STORIA DEL RUOLO DELLE CONICHE
MENECMO
Sembra che il primo matematico ad occuparsi delle sezioni coniche
sia stato Menecmo( 375-325), un matematico greco discepolo di
Eudosso e Platone e maestro di Alessandro Magno.
Esse furono scoperte nel tentativo di risolvere con riga e compasso i
tre famosi problemi di trisecazione dell'angolo( dividere un angolo in
tre parti congruenti), quadratura del cerchio( costruire un quadrato
della stessa area di un cerchio dato), duplicazione di un cubo( costruire
un cubo di volume doppio rispetto a quello dato).
Inizialmente una sezione conica era definita come l'intersezione di un
cono circolare retto con un piano perpendicolare alla generatrice del
cono:
si ottiene, infatti, una parabola se l'angolo al vertice è retto, un ellisse
se è acuto e un'iperbole se l'angolo è ottuso.
APOLLONIO
La sistemazione razionale della trattazione delle coniche avvenne circa 150
anni dopo grazie ad Apollonio di Perga( 262-190 a.C.), conosciuto come il
Grande Geometra, il quale consolidò ed approfondì i precedenti risultati
nell' opera Le coniche, la cui importanza non favorì ulteriori sviluppi nei secoli
a seguire.
Degli otto libri che componevano l'opera, solo tre sono giunti a noi nella
versione originale, degli altri quattro ci sono pervenute traduzioni dall'arabo
mentre uno è andato perduto.
Apollonio fu anche il primo ad attribuire
i nomi di ellisse, parabola e iperbole.
Tali nomi traggono origine dal confronto di
due grandezze caratteristiche di ciascuna curva.
ELLISSE vuol dire 'mancanza';
IPERBOLE significa 'andare oltre';
PARABOLA 'mettere accanto'.
• Apollonio dimostrò che non era necessario prendere sezioni
perpendicolari a un elemento del cono, e che da un unico
cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni
semplicemente variando l'inclinazione del piano di
intersezione.
• Una seconda importante generalizzazione si ebbe quando
dimostrò che il cono non fosse necessariamente retto
(avente l'asse perpendicolare alla base) , ma che poteva
essere anche un cono obliquo.
• Infine, Apollonio dimostrò che, sostituendo a un cono a una
falda, un cono a doppia falda, si potevano ottenere tutti i tipi
di sezioni coniche da un unico cono, al variare dell'inclinazione
del piano intersecante il cono.
• Il matematico fornì, inoltre, un grande contributo
all'astronomia greca, applicando modelli geometrici al moto
dei pianeti.
KEPLERO
Nel XV secolo l'opera di Apollonio fece da guida agli studi di Keplero( 1571-1630),
studi che portarono alla formulazione delle tre leggi sul moto dei pianeti che
portano il suo nome.
Keplero formulò per le coniche un principio di continuità, nel senso che vide i
diversi tipi di sezioni coniche come formanti un insieme privo di interruzioni o salti.
L'idea che la parabola abbia due fuochi di cui uno improprio, cioè all'infinito, è
dovuta a Keplero, così come il termine fuoco ( dal latino focus, derivante dalla
proprietà fisica per cui uno specchio parabolico concentra i raggi paralleli
provenienti dal sole in un punto che è il fuoco geometrico).
 Keplero scoprì, inoltre, che i pianeti si muovono seguendo una traiettoria ellittica
e non circolare, e che quelle ellissi avevano come fuoco il Sole.
GALILEO
Un'altra importante applicazione è dovuta a Galileo Galilei ( 1564- 1642), il quale
dimostrò che il moto di un proiettile ha come traiettoria una parabola.
TARTAGLIA
Un matematico italiano, vissuto alla fine del XVI sec.,
Tartaglia, aveva intuito che la traiettoria di una palla di
cannone non era una retta, bensì una parabola, una scoperta
analoga a quella di Galileo.
Inoltre la parabola e tutte le coniche trovarono applicazione
in molti altri campi:
NEI FENOMENI ONDULATORI, dove per la legge della
riflessione della luce, una
superficie ottenibile facendo
ruotare di un giro completo una parabola attorno al suo asse
presenta particolari proprietà che gli permettono di essere
utilizzato come potente telescopio, riflettore, antenna per le
comunicazioni spaziali o radio telescopio.
