTTI gli
angoli mantengono la stessa lunghezza dopo la
trasformazione
La trasformazione
da F a F’ ha tale
invariante
La trasformazione da F a F’’ non presenta tale invariante
Gli Invarianti: Il parallelismo
Gli Invarianti: Le direzioni
Gli Invarianti: Il rapporto tra i segmenti
Gli Invarianti:
L’orientamento dei punti del piano
Trasformazioni geometriche
Si possono suddividere in tre categorie:
• Trasformazioni che si ottengono mediante
deformazioni (striscia di plastica)
• Trasformazioni che si ottengono per
proiezioni (ombra di un oggetto)
• Trasformazioni che si ottengono mediante
movimenti (immagine riflessa)
Inizieremo da quelle con minor elementi invarianti
Le trasformazioni TOPOLOGICHE
Se su un sottile foglio di plastica disegniamo
alcune figure, deformando il foglio
realizziamo una trasformazione topologica
che non conserva né forma, né dimensioni
delle figure
Le Trasformazioni TOPOLOGICHE
Da i risultati della trasformazione notiamo che:
• Le linee chiuse sono rimaste chiuse
• I punti giacenti su una linea si ritrovano sulla
linea trasformata nello stesso ordine
• I punti interni (o esterni) alla figura si ritrovano
interni (o esterni) nella trasformata
Le caratteristiche che permangono prendono il
nome di invarianti topologiche
Le Trasformazioni Proiettive
L’ombra prodotta da un oggetto colpito da un fascio di raggi
luminosi è il risultato di una trasformazione proiettiva. Non
conserva:
• Né parallelismo delle rette
• Né lunghezza dei segmenti
• Né ampiezza degli angoli
Ma solo le caratteristiche elencate per le topologiche alle
quali aggiungiamo la caratteristica che:
– ogni retta di F viene trasformata in F’ ancora in una retta
Particolari trasformazioni proiettive:
– Le trasformazioni affini
Un caso particolare di trasformazione affine è:
L’omotetia
Da completare
Trasformazioni geometriche: LE ISOMETRIE
Sono trasformazioni geometriche nelle quali
la figura trasformata rimane congruente alla
figura iniziale, conservandone sia la Forma e
sia la Dimensione.
Le trasformazioni isometriche si ottengono
mediante movimenti rigidi delle figure, che
cambiano unicamente la loro posizione nel
piano.
Le Isometrie
Le principali isometrie
I movimenti da studiare
sono:
sono:
• Traslazioni
• Traslazioni
• Rotazioni
• Rotazioni
• Simmetria assiale
• Ribaltamenti
• Simmetria centrale
La Traslazione
La figura F con un lato
Il movimento che ha portato
appoggiato sulla retta r è F in F’ è una traslazione:
stata spostata con un
ogni punto di F si è
movimento rigido
spostato della stessa
ottenendo F’.
lunghezza (5 cm), nella
stessa direzione
(parallelo ad r) e nello
stesso verso ( a destra)
dando origine ad F’.
F’
F
La Traslazione
Gli elementi che caratterizzano la traslazione
sono quindi tre:
• La sua lunghezza (5 cm)
• La sua direzione (parallela ad r)
• Il suo verso (da sinistra a destra)
Queste tre caratteristiche definiscono un
segmento orientato, chiamato vettore,
indicato con v o con AB
La Traslazione
Per individuare un vettore occorre indicare:
• La sua direzione, cioè la retta a cui appartiene
• Il suo verso, che indica il senso di percorrenza
• La sua intensità o modulo, che rappresenta la
lunghezza del segmento AB
Ampliare con la costruzione del traslato
Di un punto P mediante il vettore di traslazione v.
La Traslazione
Teorema: la traslazione è un’isometria
Con questo teorema affermiamo che due
figure che si corrispondono in una
traslazione sono congruenti.
La Traslazione
Inoltre la traslazione ha come caratteristiche
invarianti:
• L’allineamento dei punti (collineazione)
• La lunghezza dei segmenti
• L’ampiezza degli angoli
• Il parallelismo
• Le direzioni
• Il rapporto tra segmenti
• L’orientamento dei punti del piano
La Rotazione
Un’altra trasformazione che mantiene invariate
tutte le misure lineari e angolari è la rotazione
attorno ad un punto.
Per definire una rotazione è necessario che siano
dati:
• Un punto, detto centro di rotazione
•L’ampiezza dell’angolo di rotazione
•Il verso di rotazione (orario o antiorario)
La Rotazione
Costruzione del punto P’ corrispondente di P nella
rotazione di centro C e ampiezza .
Teorema: la rotazione è un’isometria
La rotazione quindi ha le proprietà delle isometrie
ed in particolare trasforma una figura in un’altra
ad essa congruente.
La Rotazione
Valgono le seguenti proprietà:
• Il solo punto unito è il centro di rotazione
• Non esistono rette unite se non quelle che si
corrispondono in una rotazione pari ad un angolo
piatto
• La rotazione di ampiezza pari ad un angolo giro
coincide con la trasformazione identità
La Rotazione
La rotazione ha i seguenti invarianti:
•
•
•
•
•
•
L’allineamento dei punti (collineazione)
La lunghezza dei segmenti
Il parallelismo
L’ampiezza degli angoli
Il rapporto tra segmenti
L’orientamento dei punti del piano
E’ una trasformazione involutoria
Una Rotazione Particolare:
La Simmetria Centrale
Una rotazione di 180° attorno ad un punto C è
una simmetria centrale.
Il centro di simmetria è il centro della
rotazione
Teorema: la simmetria centrale è un’isometria
Questo teorema garantisce che due figure
simmetriche rispetto ad un punto sono congruenti
Una Rotazione Particolare:
La Simmetria Centrale
• Ogni retta passante per il centro è una retta unita, ma
non fissa perché cambia l’ordinamento dei suoi
punti
• Come in ogni rotazione l’unico punto fisso è il centro
• Due segmenti, o rette che si corrispondono in una
simmetria centrale sono paralleli
• La simmetria centrale è involutoria
• L’ordinamento dei punti è invariante
• Per gli altri si rimanda alla rotazione
Una Rotazione Particolare:
La Simmetria Centrale
Figure geometriche simmetriche rispetto a un
loro punto:
• La circonferenza
• Il rettangolo
• Tutti i parallelogrammi sono quadrilateri a
simmetria centrale
• Un quadrilatero è simmetrico centralmente se
e solo se è un parallelogramma
Il Ribaltamento:
La Simmetria Assiale
Le isometrie finora esaminate (traslazioni e
rotazioni) hanno tutte la caratteristica di
mantenere invariato l’orientamento dei punti
del piano.
Ma abbiamo visto che esistono situazioni in cui le
figure mantengono le loro misure, ma si
‘ribaltano’ generando figure simmetriche
rispetto ad un asse.
Il Ribaltamento:
La Simmetria Assiale
Costruzione del punto P’ simmetrico di P
rispetto alla retta r.
Disegnare un triangolo e il suo simmetrico
rispetto ad r in cabrì
Il Ribaltamento:
La Simmetria Assiale
Tra le isometrie distinguiamo, perciò, due
classi, a seconda che si mantenga o meno
l’orientamento dei punti del piano:
•Isometrie dirette: che mantengono
l’orientamento dei punti del piano
• Isometrie invertenti: che non mantengono
l’orientamento dei punti del piano
Il Ribaltamento:
La Simmetria Assiale
Definizione: si dice simmetria assiale la
trasformazione che, data una retta r, associa ad un
punto P il suo simmetrico rispetto ad r.
La retta r prende il nome di asse di simmetria.
Teorema: la simmetria assiale è un’isometria
Questo teorema ci permette di dire che due figure che si
corrispondono in una simmetria assiale sono congruenti.
Il Ribaltamento:
La Simmetria Assiale
La simmetria assiale gode inoltre delle seguenti
proprietà:
• I punti che appartengono all’asse sono punti uniti
• Una retta a incidente in un punto Q all’asse di
simmetria e che forma con tale asse un angolo 
ha per trasformata una retta ’ che passa ancora
per Q e che forma con l’asse di simmetria un
angolo congruente ad 
(Mostrare la proprietà descritta in cabrì)
Diapositiva sommario
• Il Ribaltamento e La Simmetria Assiale
Il Ribaltamento:
La Simmetria Assiale
• Una retta a perpendicolare all’asse di simmetria
ha per trasformata se stessa ed è quindi una retta
unita;
Attenzione però: non è una retta di punti uniti perché
ciascun punto della retta non ha come trasformato
se stesso.
•Una retta a // all’asse di simmetria ha per
trasformata una retta a’ ancora // all’asse e quindi a
a stessa.
Il Ribaltamento E La Simmetria
Assiale
• Se A’ è il trasformato di A nella simmetria di asse r,
il trasformato di A’ è ancora A e quindi la
trasformazione è involutoria;
• Se i vertici del triangolo ABC si susseguono in
senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ si
susseguono in senso antiorario e quindi
l’ordinamento dei punti non è un’invariante;
(Mostrare la proprietà descritta in cabrì)
Il Ribaltamento:
La Simmetria Assiale
Poche sono figure geometriche che hanno un asse di simmetria:
• Un segmento ha come asse di simmetria il suo asse
• Un angolo ha come asse di simmetria la sua bisettrice
• Un triangolo ha un asse di simmetria solo se è
isoscele
• Il rombo ha due assi di simmetria (diagonali)
• Il cerchio infiniti assi di simmetria
Il Ribaltamento:
La Simmetria Assiale
Gli invarianti della simmetria assiale sono:
• L’allineamento dei punti (collineazione)
• La lunghezza dei segmenti
• Il parallelismo
• Il rapporto tra segmenti
• L’orientamento dei punti del piano
• È un’isometria invertente
Che scomposto può essere visto così
E trasformarsi così e così via
Provate a comporli da soli