 Circa 1800 anni dopo, i risultati ottenuti per via sintetica, da
Apollonio verranno raggiunti grazie all'introduzione di nuovi
metodi algebrici basati sulle coordinate cartesiane, ad opera
di CARTESIO e FERMAT, che permisero di risolvere problemi e
verificare proprietà in modo più semplice.
Fermat
Tartaglia
CARTESIO - FERMAT
Nell'opera Geometrie, Cartesio trovo’ l'equazione generica di una conica
passante per l'origine. Specificò, inoltre, le condizioni che devono soddisfare i
coefficienti perchè la conica sia una circonferenza, una parabola, un'ellisse o
un'iperbole.
In seguito grazie a Fermat, si dimostrò che l'equazione di una conica generica è
un'equazione algebrica di secondo grado in x e y.
PASCAL
Nello stesso secolo Blaise Pascal ( 1623- 1662)
scrisse all'età di sedici anni il “ Saggio sulle
sezioni coniche”.
LE CONICHE
Data una retta r nello spazio che intersechi in V la retta a, si
chiama superficie conica a due falde la superficie generata in una
rotazione completa di r attorno ad a.
La parte di spazio racchiusa dalla superficie è detta cono a due
falde.
La retta r, e ogni altra retta rI della superficie conica, si dice
generatrice.
L’angolo θ che r forma con a si chiama semiapertura.
L’asse di rotazione è anche asse di simmetria del cono.
V è detto vertice del cono.
Possiamo distinguere tre casi:
1. L’angolo α formato dal piano secante con l’asse a del cono è minore della
semiapertura θ: la sezione conica è un’iperbole (fig. 1a) .
2. L’angolo α formato dal piano secante con l’asse a del cono è uguale alla
semiapertura θ: la sezione conica è una parabola (fig. 1b).
3. L’angolo α formato dal piano secante con l’asse a del cono è maggiore della
semiapertura θ: la sezione conica è un’ellisse, in particolare se α= π/2
abbiamo una circonferenza (fig. 1c e 1d).
1A
1B
1C
1D
L’EQUAZIONE GENERALE DI UNA CONICA
Ogni conica è descritta da una equazione di secondo grado avente la
seguente forma generale :
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F = 0 con A,B,C,D,E,F ϵ R
Viceversa, se l’insieme delle soluzioni reali di una equazione algebrica di
secondo grado in due incognite non è vuoto, esso rappresenta, nel piano
cartesiano, una conica.
LA PARABOLA
Assegnati nel piano un punto F e una retta d, si chiama parabola la curva
piana luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da d.
Il punto F e la retta d vengono detti, rispettivamente fuoco e direttrice della
parabola.
 La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse
della parabola.
L’asse della parabola è anche asse di simmetria della curva, ossia è vero che
preso un punto della parabola esiste un altro suo punto che è simmetrico del
primo dato rispetto all’asse.
 Il punto V in cui la parabola interseca il suo asse è detto vertice della
parabola.
L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE COINCIDENTE CON L’ASSE y E
VERTICE NELL’ORIGINE DEGLI ASSI
Determiniamo l’equazione della generica parabola con asse coincidente con l’asse
y e vertice nell’origine degli assi (fig. 2a).
 Il fuoco è un generico punto dell’asse y che supponiamo distinto da O(0;0), cioè:
F(0;f) con f≠0,
quindi la direttrice è una retta parallela all’asse x e interseca l’asse y in un punto D
cioè D(0;-f).
tale che
L’equazione della direttrice è pertanto : y = -f
Indichiamo con P(x;y) un punto generico della parabola (fig. 2b) e imponiamo la
condizione :
Poiché
Eleviamo i due membri al quadrato:
Ricavando y, otteniamo l’equazione cercata, ossia:
Posto
, l’equazione precedente diventa:
y = ax² equazione della parabola con vertice nell’origine
Poiché f ≠ 0, a risulta definito ed è a ≠ 0. Scriviamo ora le coordinate del fuoco e
l’equazione della direttrice in funzione di a. Dalla relazione
ricaviamo
quindi il fuoco ha coordinate :
Coordinate del fuoco
e la direttrice ha equazione:
Equazione della direttrice